El siguiente tema sugerido para tratar en clases es el método de integración por partes veamos de donde surge y algunos ejemplos propuestos

Transcripción

1 Méodos y écicas de iegració El siguiee ema sugerido para raar e clases es el méodo de iegració por pares veamos de dode surge y alguos ejemplos propuesos ( º ) Méodo de Iegració por pares:. dv u. v u = v. du La fórmula para la "iegració por pares", se deduce a parir de la regla de la derivada de u produco de fucioes. Veamos: Es coocida la dificulad que ecuera el esudiae al aplicar la formula de iegració por pares u. dv = u. v v. du al dificulad comieza co la elecció las fucioes u y v. Además se sabe que eise iegrales que o puede ser resuelas por pares como por ejemplo e si 4 e arcsi d ; d ; e d ; d ; si d y + d Para ello se usa la palabra emoécica ILATE para la elecció de u, dode : I: Fucioes Iversas rigooméricas L: Fucioes Logarímicas A: Fucioes Algebraicas T: Fucioes Trigooméricas E: Fucioes Epoeciales se oma la primera fució que ocurra de izquierda a derecha e correspodecia co la palabra ILATE, esa elecció apoya la eperiecia de lograr que la seguda iegral sea más fácil Veamos ahora alguos ejemplos de iegració por pares, omados de los ejercicios propuesos por Louis Lehihold e el capíulo 7.; apoyádoos del

2 rabajo realizado por el profesor Luís Belrá e su solucioario del libro; evalúe la iegral idefiida. Verifique la respuesa mediae difereciació...cos. d ( ) Solució. EliezerMooya Sea: u = du = d ( ) dv = cos d v = se aplicado la fórmula de iegració por pares; u. dv = u. v v. du, co los daos de ( ) e ( ) se obie:.cos. d =. se sed =. se + cos + c.cos. d =. se + cos + c Verificacíó F ( ) = f ( ) d d (. co ) se + s + c = se +.cos se =.cos

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4 4.. d Solució: Eliezer Mooya. d ( ) Sea: u u = du = d u a a du = + c ( ) recuerde que : l a dv = d v = u u l e du = e + c Aplicado la fórmula de iegració por pares, u.dv = u.v- v.du co los daos de ( ) e ( ) se obiee:. d =. l (l ) ( ). d =. d =. d =. + C l l l l l (l ) Verificació : + C d. l l. + C 0. = + + = d l (l ) l l (l ) 5. l 5d Solució : Eliezer Mooya l 5 d( ) Sea : (5 ) d u = l 5 du = d = 5 D ( ) recuerde que : D (l ) = dv = d dv = d v = + c aplicado la formula de i egració por pares : udv = u. v vdu, co los daos de ( ) e ( ) se obiee : d l 5 d = (l 5 ). d =.l 5 d = l 5 + c l 5d = l 5 + c Verificació : D ( l 5 + c) = l 5 +.(5 / 5 ) + 0 = l 5 + = l 5 4

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6 (l ) 7. d = Solució:-Eliezer Mooya (l ) d = Usado susiució o cambio devariable: d u = l du = (l ) u os queda: d = u. du C (l ) C = + = + ( l ) (l ) d = + C Verificació: d d d (l ) + C = ( l ). (l ) + 0 = (l ). = d ( (l ) ) Veamos ora forma de resolver el problema úmero 7 usado iegració por pares. (l ) 7. d = S o lu c ió : E lie ze r M o o y a (l ) (l ).(l ) d = d ( ) u sem o s i e g ra ció p o r p a re s d u = l d u = ( ) l l w (l ) d v = d d v d v w d w c c = = = + = + a p lic a d o la fo rm u la d e i eg ra c ió p o r p a re s : u d v = u v v d u c o lo s d a o s d e ( ) e ( ) se o b ie e : (l ) (l ) (l ) d (l ) (l ) d = l. d = si p a sa m o s a l p rim e r m ie m b ro e l i eg ra d o (l ) (l ) (l ) d + d C = + (l ) (l ) d C = + (l ) (l ) d (l ) = + C = + C (l ) (l ) d = + C 6

