Ejercicios: Límites y continuidad

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1 . En los apartados siguientes, usar la gráfica de las funciones para hallar el límite si eiste: (a) (4 ) ( + ) (c) f(); f() = 4,! d 3 d d 0, = f(); f() = +,! 5 (f) d, = d 5 5 d 3 3. Calcula los siguientes límites: (a) (c) d d 4 d d 3 +3 d (f) 3 d Determina gráficamente los límites f(), f(), f() de las siguientes d c + d c d c funciones: c = c = f() g() h() c = - 4. Hallar, si eisten, los siguientes límites: (a) d ; d 4 4 ; (c) d + 4 d + ; d 0 ; (f) d (g) f(), donde f() = +, [3 d 3 3, > 3 (h) f(), donde f() = 4 + 6, < d + 4, m (i) f(), donde f() = d 3 +, < +, m (j) f(), donde f() =, [ d, > 5. Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: []

2 (a) f() = 3 ; f() = ; (c) f() = + ; f() = 4 f() = ; (f) f() = + ; (g) f() = (h) f() = + 3, <, m (i) f() =, [ 4 +, > 6. Hallar a tal que la función f() = 3, [ sea continua. a, >, [ 7. Hallar a y b de modo que hagan continua la funciónf() = a + b, < < 3, m3 8. Calcular f() y f() de las siguientes funciones: d 3 + d 3 (a) f() = 9 f() = 9 (c) f() = 9 9. Calcular f() y f() de las funciones: d + (a) f() = d f() = (+) + 0. Hallar las asíntotas verticales (si hay) de las funciones: f() = ; f() = 3 ; f() = ; f() = 4 4 f() = ; f() = + ( ) 3 ;. Hallar los siguientes límites: d 0 d + ( + ); 3 ; d + ( ); d 0 + ; d f() = +4 ; f() = ( ) d. Determina las asíntotas horizontales de las siguientes funciones: (a) f() = 3 + ; f() = + f() = ; f() = ; d 4 +6 ; ( +).( ) ; d ; (c) f() = + ; (f) f() = Halla los siguientes límites: (a) ( )4 d (c) d d (f) (g) 5 9 d3 9 (h) d (i) ( 3 ) 5 ( ) d 4+ []

3 4. Dada la función f() = 3,!. Se pide: 3, = (a) Represéntala gráficamente. Halla f() y f(3). (c) Calcula f() y f(). 5. Comprueba que (4 5) = 3. d 6. Demuestra que. Haz una gráfica de la función para ayudarte. d6 4 = 3 7. Comprueba que +. Haz una gráfica de la función para ayudarte. = 8. Dadas las funciones f() = 4 y g() = +. Cómo serán sus gráficas? Cuánto valen, en cada uno de los casos, la imagen de y su límite cuando tiende a? 9. Determina el valor de k para que la función f() =, <, tenga límite cuando + k k, m tienda a. 0. Calcula el valor de f() cuando f() es: (a) f() =,, d f() = (c) f() = ( ), ) f() = ( ) Analiza el comportamiento gráfico de f() en = en cada uno de los casos.. Calcula los siguientes límites: d d3 (a) + 3 d (+) (c) d + + ( ) (g) (i) d +4 (f) (h) (j) ( 3) 3 d (k) (l) (m) d 4 3 (n) [ ] +3 d 3 (ñ) [ + 3] d 3 ( ) (o) ( ) [3]

4 (p) d3 ( 3) (s) (u) +3 4 d d4 (r) (t) (v) 4 +3 d d d (w) d () +4 d 3 (y) 3 (z). Calcula los siguientes límites: (a) (c) (f) +3 d3 3 (g) d (h) (i) (j) 3 + (k) + (l) d 3. Comprueba si son continuas o no las funciones siguientes en los puntos que se indican: (a) f() = en =. f() = 3 en = 3. f() = 5,! 4, = (c) en =. [4]

5 f() = 3 + 5, < + 4, m en = -. f() = + 3, < 3, >, < f() = 3, < [ 5+6, < en =. (f) en = y en =. Soluciones. (a) (4 ) = ( + ) = 3 (c) d 3 d d f() = (4 ) =!f() = 0 d f() = ( + ) =!f() = d d f() = 5 5 =, > 5, < 5, d 5 + =! = ( ) d 5, no eiste el límite. (f) d 3 3 =, d = +. (a) d d = d = 4 d + = 4 ( )$(+) = d + = 3 (c) d = d 0 = d 3 +3 = d 3 + = 4 d = d 3 4(+) = 6 (f) d = d 4 5(+) = 5 3. (a) f() = 3 = f() d d + g() =! g() = 3 d d + [5]

6 (c) h() =! h() = d d + 4. (a) d = 5 d 5 + (+5) = 0 d 4 4 = = d (c) = d + 4 d + + = 4 l i m d + = l i m ( ) = 0 d =!= d 0 d 0 + (f) d + =!= d + + (g) + d 3 = 5! = d3 + 3 (h) ( 4+6)== d d ( +4 ) + (i) ( 3 +) = = d d (+) + (j) =!0= ( ) d d + 5. (a) f() es continua en su dominio que es R. f() presenta en = 0 una discontinuidad inevitable. f() = +! = d 0 d 0 f() + (c) f() presenta en = - una discontinuidad evitable. d + = ( ) = d, f(-) no eiste. f() presenta en = y = - discontinuidades inevitables. f() =!+ = f() d d + [6]

