TEORÍA DE CIRCUITOS ADAPTADO A LOS GRADOS DE INGENIERÍA

Transcripción

1 arlos Roldán Porta Gullermo Escrvá Escrvá arlos Roldán Blay TEORÍA DE IRUITOS ADAPTADO A LOS GRADOS DE INGENIERÍA EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈNIA DE VALÈNIA

2 Los contendos de esta publcacón han sdo revsados por el Departamento de Ingenería Eléctrca de la UPV oleccón Académca Para referencar esta publcacón utlce la sguente cta: ROLDÁN PORTA,. [et al] (05) Teoría de crcutos. Adaptado a los grados de ngenería. Valenca: Unverstat Poltècnca de Valènca arlos Roldán Porta Gullermo Escrvá Escrvá arlos Roldán Blay 05, de la presente edcón: Edtoral Unverstat Poltècnca de Valènca dstrbucón: Telf / / Ref.: 0453_04_0_0 Imprme: Byprnt Percom, sl ISBN: Impreso bajo demanda Queda prohbda la reproduccón, la dstrbucón, la comercalzacón, la transformacón y, en general, cualquer otra forma de explotacón, por cualquer procedmento, de la totaldad o de cualquer parte de esta obra sn autorzacón expresa y por escrto de los autores. Impreso en España

3 Índce Prólogo... 9 Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos.... Alcance y lmtacones de la teoría de crcutos.... Magntudes y undades utlzadas en teoría de crcutos....3 Leyes de Krchhoff Elementos de los crcutos Fuentes de tensón Fuentes de ntensdad ampos eléctrcos en conductores. Resstencas ampo eléctrco en un aslante. ondensadores ampos magnétcos creados por correntes. Inductancas Elementos en sere y en paralelo Acoplamento magnétco entre crcutos El transformador deal Fuentes dependentes La regla de la susttucón Análss de crcutos en régmen temporal Introduccón Análss en el domno del tempo. Impedanca y admtanca operaconal rcutos de prmer orden Respuesta permanente y transtora

4 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería.3. Respuesta a entrada cero y a estado ncal cero rcutos de segundo orden Defncones onsejos para facltar el cálculo Funcones dscontnuas Análss de crcutos en régmen estaconaro senodal Introduccón Análss de crcutos en régmen estaconaro senodal (RES) Qué es el régmen estaconaro senodal? Representacón de funcones senodales medante fasores temporales Análss de un crcuto en RES empleando el método smbólco RES en los elementos báscos Impedanca y admtanca complejas Dagrama vectoral Resonanca sere y paralelo Potenca y energía en RES Potenca actva Potencas reactva y compleja Potenca y energía en los elementos báscos en RES Factor de potenca: mportanca y su correccón Medda de potenca y energía Análss de crcutos por el método de nudos Introduccón Ramas y nudos: defncones Ramas pasvas: Escrtura de sus ecuacones Ramas generales: ecuacones onversón de fuentes

5 Índce 4.6 Introduccón al método de nudos Método de los nudos Análss de crcutos por el método de mallas Método de las mallas onversón de fuentes: modfcacón de la geometría Lnealdad de los crcutos Teoremas de los crcutos lneales Introduccón Teorema de superposcón Teorema de Thevenn (Helmholtz-Thevenn) Teorema de Norton Teorema de Mllman Teorema de Rosen Teorema de máxma transferenca de potenca Teorema de Boucherot Sstemas trfáscos Introduccón Generacón de sstemas trfáscos Defncones y notacón Sstemas polfáscos Utlzacón de los sstemas trfáscos onexón estrella y trángulo Neutro. Formas de conexón Fuentes trfáscas. onversón Análss de sstemas trfáscos equlbrados

6 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería 7.5. rcuto monofásco equvalente Potenca y su medda Medda de potenca en sstemas equlbrados Sstemas trfáscos desequlbrados Sstemas sn acoplamento entre fases: resolucón drecta Medda de potenca en sstemas desequlbrados uestones y problemas de autoevaluacón uestones propuestas Problemas propuestos Solucones de los ejerccos propuestos ANEXO. Funcones y ondas A. Formas de onda A. Ondas peródcas y valores asocados a las msmas A.3 Ondas senodales o snusodales ANEXO. oefcente de nduccón mutua A. Demostracón de la recprocdad entre nductancas mutuas ANEXO 3. Teorema de Thevenn generalzado A3. Equvalente de Thevenn para un crcuto con n termnales Bblografía