7 8.. s e c s o lu c ió :. s e c d ( ) S e a : d u = d u = d ( ) d v = s e c d v = a a p lic a d o la fo r m u la d e i e g r a c io p o r p a r e s, u d v = u v v d u, c o lo s d a o s d e ( ) e ( ) s e o b ie e :. s e c d a a d a d = = = s i = c o s d d l C c o s = + d = s e d a d = l c o s + C = l c o s + C = l s e c + C lu e g o :. s e c d. a l s e c v e r ific a c ió : = + c d s e c. a ( ) d s e c. a l s e c + c = a + s e c + 0 =. s e c 7

8 0. l( ) Solució : + d Aplicado i egració por pares e : l( + ) d = u. v vdu ( ) u l( ) du d eemos que : = + = ( + ) ( ) dv d v = = susiuyedo ( ) e ( ) + d = + d + c l( ).l( ) ( + ) resolviedo el segudo miembro de ( ) a d = d c = + ( + ) + l( + ) d =.l( + ) d =.l( + ) + a + C + l( + ) =.l( + ) + d + a C Verificació : D (.l( + ) u dv ( ) + a + C) = l( + ) = = l( + ) + = l( + ) + + 8

9 El méodo Tabular: Muchas veces os vemos obligado a repeir varias veces el méodo de iegració por pares, para eso es mucho mejor uilizar u aajo coocido como el méodo Tabular.Para ver como ese méodo rabaja supoga que u y v so fucioes y cosidere la abla: u derivada de u u v aiderivada de v v derivada de u u v aiderivada de v derivada de u u v aiderivada de v derivada de u u v aiderivada de v + + Muliplique cada fució e forma horizoal- la primera columa por la fució correspodiee e la seguda columa, cambie el sigo de cada dos producos (alerádolos comiece co + luego y asi sucesivamee) y agregue los érmios resulaes para obeer ua suma S : u p o r v ( + ) + u v u p o r v ( ) u v u p o r v ( + ) + u v u p o r v ( ) + u v u p o r v ( ) u v s u m a u + p o r v + El mismo puede ser probado usado el pricipio de iducció maemáica udv = u. v uv + uv uv +... ± u+ dv+ udv = S ± u dv + + Dode el sigo más (+) es usado si es impar y meos (-) si es par. ** Si u es u poliomio de grado, eoces la (+)derivada de u es cero, por lo ao, u + = 0 y el méodo abular os produciría la formula simple: udv = S + C Dode C es la cosae de iegració. S 9

10 Visualiza los 4 casos, cuado podemos usar ese méodo: (A) Iegrales de la forma (B) Iegrales de la forma a. p ( )si ad 4. e sibd. p ( )cos ad a. p ( ) e d dode p ( ) es u poliomio de grado Usado la palabra ILATE se hace u = P () e odas esas iegrales, pues es la fució Algebraica. La derivada de (+)-ésima de u es 0. a 5. e cosbd Para ese caso usado la palabra ILATE u= si b (cos b), Como puedes oar la derivada de u uca podrá ser 0, para eso os deedremos cuado el produco de la diagoal sea igual al iegrado, salvo el facor cosae. (C) Iegrales de la forma 6. si a.cosbd 7. si a.si b d 8. cos a.cosbd dode a b Esos casos se raa de la misma maera que el caso B, u puede ser cualquiera de las dos fucioes seo o coseo, como u uca podrá ser 0, para eso os deedremos cuado el produco de la diagoal sea igual al iegrado, salvo el facor cosae. (D) Iegrales de la forma p( ) 9. d r ( a + b) dode p ( ) es u poliomio y r o es u eero posiivo. Igual que para el caso A cosidera u = d P () y v = dv = ( a + b) r Ejemplo Nº Use el méodo abular para evaluar ( 8 ) 4 e d Solució: 0

