9 Funciones elementales

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1 9 Funciones elementales ANALIZA Y DECIDE Qué tipo de curva no se utiliza en los ramales de entrada salida de las autopistas? Cuál es la más adecuada? Un arco de circunferencia no se utiliza en los ramales de entrada salida de las autopistas. La curva más adecuada en estos casos es la espiral de Cornu o clotoide. Conoces otro tipo de espirales que se den en la naturaleza o en obras construidas por el hombre? Compara tu respuesta con tus compañeros. Respuesta libre. Por ejemplo, la espiral aúrea o de Durero que aparece en las escamas de una piña, en las semillas del girasol, en el nautilus, en La Mona Lisa de Da Vinci, en el Partenón de Atenas o la espiral logarítmica que aparece en los brazos de las galaias o de los huracanes, en las telas de araña OBSERVA Y CONTESTA Dibuja una espiral en tu cuaderno. Es igual que la parte de la espiral que se ve en la fotografía? Cuántas dimensiones tienen cada una? Respuesta libre. Actividades propuestas. Señala cuáles de las siguientes funciones son polinómicas. En caso afirmativo, indica el grado la variable independiente. a) f() b) f(z) 5 z c) f ( ) e) f ( ) + d) f(t) t t f) f (v ) v a) Función polinómica de grado cua variable independiente es. b) Función polinómica de grado cua variable independiente es z. c) No es función polinómica. d) Función polinómica de grado cua variable independiente es t. e) No es función polinómica. f) Función polinómica de grado cua variable independiente es v.. 6 Representa estas funciones lineales e indica su pendiente su ordenada en el origen. a) f() b) f() c) f() d) f() + a) b) c) d) Pendiente a 0 Pendiente a Pendiente a Pendiente a Ordenada b Ordenada b 0 Ordenada b Ordenada b Unidad 9 Funciones elementales

2 . La gráfica de la función polinómica de primer grado f() pasa por el punto (, 5) su pendiente es. Determina: a) f(). b) La epresión de la función f(). c) La ordenada en el origen. a) La epresión de la función polinómica de primer grado es + b. a f ( ) f () f() 5 f() 7 b) Como la recta pasa por el punto (, 5), entonces 5 + b b. La epresión de la función es f(). c) La ordenada en el origen es b.. Determina el sentido de las ramas, las coordenadas del vértice la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas. a) f() + c) f() + b) f() + d) f() 5 a) a > 0 las ramas de la parábola se abren hacia arriba. Vértice V(, f( )) V(, ) Eje de simetría: b) a < 0 las ramas de la parábola se abren hacia abajo. Vértice V(, f()) V(, ) Eje de simetría: c) a > 0 las ramas de la parábola se abren hacia arriba. Vértice V(, f()) V(, 0) Eje de simetría: d) a > 0 las ramas de la parábola se abren hacia arriba Vértice V, f, Eje de simetría: 8 5. Actividad resuelta. 6. Representa las siguientes funciones cuadráticas. a) f() b) f() ( ) a) f() a > 0 las ramas se abren hacia arriba. Vértice V(0, f(0)) V(0, ) Eje de simetría: 0 Punto de corte con el eje Y: f(0) (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 ± (, 0) (, 0) b) f() ( ) a > 0 las ramas se abren hacia arriba. Vértice V(, f()) V(, 0) Eje de simetría: Punto de corte con el eje Y: f(0) 9 (0, 9) Puntos de corte con el eje X: ( ) 0 (, 0) Funciones elementales Unidad 9 7

3 7. Estudia las características representa de forma aproimada la gráfica de la función f(). D(f) Punto de corte con el eje Y: f(0) (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 (, 0) Es función impar porque f() + f( ) 0 0, 0,5 0,999 0,875,5 0, Actividad resuelta. 9. Indica cuáles de las funciones son racionales. Justifícalo. a) f ( ) b) f ( ) a) f ( ) b) f ( ) + ( + ) ( ) c) f ( ) 5 d) f ( ) + + es una función racional, puesto que es el cociente de dos polinomios. + + )( ) ( + es una función racional, puesto que es el cociente de dos polinomios. c) f ( ) es una función polinómica, puesto que f ( ) d) f ( ) no es una función racional, porque el numerador, P(), no es un polinomio Halla el dominio de estas funciones. a) f ( ) + + c) f ( ) + + b) f ( ) 5 ( + ) d) f ( ) a) D(f) b) D(f) 0, c) D(f) d) f ( ) Indica el dominio el crecimiento de las funciones. a) c) b) d) a) D(f) {0} k Decreciente b) D(f) {0} k Creciente 8 Unidad 9 Funciones elementales c) D(f) {0} k Creciente d) D(f) {0} k Decreciente + 8 ( )( 7 ) D(f) {, 7}

