6 Aplicaciones de la trigonometría

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1 6 Apliiones de l trigonometrí LEE Y COMPRENDE El relto nrr ómo se luló l medid de l Tierr pr estleer un medid de longitud universl: el metro. Cómo se llevó o? El álulo de l medid de l Tierr se llevó o medinte el método de l tringulión. Con este método se pudo lulr l medid del udrnte de todo el meridino y, on ello, lulr el tmño de l Tierr. Qué es l tringulión? En qué se s? L tringulión es el uso de l geometrí de los triángulos pr determinr posiiones de puntos, distnis o áres. Se s en un teorem elementl de l geometrí: Si se onoen los tres ángulos de un triángulo, más l longitud de uno ulquier de los ldos, se puede lulr l longitud de los otros dos ldos. Como ves, l se de todo este proeso es l resoluión de triángulos. Qué rees que es l geodesi? L geodesi es l ieni que estudi l form y dimensiones de l Tierr y ls posiiones sore l mism. INVESTIGA Y REFLEXIONA Ls errmients de medid de los ángulos tienen que ser muy preiss. Qué instrumentos utilizn los topógrfos en l tulidd pr er este tipo de medids? Qué populr errmient tenológi nos proporion en l tulidd l distni entre lugres? Los topógrfos utilizn l rújul, el trnsito, el teodolito, el tquímetro El GPS es un populr errmient tenológi que nos proporion l distni entre lugres. Y TÚ, QUÉ OPINAS? Tods ls errmients que utilizmos en l tulidd pr lulr distnis son posiles gris l retividd de persons omo Hipti, Tles, Ertóstenes, Delmre, Crees que es impresindile l retividd pr relizr desurimientos ientífios que yuden l evoluión de l soiedd? Qué otrs uliddes rees que son neesris? Respuest lire. 1 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

2 Atividdes propuests 1. Resuelve estos triángulos retángulos. ) ) ) d) ) ,94 m ,61 m 8 C rtg 6º 6 6 tg C 4 6 0,86 C ros 0,86 1º 10 os C 7 180º 90º 6º 6 6 6º 4 180º 90º 1º 10 8º º 90º 4º 4º ) C sen 4º tg 4º. ),8 m sen 4º m tg 4º 180º 90º 0º 60º d) A os 0º 8 os 0º 6,9 m 8 sen 0º 8 sen 0º 4 m 8 Resuelve estos triángulos retángulos. 90º, C 4º, m ) A 90º, º, 10 m ) A 90º, 8 m, 6 m ) 90º, m, 1 m d) C 180º 90º 4º 47º ) 180º 90º º 8º ) C sen 4º sen 4º,41 m sen º 10 sen º 7,88 m 10 os 4º os 4º,66 m os º 10 os º 6,16 m 10 ) m d) m 6 0,6 ros 0,6 º 7 49 tg 1,4 rtg,4 67º 48 os º 90º º º 11 C 180º 90º 67º 48 º 7 1 A Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 1

3 . Clul l ltur en estos triángulos. ) ) ) sen º 4. 4 sen º,9 m 4 ) ,61 m Desde un pozo situdo 00 m del pie del edifiio se ve l nten de l zote jo un ángulo de 60º. A qué ltur se enuentr el extremo de l nten? Llmmos l ltur l que se enuentr el extremo de l nten. tg 60º 00 tg 60º 46,41 00 El extremo de l nten se enuentr 46,41 m.. Qué ltur lnz l omet? Llmmos l ltur que lnz l omet. L ipotenus del triángulo es H + 1, 6, m sen 70º 6, sen 70º 4,9 6, L omet lnz un ltur de 4,9 m. 6. Se olodo un proyetor sore un trípode de 1, m y un distni de m de l pntll medid en el orizontl. L imgen proyetd está m del suelo. Qué inlinión sore l orizontl tiene el foo del proyetor? Llmmos α l ángulo que form el foo del proyetor on l orizontl. tg α , 1,8 0,6 α rtg 0,6 19º 47 6 Atividd resuelt. Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

