RESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:

Transcripción

1 RESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN: Ejemplo: 1 Dominio Representación de en el intervalo [,] Los puntos que no pertenecen al dominio de una función racional, son aquellos que anulan el denominador. En nuestro caso, el punto =1, no pertenece al dominio. Por tanto: Dom R 1 El dominio de una función sólo se puede comprobar con el programa wiris, a través de la opción dibujar:

2 En la representación de la función se puede comprobar que el punto =1 no pertenece al dominio, y en =1 habrá una asíntota que podremos comprobar más adelante. Continuidad La continuidad al igual que sucede con el dominio, sólo se puede comprobar mediante la opción: En la gráfica anterior, se puede comprobar que eiste una discontinuidad en =1, esta discontinuidad es de primera especie de salto infinito. Periodicidad En este caso, la función T: f ( T) 0. no es periódica, ya que para cualquier periodo EJEMPLO DE FUNCIÓN PERIÓDICA En cambio la función sin( ) si es periódica, ya que para cualquier periodo T: f ( T) 0

3 Simetrías Corte con los ejes Asintotas Verticales: Para hallar las asíntotas verticales, =k, se resuelve la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador, se toman solo las raíces que no lo sean del numerador: En el caso de, se resuelve la ecuación 0, por tanto en eiste una asíntota vertical ya que el valor de no coincide con la raíz del numerador ( / ) Horizontales. Para hallar la asíntota horizontal, y=k, se halla lim p( ) q( ) k

4 En el caso de, se calcula lim, y con el programa wiris: Oblicuas: Para hallar la asíntota oblicua y=m+b, se hace la división del numerador entre el denominador; el cociente es la formula de la asíntota, para que el cociente sea un polinomio de primer grado, el grado del numerador tiene que ser una unida superior que el del denominador: En el caso de,el grado del numerado es el mismo que el del denominador, por tanto no eiste asíntota oblicua. Si, en este caso el grado del numerador es y el del denominador es 1, por lo 6 que si eisten asíntotas verticales. Al hacer Por tanto la asíntota oblicua viene dada por de esta forma: y 4. Mediante el programa Wiris se haría Máimos, mínimos relativos y monotonía. Un máimo relativo de una función es un punto en el que la función es mayor que en los puntos que están muy cercanos; es decir, una función f() tiene un máimo relativo en =a si eiste un entorno del punto a, E(a,r). en que se cumple que f ( a) para todo a. Un mínimo relativo de una función es un punto en el que la función es menor que en los puntos que están muy cercanos; es decir, una función f() tiene un mínimo relativo en =a si eiste un entorno del punto a, E(a,r). en que se cumple que f ( a) para todo a. Procedimiento:

5 1º- Se calcula la primera derivada. º- Los puntos que anulan a la primera derivada son puntos críticos, que son candidatos a ser máimos o mínimos relativos. º- Se calcula la segunda derivada. - Si f (punto critico)<0, el punto crítico es un máimo relativo. - Si f (punto critico)>0, el punto crítico es un mínimo relativo. - Si la función es:. La primera derivada será: 1 f I ( ) ( ( 1 ( ) ( ( En este caso la primera derivada nunca va a ser cero, por tanto no eisten puntos que puedan ser máimos o mínimos. f I ( ) ( ) 0 Cálculo de la derivada con el programa Wiris: Monotonía. Para estudiar la monotonía hay que tener en cuenta los puntos que no pertenecen al dominio y aquellos que son máimos o mínimos relativos, todos estos puntos se representan en la recta real, y se comprueba en qué intervalo, la derivada es mayor o menor que cero: - Si la primera derivada es mayor que cero, la función crece. - Si la primera derivada es menor que cero, la función decrece. En nuestro caso no eisten máimos o mínimos. Por tanto sólo se tiene en cuenta el punto =1 que no pertenece al dominio de la función.

6 Si <1 entonces f I ( ) ( ) 0; Por tanto f () decrece en el intervalo (, Si >1 entonces f I ( ) ( ) 0; Por tanto f () decrece en el intervalo ( 1, ) Puntos de Infleión. El punto de infleión es aquel en el que la función cambia de convea a cóncava o viceversa. 1º-Se calcula la segunda derivada. º- Los puntos que anulan la segunda derivadas, son candidatos a ser puntos de infleión. º.-Se calcula la tercera derivada - Si f (punto candidato) 0, entonces el punto candidato es punto de infleión. En nuestro caso y f I ( ) ( ), la segunda derivada es: ( ) ( ) 16 f II ( ). 4 ( ) ( ) La segunda derivada infleión. no se puede anular, por tanto nuestra función no tiene puntos de Curvatura. Estudiar la curvatura de una función consiste en estudiar en que intervalo, la función es convea o cóncava, Los puntos que determinan los intervalos de curvatura vienen dados por los puntos de infleión y aquellos que no pertenecen al dominio. Para determinar la curvatura se debe estudiar el signo de la segunda derivada en cada intervalo. - Si la segunda derivada es mayor que cero, la función es convea ( ) - Si la segunda derivada es menor que cero, la función es concava ( ) En nuestro caso como no hay puntos de infleión hay que estudiar la curvatura a la izquierda y la derecha de =1 (punto que no pertenece al dominio) 16 Si <1 entonces f I ( ) 0 ; Por tanto f () es concava en el intervalo (, ( ) 16 Si >1 entonces f I ( ) 0 ; Por tanto f () es convea en el intervalo ( 1, ) ( )