INTEGRACIÓN POR PARTES EN FORMA TABULAR José A. Rangel M. 1
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- Francisca Venegas Tebar
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1 1. Introdcción INTEGRACIÓN POR PARTES EN FORMA TABULAR José A. Rangel M. 1 Es conocida la dificltad qe encentra el estdiante al aplicar la fórmla de integración por partes: = v vd. Tal dificltad comienza en la elección de las fnciones y v. Además, se sabe qe hay integrales qe no peden ser reseltas por partes como en e arcsen d. En este ensayo, se propone n método práctico (o más bien, sgerencias) basado en las referencias bibliográficas citadas al final.. Elección de y En esta sección, se pretende dar esta elección apoyados en el teto [1]. Para ello, se sa la palabra nemotécnica ILATE citada en dicho teto, con el sigiente significado: I: fnciones Inversas Trigonométricas; L: fnciones Logaritmo Neperiano; A: fnciones Algebraicas; T: fnciones Trigonométricas; E: fnciones Eponenciales. 1 José A. Rangel M. es Licenciado en Matemática de la Facltad de Ciencias de la Universidad Central de Venezela (Caracas - Venezela). Magister Scientae en Matemática de la Facltad de Ciencias Universidad de los Andes (Mérida-Venezela). Profesor Asociado adscrito al Departamento de Matemática y Física de la Universidad Nacional Eperimental del Táchira. rangelmoreno@cantv.net
2 Integración por partes en forma tablar Para elegir, se toma la primera fnción qe ocrra de izqierda a derecha en correspondencia con la palabra ILATE. Por ejemplo, en sen d, =, pes es la fnción algebraica. Con esa elección, es el resto, o sea: = sen d. Tal como se observa, esta elección apoya la eperiencia de lograr qe la segnda integral sea fácil de calclar. A fin de esqematizar la fórmla de integración por partes, se sará el sigiente diagrama: ' v Las flechas horizontales indicarán las integrales de dichos prodctos y la flecha oblica indicará el prodcto con signo, comenzando por el signo mas (). Nótese la alternabilidad de los signos comenzando en la flecha oblica con más (). Obsérvese qe sigiendo el diagrama anterior, se obtiene la fórmla de integración por partes: = v vd La igaldad anterior admite la sigiente generalización: () vd = v1 v1d = v1 v vd =
3 José A. Rangel M. n ( n) ( ) = v1 v 1 vn d, donde: d d ( i 1) i = y v i 1 = v i d Es posible visalizar la fórmla anterior mediante el sigiente diagrama: v v 1 (n) ( 1 ) n v n Claramente, hay tres colmnas: la izqierda donde están las derivadas scesivas de, la central indica los prodctos diagonales con los signos alternados comenzando con el signo y la derecha qe contiene las scesivas primitivas (o antiderivadas) de v. Ejemplo 1. En la integral sen d, el diagrama es: sen 1 cos Se obtiene: 3
4 Integración por partes en forma tablar sen d = cos cos d = cos sen C 3. Distintos Casos: 3.1. Integrales de la forma: p ( )sen ; n a d pn( ) cos a d; p ( ) a n e d. donde p n () es n polinomio de grado n. Usando la palabra ILATE, se hace = p n () en todas estas integrales, pes es la fnción algebraica. La derivada (n1)- ésima de es 0. En este caso, debajo de la colmna de, se colocarán las derivadas scesivas de hasta llegar a 0. En la colmna de, se escribirán las integrales scesivas de v. Ejemplo. Tomando el ejemplo 1, se tiene qe: sen 1 cos 0 sen Así: sen d = cos sen 0 sen d = cos sen C Nótese qe los signos para los prodctos diagonales son siempre alternados comenzando por el signo. 4