7 Prólogo El presente lbro tene como objetvo prncpal desarrollar los aspectos fundamentales teórcos de los crcutos eléctrcos y explcar los métodos adecuados para su análss. El contendo está adaptado en partcular a los estudos del actual grado en ngenería de tecnologías ndustrales y, en general, a los grados en ngenerías eléctrcas, electróncas y smlares. La teoría desarrollada es lustrada con numerosos ejemplos que facltan la comprensón de los conceptos ntroducdos y de los métodos de análss expuestos. Este lbro contene la base sufcente para la comprensón y el aprendzaje del funconamento de los crcutos eléctrcos lneales almentados en corrente contnua, en corrente alterna y en régmen temporal. Asmsmo, se ha ntroducdo un capítulo sobre los sstemas trfáscos por su gran mportanca en la ngenería eléctrca. Se ha empleado en la realzacón de este lbro un enfoque constructvo, de manera que el prmer capítulo senta las bases para los capítulos posterores, en los cuales se partcularza el uso de los conceptos báscos para dferentes stuacones, ntroducendo herramentas y métodos de análss de gran mportanca para los crcutos eléctrcos. Medante un exhaustvo estudo del presente manual, el lector puede alcanzar los sguentes objetvos: onocer los dstntos elementos báscos que componen los crcutos eléctrcos lneales, entendendo su funconamento y las ecuacones de defncón de los msmos. Ser capaz de realzar tareas de análss y síntess de crcutos eléctrcos sencllos en cualquer régmen de almentacón. Plantear rgurosamente las ecuacones que defnen el comportamento de los crcutos eléctrcos, permtendo así el cálculo de las magntudes fundamentales en cualquer elemento del crcuto, ncluso en crcutos de gran dmensón. 9

8 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería - omprender y ser capaz de analzar los crcutos en régmen estaconaro senodal y utlzar correctamente los conceptos de potenca actva, reactva y aparente en esos crcutos, así como la mportanca del factor de potenca en este tpo de crcutos. - omprender el funconamento de los sstemas trfáscos, sendo capaz de llevar a cabo su análss de una manera efectva, dentfcando las prncpales magntudes y utlzando las relacones entre ellas. Para alcanzar estos objetvos es mprescndble tener claros los conceptos explcados en cada capítulo y comprender y saber resolver todos los ejerccos que se proponen a lo largo del lbro. El lector encontrará muy útles los lbros Teoría de crcutos: problemas propuestos y Análss y síntess de redes. Problemas resueltos de la edtoral Unverstat Poltècnca de Valènca, que se ctan en la bblografía, como complemento al presento texto. De manera conscente se han dejado fuera de los contendos numerosos conceptos y elementos que otros lbros de teoría de crcutos ncluyen (el amplfcador operaconal, la teoría de cuadrpolos, numerosos teoremas, etc), en unos casos por consderar que su estudo se realzará en asgnaturas poterores y en otros porque su nclusón haría ncompatble el desarrollo de toda la matera en una asgnatura de º curso de grado, con lmtacones temporales tan estrechas como las actuales. No obstante, la matera expuesta permte el segumento completo desde el prncpo hasta el fnal y senta las bases para futuras asgnaturas más tecnológcas. arlos Roldán Porta atedrátco de Ingenería Eléctrca Unverstat Poltècnca de Valènca 0

9 apítulo Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos. Alcance y lmtacones de la teoría de crcutos La teoría de crcutos es una pequeña parte del electromagnetsmo del que derva tras su smplfcacón por medo de algunas hpótess. Las reglas en que se basa la teoría de crcutos tenen valdez cuando las dmensones del crcuto son mucho menores que la longtud de onda de los fenómenos electromagnétcos (6.000 km en el are para 50 Hz por ejemplo). En esas condcones puede admtrse que la propagacón de los fenómenos eléctrcos es nstantánea, y las dmensones de los elementos no nfluyen en su comportamento, por lo que dchos fenómenos, una vez analzados para cada elemento, se susttuyen por una ecuacón ntegrada que resume las relacones entre las magntudes que nteresan a la teoría de crcutos (tensones e ntensdades normalmente) y se prescnde de la poscón en el espaco de cada elemento o de las dmensones de éste. Por ello se dce que se estudan crcutos con parámetros concentrados. No debe conclurse que sólo se puede aplcar la teoría de crcutos con muy bajas frecuenca, ya que crcutos con centenares de khz pueden ser estudados bajo el enfoque de esta teoría en condcones adecuadas. La teoría de crcutos perde su valdez s la frecuenca de las señales se hace muy grande, ya que la longtud de onda se reduce nversamente con ella y además algunos fenómenos que se desprecan en esta teoría cobran mportanca en ese caso. Esto ocurre con los crcutos de telecomuncacón actuales por ejemplo.

