DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Transcripción

1 . INTRODUCCIÓN En la socedad de la nformacón en la que vvmos resulta mprescndble dsponer de técncas y conceptos que permtan extraer, de manera fable y senclla, nformacón relevante de dferentes conjuntos de datos: ntencón de voto ante unas eleccones, horas daras trabajadas por la plantlla de una empresa, etc. La Estadístca es la cenca que utlzando herramentas matemátcas estuda las leyes de comportamento de aquellos fenómenos que no estando sometdos a leyes rígdas dependen del azar y basándose en ella, se predcen resultados. La estadístca tene dos grandes ramas: Descrptva e Inferencal. - Estadístca Descrptva trata de las técncas de recogda de la nformacón, organzacón de datos, de la representacón gráfca de los msmos, del cálculo de algunos valores como la meda, etc. - Estadístca Inferencal aplca el cálculo de probabldades a los datos que aporta la estadístca descrptva para extraer conclusones de los msmos. Basándose en los resultados obtendos de una muestra nduce o estma las leyes reales de comportamento de la poblacón de la que provene dcha muestra. El nombre de Estadístca alude al enorme nterés de esta rama de las Matemátcas por los asuntos de Estado: empadronamento, censos de poblacones, índce de nataldad, de mortaldad, etc. Actualmente, la Estadístca ntervene en los campos más dversos y su ntroduccón en el mundo centífco se debe a la mportanca ndscutble para el desarrollo de todas las cencas (Pscología, Economía, Medcna, etc.) En este tema nos centraremos en la Estadístca descrptva.

2 . LA ESTADÍSTICA Y SUS MÉTODOS CONCEPTOS BÁSICOS Poblacón son todos y cada uno de los elementos que se queren analzar. Puede ser fnta o nfnta (en realdad las poblacones nfntas no exsten, pero cuando se trata de un número grande se trata como s lo fuera). Indvduo es cada una de las undades elementales sobre las que se realza el estudo. Muestra es un subconjunto de la poblacón o parte de la poblacón que se observa. El número de elementos de una muestra se denomna tamaño, y le llamaremos N. Carácter estadístco de una poblacón es la propedad que se estuda. Se dstnguen dos tpos: a) Caracteres cualtatvos son aquellos que no se pueden medr numércamente. A las dstntas posbldades se les llama modaldades. Por ejemplo, estado cvl, deporte practcado, afcones en el tempo lbre, provnca de nacmento, etc. b) Caracteres cuanttatvos son aquellos que se pueden medr numércamente. A las dstntas posbldades se les llama valores. A su vez, debemos dferencar entre: Dscreto: toman un número fnto de valores. Por ejemplo: el número de hjos de una famla, número de obreros de una fábrca, número de habtacones de un hotel, etc. Contnuo: puede tomar cualquer valor de un ntervalo. Por ejemplo, peso, altura, etc. Varable estadístca es el conjunto de todos los valores que puede tomar un carácter estadístco cuanttatvo. Las varables se suelen denotar por letras mayúsculas: X, Y,... S representamos por X a la varable, representaremos por x cada dato dferente observado en la muestra, el subíndce ndca el lugar que ocupa s los ordenamos de menor a mayor. Ejemplo : En una determnada Dputacón se quere estudar el número de centros de prmara de los 537 pueblos que la componen. Para ello, toman los datos de 300 de ellos. Poblacón: los 537 pueblos Muestra: los 300 pueblos que se estudan (N=300) Indvduo: Cada uno de los pueblos Varable cuanttatva dscreta: número de centros de prmara. En este caso, la varable toma los valores,, 3, 4,

3 Ejemplo : En un nsttuto de secundara de 800 alumnos se quere realzar un estudo sobre las afcones de los estudantes. Para ello, preguntan a 50 de ellos. Poblacón: los 800 alumnos Muestra: los 50 alumnos encuestados (N=50) Indvduo: Cada uno de los alumnos Carácter cualtatvo: afcones de los alumnos. Modaldades: lectura, músca, deportes.. FASES Y TAREAS DE UN ESTUDIO ESTADÍSTICO Para realzar un estudo estadístco convene dar los sguentes pasos: a) Seleccón de los caracteres que nteresa estudar. b) Análss de cada carácter: dseño y realzacón de una encuesta o de un expermento y recogda de datos. c) Clasfcacón y organzacón de los resultados en tablas de frecuencas. d) Elaboracón de gráfcos para mostrar los resultados más mportantes de un solo vstazo. e) Obtencón de los parámetros estadístcos que nos ayudan a resumr la nformacón. 3