4 8. Desde l orill de un río se ve un árol en l otr orill jo un ángulo de 40º, y si se retroede 4 m, se ve jo un ángulo de 8º. Clul l ltur del árol y l nur del río. tg 40º x tg 40º 0,84x x tg 8º (x + 4) tg 8º (x + 4) 0, 0,x +,1 x+4 Igulndo ms expresiones: 0,84x 0,x +,1 0,1x,1 x 6,84 m.,7 m. 9. Un esler de 6 m de longitud está poyd sore l ventn de un edifiio situd 4, m del suelo. Si sul sore su se, se poy en un frol de,0 m situd en l mism er. ) Con qué ángulo de inlinión está poyd l esler sore l ventn? Y si se poy sore l frol? ) Clul l distni entre l fd del edifiio y l frol. ) Llmmos α y β los ángulos de inlinión de l esler sore l fd y sore l frol, respetivmente. sen α 4, 0,7 α rsen 0,7 48º 6 sen β,0 0, α rsen 0, º 0 6 ) Llmmos x l distni del pie de l esler l edifiio e y l distni del pie de l esler l frol. x 6 4,,97 m e y 6,,08 m L distni es,97 +,08 9,0 m. 10. Clul el ldo desonoido en los siguientes triángulos. ) ) ) d) Aplindo el teorem del seno: 180º º 79º 79º ) A 180º 66,4º 47,º ) C 8 8 sen 79º 0,96 m sen º sen 79º sen º sen 66, 4º m sen 66, 4º sen 66, 4º sen 66, 4º 8 8 sen 79º 0,96 m sen º sen 79º sen º sen 47,º 4 m sen 66, 4º sen 47,º sen 66, 4º 180º 8º 60º º ) A d) 1 1 º 7 48 sen C 0,8 C sen 9º sen C,, sen 8º 4,0 m sen 60º sen 8º sen 60º 180º 9º º º 1 4,87º A,, sen º, m sen 60º sen º sen 60º 1 1 sen 4,87º 8,8 m sen 4,87º sen 9º sen 9º Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 1

5 11. Hll el ldo de los triángulos en d so. 80º; m 8º; ) A 110º; 6, m; 10, m ) C 70º; 4,96 m 1º; ) C Aplindo el teorem del seno: ) sen 8º,1 m sen 80º sen 8º sen 80º ) 10, 6, 0,96 rsen 0,96 6,8º A 180º 110º 6,8º,4º sen sen110º sen 10, 10, sen, 4º 6 m sen110º sen, 4º sen110º 180º 70º 1º 9º ) A 4,96 4,96 sen 9º, 47 m sen 1º sen 9º sen 1º 1. Clul los ángulos restntes de los siguientes triángulos. 41º; 6 m; 6 m ) C 6º; 14 m; 1 m ) A ) Aplindo el teorem del seno: 14 1 rsen 0,886 6º 40º 1 0,47 1 sen 6º 0,886 C sen C sen 6º sen C º 6º 40º 1 0,47 º 8 9, sen º 8 ' 9, '' 1,8 m sen 6º sen º 8 ' 9, '' sen 6º ) Aplindo el teorem del seno: sen 41º 41º sen sen 41º sen 6 180º 8º 98º A 6 sen 98º 9,0 m sen 41º 1. Enuentr el terer ldo de un reinto tringulr si dos de sus ldos miden 100 m y 10 m y formn un ángulo de 60º. Llmmos l terer ldo del reinto tringulr. Aplindo el teorem del oseno: os 60º ,6 El terer ldo del reinto tringulr mide 111,6 m. 16 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

