Necesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula:

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1 PROBLEMAS MÉTRICOS ÁNGULOS ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Necesitamos tener los vectores de dirección de ambas rectas. Para calcular el ángulo que forman, aplicamos la siguiente fórmula: cos α = ÁNGULO QUE FORMAN DOS PLANOS u v u v Para calcular el ángulo que forman dos planos, necesitamos calcular el vector normal de cada uno de los planos y aplicar la misma fórmula que en el caso anterior (Recordar que el vector normal de un plano es el que forman los coeficientes de x y z en la ecuación del plano) cos α = n n n n ÁNGULO QUE FORMAN UNA RECTA Y UN PLANO Para calcular el ángulo que forman una recta y un plano necesitamos tener el vector de dirección de la recta y el vector normal del plano, una vez calculados para saber cuál es el ángulo que forman recta y plano es: DISTANCIAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS sen α = u n u n La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que forman: d(p 1, P 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que une el punto con la recta, es decir, la distancia de P a su proyección sobre la recta. Para calcular esta distancia hay varios métodos: 1. Método del plano perpendicular a. Hallamos le plano perpendicular a r que pasa por P b. El punto de corte entre el plano y la recta es el punto buscado c. Calculamos la distancia de P a P y esa es la solución 2. Método del punto genérico a. Escribimos la recta r en forma paramétrica b. Las ecuaciones paramétricas son las coordenadas del punto genérico c. Imponemos la condición de que PR v = 0. De esta forma obtenemos una ecuación con una incógnita λ que debemos resolver

2 PROBLEMAS MÉTRICOS d. El valor de λ es el que nos da el valor de las coordenadas del punto P e. Calculamos la distancia de P a P y esa es la solución 3. Método del producto vectorial.- Este método calcula directamente la distancia. Para aplicarlo necesitamos un punto de la recta P r, el punto P y el vector de la recta. La distancia se calcula de manera directa aplicando la fórmula: dist = P rp d d DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Para calcular la distancia de un punto a un plano necesitamos las coordenadas del punto y la ecuación del plano en forma general. La distancia del punto al plano es: dist = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A 2 + B 2 + C 2 DISTANCIA DE UNA RECTA A UN PLANO Necesitamos el vector de dirección de la recta r y el vector normal al plano. Antes de calcular la distancia debemos comprobar que son paralelos, en el caso de que sean paralelos, se coge un punto cualquiera de la recta y se calcula la distancia de la recta al plano. DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS Tenemos que tener los vectores normales a los planos y comprobar que son paralelos, en el caso de que sean paralelos se toma un punto de uno de los planos y se calcula la distancia de ese punto al plano. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS En primer lugar, debemos comprobar que las rectas son paralelas o se cruzan Si son paralelas tomamos un punto cualquiera de una de las rectas y calculamos la distancia de dicho punto a la otra recta Si se cruzan necesitamos el vector de una de las rectas, el vector de la otra y el vector que une el punto de una recta con el punto de la otra para aplicar la fórmula: dist = [u, v, PR ] u v ÁREA DE UN TRIÁNGULO Si los vértices de un triángulo son los puntos A, B y C, el área del triángulo que determinan lo podemos calcular aplicando la fórmula: Area ABC = 1 2 AB AC

3 PROBLEMAS MÉTRICOS VOLUMEN DE UN TETRAEDRO DE VÉRTICES A, B C Y D Para calcular el volumen de un tetraedro sabiendo los cuatro vértices que lo determinan debemos aplicar la fórmula: EJEMPLO 1 Volumen = 1 6 [ AB, AC, AD ] EJEMPLO 2

4 EJEMPLO 3 PROBLEMAS MÉTRICOS EJEMPLO 4

5 PROBLEMAS MÉTRICOS EJEMPLO 5 EJEMPLO 6

6 EJEMPLO 7 PROBLEMAS MÉTRICOS EJEMPLO 8

7 EJEMPLO 9 PROBLEMAS MÉTRICOS EJEMPLO 10

8 EJEMPLO 11 PROBLEMAS MÉTRICOS EJEMPLO 12