Aplicacions del càlcul integral

Transcripción

1 Apliccions del càlcul integrl

2 Apliccions del càlcul integrl Càlcul de l àre d un funció Per clculr l àre tncd per un funció en un intervl [, ] m l eix X, s h de fer servir l integrl definid. Csos: 1. Si f(x) és un funció positiv en l intervl [, ], llvors l àre que tnc quest funció i l eix X, dintre de l intervl [, ] és igul : A = f ( xdx ). Si f(x) és un funció negtiv en l intervl [, ], llvors l àre que tnc quest funció i l eix X, dins l intervl [, ] és igul : A = f ( xdx ). Si f(x) és un funció qulsevol, l sev àre entre els límits i s h de clculr prtir de l integrl definid del vlor solut de l funció: A = f ( xd ) x cs 1 cs cs 4. Per clculr l àre que es tnc entre dues funcions f(x) i g(x) qulssevol en un intervl [, ], s h de clculr l integrl definid del vlor solut de l diferènci de les funcions en quest intervl: A = f ( x) g( x) dx

3 Volum d un figur de revolució L integrl definid permet tror el volum d un figur de revolució l genertriu de l qul és un funció positiv. Y f(x) X Si f és un funció positiv en un intervl [, ], el volum de l figur que s oté en girr sore l eix d scisses quest funció, és dir, l figur de revolució que té per genertriu l funció f, és igul : V = π ( f( x) ) dx En el cs de les figures de revolució conegudes: Volum d un cilindre: Y f(x) = r h X Volum d un con: ( ( )) h h h V = π f x dx = π r dx = πr x = πr h Y f(x) = rx/h h X h h 1 ( ) h rx π r x π. r h h h h ( ) V = π f x dx = π dx = = = πr h

4 Volum d un esfer: Y y = r x r r X r r x V = π y dx = π ( r x ) dx π r x r = = r r r 4 = π r r + = πr r r Volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions Per clculr el volum d un fig ur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions, f(x) i g(x), en l intervl [, ] de mner que en quest intervl f(x) g(x), només cl clculr el volum de l figur de revolució generd per f(x) i restr-li el volum de l figur de revolució generd per g(x). ( ( )) π ( ( )) ( f( x) ) ( ( )) V = π f x dx g x dx = π g x dx En generl, per clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions qulssevol positives, f(x) i g(x), en l intervl [, ], s h de clculr l integrl: ( ( )) ( ( )) V = π f x g x dx Com es clcul l àre que tnc un funció positiv m l eix X? Per clculr l àre que tnc un funció f(x) positiv en un intervl [, ] m l eix X, només cl clculr l integrl definid d quest funció en quest intervl: A = f ( xdx ) Si f(x) és un funció positiv en l intervl [, ], llvors l àre que tnc quest funció i l eix X, dintre de l intervl [, ], és igul : A = f ( xdx ) com es desprèn de mner immedit de l definició d integrl. Per exemple, l àre de l funció f(x) = x + x 6x en l intervl [ 4, ] és igul : A = 4 4 x x x f( x) dx = + 6 = 15 4 j que l funció f(x), en l intervl [ 4, ] és positiv, tl com es pot precir en quest gràfic: 4

5 4 Com es clcul l àre que tnc un funció negtiv m l eix X? Per clculr l àre que tnc un funció negtiv f(x) en un intervl [, ] m l eix X, només cl clculr l integrl definid d quest funció en quest intervl i cnvir el signe l resultt: A = f ( xdx ) Si f(x) és un funció negtiv en l intervl [, ], llvors l àre que tnc quest funció i l eix X, dintre de l intervl [, ], és igul : A = f ( xdx ) com es desprèn de mner immedit de l definició d integrl. Per exemple, l àre de l funció f(x) = x + x 6x en l intervl [1,] és igul : 4 x x x A = f( x) dx = + 6 = j que l funció f(x), en l intervl [1,] és negtiv, tl com es pot precir en quest gràfic: 1 1