10 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Por últmo, en un prmer curso de teoría de crcutos se estudan sólo elementos cuya respuesta es lneal, dejando para asgnaturas posterores el estudo de elementos no lneales.. Magntudes y undades utlzadas en teoría de crcutos Las magntudes báscas que se utlzan en teoría de crcutos son: La tensón eléctrca medda entre dos puntos a lo largo de un camno: La tensón eléctrca (en adelante tensón, u t ) es u B AB A E dr, sendo E el campo eléctrco La tensón se mde en voltos. En el caso de campos electrostátcos, el campo es conservatvo y derva de un potencal, por lo que la tensón es gual a la dferenca de potencal entre los puntos A y B ( VA VB ). Tambén ocurre lo msmo en crcutos con correntes estátcas (corrente contnua) en los que los elementos permanecen quetos en el tempo. En crcutos donde las correntes varían con el tempo, el campo eléctrco ncluye dos sumandos, uno conservatvo y otro no conservatvo debdo a la nduccón magnétca, por lo que la tensón es suma de una dferenca de potencal y una tensón nducda. Al ndcar la tensón entre dos puntos es necesaro ndcar cuál de ellos es el punto de orgen (se marca con un +) y cuál el punto fnal (se marca, s es necesaro, con un ). Al escrbr u AB se entenderá que el orgen es A (+) y el extremo B ( ). Ocasonalmente puede ndcarse esto con una flecha que empeza en A y termna (punta de la flecha) en B (esto es un conveno, por lo que otros textos pueden utlzar el conveno opuesto). Fgura.. Representacones gráfcas de la tensón La ntensdad de corrente eléctrca (en adelante ntensdad, t ), que es ds, sendo la densdad de corrente s

11 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Al desprecar las dmensones de los elementos de los crcutos, las ntensdades se consderan confnadas en hlos o conductores de carácter deal, expresando sus propedades por medo de parámetros concentrados (por ejemplo la resstenca de un conductor). Al ndcar la ntensdad debe marcarse el sentdo que se ha supuesto como postvo por medo de una flecha. Es el sentdo en que se moverían las cargas eléctrcas postvas. Un valor numérco negatvo (por ejemplo 8 A) ndca que el sentdo real es el opuesto al que se había supuesto, pero no debe cambarse éste, sno que se operará con el número negatvo en lo sucesvo. De estas dos magntudes se obtenen otras como la potenca o la energía. Las prncpales magntudes que se utlzarán en este texto son las que ndca la tabla sguente. Tabla.. Prncpales magntudes utlzadas en este texto, con sus símbolos y undades de medda Magntud Undad Símbolo arga (q) oulomb Tensón y dferenca de potencal (u) Volto V Fuerza electromotrz de un generador (e) Volto V Intensdad de corrente () Ampères Amperos Flujo magnétco (ϕ) Weber Wb Resstenca eléctrca (R) Ohm Ω o A Otras undades apacdad () Farado F μf Inductanca, nductanca mutua (L, M) Henro H Potenca actva (P) Vato W Energía (W) Julo J W h Frecuenca (f) Hercos Hz Pulsacón (ω) Radán/s s - o rad/s Reactanca e mpedanca (X, Z) Ohm Ω Potenca aparente (S) Voltampero VA Potenca reactva (Q) Voltampero reactvo onveno: en este texto se utlzarán letras mnúsculas para ndcar magntudes varables con el tempo y mayúsculas para las que sean constantes. var 3