7 f() = +! = f() d d + f() presenta en = una discontinuidad inevitable. f() =!+ = f() d d + (f) f() es continua en su dominio que es R. (g) f() presenta en = 5 una discontinuidad inevitable y en = - una discotinuidad evitable. f() =!+ = d 5 d 5 f() + + d (+)( 5) = 7 Ejercicios: Límites y continuidad y f(-) no eiste. (h) f() es continua en R, ya que es continua también en =. ( + 3) = = d d = f() + (i) f() presenta una discontinuidad inevitable en =. ( ) = 4 = f()! 3 = ( 4 + ) d d + 6. Para que f() sea continua ha de serlo en =, ya que en el resto de los puntos del dominio por estar definida como una polinómica ya lo es. f continua en = w 8 = 4aea= f() = 8 3 = 8 d a = 4a d + w (como los tres valores han de ser iguales) 7. Para que f() sea continua ha de serlo en = - y en =3, ya que en el resto de los puntos del dominio por estar definida como una polinómica ya lo es. f continua en = - w d + f( ) = = d a + b = a + b w a + b = [7]

8 f continua en = 3 w Resolviendo el sistema Ejercicios: Límites y continuidad f(3) = a + b = 3a + b d 3 w 3a + b = = d 3 + a + b = e a =, b = 3a + b = 8. (a) = y d =+ d 3 9 d = + y d 3 9 = (a) d = y d 3 9 = + 9. (a) =+ y d + (+) d (+) =+ d + (+) = + y d (+) = 0. (a) f() = posee como asíntota vertical la recta = 0. f() = posee como asíntotas verticales las rectas = y = -. (c) f() = 3 posee como asíntotas verticales las rectas = y = -. f() = posee 4 como asíntota vertical la recta = 0. f() = 4 posee como asíntota vertical la recta =. ( ) 3 (f) f() = + posee como asíntota vertical la recta =. (g) f() = 4 +4No tiene asíntotas verticales. (h) f() = posee como asíntota vertical la recta =. ( ) 3. (a) + d + l i m = d + = (c) d 4 + = + 6 d 4 +6 = [8]

9 (+ )= d0 (f) ( d 0 ) = + (g) ( ) d ( +)( ) = (h) ( )( ++) d ( ++) = 0. (a) La función f() = 3 + posee como asíntota horizontal la recta y = (a) La función f() = posee como asíntotas horizontales las rectas y = e y = -. + (c) La función f() = + posee como asíntota horizontal la recta y = 0. La función f()=+ 4 + posee como asíntota horizontal la recta y =. f() = 6 La función posee como asíntotas horizontales las rectas y = 3 e y = (f) La función f() = 5 + posee como asíntota horizontal la recta y = =e $(4 ) =e 4 3 =e 8 l i m d = 3 (c) = = = + d = = 0 (f) (g) (h) (i) 5 3 = 5 3 d 3 + d+ 3 + = =e 4 5+ $3 =e =0 5 9 d3 9 = ( )( 3)(+3) d3 ( 3)(+3)+5 9 = 6 6$ = d0 3 = 4 d0 (3 )(4+6+4) =4 ( )$8 = 4 ( 3 ) 5 ( ) d 4+ = 6 =+ [9]

10 4. f() = 3, f(3) = 0 ( 3) =!f() (c).. d ( 3) = 0 = f(3) d3 5. y 6. [0]

11 7. []

12 8. y g() = +. Sus gráficas únicamente difieren en el punto de abscisa =. La recta f()= 4 = +,! sindefinir,= g() pasa por el punto (,4) y a la recta f() le falta el punto con abscisa =. f() = d d g() = 4 9. d ( ) = = 4 + 4k k = d ( + k k)ek= + 0. (a), f() no eiste. d =!+ = d + (c) d = +! = d + d ( ) = + = + = d + d Ejercicios: Límites y continuidad ( ) = = = d +, f() no eiste. ( ), f() no eiste. ( ) En todos los casos la recta = es una asíntota vertical., f() no eiste. []

13 . Calcula los siguientes límites: (a) + 3 = 3 d (+) = = 0 (c) = 0 d + + ( ) = 0 = = + (f) ( 3) = = 0 (g) = + (h) d 3 + = +! = d (i) d +4 = (j) = 0 [3]

14 (k) = 0 = 3 3 = (l) = +3 + (m) d 4 3 = 4 = (n) [ ] +3 = 8 = [ ] +3 = 8 = 0 d 3 d 3 + (ñ) [ + 3] d 3 ( ) = 5 (o) = ( ) = (p) = (r) 4 +3 d3 ( 3) d = 5 (s) +3 4 d 3 8 = (t) d = 3 = 3 (u) 6 d4 = 3 (v) 3 3 d3 = = (w) d = () +4 d 3 = 0 3 (y) 3 = 3 (z) 4 +3 =. Calcula los siguientes límites: (a) = = 3 (c) = e = e = = 0 (f) +3 d3 3 = e 6 (g) d = e 3 0 (h) = e [4]

15 (i) = e 3 (j) 3 = 0 + = (l) + d = (k) 3. Comprueba si son continuas o no las funciones siguientes en los puntos que se indican: (a) f() = en =. Es continua por ser polinómica. f() = 3 en = 3. No es continua ya que: f(3) no eiste f() = d3 f() = + d3 + (c) f() = 5,! 4, = en =. No es continua ya que: f() = 4 ( 5) = d f() = 3 + 5, < + 4, m f( ) = 6 (3 + 5) = d ( + 4) = 6 d + f() = + 3, < 3, > f() no eiste ( + 3) = d ( 3) = d + en = -. No es continua ya que: en =. No es continua ya que: f() =, < 3, < [ 5+6, < (f) en = y en =. No es continua en = ya que: f() no eiste d = (3 ) = d + [5]

16 No es continua en = ya que: f() = 4 (3 ) = 4 d ( )( 3) d + = [6]

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