4 . Determina los puntos de corte con los ejes el signo de las siguientes funciones racionales. a) + b) ( + ) ( ) a) Punto de corte con el eje Y: 0 (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 0 +,0 Signo de la función: La función, con D(f) (, ) (, ) (, + ), corta al eje X en el punto,0. Los intervalos a estudiar son: En, : f( ) < 0 Negativa En (, ): f(0) < 0 Negativa 88 5, : f > 0 Positiva En 9 En (, + ): f() b) ( + )( ) 7 > 0 Positiva +, con D(f) (,) (, + ). Punto de corte con el eje Y: 0 (0, ) Puntos de corte con el eje X: (, 0) Signo de la función: La función, con D(f) (,) (, + ), corta al eje X en el punto (, 0). Los intervalos a estudiar son: En (, ) : f( ) < 0 Negativa En (, ): f(0) > 0 Positiva En (, + ): f() 5 > 0 Positiva. El dominio de la función +5 es D(f) (, ) (, ) (, + ). Calcula b c. + b + c Como el dominio es D(f) (, ) (, ) (, + ), entonces las raíces del denominador son. Por tanto, + b + c ( + )( ) 8 b c 8.. Actividad resuelta. 5. Cuál es la epresión que permite obtener la base de un rectángulo de cm de área en función de su altura? De la epresión del área del rectángulo se despeja su base: A b h b A b h h Por tanto, se puede escribir como b f(h), donde b epresa la longitud de la base h la longitud de la altura: b f(h), que es una función de proporcionalidad inversa. h 6. Actividad interactiva. Funciones elementales Unidad 9 9

5 7. Determina las asíntotas verticales, horizontales oblicuas de las siguientes funciones racionales. a) b) + + c) a) Asíntotas horizontales Como grado () < grado ( ), entonces la función tiene una asíntota horizontal en 0. Asíntotas verticales Como D(f) {, }, la función tiene asíntotas verticales en. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. b) Asíntotas horizontales Como grado ( + + ) > grado ( ), entonces la función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales Como D(f) {}, la función tiene una asíntota vertical en. Asíntotas oblicuas Como + +, la función tiene una asíntota oblicua en c) Asíntotas horizontales Como grado ( ) < grado ( 5 + 6), entonces la función tiene una asíntota horizontal en 0. Asíntotas verticales Como D(f) {, }, la función tiene asíntotas verticales en. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. 8. Determina el dominio, los puntos de corte las asíntotas de las siguientes funciones. Luego, trata de esbozar sus gráficas. a) + + a) + + b) + D(f) {} Punto de corte con el eje Y: 0 ( 0, ) Puntos de corte con el eje X: ± 0, 0, Asíntotas horizontales Como grado ( ) > grado ( ), entonces la función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales Como D(f) {}, la función tiene una asíntota vertical en. Asíntotas oblicuas Unidad 9 Funciones elementales

6 + D(f) { } b) Punto de corte con el eje Y: 0 0 (0, 0) Puntos de corte con el eje X: 0 0 (0, 0) Asíntotas horizontales Como grado () grado ( + ), entonces la función tiene una asíntota horizontal en. Asíntotas verticales Como D(f) { }, la función tiene una asíntota vertical en. Asíntotas oblicuas La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. 9. La siguiente gráfica corresponde a la función f(). a) Comprueba que verifica todas las propiedades de las funciones eponenciales. b) Dibuja en tu cuaderno la gráfica de g(). a) Dominio (, + ) recorrido (0, + ). Es continua en todo su dominio. Pasa por los puntos (0, ) (, ). La función es creciente la recta 0 es una asíntota horizontal cuando va tomando valores cada vez menores. b) La función g() es simétrica de f() respecto del eje Y. 0. Representa en tu cuaderno la gráfica de la función f() e. Compárala con la gráfica de la función g() e, qué observas? La gráfica de f() e la gráfica de g() e son simétricas respecto del eje Y. Funciones elementales Unidad 9

7 . Representa en tu cuaderno las siguientes funciones de base 0 compáralas. Qué tienen en común? Qué relación ha entre ellas? f() 0 g() 0 h() 0 Las gráficas de las funciones 0 0 son simétricas respecto del eje Y. Las gráficas de las funciones 0 0 son simétricas respecto del eje X.. Actividad resuelta.. Halla el dominio los puntos de corte de estas funciones. a) log c) log b) log( ) d) ln(e + ) a) > 0 D(f) {0} (, 0) (0, + ) Punto de corte con el eje Y: 0 f(0) no eiste. No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: 0 0 log log log ± (, 0) (, 0) b) > 0 > D(f) (, ) Punto de corte con el eje Y: 0 f(0) log (0, log) Puntos de corte con el eje X: 0 0 log( ) log log( ) ( ) ± ( ) (, 0, 0 ) c) > 0 D(f) (0, + ) Punto de corte con el eje Y: 0 f(0) no eiste. No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: 0 0 log log log ± (, 0), pues D(f) (0, + ) d) e + > 0 > e D(f) ( e, + ) Punto de corte con el eje Y: 0 f(0) ln e (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 0 ln(e + ) ln ln(e + ) e + e ( e, 0). Halla compara la tasa de variación de los siguientes pares de funciones en los intervalos indicados. I. [, ] II. [0, 0] a) f() 5 g() 5 5 III. [00, 0] b) f() log g() 5 5 a) TVf[, ] TVf[0, 0] TVf[00, 00] , 0 TVg[, ] TVg[0, 0] TVg[00, 00] 00 00,6 060 Se observa que la función eponencial crece más rápido que la función potencial. b) TVf[, ] log log 0, TVg[, ] 0, TVf[0, 0] log 0 log 0 0, TVg[0, 0] 0 0,09 TVf[00, 00] log 00 log 00 0, TVg[00, 00] Se observa que la función logaritmo crece más lentamente que la función raíz cuadrada. Unidad 9 Funciones elementales 00 00,