11 ( 8 ) 4 e d 4 Sea u = 8 y dv = e d 4 eemos : ( 8 ) e d = u. dv Por Susiució = de aqui v = dv = e d d = d e d e c e c = + = + d = d = = + v e d e c0 0 0 (por) ( + ) 4 4 u = 8 v = e ( 8 )( ) + e (por) ( ) u = u = 8 4 v = e (8 4 )( ) 9 e 9 (por) ( + ) u = u = 4 48 v = e (4 48 )( e ) (por) ( ) u = u = v = e (48 48)( 8 e ) 8 (por) ( + ) u4 = u = 48 v4 = e (48)( ) 4 + e 4 (por) u5 = u4 = 0 v5 = e 79 S Sumado los érmios de la columa obeida S y simplificado eemos 4 ( 8 ) e d = S+ C 4 + ( 8 )( e ) (8 4 )( e ) + (4 48 )( e ) (48 48)( e ) + (48)( e ) + C e + C e + C ( 8 ) e d = e + C

12 Ejemplo Nº (6 + 5) e d = u como u es u poliomio y dv = = = + v dv e d e c usado el méodo abular ( ) e d Solució: ( por ) ( + ) u = v = e + (6 + 5)( e ) ( por ) ( ) u = u = v = e ( )( e ) ( por ) ( + ) u = u = v = e + ()( e ) ( por ) ( ) = = = u u 0 v e 0 S Sumado los érmios de la columa obeida S y simplificado eemos (6 + 5) e d = udv = S + C u dv = (6 + 5) ( ) + + e e e C = e C ( 6 5 0) ( 5 0) = + + e C (6 + 5) = e d e C Ejemplo Nº Solució: 4 5 sih d

13 4 5 sih u = d 4 5 (es derivable) v = dv = sih d = cosh + c0 v = cosh = sih + c 4 Usemos el méodo abular ( por ) ( + ) u = 5 v = cosh (5 )( cosh ) cosh + = ( por ) ( ) u = u = 0 v = sih (0 )( sih ) 5 sih 4 = 4 ( por ) ( + ) 5 u = u = 60 v = cosh (60 )( cosh ) cosh 8 + = 8 ( por ) ( ) 5 u = u = 0 v = sih 6 (0 )( sih ) = sih 6 ( por ) ( + ) 5 u4 = u = 0 v4 = cosh (0)( cosh ) cosh + = 4 ( por ) ( ) u5 = u4 = 0 v5 = sih 64 S 5 4 sih d = S + C = cosh 5 sih + cosh sih + cosh + C = + + cosh 5 + sih + C + 6 Ejemplo Nro d, ese problema lo resolvemos uilizado repeidas 5 + veces iegració por pares Solució:

14 + 6 5 d + u = + 6 du = 4d Por susiució = + 4 / 5 d d d / / 5 dv = v= 5 dv = 5 d= d d c c / 5 = = + = /5 d = d d 5 = = ( + ) / 5 v c 5 Usemos el méodo abular u v u v ( por) ( + ) ( ) ( 6) ( ) / / 5 ( por) ( + ) ( ) (4 ) ( ) ( por) 5 5 ( + ) ( ) (4) ( ) / 5 4 / 5 4 / 5 4 / 5 0 S Sumado los érmios de la columa obeida S y simplificado eemos d = S+C / / / 5 5 d = ( + 6)( + ) 4. ( + ) + 4. ( + ) + C = / / / 5 = (5 + 5)( + ) ( + ) + ( + ) + C / / / 5 = (5 + 5)( + ) ( + )( + ) + ( + ) ( + ) + C / = ( + ) ( + ) + ( + ) C 4 / = ( + ) C / = ( + ) + + C