6 14. Clul el vlor desonoido. ) ) ) d) Aplindo el teorem del oseno: ) os 0º 9,7,1 m ) os 44º 10,8,18 m ) os 69º 101,14 6,07 m d) os 70º 40,48 6,6 m en los siguientes triángulos. 1. Hll el ángulo A ) 9,8 m, 6 m, m ) 4 m, 7 m, 9, m Aplindo el teorem del oseno: os A 0,6 A ros ( 0,6) 16º 1 ) 9, os A os A 0,97 A ros 0,97 º 1 41 ) , 7 9, os A 16. Dos oes que se desplzn on veloiddes onstntes de 90 km/ y 100 km/, respetivmente, tomn dos rreters que se ifurn on un ángulo de 7º. Qué distni rá entre ellos undo lleven 10 minutos de vije? El primer oe reorre km en 10 minutos y, el segundo, ,67 km. 6 6 Llmmos x l distni que rá entre los oes los 10 minutos y plindo el teorem del oseno: x , ,67 os 7º 7,4 x 19, A los 10 minutos de vije rá 19, km de distni entre los oes. 17. Si ls pierns de un ptindor mide 10 m de lrgo d un, qué ángulo formn si l girr trz un irunfereni de diámetro 90 m? Llmmos α l ángulo que formn ls pierns del ptindor l trzr un irunfereni de diámetro 90 m. Aplindo el teorem del oseno: os α os α 0,76 α ros 0,76 40º 9 Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 17

7 18. Resuelve los siguientes triángulos. ) ) ) Llmmos 8 m, 6 m y 7 m. Aplindo el teorem del oseno: os A 0, A ros 0, 7º os A os 0,688 ros 0,688 46º os 180º 7º º º 6 8 C º. 110º y C ) Llmmos 8 m, 180º 110º º 48º A Aplindo el teorem del seno: 8 8 sen110º 10,1 m sen 48º sen110º sen 48º 8 8 sen º 4,0 m sen 48º sen º sen 48º 19. Resuelve los siguientes triángulos y lsifílos. 8º ) m, 0 m y C ) 1 m, m y 4 m ) Aplindo el teorem del oseno: os 8º 4,98 18, m os A 0,6 A ros 0,6 6º , 0 18, os A os 0,07 ros 0,07 8º , 18, os Triángulo utángulo esleno. ) Aplindo el teorem del oseno: os A 0,9747 A 1º os A os 0,74 ros 0,74 1º os 180º 1º 4 7 1º º 16 C Triángulo otusángulo esleno. 0. Clul el perímetro de un triángulo uyos ldos miden 40 m y 4 m y el ángulo omprendido entre ellos, 44º. Llmmos x l medid del ldo del triángulo. Aplindo el teorem del oseno: x os 44º 10,8 x,18 m El perímetro del triángulo es P ,1 117,18 m. 18 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

8 1. El ldo de un polígono regulr de 1 ldos, mide 0 m. Clul el rdio y l potem. r 0 10,4 m 180º sen ,6 m 180º tg 1. Indi el número de ldos de un polígono regulr uyo rdio vle 4,7 m y uyo ldo mide 1 m. Llmmos n l número de ldos del polígono regulr. 4, º sen n 180º 180º sen 18º n 10 0,09 n n El polígono regulr tiene 10 ldos.. Hll el áre de los siguientes triángulos. ) 1 m, 4 m, 1 m 7º, 1 m, 18 m ) A os C 0,8 α ros 0,8 6,87º ) Por el teorem del oseno: os C 1 S 1 4 sen 6,87º 108 m ) S sen 7º 10,40 m 4. Clul el perímetro y el áre de un trpeio retángulo uys ses miden 8 y 4 m y uy ltur mide m. Llmmos x l medid del ldo oliuo del trpeio retángulo. x + (8 4) x Entones, A (8 + 4) 18 m y P m. Hll el áre de un tetredro de ldo m. El áre de un tetredro es 1 S 4 sen 60º 4,0 m l sum de utro triángulos equiláteros de ldo m: 6. Clul el áre de un setor irulr de rdio 4 m y uyo ro mide 8 m. 8 π 4 α π 4 114,9º α 114,9º Asetor 16 m 180º 60º 7. Hll el áre de un eneágono regulr de perímetro 6 m. El ldo del eneágono mide 6 7 m. Por tnto, l potem medirá 9 El áre del eneágono es S 7 9,6 m. 180º tg 9 6 9,6 0,0 m. Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 19

