Varianza del error no constante: heteroscedasticidad. Fortino Vela Peón Universidad Autónoma Metropolitana

Transcripción

1 Varianza del error no constante: heteroscedasticidad Fortino Vela Peón Universidad Autónoma Metropolitana Octubre, /08/2011 México, D. F. 1

2 Tipos de residuales En ocasiones resulta mejor considerar a los residuales escalados. Son útiles además para identificar puntos atípicos o valores extremos. Residuales estandarizados que se definen como ˆ uˆ i d i ˆi 2 (1 h ) 11/08/2011 ii 2 i Residuales estudentizados que se definen como r uˆ 2

3 Patrones hipóteticos de los residuos para la identificación de heteroscedasticidad Los gráficos siguientes muestran un diagrama de 2 dispersión entre y Yˆ. ṷ 11/08/2011 Fuente: Tomado de Gujarati y Porter (2010, 377) 3

4 Los gráficos siguientes muestran un diagrama de 2 dispersión entre ṷ y X. 11/08/ Fuente: Tomado de Gujarati y Porter (2010, 378)

5 Pruebas gráficas en Stata Stata tiene implementado dentro de sus rutinas ambos tipos de gráficas para la identificación de heteroscedasticidad en los residuales. Despues de estimar el modelo de regresión la sintaxis a utilizar es: rvfplot y rvpplot. rvfplot muestra el diagrama de dispersión entre residuales y valores ajustados. Por su parte, rvpplot elabora el diagrama de dispersión entre residuales y cualquiera de las variables predictoras (X s), razón por la requiere que se señale cual es la variable a considerar, esto es, por ejemplo: rvpplot x2 11/08/2011 5

6 Calculo de residuales en Stata Stata permite el calculo de los residuales estandarizados y estudentizados. Una vez estimado una ecuación de regresión, la sintaxis es la siguiente: predict residual, resid predict rstand, rstand predict rstud, rstuden (residuales simples) (residuales estandarizados) (residuales estudentizados) 11/08/2011 6

7 Métodos formales: pruebas de Park, Glesjer y Breusch-Pagan-Godfrey Las tres pruebas son en esencia muy similares. Cada una de ellas es una prueba del Multiplicador de Lagrange (LM), por lo que siguen el mismo procedimiento general. Dado el modelo de regresión: y i x x i 3 3i k x ki u i se realizan los pasos siguientes: 1.- Se estima el modelo de regresión y se obtienen los residuales: uˆ i y 2.- Se estiman las regresiones auxiliares siguientes y obtienen sus R 2. 11/08/ i yˆ i

8 11/08/ i pi p i i Z Z u ln... ln ˆ ln donde a) Para la prueba de Park la regresión auxiliar es n i i i i n u u u / ˆ / ˆ ~ b) Para la prueba de Glesjer la regresión auxiliar es i pi p i i Z Z u... ˆ c) Para la prueba de Breusch-Pagan-Godfrey la regresión auxiliar es i pi p i i Z Z u... ~

9 En cada regresión auxiliar, las Z i 's pueden ser algunos o todos los regresores 3.- A continuación se calcula el estadístico de prueba LM. Bajo Ho: homoscedasticidad, se puede demostrar que el producto del tamaño de la muestra n por la R 2 obtenida de las regresiones auxiliares sigue asintoticamente una distribución Ji-cuadrada con un número de grados de libertad igual al número de regresores. Esto es: 11/08/ nr p Es importante observar que los estadísticos de prueba propuestos originalmente por Park y Glesjer son estadísticos de prueba de Wald. Sin embargo, según lo precisado por Engle (1984), puesto que todas estas pruebas son diseñadas para muestras grandes, operacionalmente son equivalentes a la prueba LM.