12 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería.3 Leyes de Krchhoff Analzar un crcuto supone calcular las tensones y correntes en los elementos, mentras que se entende por síntess de un crcuto defnr el valor de algún elemento (por ejemplo valor de una resstenca), de forma que la tensón y la ntensdad (u otra magntud) cumplan certas condcones especfcadas. En el análss de los crcutos eléctrcos se utlzan dos axomas báscos conocdos como leyes de Krchhoff, cuya valdez es general para la mayoría de crcutos, sempre que las dmensones geométrcas de estos sean mucho menores que la longtud de onda de la radacón electromagnétca. La prmera ley de Krchhoff dce que la suma de las ntensdades que entran a una regón cerrada del espaco es 0: k k 0, k: conjunto de elementos que entran a una regón cerrada. Al aplcar la ley hay que nclur tanto las ntensdades de conduccón como de desplazamento. Esta ley es consecuenca del prncpo de conservacón de la carga. La segunda ley de Krchhoff dce que la suma de las tensones a lo largo de un camno cerrado es 0: k u k 0, k: conjunto de elementos que forman un camno cerrado. El sentdo en el que se recorre el camno es arbtraro, así como el sentdo de las tensones que se consderan postvas. De forma habtual se consdera sentdo horaro para recorrer el camno cerrado y tensones postvas las que se encuentran con el sgno + prmero. De esta ley se desprende que la tensón entre dos puntos de un crcuto no depende del camno que se elja para evaluarla..3. Elementos de los crcutos omo se verá, los crcutos están formados por elementos que cumplen certas relacones entre sus ntensdades y sus tensones. uando se quera hacer referenca a un elemento cualquera, sn especfcar sus característcas, se ndcará como una caja con dos termnales, y se hará referenca a él como un dpolo. Fgura.. Elemento arbtraro de un crcuto 4

13 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Ejemplo : Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff En el sguente crcuto, calcule I, I e I 3. Fgura.3. Esquema eléctrco del crcuto Solucón Para el cálculo de la ntensdad I, se aplca la prmera ley de Krchhoff en el nudo que muestra la Fgura.4. Fgura.4. Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff para obtener I En este caso se observa que entra al nudo una ntensdad de 5 A y salen de él una ntensdad de 3 A y la ntensdad I. Por lo tanto, la ecuacón correspondente a la prmera ley de Krchhoff para este nudo es la sguente de donde se deduce que I A. 3 I 0 5 El cálculo de 3 I se puede llevar a cabo análogamente, aplcando la prmera ley de Krchhoff tal como se muestra en la Fgura.5. 5

14 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería En la fgura se observa que a la regón marcada entran las ntensdades I e I 3. Por tanto, aplcando la prmera ley de Krchhoff a dcha regón cerrada de donde se deduce que A. I 3 I I3 0 Fgura.5. Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff para obtener I 3 Fnalmente, el valor de I, se obtene aplcando la prmera ley de Krchhoff de la sguente manera. Fgura.6. Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff para obtener I Dado que en la regón señalada úncamente entra la ntensdad I, se deduce que I 0 6

15 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Ejemplo : Aplcacón de la segunda ley de Krchhoff En el sguente crcuto, calcule U y U. Fgura.7. Esquema eléctrco del crcuto Solucón Para calcular las tensones U y U se aplca la segunda ley de Krchhoff en los camnos cerrados y, según los sentdos que se ndcan. Fgura.8. Aplcacón de la segunda ley de Krchhoff para obtener U y U Al aplcar la ª ley de Krchhoff en el camno, se obtene la sguente ecuacón de donde se deduce que 5 V. U 0 5 U 0 Del msmo modo, aplcando la segunda ley de Krchhoff en el camno, se obtene la sguente ecuacón por lo que U 3 V. U U 0 7

16 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería.4 Fuentes de tensón A los sstemas capaces de crear una fuerza electromotrz (fem) se les conoce como fuentes o generadores de tensón. Hay muchos fenómenos que dan lugar a la aparcón de fem, por ejemplo: Interaccón entre conductores y campos magnétcos varables o entre conductores móvles y campos magnétcos fjos, como los generadores rotatvos y motores. Pares electroquímcos, como las plas o baterías. El aumento de la temperatura en una unón de dos metales. El efecto Hall. La nteraccón de la luz con metales (efecto fotoeléctrco) o semconductores (efecto fotovoltaco). Accones mecáncas sobre un crstal. S una fuente de tensón real se encuentra en crcuto aberto, de forma que no pueda crcular ntensdad, la fem concde con la tensón entre sus bornes. Sn embargo, cuando crcula ntensdad, la tensón dsmnuye (Fgura.9). La fem se drge sempre del al +, mentras que la tensón se toma de + a. Fgura.9. Dferenca de potencal en bornes de una fuente de tensón cuando crcula ntensdad 8