6 Com es clcul l àre que tnc un funció qulsevol m l eix X? Per clculr l àre que tnc un funció f(x) qulsevol en un intervl [, ] m l eix X, només cl clculr l integrl definid del vlor solut d quest funció en quest intervl: A = f ( xdx ), és dir, l funció, qun sigui negtiv, s h de convertir en positiv. Fins l moment s h clcult l àre d un funció positiv o un funció negtiv, en un intervl [, ]; per tror l àre que es form m l eix, de qulsevol funció f(x), tingui quest vlors positius o negtius, entre els límits i, s h de clculr l integrl definid del vlor solut de l funció perquè tots els vlors siguin positius. A = f ( xdx ) L àre de les prts de l funció que quedessin sot l eix X serien negtives. Per evitr-ho, es converteixen questes prts negtives en positives. Per exemple, l àre de l funció f(x) = x + x 6x en l intervl [ 4,] és igul : A = f( x) dx = f( x) dx+ f( x) dx = x x x x x x = = = , 5 = 18, 5 j que l funció f(x), en l intervl [ 4,] és positiv, i en l intervl [,] és negtiv i, per tnt, s h de convertir en positiv, tl com es pot precir en quests gràfics: 4 4 Vegem un ltre exemple: càlcul de l àre de l funció f(x) = 4x 5 + x x + 4x +. en l intervl [ 1,1]. L gràfic d quest funció i l àre tncd és l següent:

7 ,5 s h de prtir l in tegrl en dues prts: un fins,5 i l rest, fins 1. L primer s h de cnvir de signe (perquè l funció en l intervl [ 1,,5] és negtiv); en cnvi, en l segon prt, com que tots els vlors de l funció són positius, no s h de cnvir de signe; és dir:,5 1 A = f( x) dx + f( x) dx (,918) + 4,918 = 5,846 1,5 Com veiem, en molts csos, l àre és un nomre irrcionl i només es pot clculr de mner proximd. En el cs de l funció g(x) = sin x, j sem que és positiv entre i π, i negtiv entre π i π; ixí, doncs, l àre entre [, π], tl com podem oservr en quest il lustrció, s h de clculr d quest mner: π π π π A = xdx xdx x ( x ) π sin sin = cos cos = ( ) = 4 π Com es clcul l àre que es tnc entre dues funcions intervl determint? en un Per clculr l àre que es tnc entre dues funcions f(x) i g(x) qulssevol en un intervl determint [, ], només cl clculr l integrl definid del vlor solut de l diferènci de les funcions en quest intervl: A = f ( x) g( x) dx 4

8 Tmé es pot utilitzr l integrció definid per clculr l àre compres entre dues funcions, f(x) i g(x) en un intervl [, ]. Aquest àre és igul l integrl definid del vlor solut de l diferènci d mdues funcions: A = f ( x) g( x) dx Per exemple, questes són les gràfiques de les funcions g(x) = x f(x) = 4x 5 + x x + 4x + representdes conjuntment: i Per tnt, l àre que tnquen entre els punts d intersecció d mdues funcions: Els punts d intersecció són (,475,,17951) i (1,15, 1,67898). Per clculr l àre tncd entre questes dues gràfiques n hi h prou de clculr l àre de l qul es tro dmunt, i restr-hi l que es tro sot, tl com mostr quest dole il lustrció: 5

9 És dir, per tror l àre entre mdues funcions, s h de restr l àre de l dret l de l esquerr: A 1,15 1,15 f( x) dx g( x) dx 5,1489, 4845 = 4, 6644,475,475 Com es clcul el volum d un figur de revolució generd per un funció positiv? Per tror el volum d un figur de revolució generd prtir del gir d un funció positiv l voltnt de l eix X, en l intervl [, ], s h de fer quest integrl: π ( ( )) V = f x dx. Per rrir quest fórmul s h de comprr el volum de l figur m el volum d un con. Si f és un funció positiv en un intervl [, ], el càlcul del volum de l figur que s oté en girr sore l eix d scisses quest funció, és dir, l figur de revolució que té per genertriu l funció f, requereix el càlcul integrl. Vegem-ne un exemple senzill: si f(x) = 1, un funció constnt, en l intervl [1,], quest és l figur resultnt: Evidentment, l figur resultnt és igul un cilindre de rdi 1 i d ltur 1; per tnt, el seu volum serà: V = πr h= π Vegem que quest resultt pot otenir-se m quest fórmul: ( ) ( ) 1 V = π f x dx = π dx = π x Vegem que ixò es compleix per qulsevol funció positiv, f(x), en un intervl [, ]. Es trct de clculr el volum del cos de revolució que es gener en girr quest funció sore l eix X, tl com mostr quest gràfic: =π Y f(x) X 6

