La dirección de un vector está dada por la dirección de la recta que lo contiene o cualquiera de sus paralelas.

Transcripción

1 Mtemáti 3º Año Cód P r o f. M ó n i n p o l i t n o P r o f. M. D e l L j á n M r t í n e z R e i s i ó n P r o f. P t r i i G o d i n o Dpto. de Mtemáti

2 Mtemáti 1- INTRODUCCIÓN En dierss oportniddes nos hemos enontrdo en tems reliondos on l Físi, on mgnitdes qe qedn definids medinte n número, ls denominds mgnitdes eslres. Entre ells, podemos itr l longitd, l ms, el olmen. Otrs, en mio, ls mgnitdes etoriles, reqieren demás del número, pr s definiión, de elementos tles omo direión y sentido representdos por segmentos orientdos o flehs denomindos etores. Se ent entre ests últims mgnitdes, omo ejemplo, ls ferzs, los desplzmientos, ls eloiddes, et. 2- VECTOR Definiión. Ss elementos Se llm etor todo segmento orientdo, es deir, todo segmento determindo por n pr ordendo (; ) de pntos. El pnto se llm origen y el pnto extremo del etor. Pr simolizrlo sremos o simplemente Los elementos de n etor son tres, ser: Direión L direión de n etor está dd por l direión de l ret qe lo ontiene o lqier de ss prlels. Sentido L orientión del etor sore l ret, definid por s origen y s extremo, determin el sentido del mismo. En d direión hy dos sentidos. Gráfimente el sentido de n etor es indido on n fleh. P O L I T E C N I C O 1

3 Mtemáti A // B Ejemplo: A B e d f g h En l figr, los etores tienen distinto sentido. y ef tienen igl sentido y los etores y hg Oseriones: El sentido se ompr en form gráfi, sólo si tienen igl direión Módlo El módlo es l medid del segmento orientdo. El módlo de n etor se simoliz Por todo lo preedente, podemos deir qe el módlo de n etor es siempre n número no negtio, o se 0 Oserión: Diremos qe dos etores y d poseen igl módlo si l medid de los segmentos y d son igles, respeto l mism nidd de medid. d = d 12 P O L I T E C N I C O

4 Mtemáti Vetores prtilres Vetor lire Ddo n segmento, se llm etor lire l onjnto de todos los etores qe tienen igl módlo, direión y sentido qe, inlido el propio. En lo sesio será indistinto trjr on lqier de los elementos de diho onjnto. Vetor nlo Llmremos etor nlo todo pnto y lo notremos o En el etor nlo el origen y el extremo del mismo oiniden. o El etor nlo es el únio qe tiene módlo ero y qe no tiene definido ni direión ni sentido. En símolos: o 0 Versor Se llm ersor o etor nitrio lqier etor de módlo no. 0 w w 1 ; w y 0 0 son ersores Versor soido n etor Ddo n etor 0, se llm ersor soido l etor, y se simoliz 0, l ersor qe posee igl direión y sentido qe En el ejemplo nterior el ersor 0 ersor soido. por tener igl direión y sentido qe es n P O L I T E C N I C O 13

5 Mtemáti Vetor opesto n etor Ddo n etor lqier, se llm etor opesto de y se simoliz, l etor qe tiene igl direión, igl módlo y distinto sentido qe, si no es nlo y si el etor = o, = o // Si 0 0 Si 0 sent sent = = o Vetores igles Dos etores son igles ndo son mos nlos o tienen igl módlo, direión y sentido. En símolos: Ejemplo: o dire. dire. sent. sent. w w Definiión: Dos etores no nlos son prlelos ndo poseen l mism direión. En símolos: // direiónde direiónde 14 P O L I T E C N I C O

6 Mtemáti Atiiddes: 1) Ddos los etores de ls figrs omplet de modo qe ls sigientes expresiones reslten erdders )... es el extremo de ) A B C A // B // C w t... y... tienen distint direión... y... tienen igl direión... y... tienen distinto sentido 2) Dij los etores ; ; ; y t, siendo qe L direión de es n ret horizontl y s sentido hi l dereh, on 3 L direión de es n ret ertil y s sentido hi jo on 1 2 y tienen igl direión, igl módlo pero distinto sentido t 0 P O L I T E C N I C O 15

7 Mtemáti 3) Ddo dij ) 3 / //, sent. sent. y 2 ) m / m m 4) Determin si ls sigientes firmiones son erdders (V) o flss (F). jstifi l respest ) 0 ) En los etores de l figr es ) // o o d) OPERACIONES ENTRE VECTORES SUMA DE VECTORES. Definiión Ddos los etores y, se denomin sm de etores n etor qe se not + y se otiene de l sigiente mner Fijdo ritrrimente n pnto, qed determindo n pnto tl qe y s ez qed determindo n pnto tl qe. Se llm sm de y l etor sí otenido. 16 P O L I T E C N I C O

