x 3 si 10 <x 6; x si x>6;

Transcripción

1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E000 A Primer parcial <. +8. Dada la función si < f + si 1 1 si >1 a Trace su gráfica b Determine su dominio, rango y raíces Sean si 10 < 6; f si >6; 1 si 0; g si >0. Obtenga el dominio y la fórmula de la función f + g. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una de ellas se dobla para formar un cuadrado y con la otra forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambas figuras como función del lado del cuadrado. B Segundo parcial 1 Para la función f determine: a Los puntos de discontinuidad y su clasificación b Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales c Un esbozo de la gráfica +1 lím lím canek.azc.uam.m: / /

2 EVALUACIÓN GLOBAL E000 Trace la gráfica de una función f que tenga una discontinuidad removible en y que además satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f0 ; f 0; f6 0; lím f ; lím f ; + lím f 0; Calcule los valores a & b de modo que la función +1 si<1; f a + b si 1 <; si, sea continua en todos los reales. C Tercer parcial f. 1 Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y y 8, en el punto, 1. Para la función f determine: a Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. Los etremos relativos b Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo. Los puntos de infleión c La gráfica A partir de la gráfica dada de f, cuyo dominio es [ 0., f Determine: a Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento b Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo c Los máimos y mínimos relativos, los máimos y mínimos absolutos y los puntos de infleión Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Por consiguiente, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo. Si el perímetro de la ventana es de 0 cm solamente, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz.

3 Respuestas EVALUACIÓN GLOBAL E000 1 A Primer parcial + +8 <. Es equivalente a: < Lo cual se cumple si < < 0. 7 > 0& +8< 0 o bien 7 < 0& +8> 0; < 7 & < 8 o bien > 7 & > 8; < 7 & < 8 o bien > 7 & > 8; < 7 o bien > 8 ;, 7 o bien 8, +. Luego, el conjunto solución de la desigualdad propuesta es CS, 7 8, +. Como vemos en la siguiente figura: Esta desigualdad equivale al sistema de desigualdades +8. Resolvemos la primera desigualdad: [ 7 8 7, +. Resolvemos la segunda: +8 8, 8]. Por lo que el conjunto solución es El conjunto solución es: Ø Como vemos en la figura: 8 8 7

4 EVALUACIÓN GLOBAL E000 Dada la función si < ; f + si 1; 1 si >1, a trace su gráfica Para <, la gráfica es una parte de la recta paralela al eje de las de altura. Y para >1, es parte de la recta de pendiente 1 y ordenada en el origen 1, que casi llega al punto 1, 0. La parábola y tiene su vértice en 1, 9, dirige su concavidad hacia arriba y corta al eje de las cuando ± ± 1 ; por eso, + > 0sies menor que o bien mayor que 1. Entonces, del intervalo [, 1] es positiva en [, y es negativa en, 1]. Siendo así f + + si [, ] ; + si, 1]. Por lo anterior, su gráfica es un segmento de la parábola y + sobre [, ] y el reflejo de la parábola con respecto al eje en el intervalo, 1]. Ya por último, la gráfica de f es: f y 1 1 y 1 b Determine su dominio, rango y raíces Dominio: D f, + R. Rango: R f, ]. Y raíces: & 1.

5 EVALUACIÓN GLOBAL E000 Sean si 10 < 6; f si >6; 1 si 0; g si >0. Obtenga el dominio y la fórmula de la función f + g. Dominio de f: D f 10, +. Dominio de g: D g R D f+g D f Dg D f 10, + pues 10, + R. Su fórmula: +1 si 10, 0] ; f + g + si 0, 6] ; + si 6, +. Un alambre de 100 cm de longitud se corta en dos partes. Una de ellas se dobla para formar un cuadrado y con la otra forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambas figuras como función del lado del cuadrado. Usamos las siguientes gráficas: 100 h Llamemos al lado del cuadrado por lo que su área es obviamente A ; luego, una parte del alambre mide ; la otra, la parte con la que vamos a formar un triángulo equilátero, mide 100. Cada lado 100 de dicho triángulo medirá por lo tanto. Su altura entonces, por el teorema de Pitágoras: h

6 6 EVALUACIÓN GLOBAL E000 Y su área: A Observe que, pues. 1 Para la función B Segundo parcial f determine: a Los puntos de discontinuidad y su clasificación Como es una función racional, los puntos de discontinuidad son las raíces del denominador 0 0&. Como +10 & 1, es un punto de discontinuidad removible; lo vemos en: y en: f si lím f. Por lo que definiendo f,f resultaría continua en. En 0 hay una discontinuidad infinita pues, lím f ±. 0 ± b Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales Según lo que acabamos de calcular, 0 es una asíntota vertical; para hallar la asíntota horizontal calculamos lím f lím ;y 1 es la asíntota horizontal. ± ± c Un esbozo de la gráfica Vemos que 1 es la única raíz de f, esto es que f 1 0. Entonces, la gráfica de la función f es: f / 1 1