15 Ejemplo 4: a e cosbd a e cos bd como a b Aqui: u = cos b du = b.si b Por Susiució o Cambiode Variable = a v = dv e d d ad = = e d = e = e a a a d = d a a a Usemos el méodo abular (como la derivadas de u o so cero os deedremos cuado el produco de la diagoal sea igual al iegrado, salvo el facor cosae.) (por) ( + ) a a a u = cos b v = e (cos b)( e ) e cos b a + = + a a (por) ( ) a a b a u = u = b.si b v = e ( bsi b)( e ) e si b a = + a a ( + ) du u = = b cos b v =? d a a b a e co s bd = + e cos b + e si b + v d u C a a + a b a a = + e co s b + e si b + ( e )( b co s b ) C a a + a a b a b a = + e cos b + e si b e b co s b ) C a a a + P asa do a l p rim er m iem b ro, S u m a do ér m i os sem eja es y sim p lifica do a b a a b a e co s bd + e b co s b e co s b e si b C a = + + a a a + b a a b a e cos bd e co s b e si b C = + + a a a a a e co s bd = a b + a a a b e co s b + a b + a a a a e e e co s bd = a.co s b b si b C + + a + b a + b a a e e co s bd = [ a.co s b + b.si b ] + C a + b S a a e si b + C a + b 5

16 a e e bd = a b + b b + C a + b a Como: cos [.cos.si ] Quedará como ejercicio y verificar la fórmula de recurrecia siguiee: a a e e sibd = [ asi b bcosb] a + b (co esas formulas de recurrecia puedes resolver los problemas 5 y 54 E fi la iegració por pares se aplica para calcular las primiivas de las fucioes siguiees: *El produco de ua fució poliómica por ua fució epoecial *El produco de ua fució poliómica por ua fució seo o por u coseo *El produco de ua fució epoecial por u seo o por u coseo *El produco de ua fució poliomica por ua fució logarímica. *Fucioes rigooméricas iversas: Arc si, Arc cos, Arc a, Arc sih, Arc cosh, Arc ah *Cieras raíces cuadradas 6

17 Ejercicios propuesos E los problemas al, use iegració por pares para evaluar cada iegral. ). cos d ). si kd ) e 4. d 4). e d 5) l 5d 6). l d 7) cos d 8) l ( ) d 9 ) sec d 0) si d ). sec.a. d ) a d E los problemas al use repeidas veces iegració por pares para evaluar cada iegral ).si. d 4). si d 5) ( + ). cos d 6) ( + ). 7) +. e d e 8).sec. a d 9) e cos d 0) e. si d ***) csc d ) e a. si b. d E los problemas al 6 use ua susiució coveiee para epresar la iegral e ua forma al que la iegració por pares sea aplicable.eoces evalué la iegral: ). e d 5) + d 4).si. d 6) cos.a ( si ) E los problemas 7 al 46 evalué cada iegral: 7) ( ). e d 8). sih d **9) e. si d 0) l( + ) d l d ) si d ).csc. d 4) cosh d **) ( ) d d 7

18 5) d 6) d 4 7). cos d 8) / cos. d 9) 4) π / 9 4. e si. d 40) 0 ( + ) 0. sec d ver el ejercicio Nº 09 y luego evaluar 4) cos d ver el ejercicio Nº 07 y luego evaluar π / 4 4) (5 + )si. d 0 π / e 0 44). si( l ) 45).si d 46) 0 0.a E los problemas 47 al 50, use el méodo abular para evaluar cada iegral. 47) 4.cos d 4 49). e. d +.cosh d d d 48) ( ). d + e d 5 +. e. 8 5.sih 5d 50) ( ) d 5) ( ) 5) ( ) 5) 6 e si5d 54) 4 e cosd Muem M.A. Foulis D.J. (984) Calculus wih Aalyic Geomery. II edicio.edi. Worh Publishers, Ic. USA. 8