8 5. Halla la función inversa de estas funciones. a) log a) log b) ln(e ) log 0 0 f ( ) b) ln(e ) e e e f () e 6. A partir de la gráfica de la función f() ln ( ), halla la fórmula de la función g(). Demuestra que la función que has hallado es correcta dando algunos valores comprobándolos en la gráfica. La función g() es la inversa de la función f() ln( ): ln( ) e e + f () g() e +,08 g(),098,5,678 0,5, ,5,687 7,89 7. Indica si las siguientes funciones crecen o decrecen en los intervalos indicados calculando la tasa de variación media correspondiente. 5 a) f() sen, en,, 6 6 c) h() tg, en, 0 0,, b) g() cos, en, a) TVMf 6, f f sen sen , TVMf 6 ( 5 5 f f sen sen g g cos cos b) TVMg, TVMg, c) TVMh, 0 TVMh 0, 6 ) ( ) > 0 Creciente 6 < 0 Decreciente 6 ( ) ( ) 0 < 0 Decreciente g ( ) g sen ( ) sen 0 ( ) > 0 Creciente h ( 0 ) h tg ( 0 ) t g 0 > 0 Creciente 0 h h ( 0 ) tg tg ( 0 ) 0 ( ) 0 > 0 Creciente Funciones elementales Unidad 9

9 8. Representa estas funciones trigonométricas en tu cuaderno. j ( ) tg a) f() sen () c) h() sen e) b) g() cos d) i() + cos f) k() cos a) c) e) b) d) f) 9. Actividad resuelta. 0. Determina el dominio, la simetría el período de las funciones: f() sec g() tg. f() sec D(f) { / cos 0} + k k f( ) sec ( ) f() sec () sec f() es par. cos cos ( ) sec ( + ) f ( + ) f() es periódica de período T. cos cos ( + ) g() tg D(g) { / cos 0} + k k g( ) tg ( ) g() tg () sen ( ) sen cos ( ) cos tg g() g() es impar. sen sen ( + ) tan ( + ) g ( + ) g() es periódica de período T. cos cos ( + ). A partir de la gráfica de la función f(), representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes funciones. a) g() b) h() ( + ) ( +) c) j() d) a) b) c) d) Unidad 9 Funciones elementales k() +

10 . A partir de la gráfica de la función f() funciones. a) g() b) h(), representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes ( + ) + a) b). A partir de la gráfica de la función f(), representa en tu cuaderno las gráficas de las siguientes funciones. a) g() + c) j() b) h() d) k() Halla la función inversa de represéntala. a) c) b) d) La función inversa de es f-() log. Representación gráfica: Funciones elementales Unidad 9 5

11 . Se considera la función f() cos definida en el intervalo [0, ]. A partir de su gráfica, representa las funciones: a) g() + cos c) j() cos() b) h() cos d) k() cos() a) c) b) d) 5. Clasifica las siguientes funciones polinómicas. a) f() 5 c) f() ( ) e) f() b) f() + d) f() f) f() 5( ) a) Función constante c) Función cuadrática e) Función lineal b) Función cuadrática d) Función lineal f) Función lineal 6. Qué tipo de función es f() a + b según los valores de a b? a) Si a 0, b 0 c) Si a 0, b 0 b) Si a 0, b 0 d) Si a 0, b 0 a) Función de proporcionalidad directa c) Función nula b) Función lineal d) Función lineal constante 7. Representa estas funciones en tu cuaderno e indica la pendiente de cada una. a) f() b) f() c) f() d) f() + a) b) c) d) Pendiente a 6 Pendiente a Unidad 9 Funciones elementales Pendiente a 0 Pendiente a

12 8. Escribe la epresión de la función polinómica de primer grado que cumpla las condiciones de cada apartado. a) Pendiente ordenada en el origen 0 c) Pendiente ordenada en el origen b) Pendiente ordenada en el origen d) Pendiente ordenada en el origen a) c) + b) + d) 9. De la función f(), se sabe que es polinómica de primer grado que su gráfica pasa por los puntos (0, ) (, ). a) Dibuja su gráfica. c) Cuál es su pendiente? b) Halla su ecuación. d) Cuál es la ordenada en el origen? a) b) La función es polinómica de primer grado. Luego es de la forma a + b. Como pasa por los puntos (0, ) (, ): { { 0a + b b La ecuación es. a + b a c) La pendiente es a. d) La ordenada en el origen es b. 0. Determina el eje el vértice de las parábolas cua ecuación es: a) f() c) f() ( ) b) f() 6 d) f() + a) Vértice V(0, f(0)) V(0, ) Eje de simetría: 0 b) Vértice V(, f()) V(, 9) Eje de simetría: c) f() ( ) + : Vértice V(, f()) V(, 0) Eje de simetría: d) Vértice V,f, Eje de simetría: Funciones elementales Unidad 9 7