8 Mtemáti NOTA: se pede demostrr qe l sm de etores es independiente del pnto elegido y en onseeni de los representntes orrespondientes. y Atiiddes: 5) Ddos los etores t ; ; y w de l figr w t i) Determin gráfimente ) ) t ii) ) w Complet on l relión de orden qe orrespond:..... t..... t w..... w 6) Pre geométrimente qe: y es 7) Dij dos etores y tles qe: ) + = s s ) + = s s 0 Qé rterístis tienen y en d so? P O L I T E C N I C O 17

9 Mtemáti Propieddes de l sm de etores Ddos ; y se pede pror l lidez de ls sigientes propieddes. S1) L sm de etores es soiti S2) L sm de etores es onmtti S3) Existeni del elemento netro setiene o o A o se lo denomin elemento netro de l sm de etores. S4) Existeni del elemento opesto Atiiddes - / o 8) Sm los etores indidos en d no de los sos sigientes si 2 y w 4 ) ) w w ) d) w w e) f) w 18 P O L I T E C N I C O w

10 Mtemáti 9) Ddos los etores ; y 30º 15º Dij: d / e / ) d ) e DIFERENCIA ENTRE DOS VECTORES ; es Atiiddes 10) Ddos y de l figr Constrye: ) ) ) d) e) Cómo son los etores y? P O L I T E C N I C O 19

11 Mtemáti 11) Verifi sndo propieddes de l sm de etores qe: ; es m on m 12) Verifi qe si los etores y on origen omún determinn n prlelogrmo, los etores y están sore ls digonles del prlelogrmo 13) Expres en d so los etores indidos en fnión de y ) = = = ) d es n prlelogrmo d = d d = d = = 14) En l figr tenemos n o. Nomr: ) tres etores igles qe. Jstifi ) tres etores igles dh ) dos etores igles qe gf d) dos etores on igl módlo qe eh pero distint direión 10 1 P O L I T E C N I C O

12 Mtemáti 15) Anliz si l sigiente proposiión es erdder. Jstifi ) Ddos ; y determin x gráfimente de modo qe x + = 0 17) Ddos ; y del gráfio expres ; y w en fnión de ; y. = w = w = km 18) Un nddor qiere tresr n río ndndo n eloidd 1 6 en h direión perpendilr l orill; pero l orriente lo desplz on n km eloidd 2 4. Dij los etores 1 y 2 (on n esl h oneniente) y enentr el etor / 1 2. Este etor represent l eloidd de desplzmiento del nddor. L direión de es l direión rel en qe se mee el nddor. Cll oserndo qe qedó determindo n triánglo retánglo. P O L I T E C N I C O 11 1

13 Mtemáti PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL Definiión Llmmos prodto de n por n número rel, o prodto de n número por n etor, n etor tl qe: Si direión direión sentidode sentidode si 0 sentidode sentidode si 0 Si 0 o o 1) Ejemplos: t e f d d de ef t d 2t f 5t e 2t fe 1t f 3t 2) d 7 d P O L I T E C N I C O

14 Mtemáti Atiidd 19) Dij los etores t; l y m ) t 0,5 5 ) l 3 ) m 3 tles qe 20) Siendo qe, y w tienen ls direiones y sentidos indidos en ls rists de l pirámide e l figr, y demás 1 1 1, y w e, expres en fnión de 2 2 3, y w o ss opestos los sigientes etores: e = e w = e= ed d d e Propieddes del prodto de n etor por n número Pr lqier pr de etores y y los números reles y demostrr ls sigientes propieddes: se peden P1) P2) P3) P4) 1 P O L I T E C N I C O 13 1

15 Mtemáti Atiiddes 1? 21) Por qé 22) Ddos ; y Represent gráfimente w siendo: 1 2 w ) Siendo 1 1 ) dij y 1 ) demestr qe es el ersor soido de 0 VECTORES PARALELOS Propiedd de los etores prlelos: Condiión de prlelismo entre etores Dos etores y no nlos, son prlelos si y sólo si existe n número rel 0 tl qe En símolos: Si o o ; // R - 0 / Notemos qe si: λ, entones 14 1 P O L I T E C N I C O

16 Mtemáti de donde omo y son números reles y 0 siempre existe el oiente qe nos d el lor solto del número sdo, en nto si es positio o negtio dependerá qe y tengn igl o distinto sentido. Atiiddes 24) ; y son los etores prlelos yos sentidos están indidos en l figr on 2; 4 y 3 ) ll y tl qe y ) determin t si t 25) En l figr 3; 6,5 // Constrye el etor tl qe ) Cll el lor de k si k 5 2 y 2 2 P O L I T E C N I C O 15 1

17 Mtemáti 27) Reprode l sigiente figr y erig ánto le el número x tl qe x w w 28) Se l figr sigiente on 6 y d 7. 2 on respeto l entímetro, onstrye el etor tl qe 1 3 d 2 3 d 29) Se dn los etores y de l figr, determin el lor de x tl qe x 30) Se d n etor i. Dij los etores : 5 i ; 5 1 i; i, onstrye l sm 2 2 de dihos etores y determin x tl qe x i 16 1 P O L I T E C N I C O