9 8. Clul l superfiie de un prism de ltur m y uy se es un triángulo retángulo isóseles de tetos m. Llmmos x l ipotenus del triángulo retángulo de l se: x Alterl +,8 4,1 m y Ase +,8 m m Por tnto, Atotl Alterl + Ase 4,1 m + 8,1 m 9. El volumen de un pirámide es de 1000 m, su se es un udrdo y el ángulo de ls lturs lterles on l se es de 0º. Cuál es l longitud del ldo de l se? Y l ltur de l pirámide? Llmmos x l ldo del udrdo de l se, d l digonl de l se y l ltur de l pirámide. d Entones V x 6x 6 x + x x 6x x m tg0º 6x x x 6x m 6 6x x 19,44 m 7,9 m 0. Clul el volumen de los siguientes uerpos. ) ) ) El volumen totl es l sum de los volúmenes de un uo de rist 4 m y de un ilindro de rdio m y ltur m. V 4 + π 89,1 m ) Llmmos r l rdio de l se de un ono: tg 0º r r 40 tg 0º 14,6 m 40 El volumen totl es l sum de los volúmenes de dos onos de ltur 40 m y rdio de l se 14,6 m. V π 14, ,9 m 1. Atividd intertiv.. Clul l medid de los ángulos y ldos desonoidos. 160 ) ) 180º 90º 40º 0º ) C 180º 90º 40º 60º ) A sen 40º 1 sen 40º 9,64 m 1 sen 40º os 40º 1 os 40º 11,49 m 1 tg 40º Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí 0 0 1,11 m sen 40º 0 0,84 m tg 40º

10 es un ángulo reto.. Resuelve los triángulos siendo que 6º, m ) C ) 1 m, 18 m ) 0 m, 0 m 180º 90º 6º º ) A tg 6º ) tg 6º 47,18 m y os 6º,06 m os 6º ,9 m 6º 6 4 y A 180º 90º C 1 0,8 º 6 sen C 18 ) ,8 m 0 1 A rtg 1 4º y 180º 90º 4º 4º tg A 0 4. Un trpeio retángulo tiene por ses 1 y m. El ldo que no es perpendiulr ls ses mide 1 m. Clul los ángulos del trpeio. 1 os D 0,8 D ros 0,8 º º A 60º 90º 90º º 1 146º 4 9 C. Atividd resuelt. 6. Ls proyeiones de los tetos de un triángulo retángulo sore su ipotenus vlen m,6 m y n 10 m, respetivmente. Resuelve el triángulo. Se lul el ldo, ,6 m. Aplindo el teorem de l ltur:, m y C : Se luln los ángulos 6 0,6 rtg 0,6 1º tg º 90º 1º 9º C Se luln los ldos y : os 9º,6,6 6,99 os 9º 1,6 6,99 11,67 m Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 161

11 7. Resuelve los siguientes triángulos. ) ) ) Aplindo el teorem del oseno: os C 0,79 C ros 0,79 4º os C os 0,61 A ros 0,61 68º os 180º 109,7º - 49,7º 0,7º ) C sen 49,7º 4,0 m sen109,7º sen 49,7º sen109,7º sen 0,7º 1,87 m sen109,7º sen 0,7º sen109,7º 8. Resuelve el triángulo. De qué tipo es? 180º 90º 4º 4 44º 6 A 7 7 sen 4º 4 m sen 90º sen 4º 4 sen 90º 7 7 sen 44º 6 4,9 m sen 90º sen 44º 6 sen 90º Es un triángulo retángulo esleno. 9. Resuelve estos triángulos y lsifílos. 10º ) m, 1 m, C 6º, m, m d) 100º ) 0 m, 1 m, C º, A 6º, 1 m e) ) 0 m, 40 m, f) 8º, 1 m, 16 m A ) Aplindo el teorem del seno: 1 rsen 0,61 1º 9 4 sen10º 0,61 A sen A sen10º sen A 1 180º 10º 1º 9 4 8º sen 8º ,69 m sen10º sen 8º 0 18 sen10º ) Aplindo el teorem del oseno: os 100º 67,,0 m os A 0,618 A ros 0,618 1º ,0 + 1,0 1 os A 180º 100º 1º º 10 1 ) Aplindo el teorem del oseno: os A 0,91 A ros 0,91 4º os A os 0,7 ros ( 0,7) 1º os 180º 4º º 9 0º 4 1 C 16 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