13 . Representa la gráfica de las siguientes funciones e indica: el sentido de las ramas, los puntos de corte con los ejes, las coordenadas del vértice la ecuación del eje. a) c) ( ) + b) 6 + d) a) a < 0 las ramas se abren hacia abajo Vértice V(0, f(0)) V(0, ) Eje de simetría: 0 Punto de corte con el eje Y: f(0) (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 ± ( ) (, 0, 0 b) 6 + a > 0 las ramas se abren hacia arriba. Vértice V(, f( )) V(, 9) Eje de simetría: Punto de corte con el eje Y: f(0) 0 (0, 0) Puntos de corte con el eje X: (0, 0) ( 6, 0) c) ( ) + + a > 0 las ramas se abren hacia arriba. Vértice V(, f()) V(, ) Eje de simetría: Punto de corte con el eje Y: f(0) (0, ) Puntos de corte con el eje X: + 0 No tiene solución d) a > 0 las ramas se abren hacia arriba. 5 Vértice V, f, Eje de simetría: Punto de corte con el eje Y: f(0) (0, ) Puntos de corte con el eje X: 0 (, 0) (, 0) 8 Unidad 9 Funciones elementales )

14 . Puede haber una función polinómica de primer grado con pendiente cero? Por qué? Una función polinómica de primer grado es de la forma a + b, donde a es la pendiente de la recta. Si a 0, entonces b es una función polinómica de grado cero. Por tanto, no puede haber ninguna función polinómica de primer grado con pendiente cero.. Representa en tu cuaderno la función definida a trozos: f ( ) { si < 0 si 0 a) A partir de la gráfica, indica los intervalos de crecimiento decrecimiento comprueba tu respuesta calculando la tasa de variación media en cada intervalo. b) Presenta algún máimo o mínimo relativo? Dónde? c) Estudia el signo de la función. a) Decreciente: (, 0) (, + ) Si a < 0 f(a) > f(0) TVMf[a, 0] f ( 0 ) f ( a ) f ( a ) <0 0 a a Si a > f(a) < f() TVMf[, a] f ( a ) f () f ( a ) + 5 <0 a a Creciente: (0, ) TVMf[0, ] f () f ( 0 ) + > 0 0 b) Presenta un mínimo relativo para 0 un máimo relativo para. c) Punto de corte con el eje Y: (0, ) Puntos de corte con el eje X: (, 0) Signo de la función: La función, con D(f) (, + ), corta al eje X en el punto (, 0). Los intervalos a estudiar son: En (, ): Positiva En (, + ): Negativa. Actividad resuelta. 5. De una parábola de ecuación a +b + c, se sabe que su vértice es el punto V(, ) que pasa por el punto A(, ). Qué función cuadrática representa? El valor de la abscisa del vértice es igual a, por lo que: b b a a Pasa por el punto (, ): a b + c como b a a a + c c. Pasa por el punto (, ): a b + c como b a a a + c a + c a c. Luego b a Por tanto, a, b c La ecuación de la función cuadrática es +. Funciones elementales Unidad 9 9

15 6. El vértice de la parábola + b + c es el punto (, ). Calcula los valores b c representa la función. El valor de la abscisa del vértice es igual a, por lo que: b b 6a 6 a Pasa por el punto (, ): 9 b + c como b c c 5. La parábola es Actividad resuelta. 8. Representa las funciones f() + g(). Halla las coordenadas de los puntos en los que se cortan sus gráficas. Para representar la parábola g(). a > 0 las ramas se abren hacia arriba. Punto de corte con el eje Y: f(0) 0 (0, 0) Vértice V(0, f(0)) V(0, 0) Puntos de corte con el eje X: 0 0 (0, 0) Eje de simetría: 0 Tabla de valores: g() 9 9 Para representar la recta f() + Tabla de valores: 0 f() 7 Representación gráfica: Para calcular los puntos de corte se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las dos funciones: P(, ) B(, 9) { 9. Representa las funciones f() 9 g() 5 determina los valores de que verifican 9 5. Para representar la parábola f() 9. a < 0 las ramas se abren hacia abajo. Vértice V(0, f(0)) V(0, 9) Eje de simetría: 0 Punto de corte con el eje Y: f(0) 9 (0, 9) Puntos de corte con el eje X: ± (, 0) (, 0). Observando la gráfica se comprueba que los puntos que verifican la inecuación 9 5 son [, ]. 0 Unidad 9 Funciones elementales