17 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Para el análss de los crcutos lneales es de gran utldad consderar fuerzas electromotrces ndependentes de la ntensdad, lo cual lleva a ntroducr el concepto de fuente deal de tensón, como un elemento que proporcona una fem ndependente de la ntensdad, e gual a la tensón en crcuto aberto entre sus bornes. Por ejemplo, una fuente de fem 00 V drgda de a + tendría una tensón de 00 V (de + a ). La ecuacón de defncón de una fuente de tensón como la de la Fgura.0 es u t e t V. Fgura.0. Fuente de tensón, defncón S una fuente deal de tensón de fem e V es recorrda por una ntensdad de A como en la Fgura., la potenca generada vale Fgura.. Fuente de tensón p e W. Por ser capaz de generar potenca, aportando energía al crcuto, la fuente es un elemento actvo, frente a otros elementos que solo pueden consumr o ntercambar potenca, pero sn una generacón neta de energía eléctrca, y que se denomnan pasvos. Aunque la fuente deal de tensón, al gual que otros elementos deales, no tenga exstenca físca, su concepto es de gran utldad para el estudo de los crcutos. 9

18 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería.5 Fuentes de ntensdad La fuente de ntensdad es un elemento actvo que se caracterza por mpulsar las cargas eléctrcas hasta consegur una corrente determnada por una funcón externa ( g ). La fuente deal de ntensdad es un concepto de gran utldad para resumr el funconamento de algunos dspostvos reales. La fgura sguente muestra una fuente deal de ntensdad de g 0 A almentando a una resstenca R. Fgura.. Fuente de ntensdad La ecuacón de defncón de una fuente de ntensdad como la de la Fgura.3 es t t A. g Fgura.3. Fuente de ntensdad.6 ampos eléctrcos en conductores. Resstencas Supóngase un alambre de longtud m, seccón unforme S m, construdo por un materal de resstvdad ρ Ω m. S a lo largo del msmo se crea un campo eléctrco unforme E (se supone conservatvo), de forma que entre sus extremos aparezca una tensón (dferenca de potencal) u: Fgura.4. ampo eléctrco en un conductor 0

19 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos u E dl l (.) en el conductor, el campo produce un movmento (aparente) de las cargas postvas, de forma que aparezca una densdad de corrente proporconal a este (el factor de proporconaldad es una propedad de cada materal y se llama resstvdad): E J Admtendo que las cargas se dstrbuyen de manera unforme en cualquer seccón transversal del conductor, se puede poner: J sendo la ntensdad y l u el versor en la dreccón del campo, la cual concde con s l u dl. Susttuyendo en la ecuacón (.) se tene: l u lu dl R (.) l s s Esta es la ecuacón de defncón de la resstenca ( u R ), es decr, la relacón u t f t. Esta fórmula consttuye la conocda ley de Ohm, que ndca que hay una proporconaldad entre la tensón que se aplca a un conductor y la ntensdad que crcula, sendo la constante de proporconaldad la resstenca R del conductor (Ω). Aunque se ha supuesto que es una constante, este parámetro varía con la temperatura de los materales. En este texto no se tendrá en cuenta este fenómeno. En la ecuacón (.) se ha omtdo el efecto que la varacón del campo magnétco creado por la ntensdad produce sobre la tensón. Por esto, la fórmula (.) solo es válda, de manera estrcta, para el caso de ntensdad constante (lo cual se conoce normalmente como corrente contnua). uanto mayor sea la varacón de la ntensdad con el tempo, más error se comete al utlzar la expresón (.), ya que entonces la tensón no concdría con la dferenca de potencal. Al pasar de un punto de mayor potencal a otro de menor potencal las cargas perden energía eléctrca que se transforma en calor. La potenca que se perde en el conjunto del conductor es: u p u R (.3) R lo cual consttuye la ley de Joule.

20 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería En cualquer elemento, la potenca nstantánea absorbda es p(t) u(t) (t) en W (con entrando por el + de u). La energía absorbda w (t) p(t) d(t) medda en J. omo es mayor o gual a cero, es un elemento pasvo. Las resstencas reales (una estufa por ejemplo) tenen asgnada una potenca máxma (potenca nomnal), ya que s consumen más potenca se calentan excesvamente y se destruyen (se queman). Por tanto, tambén tenen asgnados los valores máxmos (nomnales) de U o I. Ejemplo 3: Aplcacón de las leyes de Krchhoff Sea el crcuto de la Fgura.5. alcula U 4, I g e I 4, sabendo que U g 0 V, R 4 Ω, R Ω, R 3 Ω y R 4 Ω. El símbolo utlzado para la fuente ndca que es de corrente contnua. En este símbolo, la placa grande es + y la otra es. Fgura.5. Esquema eléctrco del crcuto Solucón Para resolver el crcuto solo se van a utlzar las ecuacones de defncón de los elementos y la prmera y segunda ley de Krchhoff. Se sabe que es una fuente de tensón contnua deal y su ecuacón de defncón es U g 0 V (la tensón no depende de la ntensdad que crcule por el elemento). Para cualquera de las resstencas del crcuto, la ecuacón de defncón es U RI, consderando las polardades de la tensón y el sentdo de la ntensdad según la Fgura.6. Fgura.6. Ecuacón de defncón de una resstenca