10 Sigui V(t) el volum de l figur engendrd en girr el tros de funció entre y t; per tnt, V(t + h) V(t) represent el volum engendrt pel tros de funció entre f(t + h) i f(t). Suposem que f(t + h) > f(t). Així, doncs, el volum V(t + h) V(t) és m és grn que el volum del cilindr e l rdi del qul de l se és f(t) i ltur h, i és més petit que el volum del cilindre el rdi de l se del qul és f(t + h) i l ltur, h: π(f(t)) h V(t + h) V(t) π(f(t + h)) h Si ho dividim tot entre h, s oté: V( t + h) V( t) lim π( f ( t) ) lim lim π f ( t + h) h h h h ( ) els límits d mdós extrems són iguls i, per tnt, el límit que es tro en el centre tmé h de ser igul: Vt ( + h) Vt ( ) lim = π ( ) h h ( f t ) Per tnt, l funció V és un primitiv de l funció π(f(t)), j que l derivd d quell és igul quest. En ltres prules: ( ( )) V = π f x dx Tl com s hvi firmt l principi. Com es clcul l fórmul del volum de les figures de revolució àsiques? Les fórmules de les figures de revolució àsiques es poden explicr prtir del càlcul del volum m l jud de l integrl indefinid. En el cs del cilindre, l funció genertriu és un rect que pss per l origen; en el cs de l esfer, l funció genertriu és l equció d un circumferènci. Si l genertriu és l rect f(x) = x, estnt l x entre [,], l figur resultnt és el con següent: si s plic l fórmu l generl del volum: x V = π ( f( x) ) dx = π ( x) dx 4π 4π 6 = = = π 7

11 el resultt és, doncs, el mteix si s plic l fórmul del volum del con: π rh= π = 6 π. En el cs més generl, si es vol uscr el volum d un con d ltur h, i rdi de l se r, l genertriu, f(x), h de complir que: f() = f( h) = r per tnt, l funció linel genertriu és f(x) = rx/h. Per tror el seu volum, s h d integrr de h: h 1 ( ( )) h rx r x h π π π r h π h h h V = π f x dx = dx = = = r h com es pot veure, l fórmul coincideix m l j conegud. El mteix pot fer-se m el volum d un esfer. Per exemple, si un esfer està generd per un circumferènci de rdi, sem que el seu volum és: V 4 4 π r = π = π = Utilitzem l fórmul del volum per comprovr-ho: l equció de l genertriu d un esfer de rdi, és l circumferènci següent: x + y = per tnt, y = 4 x En conseqüènci, el seu volum és: x V = π ( f( x) ) dx = π ( 4 x ) dx π 4x = = ( ) π = π 4 4 ( ) = el mteix resultt que m l fórmul. Troem r el volum d un esfer de rdi r, sent que un equció de l circumferènci d quest rdi és x + y = r si uidem l y y = r x 8

12 per tnt, r r x V = π y dx = π ( r x ) dx π r x r = = r r r 4 = π r r + = πr r r tl com j síem. Finlment, per tror el volum d un figur de revolució generd prtir del gir d un funció qulsevol l voltnt de l eix X, es pot utilitzr l mteix integrl que en 1 el cs d un fun V = π f( x) dx. Això és ixí perquè un vegd ció positiv: ( ) elevt l qudrt el vlor de l funció, el signe negtiu despreix. Com es clcul el volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions? Per clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions qulssevol, f(x) i g(x), positives en l intervl [, ], n hi h prou de clculr l integrl = π ( ( )) ( ( )) V f x g x dx Per clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions, f(x) i g(x), en l intervl [, ] de mner que f(x) g(x), n hi h prou de clculr el volum de l figur de revolució gene rd per f(x) i restr-li el volum de l figur de revolució generd per g(x). ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) V = π f x dx π g x dx = π f x g x dx Per exemple, si es vol clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre limitd entre l rect y = x + i l pràol y = x x + 1, tl com s oserv en quest gràfic: 9