16 50. Halla el dominio de las siguientes funciones racionales. a) + a) D(f) { } b) ( ) b) D(f) {0, } c) + d) +7 ( + ) ( ) d) D(f) {,, 0, } c) D(f) 5. Determina los puntos de corte con los ejes el signo de las siguientes funciones racionales. a) + b) + ( 5) 0, + Puntos de corte con el eje X: 0, pero 0 No corta al eje X. a) Punto de corte con el eje Y: 0 Signo de la función: La función, con D(f),, +, no corta al eje X. Los intervalos a estudiar son: En, : f(0) < 0 Negativa b) En, + : f() 5 > 0 Positiva +, con D(f) {0, 5} ( 5) Punto de corte con el eje Y: 0 no está en el dominio No corta al eje Y. Puntos de corte con el eje X: (, 0) (, 0). ( 5) Signo de la función. La función, con D(f) {0, 5}, corta al eje X en el punto (, 0) (, 0). Los intervalos a estudiar son: En (, ) : f( ) En (, 0): f( ) 5 < 0 Negativa 8 > 0 Positiva 5 En (0, ): f < 0 Negativa 8 En (, + ): f() < 0 Negativa 5. Cuáles de las siguientes funciones son de proporcionalidad inversa? Indica en esos casos la constante de proporcionalidad. a) b) + c) a) No es función de proporcionalidad inversa porque no es de la forma b) d) k. + es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k. c) Es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k. d) es función de proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es k. Funciones elementales Unidad 9

17 5. Identifica cada gráfica con la función a la que corresponde. A. B. + + C. + D. I. II. III. IV. A. II. B. III C. IV D. I 5. Indica cuáles son las asíntotas de las funciones racionales siguientes efectúa su representación gráfica después. a) + a) b) c) + c) + + d) Asíntotas horizontales: Asíntotas horizontales: Asíntotas verticales: Asíntotas verticales: b) + d) Asíntotas horizontales: Asíntotas horizontales: Asíntotas verticales: 0 Asíntotas verticales: 55. Halla las asíntotas de estas funciones racionales. a) + + a) b) c) ( + )( ) d) ( + ) ( ) Asíntota oblicua: + Asíntotas horizontales: 0,5 Asíntota vertical: Asíntotas verticales:,5 b) Asíntota oblicua: + c) + ( + ) ( ) Asíntotas horizontales: 0 Asíntotas verticales: + c) Unidad 9 Funciones elementales

18 56. Los siguientes puntos pertenecen a la gráfica de una función de proporcionalidad inversa: A(a, 8) B(b, ) C( 6, ) D(, d) a) Halla la constante de proporcionalidad. b) Halla los valores de a, b, d. c) Escribe la fórmula de la función. d) Representa su gráfica de forma aproimada. a) Los puntos de una función de proporcionalidad inversa cumplen que k, donde k es la constante de proporcionalidad. Como el punto C pertenece a la gráfica, entonces k ( 6). b) a 8 a, b ( ) b d d c) La fórmula de la función es. d) 57. La función racional f ( ) a + b + tiene dos asíntotas: una vertical,, otra oblicua, 5. c + a) Halla los valores de a, b c. b) Calcula los puntos de corte con el eje X. c) Determina el signo de la función. c. a) Como D(f), la función tienen una asíntota vertical en. Por tanto, c c c a b a a b a b + a + Como f ( ) +, la función tiene una asíntota oblicua en. + + Por tanto, a b a a 5 b a 0 6 b) Puntos de corte con el eje X: (, 0) (, 0). c) La función, con D(f) { }, corta al eje X en los puntos (, 0) (, 0). En (, ) : f( ) 5 < 0 Negativa En (, ): f(0) > 0 Positiva En (, ): f < 0 Negativa En (, + ): f() > 0 Positiva Cuáles de las siguientes funciones corresponden a una función eponencial? a) ( ) b) 8 c) d) (,5) Una función eponencial es de la forma a, donde a > 0 a. Por tanto, son funciones eponenciales 8 e (,5). 59. Indica cuáles de las siguientes eponenciales son crecientes cuáles son decrecientes. a) 5 a) Decreciente b) ( ) b) Creciente c) d) (0,88) c) Creciente d) Decreciente Funciones elementales Unidad 9

19 60. Completa la siguiente tabla de valores correspondiente a las funciones f ( ) g ( ). f() g() 0 a) Representa en tu cuaderno de forma aproimada ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas. b) Qué relación observas entre sus gráficas? f() g() a) b) Las funciones son simétricas respecto del eje Y. 6. Indica cuál es el dominio de las siguientes funciones. a) ln( 9) b) log a) 9 > 0 D(f) (, ) (, + ) b) > 0 > 0 D(f) (0, + ) 6. Indica cuáles son las funciones inversas de las siguientes funciones inectivas. a) a) log b) b) log c) log d) log d) c) 6. Halla las funciones inversas de las funciones si es posible. En caso afirmativo, represéntalas en tu cuaderno. a) f() ln( ) b) h ( ) log ( ) a) f() no tiene función inversa porque no es inectiva. Por ejemplo, f() f( ) ln 7. b) 0 0 log ( ) log ( ) 0 h ( ) Unidad 9 Funciones elementales