10 4.- Una vez que se encuentra el estadístico de prueba se compara a nr 2 con el valor crítico de Ji-cuadrada. Así, 2 2 si nr p, la conclusión es que hay heteroscedasticidad; 2 2 por el contrario, si nr p hay homoscedasticidad. Las pruebas Park, Glesjer, y de Breusch-Pagan- Godfrey requieren el conocimiento sobre la fuente de heteroscedasticidad, es decir, la(s) variable(s) Z que puede ser causa del problema. En la prueba de Park, el término de error en la regresión auxiliar puede no satisfacer los supuestos del modelo de regresión lineal clásico y puede ser heteroscedástico en sí mismo. 11/08/

11 En la prueba de Glejser, el término del error u i es diferente a cero, puede tener autocorrelación y es, irónicamente, heteroscedástico. En la prueba de Breusch-Pagan-Godfrey el término de error es absolutamente sensible al supuesto de normalidad (principalmente en pequeñas muestras). La hipótesis nula de la prueba Breusch-Pagan/Cook- Weisberg es que la varianza del error es la misma versus la alternativa de que la varianza del error es una función multiplicativa de una o más variables independientes. 11/08/

12 Prueba Breusch-Pagan-Godfrey en Stata La prueba Breusch-Pagan-Godfrey implementada en Stata. ha sido La sintaxis es estat hettest Las opciones posibles son: estat hettest varlist especifica las variables explicativas consideradas en la prueba (en caso de omisión se realiza con los valores ajustados de la dependiente, yhat). estat hettest,normal calcula la prueba suponiendo que los residuales de la regresión se distribuyen normalmente (es la opción por defecto). estat hettest,iid provoca que se calcule la versión N*R 2 versión del estadístico de prueba, el cuál elimina el supuesto de normalidad. estat hettest,fstat provoca que se calcule la versión basada en el estadístico F. 11/08/

13 Ejemplo Verificamos la prueba hettest de forma manual. Para ello se considera la influencia que se sobre el ingreso (income) presentan las variables: escolaridad (educ), la experiencia laboral (jobexp) y la raza (race) en una muestra de 20 individuos, información que se encuentra en el archivo labora1 ubicado en: Una vez recuperado el archivo de datos se calculan algunas estadísticas descriptivas de la variables en análisis. 11/08/

14 use clear sum reg income educ jobexp Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max income educ jobexp race Del listado se puede señalar que el ingreso promedio de los individuos en la muestra alcanzo los dólares; su nivel escolaridad promedio fue de 12 años al igual que los años de experiencia laboral. 11/08/

15 graph matrix income educ jobexp race income educ 0 20 jobexp race /08/

16 reg income educ jobexp Source SS df MS Number of obs = F( 2, 17) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = income Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] educ jobexp _cons estat hettest Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: fitted values of income chi2(1) = /08/2011 Prob > chi2 =

17 rvfplot, yline(0) Fitted values 11/08/

18 Residuals rvpplot educ, yline(0) rvpplot jobexp, yline(0) educ jobexp 11/08/

19 predict yhat predict e, resid gen e2= e^2 / (e(rss)/e(n)) reg e2 yhat Source SS df MS Number of obs = F( 1, 18) = 0.18 Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = e2 Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] yhat _cons display "Chi Square (1) = " e(mss) / 2 Chi Square (1) = display "Prob > chi2 = " chi2tail(1, e(mss)/ 2) Prob > chi2 = /08/

20 Prueba de White en Stata La prueba de White se puede estimar vía la sintaxis estat imtest, white o simplemente imtest, white, o bien whitetst. Stata computa la prueba extendida de White considerando en la regresión auxiliar a los residuales al cuadrado contra todos los regresores, los productos cruzados y los cuadrados de los distintos regresores. 11/08/

21 Ejemplo Se desea establecer la influencia que se sobre el número de hijos nacidos vivos (ceb) por mujer presentan las variables: edad de la madre (age), edad al primer nacimiento (agefbrth) y la escolaridad (educ). Para ello se considera la información de 4361 mujeres en los Estados Unidos misma que se encuentra en el archivo fertil2 ubicado en: Una vez recuperado el archivo de datos, lo primero a resolver es determinar qué variables presentan valores perdidos (missing values). 11/08/

22 use clear keep Para ello se puede recurrir al archivo mdesc el cual realiza un conteo del número de valores perdidos para cada una de las variables numéricas (findit mdesc). mdesc age educ ceb agefbrth Variable Missing Total Missing/Total age educ ceb agefbrth dis =3273 drop if missing(agefbrth) 11/08/