4 3. TABLAS DE FRECUENCIAS Para poder obtener nformacón acerca de un carácter estadístco es precso organzar los datos recogdos de una muestra. Para ello es básco conocer el concepto de frecuenca. a) FRECUENCIA ABSOLUTA (f ): es el número de veces que se repte un determnado valor (x ) de la varable o las dferentes modaldades. Propedad: la suma de todas las frecuencas absolutas es gual al tamaño muestral (N). b) FRECUENCIA RELATIVA (h ): es gual a la frecuenca absoluta dvdda por el número total de datos, es decr por el tamaño muestral h =f /N. Propedad: la suma de todas las frecuencas relatvas es gual a la undad. c) FRECUENCIA ACUMULADA (F ): Nos dce el número de datos que hay gual o nferores a uno determnado. Se calcula: F = j= f j = F + Propedad: La últma frecuenca acumulada absoluta es el tamaño muestral. f d) FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA (H ): Es el resultado de dvdr cada frecuenca F acumulada por el número total de datos H = = h j N j= Propedad: La últma frecuenca relatva acumulada es la undad. e) PORCENTAJES (P ): el tanto por cento de veces que aparece cada dato sería justamente P = 00.. h Los datos de una muestra suelen organzarse de dos formas: Datos sn agrupar (Carácter cualtatvo o cuanttatvo dscreto) En este caso, la característca que se estuda toma sólo unos pocos valores dferentes. En esta stuacón, los datos se agrupan en lo que se llama una tabla de frecuencas. Ejemplo 3: En un centro de enseñanza, los alumnos de º Bachllerato han dado a conocer, a través de una encuesta, sus preferencas a la hora de practcar un deporte. Las modaldades que ha ofrecdo el centro son: fútbol, baloncesto, yudo, gmnasa rítmca, volebol y balonmano. Los resultados de la encuesta aparecen resumdos en la sguente tabla: 4

5 Modaldades f h P Fútbol 4 0,33 3,3 Baloncesto 8 0,5,5 Yudo 9 0,069 6,9 G. rítmca 0,085 8,5 Volebol 6 0,3,3 Balonmano 4 0,85 8,5 N =30 00% Ejemplo 4: Se ha preguntado a los alumnos de una clase por el número de hermanos que tenen. Los resultados se han recogdo en la sguente tabla: x f F h H P ,8 0,8, ,4 0,53 4, 7 5 0,06 0,736 0, ,47 0,883 4, ,088 0,97 8, ,09,9 N =34 00% Datos agrupados (Varable cuanttatva contnua) La solucón es agrupar los dferentes valores de la varable en ntervalos o ntervalos de clase, tenendo en cuenta que lo que ganamos en manejabldad lo perdemos en nformacón, con lo que los resultados serán aproxmados. Agrupar en ntervalos de clase consste en agrupar los datos en un número relatvamente pequeño de ntervalos que cumplan: Llamaremos: - No se superpongan entre sí, de forma que no exsta ambgüedad con respecto a la clase a que pertenece una observacón partcular. - Cubran todos los valores que tenemos en la muestra. - A los extremos del ntervalo, límtes nferor y superor de la clase y los denotaremos por L -, L. - Marca de clase (c ) al punto medo del ntervalo, es decr, a la meda artmétca entre el límte L + L nferor y superor : c =.Es el valor que tomamos como representatvo. - Ampltud (a ) a la dferenca entre el extremo superor e nferor: a = L - L -. 5

6 COMO CONSTRUIR UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADA EN INTERVALOS. Empezamos determnando el recorrdo de la varable o rango de valores que tenemos en la muestra. Se defne como la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable. Re=x max -x mín. Número de clases: depende del tamaño de la muestra. Para muestras de tamaño moderado, N <50, se suele elegr un número de clases gual al número entero más cercano a N. 3. Determnamos la ampltud de los ntervalos. Es más cómodo que la ampltud de todas las clases sea la msma (sempre que sea posble), tenendo en cuenta la fórmula Re a = + E( ) nª dent ervalos NOTA: - Tomaremos como regla, a no ser que se ndque lo contraro, coger el ntervalo cerrado por la zquerda y aberto por la derecha. - Los ntervalos se deben construr de manera que el límte superor de una clase concda con el límte nferor de la sguente. Ejemplo 5: Elabora una tabla de frecuencas con las estaturas de 40 adolescentes:

7 - Valores extremos: x max =78, x mn =49 - Recorrdo o rango: Re= =9 - Nº de ntervalos: 40 = 6, Ampltud del ntervalo: a= + E = 5 6 Intervalos c f F h H P [ 49,54) 5,5 0,8 0,8,8 [ 54,59) 56, ,4 0,53 4, [ 59,64) 6,5 7 0,06 0,736 0,6 [ 64,69) 66, ,47 0,883 4,7 [ 69,74) 7, ,088 0,97 8,8 [ 74,79) 76, ,09,9 N =40 00% 7

8 4. REPRESENTACIONES GRÁFICAS CARACTERES CUALITATIVOS Se pueden representar medante un dagrama de barras. Este se construye dbujando sobre cada modaldad una barra, cuya altura representa la frecuenca absoluta. Ejemplo 6: Deporte f Baloncesto Natacón 3 Fútbol 9 Sn deporte Baloncesto Natacón Fútbol Sn deporte Tambén se pueden representar medante un dagrama de sectores. Es un círculo en el que se representan tantos sectores como modaldades haya, de forma que el ángulo de cada sector es proporconal a la frecuenca de la modaldad correspondente. Ejemplo 7: Deporte f ángulo Baloncesto 44º Natacón 3 36º Fútbol 9 08º Sn deporte 6 7º º 8

9 CARACTERES CUANTITATIVOS DISCRETOS Las dstrbucones de varables cuanttatvas dscretas se suelen representar medante dagramas de barras. Tambén tene nterés el polígono de frecuencas que se obtene unendo los extremos de las barras. Ejemplo 8: nº de hermanos f F 0 hermanos 5 5 hermano 7 hermanos hermanos 7 4 hermanos 8 8 CARACTERES CUANTITATIVOS CONTINUOS Las dstrbucones de varables cuanttatvas contnuas se suelen representar medante hstogramas. Para construr el hstograma se representan sobre el eje de abscsas los límtes de los ntervalos. Sobre dcho eje se construyen unos rectángulos que tenen por base la ampltud del ntervalo, y por altura, la frecuenca absoluta de cada ntervalo, sempre que todos los ntervalos tengan la msma ampltud; en caso contraro, las alturas de los rectángulos se calculan tenendo en cuenta que sus áreas deben ser proporconales a las frecuencas de cada ntervalo. Tambén tene nterés el polígono de frecuencas. Ejemplo 9: Alturas f F [.50,.60) 5 5 [.60,.70) 3 47 [.70,.80)

10 Ejemplo 0: Ojo! Cudado con uno de los errores más comunes a la hora de construr un hstograma. A veces cometdo por el desconocmento de la persona que construye el gráfco y a veces cometdo malntenconadamente para confundr a la persona a las que va drgdo. En la sguente tabla de frecuencas se muestra un conjunto de datos agrupados por ntervalos. Observa que el últmo ntervalo tene una ampltud que es el doble que la del resto. Clases f [0,) 30 [,4) 33 [4,6) 8 [6,8) 900 [8,) En la sguente gráfca se muestra un falso hstograma, en el que la altura de cada columna corresponde a su frecuenca absoluta. La sensacón que trasmte este gráfco es que el número de casos que corresponden al ntervalo [8,) es mucho mayor que los del ntervalo [6,8). 0

11 En el sguente gráfco, el hstograma se ha dbujado correctamente. El hacer que el área del rectángulo sea lo que concde con la frecuenca absoluta favorece que vsualmente se aprece la mportanca del últmo ntervalo en relacón con los demás. Para evtar este problema, en este curso nos centraremos en construr hstogramas cuyos ntervalos tengan gual ampltud.