20 6. Relaciona las siguientes funciones con sus gráficas. A. sen B. cos () C. cos D. sen I. II. III. IV. A. IV B. I C. III D. II 65. Justifica si la función f() cos es creciente o decreciente en el intervalo (, ), teniendo en cuenta el período. La función f() cos es periódica de período T. Como f() f( + ) f() f() f( + ) f(), la función f() cos se comporta igual en el intervalo (, ) que en el intervalo (, ). Como en el intervalo (, ) la función f() cos es creciente, también lo será en el intervalo (, ). 66. Averigua el período de las funciones: a) sen b) cos c) + sen d) cos () a) f() sen sen ( + ) sen [( + )] f( + ) El período es T. + 8 cos b) f() cos cos + f( + 8) El período es T 8. c) f() + sen + sen ( + ) f( + ) El período es T. d) f() cos () cos( + ) cos[( + )] f( + ) El período es T. 67. A partir de la gráfica de f(), representa las siguientes funciones mediante traslaciones dilataciones. a) g() b) g ( ) + c) h() d) h() + a) Dilatación vertical de razón c) Traslación hacia debajo de unidades b) Contracción vertical de razón 0,5 d) Gráfica simétrica respecto de la original Traslación hacia arriba de unidades Traslación de unidades hacia arriba Funciones elementales Unidad 9 5

21 68. Actividad resuelta. 69. A partir de la gráfica de f(), representa las siguientes funciones mediante traslaciones dilataciones. a) g() ( + ) a) Traslación horizontal a la izquierda de unidad Dilatación vertical de razón b) h () b) Contracción vertical de razón 0,5 Traslación hacia abajo de unidades 70. Dada la función eponencial f(), representa en los mismos ejes de coordenadas las funciones: a) f(), f( + ), f( + ) f( + ) b) f(), f(), f() 8f() c) Qué relación ha entre las funciones de los apartados? a) f( + ) +, f( + ) + f( + ) + b) f(), f() 8f() 8 c) Las funciones de los dos apartados son las mismas, porque: f( + ) + f() f( + ) + f() f( + ) + 8f() 7. Teniendo en cuenta cómo es la gráfica de la función ln, representa las funciones. 6 a) ln b) ln ( ) a) Simétricas respecto del eje Y b) Simétrica respecto del eje X Unidad 9 Funciones elementales

22 7. A partir de la gráfica de sen, representa por traslación simetría las funciones: a) + sen b) c) sen() sen d) sen a) Traslación vertical de unidades c) Contracción horizontal de razón una simetría b) Contracción vertical de razón 0,5 d) Dilatación vertical de razón 7. A partir de la gráfica de cos, representa por traslación simetría las funciones: a) cos( + ) b) cos( ) a) Traslación a la izquierda unidades b) Simetría traslación hacia la izquierda unidades. 7. Actividad resuelta. 75. Epresa como funciones definidas a trozos representa las gráficas de estas funciones. a) f() + b) f() ln a) Se epresa el valor absoluto como: si > si > < si si < ) ) ( ( Por tanto, f ( ) + { si > si < si < si si > b) Se epresa el valor absoluto como: ln { lnln si si { ln < 0 ln f () ln ln 0 si si 0 < < Funciones elementales Unidad 9 7

23 si < 0 si > Dada la función definida a trozos f ( ) : a) Halla su dominio. b) Represéntala gráficamente. c) Estudia el crecimiento el decrecimiento de la función a partir de la gráfica comprueba los resultados utilizando la tasa de variación media. a) D(f) {0} b) c) Creciente en todo su dominio. Si a < b< 0 son dos puntos del dominio de f, entonces f (a) < f (b) pues a > b : a b f (b ) f (a ) >0. TVMf[a, b] b a Si b > a > 0 son dos puntos del dominio de f, entonces f (b) b > f (a) a : TVMf[a, b] f (b ) f (a ) >0. b a 77. La función f() es una función decreciente no simétrica la función g() es creciente tampoco es simétrica. Justifica que h() f() + g() k() g() f() son funciones simétricas e indica el tipo de simetría. h() f() + g() + h( ) + h() h() es una función par. k() g() f() k( ) ( ) k( ) k() es una función impar. 78. La factura de la energía eléctrica de una empresa suministradora se puede resumir en tres conceptos: Cuota fija por potencia contratada: 8 Consumo: 0, cada kilovatio hora (kwh) IVA: % a) Escribe la función, f(), que determina el importe de la factura durante un período en el que se han consumido kwh. b) Cuál es el importe de la factura si se han consumido kwh? c) Determina la función, g() que indica el coste de kwh consumido. a) f(), (0, + 8) 0,69 + 5,98 b) f() 0,69 + 5,98 00,87 g () c) 5,98 + 0,69 5,98 + 0, Un taller de planchas de aluminio tiene que fabricar canaletas para conducciones de agua. Las planchas de aluminio que va a utilizar son rectangulares de 0 cm de ancho las doblan mediante una prensa. a) Determina la anchura de la canaleta en función de su altura. b) Escribe una función que representa el área de la sección transversal, S, de la canaleta. Cuál es su dominio? c) Determina cómo se debe plegar la plancha de aluminio para que S tenga la maor superficie posible. a) Llamamos a la anchura de la canaleta: 0 b) S (0 ) 0 D(S) [0, 0] c) La función S 0 corresponde a una parábola orientada hacia abajo. Por tanto, su máimo estará en el vértice: V 0. La plancha se debe plegar de forma que la anchura de la canaleta sea 0 cm, la altura, 0. 8 Unidad 9 Funciones elementales