12 d) Aplindo el teorem del oseno: + os 6º 90,91 0,1 m 0,70 A 4º ,1 + 0,1 os A 180º 6º 4º º º º 6º 8º y plindo el teorem del seno: e) C 1 1 sen 6º 0, m sen º sen 6º sen º 1 1 sen 8º, 48 m sen º sen 8º sen º f) Aplindo el teorem del seno: 16 1 rsen 0,46 7º sen 8º 0, 46 sen sen 8º sen º 8º 7º º 9 C sen114º 9,6 m sen 8º sen114º 9 sen 8º Todos los triángulos son eslenos. Además los triángulos ), ), ), f) son otusángulos, y el resto, utángulos. 40. L digonl de un retángulo mide m y form on l se un ángulo de 4º 40. Hll su perímetro y su áre. Llmmos l se del retángulo y su ltur. os 4º 40 os 4º 40 18,08 m P 18, ,6 70,68 m sen 4º 40 sen 4º 40 17,6 m A 18,08 17,6 1,0608 m 41. Un trpeio isóseles tiene por ses 0 y 4 m. Los ldos igules miden 1 m d uno. Clul los ángulos del trpeio. sen A 4 0 0,6 A rsen 0,6 8º D 8º 40 6 A C 60º 8º º El rdio de un otógono regulr mide 4 m. Clul l medid del ldo y de l potem y el áre del otógono. Llmmos l y l medid del ldo y de l potem, respetivmente. 4 4, 44 l 180º 41,7 m l 4 sen 4,44 m 180º 180º 8 tg sen 8 8 El áre del otógono es A 8 4, 44 41,7 76,68 m. Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 16

13 4. Clul el áre totl y el volumen de los uerpos. ) ) ) d) ) Llmmos l ltur del ilindro y r l rdio de l se. sen 7º 4 sen 7º 10,9 m 4 os 7º r 4 os 7º r 10,69 m 4 Atotl Alterl + Ase π 10,69 10,9 + π 10,69 7, ,0 140,14 m V Ase π 10,69 10,9 91, m ) Llmmos d l digonl de l se: d tg 40º +,6 m,6 tg 40º 14,84 m,6 Atotl Alterl + Ase 4 H 19,40 m 1, + 14,84 A 6 14,84 091,67 m V se 19, m ) Llmmos x l ltur del ono defiiente. tg 64º 8 8 r,9 m tg 64º r 8,8 m 8 + ( 7,9 ) 7,9 1, 7x,9x + 1, 7x,9x 1,,1x 1, x 10,06 m x +8 x,1 Atotl Alterl + Ase inferior + Ase superior π (,9 + 7) 8,8 + π 7 + π,9 49, m V Vono grnde Vono defiiente π 7 ( ,06 ) π,9 10,06 96,71 160, 766,48 m d) Llmmos x l ltur del ortoedro de l se, y, l lrgo,, l potem de l pirámide de ls rs uy se mide 4 m,, l potem de l pirámide de ls rs uy se es y, y, l ltur de l pirámide. tg 6º x x 4 tg 6º 1,9 m 4 tg º,1 1,6 1,6 4,9 m tg 0º tg 0º 1,9 x 1,9 y,1 m tgº y y 4,9,8 m 1,6 +,8 4,1 m At Al ortoedro + Ase + Al pirámide ( 4 1,9 +,1 1,9) + 4,1 + V Vortoedro + Vpirámide 4 1,9, Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí 4,1,8 40,14 m 4 4,1,1 4,9 + 70,0 m