7 lím +1. EVALUACIÓN GLOBAL E000 7 Racionalizando el numerador si 0, esto es. +1+ Por lo que lím +1 1 lím lím Dividiendo numerador y denominador entre, si<0, se tiene Y entonces: 8 6 lím Trace la gráfica de una función f que tenga una discontinuidad removible en y que además satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f0 ; f 0; f6 0; lím f ; lím f ; + lím f 0; f. Una posible gráfica de la función f que satisfaga todas esas condiciones es: f 6

8 8 EVALUACIÓN GLOBAL E000 En nuestra gráfica vemos que f, pero lím f lím f 0. + Calcule los valores a & b de modo que la función +1 si<1; f a + b si 1 <; si, sea continua en todos los reales. Claramente la función es continua en, 1, [1, y en [, +, por lo que necesitamos comprobar que sea continua en 1yen. Para ello se tiene que cumplir que lím f lím f a + b, que es f y que lím f lím f 6, que es f. + De aquí tenemos que a + b, de la primera condición, y que a + b 6, de la segunda condición. Esto es, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para hallar a & b. a + b ; a + b 6. Restando la primera de la segunda tenemos que a ; entonces, a & b a, de la primera ecuación, por lo que b 6. C Tercer parcial 1 Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva y y 8, en el punto, 1. Efectivamente, el punto, 1 pertenece a la curva, pues sus coordenadas &y 1 satisfacen la ecuación, ya que Para calcular la pendiente de la recta tangente, derivemos implícitamente la ecuación, donde estamos suponiendo que y es una función derivable de. Tenemos y + y y y 0 y y y y y y. Esto es, para cualquier punto de la curva donde y 0; en particular en el punto, 1, tenemos que la pendiente es y 1,

9 EVALUACIÓN GLOBAL E000 9 y que la ecuación de la tangente es y 11 + y ++1 y +. a Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. Los etremos relativos Calculemos: f 6 +. Los puntos críticos están en, 0yen. f > 0si>0, luego f es creciente en [0, ] y en [, + también en [0, + f < 0si<0, luego f es decreciente en, ] y en [, 0] también en, 0 Entonces el único etremo relativo es 0, 6, donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente luego es un mínimo. b Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo. Los puntos de infleión Calculemos la derivada de f 6 : f La segunda derivada se hace 0 en ± yen± 0.89, y su signo está dado en la tabla siguiente: Signo de Intervalo + + f f es cóncava hacia < < < < + arriba << < < + abajo < < << abajo < < < < arriba Vemos entonces que en,, y, yen, la función es cóncava hacia abajo y que en ±, 16 1 y en, + lo es hacia arriba y que los puntos ±, 0 & ±0.89,.77 son de infleión. Tenemos además que f0 6 & f± c La gráfica Tenemos la gráfica de la función f:

10 10 EVALUACIÓN GLOBAL E000 f 6 Todo concuerda con que f es par. A partir de la gráfica que vemos a continuación, cuyo dominio es [ 0.,, f determine: a Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento La función f es creciente en [ 0., 0], [1, ], [, ] y en [6, + ; la función f es decreciente en [0, 1], [, ] y en [, 6]. b Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo La función f es cóncava hacia arriba en [0., ] y en [.,.]; la función f es cóncava hacia abajo en [ 0., 0.], [,.], [., 6] y en [6, +. c Los máimos y mínimos relativos, los máimos y mínimos absolutos y los puntos de infleión Los máimos relativos son 0,,, y,. Los mínimos relativos son 0., 1, 1, 0,, y 6, 1. No tiene máimo absoluto y el mínimo absoluto es 1, 0. Los puntos de infleión son 0., 1,,,., &.,.. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Por consiguiente, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo. Si el perímetro de la ventana es de 0 cm solamente, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz.

11 EVALUACIÓN GLOBAL E Usaremos el dibujo siguiente: y Queremos que el área de la ventana A y + 1 π sea máima. Sabemos que el perímetro de la ventana es P +y + π 0, luego 0 1+ π y 1 +π, y el área queda, como función de la única variable, A 1 +π + π 8 1 +π + π 8 1 +π π 1 π +, 8 8 cuyos puntos críticos los calculamos igualando a cero la derivada: Como A π + y 1 +π entonces y. A 1 π π + 60 π +. < 0, se trata de un máimo y como 60 π + 1 1π + π + 1π +60 1π 0 π + 0 π +,