24 80. Actividad resuelta. 8. Una especie de bacteria se duplica cada 0 min. En una placa de Petri con un cultivo de esta bacteria había inicialmente microorganismos. a) Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de la bacteria? b) Cuántas bacterias ha en la placa después de horas? c) Cuántas horas deben pasar para que el número de bacterias sea de microorganismos? a) Llamamos al número de horas que transcurren. Como cada 0 minutos las bacterias se duplican, entonces: f(). b) f() 9 6 bacterias log , log log log log c) log Deberán pasar, horas h min, aproimadamente. 8. El vértice de la parábola a + b + c es el punto (, ). Si el punto (, 0) pertenece a la parábola, cuál es el valor de a + b + c? 5 5 A. B. C. 5 El valor de la abscisa del vértice es igual a, por lo que: D. 0 b b 8a a Pasa por el punto (, 0): a + b + c 0 como b 8a a 6a + c 0 c a Pasa por el punto (, ): 6a + b + c como b 8a c a 6a a + a a Luego b 8a c a 6. Por tanto, a + b + c 8. La función f() La respuesta correcta es la B. + tiene: ( ) ( + ) A. Una asíntota vertical una oblicua. C. Tres asíntotas verticales una oblicua. B. Tres asíntotas verticales una horizontal. D. Dos asíntotas verticales una oblicua. La función f() + tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador es maor que el grado ( ) ( + ) del denominador. No tiene asíntotas horizontales por tener una asíntota oblicua. Las posibles asíntotas verticales son,. La función tiene una asíntota vertical en a que no anula el numerador. Los valores sí anulan el numerador. Por tanto, se debe comprobar si son asíntotas tomando valores de próimos a estos puntos de discontinuidad. La función no tiene una asíntota vertical en, porque cuando la variable independiente se va acercando a, la función no toma valores grandes: 0 0,5 0,9 0,99,0, 0 0,8,768,8787,5875,68095, La función no tiene una asíntota vertical en, porque cuando la variable independiente se va acercando a, la función no toma valores grandes:,0,5,9,99,0,,5876,,5557,65555,677779,7779,75 Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua una asíntota vertical. La respuesta correcta es la A. Funciones elementales Unidad 9 9

25 8. Sea f la función definida por f() A. f () f ( ) +, cuando, f( ) es: B. f() C. f ( ) D. f( ) + ( ) ( + ) + f ( ) La respuesta correcta es la A. Encuentra el error 85. Pedro ha encontrado una curiosa propiedad con la función: f ( ) Calcula distintos valores de la misma obtiene: f() 0 ; f() 0 ; f() 0 0 ; f(5) 0 5 por lo que conclue que es igual a la función f() 0. Ana hace los siguientes cálculos conclue que tiene razón: f ( ) ( ) + ( 0 ) + ( 0 ) + 0 Sin embargo, su profesor no está de acuerdo con los cálculos les dice que comprueben con f(5). Calcula esos valores encuentra el error en los cálculos de Pedro Ana. Usando la epresión inicial se obtiene: f(5) Con la epresión que ha hallado Pedro, f(5) 0 5. Ambos resultados no coinciden. El error está al considerar que k k, puesto que se debe tomar la raíz positiva de k ; es decir, k k. Entonces: f () (0 ) + 0 Con esta nueva epresión f(5) + (0 ) + ( 0 ) + 5 (0 5 ) que sí que coincide con el hallado con la epresión inicial. 50 Unidad 9 Funciones elementales si 0 < 0 si , valor

26 PONTE A PRUEBA Investigación forense Actividad resuelta. El precio El departamento de ventas de una empresa que fabrica teléfonos móviles ha determinado una función que analiza la demanda para un nuevo modelo: p 60 0,000 05, para , donde p es el precio en euros, por móvil, representa el número de móviles vendidos. La fabricación de teléfonos cuesta 0 por cada teléfono más un coste de de desarrollo. Los ingresos de la empresa vienen dados por la venta de móviles al precio de p la función que proporciona los beneficios B, es la diferencia entre ingresos, I, costes, C.. Escribe cuál será la función ingresos I, la función costes, C, la función beneficios, B. I() p() 60 0,000 05, C() B() I C 0, A qué precio habría que vender cada móvil si se fabrica el máimo número de ellos? Qué ganancias tendría la empresa? Como máimo se pueden fabricar móviles. p 60 0, , , entonces cada móvil habría que venderlo a 0. En este caso se obtendría un beneficio de B( ) Cuál es el mínimo número de móviles que ha que vender para que la empresa no tenga pérdidas? B() es una parábola, orientada hacia abajo, que corta al eje X en los puntos 7 8, Por tanto, como mínimo, se deberían vender 7 85 móviles para que la empresa no tuviera pérdidas.. Si la empresa quiere ganar un mínimo de , a qué precio debe vender cada móvil? B() , Es decir, 69 5 < < , el precio, p sería 0,7 > p > 9,. 5. Cuál sería el número de móviles que debe fabricar la empresa para obtener la ganancia máima? Cuál sería la ganancia obtenida? Como B() es una parábola, orientada hacia abajo, el máimo estará en el vértice. Es decir, el máimo está en Por tanto, habría que fabricar de móviles. En este caso, el beneficio sería B( ) Funciones elementales Unidad 9 5