14 44. L genertriz de un ono mide 10 dm y el ángulo que form est on l ltur del ono es de 6º. Clul: ) El áre totl. ) El volumen del ono. Llmmos r l rdio del ono y su ltur. ) sen 6º r r 10 sen 6º,88 dm 10 ) os 6º Atotl π,88 + π, ,4 dm V 10 os 6º 8,09 dm 10 π,88 8,09 9,91 m 4. Clul ls dimensiones del prlelogrmo y sus dos lturs 1 y. 60º ( º +6º ) 99º D Aplindo el teorem del seno en el triángulo ADC: 0 CD 0 sen º 0 0 sen 6º AD AD 8,88 m C CD 16,9 m A y sen 99º sen 6º sen 99º sen 99º sen º sen 99º Clulmos ls lturs 1 y : sen (º + 6º) 1 1 8,77 y sen (º + 6º) 16,9 m 16,9 8, Junto un ompñero, enontrd un fórmul que proporione el áre de un polígono regulr en funión del número de ldos, n, y l medid de su ldo. Aplíl pr otener ls áres de utro polígonos regulres. 180º tg n n P A n 180º 4 tg n Respuest iert. 47. En un esfer de 10 m de rdio se insrie un ono, tl y omo pree en l figur. Hll el volumen del ono si el áre de su se es de 0 m. El áre de l se del ono es A π r 0 π r r,99 m. Aplindo el teorem de Pitágors l triángulo somredo: r + ( 10) 10 ( 10) 100 r 10 + El volumen del ono es V 100 r 19,17 m 0 19,17 19, m. Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 16

15 48. Desde un lugr situdo er de un montñ se oserv su umre on un ángulo de elevión de 4º. Si se retroede 1061 metros, el ángulo es de 0º. Clul l ltur de l montñ. tg 4º x tg 4º x x tg0º tg0º ( x ) 0,8x + 61,7 x Igulndo: x 0,8x + 61,7 0,4x 61,7 x 148, m 49. Se quiere lulr l distni que sepr ls ims de dos montñs. Pr ello, se fijn dos puntos P y Q distntes entre sí 0 m y que formn los ángulos que preen en l figur. Cuál es l distni entre ls dos ims? Llmmos x P, y AP y d A Aplindo el teorem del seno en el triángulo PQ: 0 0 sen10º x x 111,99 m sen10º sen 0º sen 0º Aplindo el teorem del seno en el triángulo APQ: y 0 0 sen 4º y 8,66 m sen 4º sen º sen º Aplindo el teorem del oseno en el triángulo PA: d x + y xy os 80º 111,99 + 8,66 111,99 8,66 os 80º 16 86,91 d 17, 6 m 0. Clul l distni PQ siendo que: A 16 m α1 84º 0 α 6º α 40º 0 α4 76º Llmmos x AQ, y AP y d PQ Aplindo el teorem del seno en el triángulo QA: x sen104º x 4,66 m sen104º sen16º 0 sen16º 0 Aplindo el teorem del seno en el triángulo AP: y sen 6º 0 y 9,96 m sen 6º 0 sen 1º sen 1º Aplindo el teorem del oseno en el triángulo APQ: d x + y xy os 6º 4,66 + 9,96 4,66 9,96 os 6º 100,9 d,41 m 1. Atividd resuelt. 166 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

16 . Dos puntos A y de l esfer terrestre están situdos en un mismo prlelo de ltitud 48º N y sus longitudes respetivs son de 160º E y 80º E. Clul ls distnis que los seprn sore el prlelo omún y sore el írulo máximo de l esfer que ps por los dos puntos. Rdio de l Tierr: R 671 km. Clulmos l medid en grdos del ro A: 160º 80º 80º Hllmos el rdio, r, del prlelo de l esfer terrestre de ltitud 48º: r 671 os 48º 46,0 km L distni de A sore el ro que determinn estos dos puntos en el prlelo en el que están situdos es: L π 46,0 80º 9,17 km 180º L distni de A sore el ro de irunfereni máxim que determinn estos dos puntos es: L π º 7,6 km 180º mide 10º; los ángulos y D son ángulos retos, A 1 y AD. En el udrilátero ACD, el ángulo A 46. L longitud AC es: A C. 64 D. 6 60º 10º 90º 90º 60º y AC DC º A D C Trzmos por D un prlel A. Se onstruye el triángulo retángulo DEC. 180º 90º 60º 0º ADE C D EDC 180º E 90º 0º 60º EDC 46 os 60º DE DF + FE DF + A DF 46 os ADE DE os 0º 6 DC 6 41,7 os EDC os 0º DC DC Por tnto, AC DC , ,06 AC 6 L respuest orret es l. 4. Cuántos triángulos de áre 10 tienen por vérties los puntos (os α, senα), (, 0) y (, 0)? A. 0. C. 4 D. 6 Tommos omo se del triángulo el segmento de extremos (, 0) y (, 0). El áre de este triángulo es A Si A 10, entones 10 10, donde es l ltur del triángulo. 10. Por tnto, l ordend en el origen de l ltur dee ser o. Luego sen α o sen α. Clulmos los ángulos α, 0º < α < 60º, tles que sen α o sen α. Si sen α sen α {,8º α rsen 16,4º Si sen α sen α { 16, 4º α rsen 6, 4º Hy en totl utro vlores que umplen que sen α o sen α, on 0º < α < 60º. L respuest orret es l C. Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 167