21 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Para resolver el crcuto (calcular cualquer ntensdad o tensón en cualquer elemento) se defnen un conjunto de varables, por ejemplo, I, I e I 3 (en el que se elgen los sentdos de forma arbtrara, Fgura.7). Fgura.7. Esquema eléctrco del crcuto Para calcular las ncógntas defndas se necesta plantear 3 ecuacones ndependentes. Para ello se elge: ) Prmera ley de Krchhoff en el nudo A: se defne una regón cerrada y se plantea que la suma de las ntensdades entrantes a dcha zona cerrada es gual a cero (Fgura.8). I 3 I I 0 (.4) Fgura.8. Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff en la regón ndcada ) Segunda ley de Krchhoff en el camno cerrado que se ndca en la Fgura.9. Para plantearla, se consderan como postvas las tensones con la polardad (+) en el sentdo en el que se recorre la malla: U U U4 Ug 0 3

22 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Indcando dcha ecuacón en funcón de las ncógntas elegdas (se utlza la ecuacón de defncón de las resstencas) se obtene: I R U 0 IR IR 4 g (.5) Fgura.9. Aplcacón de la segunda ley de Krchhoff en el camno ndcado Obsérvese que I entra por el en R 4, por lo que U4 IR 4 por lo que 3) Segunda ley de Krchhoff en el camno cerrado que se ndca en la Fgura.0. Para ello se decden como postvas las tensones con la polardad (+) en el sentdo que se recorre la malla U U3 Ug 0 I R I R U 0 (.6) 3 3 g Fgura.0. Aplcacón de la segunda ley de Krchhoff en el camno ndcado 4

23 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Por lo que resolvendo el sstema de 3 ecuacones con 3 ncógntas se tene que: I 3,75 A, I, 5 A, I 3, 50 A. Entonces es nmedato calcular (por la ecuacón de defncón en R 4 ), I R,50 V. U4 4 Además, Ig I 3, 75 A e I4 I, 5 A, como se deduce de aplcar la prmera ley de Krchhoff en las regones defndas en la Fgura.. Fgura.. Aplcacón de la prmera ley de Krchhoff en las regones ndcadas Ejemplo 4 Halla el valor de R para que consuma una potenca de 00W. Datos: E 00 V, R 5 Ω. Fgura.. Esquema eléctrco del crcuto 5

24 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Solucón Tomando Fgura.3. Tensones en las resstencas Se obtene Y la potenca consumda por R será: 00 I 5 R R 0000 P R I 00 W 5 R Resolvendo la ecuacón se obtene el valor R 89, 7 Ω. Defnendo el rendmento como la potenca útl (la que consume la resstenca R) dvdda por la generada en la fuente, el rendmento de este crcuto será: P P u g ,947 E I 00I 00,0557 o sea 94,7% Ejemplo 5 Halle el valor de R para que consuma la máxma potenca posble. Halle el valor de dcha potenca y el rendmento del crcuto. Datos: E 00 V, R 5 Ω. 6

25 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Fgura.4. Esquema eléctrco del crcuto Procedendo como en el ejemplo anteror R 0000 P W 5 R dp Para buscar el máxmo de esta funcón se hará 0. dr El resultado es R 5 Ω, con lo que I 0 A y Pu W. El rendmento es del 50%..7 ampo eléctrco en un aslante. ondensadores Un deléctrco o aslante deal es una sustanca cuya conductvdad es nula. S se tenen dos placas planas conductoras paralelas de área A m, separadas una dstanca d mucho menor que las dmensones de las placas y cargadas de manera unforme, en el medo exstente entre las placas aparecerá un campo eléctrco que vamos a admtr unforme y por tanto un vector desplazamento dado por: D E sendo ε la permtvdad del medo deléctrco. Por el teorema de Gauss se puede obtener el valor que tendrá el módulo de dcho vector desplazamento: D S el campo no varía con el tempo, la únca consecuenca que producrá será un almacenamento de energía en el deléctrco. q A 7