27 Meteorología En cierto punto del hemisferio norte, las temperaturas máimas a lo largo de un año se aproiman por la t t t t función M(t) 9, 6,5cos 5sen las mínimas se aproimaron por m(t) 0,8cos,8sen, donde t es el tiempo en meses la temperatura viene dada en grados centígrados. En el diagrama se representan ambas funciones, comenzando a las 0:00 del día de enero.. Durante qué meses las temperaturas máimas superaron los 0º C? En qué períodos las mínimas no llegaron a 0º C? Las temperaturas máimas superaron los 0º C desde el inicio de junio hasta mediados de noviembre. Las mínimas no llegaron a 0º C desde el inicio del año hasta final de mao, de mitad de noviembre a final de año.. Cuál es el período de cada función? El período de ambas funciones es T.. Consideras que estas funciones son válidas para el próimo año? Aunque haa pequeñas variaciones, se pueden considerar válidas porque son funciones periódicas.. La amplitud térmica es la función que marca la diferencia entre las máimas las mínimas. Cuál es su epresión? Es también periódica? A(t) M(t) m(t) 9, 6,5 cos t t t t t t 5 sen 0,8 cos,8 sen 9,,7 cos, sen Esta función también es periódica. 5. Cuándo es maor la amplitud térmica? Observando la gráfica se deduce que la amplitud térmica es maor para t 8. Es decir, en agosto. 6. A qué crees que es debido que las temperaturas más altas no coincidan eactamente con los meses que tienen más horas de sol? Ocurre algo con las temperaturas más bajas? La tierra el agua del mar se van calentando lentamente enfriando de igual forma. Por eso, las temperaturas más altas se dan un mes después del solsticio de verano, las mínimas, uno después del solsticio de invierno. 5 Unidad 9 Funciones elementales

28 AUTOEVALUACIÓN. Una función polinómica de primer grado tiene ordenada en el origen b. Además el punto P(, ) pertenece a su gráfica. a) De qué función se trata? b) Cuál es su pendiente? a) Se trata de una función lineal de la forma a, donde a es la pendiente de la recta. b) Como P(, ) pertenece a su gráfica: a a.. Determina el eje de simetría, las coordenadas del vértice, los puntos de corte con los ejes estudia el signo de la función f() 6. Represéntala de forma aproimada. a < 0 las ramas se abren hacia abajo. Vértice V(, f()) V(, 9) Eje de simetría: Punto de corte con el eje Y: f(0) 0 (0, 0) Puntos de corte con el eje X: (0, 0) (6, 0) Signo de la función: f() es una función, con D(f), que corta al eje X en (0, 0) (6, 0).. En (, 0) : f( ) 7 < 0 Negativa En (0, 6): f() 5 > 0 Positiva En (6, + ): f(7) 7 < 0 Negativa Halla el dominio de las funciones racionales. a) + b) Cuáles son sus asíntotas? a) + 0 D(f) Asíntotas horizontales. Como grado () < grado ( + ), entonces la función tiene una asíntota horizontal en 0. Asíntotas verticales. Como D(f), la función no tiene asíntotas verticales. Asíntotas oblicuas. La función no tiene asíntotas oblicuas por tener asíntotas horizontales. b) + 0 D(f) { } Asíntotas horizontales. Como grado ( + + ) > grado ( + ), entonces la función no tiene asíntotas horizontales. Asíntotas verticales. Como D(f) { }, la función tiene una asíntota vertical en. Asíntotas oblicuas. Como , la función tiene una asíntota oblicua en Funciones elementales Unidad 9 5

29 . Una función de proporcionalidad inversa, f(), verifica que f() 6. a) Halla la constante de proporcionalidad. b) Indica si es creciente o decreciente. c) Halla el número a para que f(a) 8. d) Escribe la epresión de la función f(). a) Los puntos de una función de proporcionalidad inversa cumplen que k, donde k es la constante de proporcionalidad. Como f() 6, entonces k 6. b) La función es decreciente porque k > 0. c) a ( 8) a d) 5. 8 Se considera la función eponencial f(). Determina: a) Su dominio su recorrido. b) Los puntos de corte con los ejes. c) Sus asíntotas. Represéntala de forma aproimada audándote de una tabla de valores. a) D(f) R(f) (0, + ) b) Corte con el eje X: 0 f(0) (0, ) No corta al eje Y, porque f() > 0 para todo. c) La función tiene una asíntota horizontal por la derecha, 0. Tabla de valores: 7,75 8 9,5 Representación gráfica 5 Unidad 9 Funciones elementales,5 0 0, , ,

30 6. Halla la inversa de las siguientes funciones represéntalas a partir de las gráficas de las funciones de partida. a) ln a) ln b) log( ) ln e e f ( ) e b) log( ) f () A partir de la gráfica de la función f() cos, representa las gráficas de las siguientes funciones. a) g() cos + a) Trasladar f() unidades hacia arriba b) h() cos + b) Trasladar f() unidades hacia la izquierda Funciones elementales Unidad 9 55