17 Enuentr el error y l. Los ldos de un triángulo miden 1 m, 1 m y m. Clul l medid del ángulo A medid del ángulo C. Aplindo el teorem del oseno: os A os A + os A os A 144 1, os A 100 y, por tnto, los dtos no se orresponden Como el oseno slido myor que 1, no se puede lulr A on ningún triángulo. Aplindo el teorem del oseno: os C os C + os C 6 os C 6 < 0 60os C 60 y, por tnto, los dtos no se orresponden Como el oseno slido negtivo, no se puede lulr C on ningún triángulo. Dónde está el error? En l primer pliión del teorem del oseno, el error está l resolver l euión: os A 706 0, os A os A os A 70 ros 0,94 19º 6 4 Por tnto, A En l segund pliión del teorem del oseno, el error está l deidir que no existen ángulos uyo oseno se negtivo: ros ( 0,71) 1º ,71 C os C 60 PONTE A PRUEA El udro Atividd resuelt. Tiro gol Olg entren pr l ompetiión de fútol femenino. El mpo donde entren es un retángulo de dimensiones 40 m x m y el no de l porterí es de m. El entrendor le pedido que se oloque justo en P, que es el punto medio de l nd. Olg quiere ser qué ángulo α de tiro gol tiene ese punto. 1. us dos triángulos retángulos, en los que interveng, de lgun form, el ángulo α e indi el vlor de sus tetos. Se formn dos triángulos retángulos, PA y PAC, en los que de lgun form interviene el ángulo α. 168 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí Triángulo PA: AP 0 m y A: 11 m Triángulo PAC: AP 0 m y AC: + 14 m

18 . Con l yud de estos triángulos, lul el vlor de α omo difereni de dos ángulos gudos de ellos. tg (α + β) α + β rtg 4º 9 1 y tg β β rtg 8º Entones α 4º 9 1 8º º 10. Si se olo en otro punto Q situdo 10 m del órner, tiene myor o menor ángulo de tiro que en P? Triángulo QA: AQ 10 m y : 11 m Triángulo QAC: AQ 10 m y AC: + 14 m + QC 4º 7 44 y tg AQ 11 AQ 47º 4 + QC 14 AQ tg AQ ( ) 4º º 4 6º El ángulo de tiro es myor en Q que en P. Entones QC Ls gujs del reloj Ls gujs del reloj de l estión de trenes miden 0 y m respetivmente. Se onsider el triángulo que tiene los vérties en el entro del reloj y en los extremos ls gujs. 1. Expres el áre del triángulo en funión del ángulo α que formn ls gujs. 1 S 0 sen α. Cuál es el áre del triángulo ls en punto? Y ls 8 en punto? A ls en punto formn un ángulo de 90º, S 7 m. Y ls 8 en punto un ángulo de 10º, S m. Cuál es el áre ls 1 y medi? A ls 1 y medi no se form un triángulo porque los extremos de ls gujs y el entro del reloj están linedos. 4. Si un or entre ls 1 y ls 1:0 el áre del triángulo es de 7 m, qué or es? 1 0 sen α α 90º, y que llr l or, entre ls 1 y ls 1:0, en l que ls gujs del reloj formen un ángulo de 90º. En un minuto l guj de ls ors vnz 0,º y, l de los minutos, 6º. Como 7 Supongmos que son ls 1 x min, on 0 < x < 0. En este so l mneill de ls ors rá vnzdo 0,xº y, l de los minutos, 6xº. Se plnte l euión 6x 0,x 90, uy soluión es x 16,6. Por tnto, son ls 1 16,6 minutos. Es deir, ls 1 16 min s. L pirámide L pirámide del Museo de Louvre, en Prís, tiene un se udrd de ldo m y rs lterles que son triángulos isóseles uyo ángulos igules miden 7,8º. 1. El terer ángulo de d r lterl es A. 14,º. 64,4º C. 7,º D. 1,º El terer ángulo de d r lterl es de 180º 7,8º 64,4º. L respuest orret es l. Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 169