13 Evidentment, s hn de restr els volums generts per l rotció de cdscun de les funcions en l intervl [,], tenint en compte que l funció més grn és l rect: ( ) ( ) π ( ) ( ) V = π f x g x dx = x+ x x+ dx = ( ) ( ) 1 4 8π = π x + 4x 5x + 1x+ 8 dx = 5 De mner generl, per clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre tncd per dues funcions positives qulssevol, f(x) i g(x), en l intervl [, ], només cl clculr l integrl següent: ( ( )) ( ( x) ) V = π f x g dx j que m ixò ens ssegurem que sempre es rest el vlor més grn del vlor més petit de les funcions. Així, per exemple, per clculr el volum d un figur de revolució generd per l àre limitd entre l pràol y = x + i l funció y = x + x x + 1, en l intervl [ 1,], àre representd en quest gràfic: y = x + x x + 1 y = x + 1 s h de fer el càlcul següent: ( ( )) ( ( )) V = π f x g x dx = π = π ( x + ) ( x + x x+ 1) dx = j que es trct de girr sore l eix X l àre tncd per questes dues funcions. En generl, les funcions hn de ser positives, j que, en cs contrri, si un és positiv i ltr negtiv, l àre tncd entre mdues funcions, en girr, generri solment el volum de l funció més grn en vlor solut, tl com es pot oservr en el gràfic. Es trct de les funcions y = x +, i y = x x +x 1. Es pot deduir fàcilment que en girr quest àre l voltnt de l eix X, en l prt en què mdues funcions tenen signe diferent, es produiri un superposició de volums, m l qul cos l plicció de l fórmul del volum donri un resultt incorrecte. 1

14 Exercicis 1. Dond l funció f(x) = x 4, clcul l àre que es tnc entre quest funció i l eix X per cdscun d quests intervls de l x:. Clcul l àre tncd entre les gràfiques de y = x - x + 1, i l rect y = x + 5, sent que questes són les seves gràfiques:. Clcul l àre que es form entre les gràfiques de les funcions f ( x) = x i g(x) = x entre x = i x = 1. Aquest és l representció d mdues gràfiques (en vermell, f(x)): 11

15 Solucions 1. Com es trct de clculr l àre entre quests intervls, cl comprovr qun és negtiv i qun és positiv, per no restr-l. L funció f(x) és negtiv només entre (- i ), per tnt, per clculr l àre en un intervl dont, s h de restr l prt de l intervl que inclogui prt de (-, ). Així:. A = ( x 4) dx, càlcul que podeu fer vosltres mteixos. 5. A = ( x 4) dx ( x 4) dx + ( x 4) dx, integrls que podeu 4 clculr vosltres fàcilment, sent que l integrl definid és x ( x 4) dx = 4x + C. 4. En primer lloc, hem de clculr els punts en què es tllen mdues funcions: x - x + 1 = x + 5 x - x - 4 = per tnt, x = 4 y x = -1. Els punts en què es tllen mdues funcions són: (-1,4), (4,9) A més, l rect sempre és mjor que l pràol en quest intervl. Per tnt, l àre serà igul l integrl definid de l rect entre mdós punts, menys l integrl de l pràol entre mdós punts: x x 15 x+ 5 ( x x+ 1) dx= x + x+ 4dx= + + 4x = f ( x) = x i g(x) = x entre x = i x = 1. L funció g(x) és menor que l funció f(x) l intervl [,1] j que: x = x si elevem l qudrt x = x 4 x - x 4 = x(1 - x ) = És dir, f(x) = Qun x < 1 Qun x > 1 g(x) qun x = 1, x =. f(x) > g(x) f(x) < g(x) per tnt, l àre l intervl [,1] és igul : A= f( xd ) x gxdx ( ) = = 4 1 1

16 1