23 sum ceb educ age agefbrth Variable Obs Mean Std. Dev. Min Max age educ ceb agefbrth La edad promedio de las mujeres captadas en la muestra (con registros validos) fue de 30 años con una edad al primer nacimiento de 19 años. No obstante, hubo quienes tuvieron a su primer hijo a los 10 años. En promedio el número de hijos nacidos vivos por mujer es de 3.2. La escolaridad promedio fue de 5.4 años. 11/08/

24 Se espera que el número de hijos nacidos vivos (ceb): - aumente con la edad actual de la madre (age); - disminuya con la edad al primer nacimiento (agefbrth); - disminuya con mayores niveles de escolaridad (esc) 11/08/

25 graph matrix ceb age agefbrth educ ceb age 0 40 agefbrth educ /08/

26 regress ceb age agefbrth educ estimates store original Source SS df MS Number of obs = F( 3, 3269) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = ceb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] age agefbrth educ _cons /08/

27 rvfplot Fitted values 11/08/

28 hettest age agefbrth Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: age agefbrth hettest chi2(2) = Prob > chi2 = Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: fitted values of ceb chi2(1) = Prob > chi2 = /08/

29 imtest, white White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi2(9) = Prob > chi2 = Cameron & Trivedi's decomposition of IM-test Source chi2 df p Heteroskedasticity Skewness Kurtosis Total /08/

30 regress ceb age agefbrth educ,robust estimates store robustos Linear regression Number of obs = 3273 F( 3, 3269) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust ceb Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] age agefbrth educ _cons /08/

31 estimates table original robustos, b(%9.4f) se(%5.3f) t(%5.2f) Variable original robustos age agefbrth educ _cons /08/

32 Soluciones al problema de heteroscedasticidad Cuando de presenta una estructura de errores heteroscedastica se puede proceder por alguna de las siguientes rutas: a) Aplicar mínimos cuadrados ponderados; b) Corregir los errores estándar por heteroscedasticidad. 11/08/

33 COMIDA Diagrama de dispersión entre los gastos en comida e ingreso INGRESO 11/08/

34 regress comida ingreso Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = comida Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ingreso _cons /08/

35 rvfplot Fitted values 11/08/

36 Residuals rvpplot ingreso INGRESO 11/08/

37 whitetst White's general test statistic : Chi-sq( 2) P-value = 6.8e-04 hettest Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: fitted values of comida chi2(1) = Prob > chi2 = /08/

38 regress comida ingreso [aweight=1/ ingreso] Source SS df MS Number of obs = F( 1, 38) = Model Prob > F = Residual R-squared = Adj R-squared = Total Root MSE = comida Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ingreso _cons /08/

39 Errores estándar corregidos por heteroscedasticidad Si los errores son heteroscedasticos condicionalmente, es psoible aplicar un enfoque robusto. Hubber (1967) y White (1980) propusieron el estimador sandwich de la varianza de los errores, el cual corrige la hetersoscedasticidad. Se ha señalado que bajo heteroscedasticidad Var βˆ E (X'X) 1 X' E( uu' ) X(X' X) 1 Var βˆ E (X'X) 1 X' X(X' X) 1 11/08/ u

40 Ejemplo Para los datos de gastos en comida e ingreso se obtienen los errores estándar corregidos de acuerdo al estimador de Hubber y White. En Stata se tiene regress comida ingreso, robust Linear regression Number of obs = 40 F( 1, 38) = Prob > F = R-squared = Root MSE = Robust comida Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] ingreso _cons /08/

41 0 Density histogram resid, normal Residuals 11/08/

42 Prueba Jarque_Bera sum resid, detail scalar nobs=r(n) scalar s=r(skewness) scalar k=r(kurtosis) scalar JB=(nobs/6)*(s^2+((k-3)^2)/4) scalar chi2_95=invchi2(2,.95) scalar pval=1-chi2(2,jb) di JB di chi2_95 di pval JB= chi2_95= pvalue=0 11/08/

43 Prueba SK sktest resid Skewness/Kurtosis tests for Normality joint Variable Obs Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi resid 3.3e /08/