19 . Cuánto mide l rist lterl? A. 7,8 m.,8m C. m D. 7, m Llmmos x l medid de l rist lterl. os 7,8º 17, 17, x,84 m os 7,8º x L respuest orret es l.. Hll el áre de d r lterl y del totl de l pirámide. Llmmos l potem de l r lterl: El áre de un r lterl será A,84 17, 7,79 m 7,79 486, m y, el áre lterl, Alterl 4 486, 194, m. Entones, Atotl Alterl + Ase 194, + 170, m. 4. Clul l ltur y el volumen de l pirámide. Llmmos l ltur de l pirámide: 7,79 17, 1,6 m V 1,6 880 m AUTOEVALUACIÓN 1. Resuelve los siguientes triángulos. ) ) 180º 90º º º ) C sen º tg º ) ,8 m sen º 18 18,71 m tgº 8 6, m ) d) 180º 0º 4º 116º ) C sen 0º 14,1 m sen 4º sen 0º sen 4º sen116º,7 m sen 4º sen116º sen 4º d) os8º 0,17,41 8 6, 0,78 C 1,6º sen C sen 90º sen C, ,889 6,7º sen sen 8º sen 180º 90º 1,6º 8,74º A 180º 8º 6,7º,º A Clul el áre del triángulo de ldos 1, y 0 m, respetivmente. Llmndo α l ángulo omprendido entre los ldos de y 0 m, y plindo el teorem del oseno: os α os α 0,867 α ros 0,867 9,89º 1 Por tnto, A 0 sen 9,89º 186,88 m. 170 Unidd 6 Apliiones de l trigonometrí

20 . Hll l medid de los ldos desonoidos de este trpeio retángulo. Clul el áre del trpeio. sen º 1 sen º,07 m y os º 1 os º 10,88 m sen 6º sen α 0,7 α rsen 0,7 46º 8 8 Aplindo el teorem del seno sen α sen 6º 1 β 180º 6º 46º º 1 Aplindo el teorem del oseno: os 68º 1 7,4 1,4 m A 4. (,07 + 1, 4) 10,88 111,6 m Pr que un nten permnez vertil se le n olodo dos nljes en el suelo mos ldos y linedos on su se. L distni entre los nljes es de 40 m y si se oserv l prte más lt de l nten desde d uno de ellos, los ángulos de elevión son de 0º y 60º, respetivmente. Hll l ltur de l nten. tg 60º x tg 60º 1,7x x tg 0º (40 x) tg 0º,08 0,77x 40 x Igulndo: 1,7x,08 0,77x x 10 m 17, m. Clul el áre y el volumen del uerpo geométrio. Llmmos l ltur del ilindro inferior y x l del superior. tg 40º x 9 tg 40º 7, m y tg 6º x tg 6º 6,4 m 9 Atotl Ailindro inferiror + Alterl ilindro superior π 9 + π 9 7, + π 6,4 107,08 m V Vilindro inferiror + Vilindro superior π 9 7, + π 6,4 10,04 m 6. L lun tiene un superfiie de km y se enuentr km de l Tierr. Qué ángulo oup en el ielo? Llmmos r l rdio de l lun: πr r 179 km Llmndo α l ángulo que oup l lun en el ielo, y plindo el teorem del oseno: os α os α 0, α ros 0, Apliiones de l trigonometrí Unidd 6 171