26 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería S el campo es varable con el tempo se tendrá: D t t A q t donde se ha supuesto la densdad de carga gual a q/a /m. Por otra parte, admtendo que el campo es unforme entre las placas su valor puede obtenerse de la tensón entre ellas, resultando D E u d t de donde se llega al valor de la ntensdad u d A A Fgura.5. ondensador u t u (.7) t A expresón que permte obtener la capacdad del condensador plano: (F). d En general la fórmula (.7) es aplcable a cualquer sstema en donde aparezca una capacdad aunque la expresón de no concdrá con la obtenda para este caso. La potenca que absorbe un condensador deal como el de la Fgura.5 vene dada por la expresón: u u p u u t t De aquí es fácl deducr que la energía almacenada en el elemento será: donde se ha admtdo que en t u q u q W p (J) t el condensador no tenía nnguna energía. 8

27 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos En la práctca no exsten aslantes perfectos, por lo que los condensadores reales presentan sempre una pequeña corrente de conduccón. Otras dferencas entre el concepto de condensador deal y los condensadores reales provenen de las lmtacones que estos tenen para funconar. Así, un condensador real estará construdo para soportar un tensón máxma entre sus bornes y s ésta se supera se estropeará, perforándose el aslante. Otros efectos que aparecen en los condensadores reales como la resstenca debda a los termnales, contactos, etc. o el efecto nductvo de las correntes que crculan, suelen tener poca nfluenca en la mayoría de stuacones, por lo que suelen desprecarse, aunque a frecuencas muy altas puede ser necesaro tener en cuenta algunos de estos efectos. u t La ecuacón de defncón del condensador será o ben u t. Ambas expresones son correctas solo s se toma entrando por el + de u. De la característca de contnudad de una ntegral, se deduce que la tensón de un condensador tene que ser una funcón contnua, salvo que presente alguna sngulardad (algún punto donde ). Es decr, en general, para cualquer nstante, por ejemplo para t 0, se cumplrá: lm u t0 t lm u t u t u 0 t0 S se observa la expresón de la energía: u W Una varacón brusca de u mplcaría un cambo brusco de W, lo cual supone una potenca nfnta, cosa que no es físcamente posble. t0 Ejemplo 6 Halle t sabendo que t 4t u R. Datos: 0, F, R 0 Ω. Fgura.6. Esquema eléctrco del crcuto 9

28 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Del dbujo sguente Fgura.7. Aplcacón de la segunda ley de Krchhoff en el camno debe resultar obvo que u t u t De la ecuacón de defncón de la resstenca: De la ecuacón del condensador: R (ª ley de Krchhoff en el camno cerrado ). R t t De la ª ley de Krchhoff en el nudo A: t ur 4t 0,4t A R 0 t du 0, 4 0,4 A t t t 0,4 0,4t A R Ejemplo 7. En el nstante t s la tensón de un condensador de mf es de V y en el nstante t s dcha tensón es de 0 V. Halle la potenca meda consumda por el condensador en el ntervalo, s. La energía en t s será 0,00 J y en t, será 0, J. El ncremento de energía es de W 0, 0,00 0, 98 J y la potenca meda en el ntervalo es: P m t W 0,98 p t 0, 98 Vatos t t t 30

29 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos.8 ampos magnétcos creados por correntes. Inductancas La ntensdad de campo magnétco creada en el punto p por un elemento dferencal del conductor, recorrdo por una corrente (Ley de Bot-Savart), es: Fgura.8. ampo magnétco db 4 dl r r 4 dl r r ; B r 3 3 El flujo enlazado por la curva será B ds s (.8) La varacón del flujo con el tempo produce una fem a lo largo del camno (Ley de Faraday de la nduccón): d e S el camno está recorrdo N veces (N espras guales), el flujo total será T N T. Del razonamento se deduce que T es proporconal a, por lo que se puede escrbr N L. El factor de proporconaldad L se denomna coefcente de autonduccón y se mde en Henros (H). S L es nvarante con el tempo: d e L 3

30 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería El sgno (ley de Lenz) ndca que la fuerza electromotrz se opone a las varacones de la ntensdad. La bobna deal es el elemento de los crcutos que representa el fenómeno de la autonduccón. Por ser un generador deal, la fem concde con la tensón entre sus bornes, tal como se representa en la Fgura.9 (a). Al tomar la tensón u de la Fgura.9 (b) resultará: d u L que es la ecuacón de defncón de la bobna. Fgura.9. Inductanca o bobna La potenca que absorbe una bobna deal será: d d p u L L Por lo que la energía almacenada en el campo magnétco en un nstante dado será: W L donde se ha supuesto que la energía era nula en t. ualquer bobna real, al estar construda con un hlo conductor, presenta una certa resstenca además de su nductanca. Otro efecto que se produce es la aparcón de capacdades entre las espras de una bobna (el hlo está aslado), lo cual puede ser de gran mportanca a frecuencas altas. 3