18 Mtemáti ANGULO ENTRE VECTORES Definiión: Ddos los etores y no nlos se denomin ánglo entre los etores y y se indi 0 ; 2 (es deir 0 ) por ellos determindo l ser plidos on origen en el mismo pnto. l ánglo onexo entre Ejemplo: Atiiddes 31) Si o o y o isetriz de sigientes ánglos? ) d) ) w e) ) (-) f) (-w) o ál es l medid de d no de los ( 2)( 3 ) w o PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES Definiión: Ddos dos etores y, se llm prodto eslr o interno entre los etores y, y se simoliz, l número: 0 os si si o o o o P O L I T E C N I C O 17 1

19 Mtemáti Propieddes ; y R se mplen ls sigientes propieddes: PE1) Demostrión: (1) os os (2) PE2) PE3)... os (1) (1) Definiión de Prodto Eslr (2) Propiedd onmtti de l mltipliión (3) os 0 =1 (4) Definiión de poteniión PE4) 0 Demostrión: (1) 2 os (3). (4) 2 PE5) si o o : 0 (ondiión de perpendilridd entre etores no nlos) Demostrión: ) 0 os 0 os 0 90º ) 90º os 0 0 Atiiddes 32) Siendo 2, determin: ) ) ( 2) ) (-) 33) Siendo qe 3, 4 y 30º ) 0 ) ) 0 2, ll: 18 1 P O L I T E C N I C O

20 Mtemáti 34) Siendo qe 4, 6, determin si: ) // y tienen igl sentido ) // y tienen distinto sentido. ) d) 150º 35) Determin: ) el ánglo qe formn y, siendo qe ; 5 y 2 ) El módlo del etor, siendo qe 20, 10 y 120º SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL En el espio Definiión: Ddo n pnto lqier del espio o (origen de oordends), y en él plidos tres ersores i ; j y k perpendilres dos dos, l onjnto o ;i; j;k se lo denomin sistem de refereni ortonorml en el espio. Denominremos omo: ejes oordendos x ; y y z d n de ls rets qe ontienen d no de los ersores i ; j y k, respetimente. plnos oordendos xy; xz e yz, los plnos qe determinn los ejes x e y, los ejes x y z, y los ejes y y z, respetimente. Gráfimente reslt: z k i o j y i pnto fijo o i j k 1 i j j k k i o;i; j;k sistem de refereni ortonorml en el espio x P O L I T E C N I C O 19 1

21 Mtemáti En el plno Definiión: Ddo n pnto lqier del plno o (origen de oordends), y en él plidos dos ersores i y j perpendilres, l onjnto o ;i; j se lo denomin sistem de refereni ortonorml en el plno. ejes oordendos x e y d n de ls rets qe ontienen d no de los ersores i y j respetimente. Se denominn l eje x, eje de ls iss y l eje y, eje de ls ordends Gráfimente reslt: y j i x pnto fijo o i j 1 i j o;i; j sistemde refereni ortonormlen elplno Atiiddes 1) En n sistem de refereni ;i; j (o; 3) y (-4; 0) 2) En n sistem de refereni ;i; j;k ( 1;0;0) y d (4; 0; 3). o i los pntos (-1; 3) ; (2;-3); o i los pntos: (2;1; 3) ; (0; 2;1) ; 3) Complet de modo qe reslten erdders ls sigientes proposiiones. p x;... eje de ls siss on x R. p 0; y eje... on y R. p0; 0; z eje on z R d. p4; 3; 0 plno P O L I T E C N I C O

22 Mtemáti 4) Represent en distintos sistems de refereni los sigientes sonjntos de pntos ) A x;y ) B x;y ) C x;y d) D x;y / x 2 1 y 3 / x 1 y 3 / x 2 y 1 2 / x y 2 3 e) E x;y f) F x / x 0 g) G x;y h) H x;y;z / x Z; y Z; / / x 0 x 0 x.y 12 5) Esrie el onjnto de pntos qe se indi en d so ) j A i ) P O L I T E C N I C O 21 1

23 Mtemáti ) 2 y j i x d) e) 22 1 P O L I T E C N I C O

24 Mtemáti AUTOEVALUACIÓN 1) Determin si ls sigientes proposiiones son V (erdders) o F (flss). Jstifi ts respests ) prlelo ) Si entones 2 ) En el retánglo d l se es el dole de s ltr, entones: i) ii) iii) d d 1 d 2 d i) ) 2 d d d) Todo etor tiene módlo distinto de ero. e) Si dos etores tienen igl direión y módlo, son opestos. f) Si dos etores son opestos tienen igl direión y módlo. g) Dos etores qe tienen distinto sentido peden tener distint direión. h) Dos etores igles son prlelos. i) El ersor soido n etor es prlelo ese etor. j) Todos los ersores son igles. k) Si y tienen igl módlo, son igles opestos. 3) Expres ; y w en fnión de y y/o de ss opestos. w d f e P O L I T E C N I C O 23 1

25 Mtemáti Biliogrfí Apnte Cod ALGEBRA VECTORIAL Atores rios Apnte Cod VECTORES Cttáneo, B.; Lgre, N P O L I T E C N I C O