5 José A. Rangel M. 3.. Integrales de la forma: e a a sen ( b) d; e cos ( b) d. Usando la palabra ILATE, = sen b (o cos b). Las derivadas de nnca llegan a ser 0. Cómo proceder entonces? My sencillo, nos detendremos cando el prodcto horizontal sea igal al integrando, salvo n factor constante. Por spesto, se está aplicando reiteradamente la fórmla de integración por partes. Ejemplo 3. Hallar Solción: e cos d. cos sen cos e 1 e 1 e 4 No se necesitan más filas pes se obtvo el integrando salvo n factor. Así reslta: d = d 4 4 e cos e cos e sen e cos. Transponiendo y resolviendo la integral bscada, se obtiene: e cos d = e cos e sen C. 5
6 Integración por partes en forma tablar Ejemplo 4. Hallar ln d. Solción: En este caso, = ln. El diagrama es: ln Observe qe en este caso no se obtiene 0 en la colmna de y tampoco el prodcto horizontal da el integrando. Sin embargo, la integral del prodcto horizontal es fácil de calclar. Por tanto: 1 1 ln ln d = d 3 3 ln = 3 9 C El lector pede comprobar qe el resltado es el mismo, si se hbiera tomado la integral del prodcto de la segnda fila. Sgerencia: Cando en la colmna de la no obtenga 0, ni el prodcto horizontal sea el integrando (salvo n factor constante), despés de hallar los prodctos diagonales, súmele, de acerdo con el signo, la integral del prodcto horizontal qe sea fácil de calclar. 6
7 José A. Rangel M Integrales de la forma sen cos b d; sen a sen b d; sen a cos b d; a b. Estos casos se tratan de la misma manera qe en el Caso 3.. Ejemplo 5. Hallar sen3 cos5 d. Solción: En este caso, pede ser calqiera. Elija, por ejemplo, = sen 3. El diagrama está a continación: sen 3 cos cos 3 sen sen 3 cos 5 5 Entonces sen 3 cos5d = 1 3 sen 3 sen 5 cos3 cos sen3 cos5 d 5 Transponiendo y despejando la integral bscada se obtiene: 5 3 sen3 cos5d = sen3 sen5 cos3 cos5 C
8 Integración por partes en forma tablar 3.4. Integrales de la forma P ( ) ( a b) r d donde P() es n polinomio y r no es n entero positivo. Usando la palabra ILATE, se hace = P() y se trata este caso como se hizo en el Caso 3.1. Ejemplo 6. Hallar d. Solción: El diagrama correspondiente aparece ensegida 1 5 ( 3 ) ( ) ( ) ( ) Se obtiene: ( 1 36)( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) d = C
9 José A. Rangel M Limitación: Este método no permite calclar el valor de la integral, cando el prodcto horizontal es igal al integrando precedido del signo más (). Ejemplo 7. Hallar: cos d = cos cos d. Solción: El diagrama aparece a continación cos cos sen sen cos cos Es necesario detenerse en la segnda fila, pes el prodcto horizontal es cos. Por tanto, cos d = sen cos sen cos cos d = cos d Este resltado es evidente pero inútil. Sin embargo, la integral propesta se pede resolver si se aplica la identidad fndamental de la trigonometría y n diagrama parecido al anterior ( inténtelo!). Así, ( ) ( ) lo qe condce a: cos d = 1 sen d = sen cos cos d 9
10 Integración por partes en forma tablar cos d = sen cos C 1 [ ] A manera de cierre, este ensayo facilita al lector n método práctico para aplicar la integración por partes, ofreciendo algnos casos my particlares e ilstrándolos a través de ejemplos. Referencias Bibliográficas [1] Cortés, I.y Sánchez, C. (000): 801 Ejercicios Reseltos de Integral Indefinida. Fondo Editorial de la UNET. Serie Problemario N o. [] Folley, K. W. (1947): Integration by Parts. American Mathematical Monthly. Vol. 54 Nº 9, [3] Horowitz D. (1990): Tablar Integration by Parts. The College Mathematics Jornal. Vol. 1 N o 4, [4] Mrty V. N. (1980): Integration by Parts. The Two-Year College Mathematics Jornal. Vol. 11 N o, [5] Nicol S. J. (1993): Integrals of Prodcts of Sine y Cosine with Diferent Argments. The College Mathematics Jornal. Vol. 4 N o,
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