31 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Fgura.30. apacdades parástas entre espras En las bobnas reales suele usarse un núcleo ferromagnétco (μ grande) para consegur elevados valores de L. Esto ntroduce efectos no lneales (saturacón del flujo por ejemplo). De la ecuacón de la bobna se puede obtener la ntensdad: L t u on razonamentos smlares a los expuestos para el condensador se concluye que la de las bobnas debe ser una funcón contnua y que un cambo brusco de este valor mplcaría cambos bruscos de energía y por tanto potencas nfntas. Ejemplo 8 Fgura.3. Esquema eléctrco del crcuto Halle e t e t sabendo que t 0cos0t L. Datos: L 0, H, mf. 33

32 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Solucón Se halla u L t que es gual a e(t) (justfíquelo con la ª ley de Krchhoff): d ul omo e t es gual a la tensón del condensador, se tene: L t L 0, 0sen0t 0 0sen0t V et t t de 0,00 0cos0t 0 0,4cos0t A.9 Elementos en sere y en paralelo Dos elementos están en sere cuando la ntensdad que crcula por ambos es necesaramente la msma. Fgura.3. Elementos en sere En este caso, la segunda ley de Krchhoff ndca que la tensón total, u 3, es la suma de las dos tensones u y u. Dos elementos están en paralelo cuando están sometdos a la msma tensón necesaramente. Fgura.33. Elementos en paralelo 34

33 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos Para este caso, la prmera ley de Krchhoff ndca que la ntensdad total, 3, es la suma de las dos ntensdades e. Ejemplo 9: Asocacón en sere ) Resstencas Fgura.34. Asocacón de resstencas en sere E U ) Inductancas u u R RI REQ R U RI RI R d d d L L LEQ L u L L L Fgura.35. Asocacón de nductancas en sere 35

34 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería 36 3) ondensadores Fgura.36. Asocacón de condensadores en sere. u u u EQ EQ EQ Ejemplo 0: Asocacón en paralelo ) Resstencas Fgura.37. Asocacón de resstencas en paralelo. R R R R R R R R R E R R E R E R E I I I R E I R E I EQ EQ EQ

35 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos 37 ) Inductancas Fgura.38. Asocacón de nductancas en paralelo. L L L L L L L L u L u L L u L u L u L u L EQ EQ EQ 3) ondensadores Fgura.39. Asocacón de condensadores en paralelo. du du du du du du EQ EQ

36 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería Ejemplo Demuestre que con dos resstencas en sere Fgura.40. Resstencas en sere, dvsor de tensón R u u (fórmula del dvsor de tensón). R R Demuestre que con dos resstencas en paralelo Fgura.4. Resstencas en paralelo, dvsor de ntensdad R R, (fórmula del dvsor de ntensdad). R R R R 38

37 apítulo. Prncpos báscos de los crcutos eléctrcos.0 Acoplamento magnétco entre crcutos Supónganse dos crcutos y recorrdos por ntensdades e, stuados próxmos entre sí. delmta la superfce S y la S. La Ley de Bot-Savart (.8) permte obtener B (creado por ) tanto en puntos nterores del crcuto (punto p ) como en otros nterores del crcuto (punto p ). De la msma forma se obtendría B (creado por ) en esos puntos. Se puede obtener el flujo en cada superfce así: Bds B ds B ds s s s Bds B ds s s s B ds Fgura.4. Influenca de las ntensdades en dos crcutos S el crcuto es recorrdo N veces ( N espras guales), el flujo total enlazado o concatenado será: N N N 39

38 Teoría de crcutos adaptado a los grados de ngenería El prmer sumando concde con el flujo propo de la nductanca L : N L El segundo sumando depende de, sendo proporconal a esta ntensdad, pero no es el flujo propo, sno el que recbe el crcuto, por lo que se escrbrá así: N M Hacendo lo msmo con el crcuto se llegará a N N N N N M = M M L = M, sendo Puede comprobarse que. Al factor M (H) se le llama coefcente de nduccón mutua. Para resumr los conceptos de nductanca propa e nductanca mutua, se va a dvdr el flujo total exstente en: Fgura.43. Flujos magnétcos entre dos crcutos 40

39 Para segur leyendo haga clck aquí