12 5. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN La descrpcón gráfca es útl para entender los rasgos báscos de una dstrbucón, pero no resulta sufcente. En el caso de varables cuanttatvas, se pueden resumr los datos medante valores numércos que expresen el centro de las observacones y su dspersón alrededor de esta medda de poscón central. Se llaman meddas de centralzacón a los parámetros que ndcan el valor haca el que tenden a stuarse los datos de la dstrbucón. Las meddas de centralzacón más mportantes son: de tamaño, la meda artmétca, de frecuenca, la moda, y de poscón, la medana. NOTA: Es convenente para lo que sgue conocer el símbolo, que se utlza para representar brevemente una suma de muchos números. Por ejemplo, se puede escrbr 00 n. a) MEDIA La meda artmétca de un conjunto de N valores x, x, x 3,..., x N es el cocente entre la suma de todos los valores observados (valores de la varable) y el número total de observacones (tamaño poblaconal); se representa por x y su expresón artmétca es: x = x + x x N N = N = N x S tenemos la tabla de frecuencas absolutas, la meda se calcularía así: xf + xf xnfn x = f + f f n = n = n = xf f = n = xf N Cuando tenemos datos agrupados en ntervalos, consderaremos como valor de varable x al punto medo de cada ntervalo, es decr, la marca de clase. El valor calculado, evdentemente no es el valor real de la meda, pero compensa con la reduccón de operacones que hay que realzar. Además s los datos dentro del ntervalo están dstrbudos de un modo más o menos unforme la meda calculada se aproxma mucho a la real. Ventajas: - La meda es el valor medo o promedo de las observacones. - La meda es el parámetro de centralzacón más utlzado - Es un valor stuado entre los valores extremos de la varable. - Su cálculo sólo tene sentdo cuando la varable es cuanttatva. - Presenta rgor matemátco - Es sensble a cualquer cambo en los datos

13 - Tene en cuenta todos los valores de la muestra. Desventajas: - No sempre es posble calcular la meda e ncluso a veces ésta carece de sgnfcado. En estos casos se utlzan otras meddas de centralzacón. - Es sensble a los valores extremos. En efecto, s la muestra tene algún valor exageradamente grande o pequeño, la meda no es representatva como valor central del conjunto de datos. Ejemplo. En un I.E.S., exsten dos grupos de º Bachllerato. Las notas de Matemátcas en la º evaluacón para una muestra de 0 alumnos de cada grupo fueron las sguentes: Grupo A Notas x = 4, 6 f A Grupo B Notas x = 4, 6 f 3 B Aunque las dos medas concden, la meda del grupo B es más representatva que la meda del grupo A. Ejercco : Pensar algún caso en el que no pueda calcularse la meda, o en el que el valor de ésta carezca de sentdo Ejercco. Calcular la meda para las sguentes dstrbucones de datos: a) Caso : Pocos datos Notas de los alumnos de º Bachllerato: 6, 4, 3,, 8, 6, 5, 6, 7, 3,,, 7, 3, 9,,, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 4, 5 b) Caso : Pocos valores de la varable y muchos datos Notas de Matemátcas Nº de alumnos

14 c) Caso 3: Muchos valores de la varable y muchos datos (es el caso de varable contnua) Notas de Matemátcas [0,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,0) Nº de alumnos

15 b) MEDIANA La medana de una dstrbucón es un valor M e que dvde a la dstrbucón en dos partes guales; es decr, deja tantas observacones a la zquerda como a la derecha. - Para calcular la medana en caso de pocos datos y sn agrupar se colocan estos en orden crecente de magntud. S el número de datos es mpar la medana concde con el valor central. S el número de datos es par, cualquer valor comprenddo entre los dos valores centrales es una medana, pero se suele tomar el valor medo de los dos valores centrales. - S tenemos muchos datos y sn agrupar, se construye la tabla de frecuencas acumuladas F, y se toma la medana como aquel valor de la varable x para el cual F supere N. - En caso de datos agrupados en ntervalos prmero buscaremos el ntervalo medano, que es el prmer ntervalo de clase cuya frecuenca acumulada es superor a la mtad del número de observacones, N. Como prmera aproxmacón puede tomarse la medana como la marca de clase de dcho ntervalo; sn embargo podemos calcularla de forma más exacta con el sguente razonamento: s suponemos que los datos dentro de cada ntervalo están dstrbudos unformemente, y llamamos L al ntervalo medano; f a la frecuenca absoluta de dcho ntervalo y F - a la frecuenca [ ) L, + absoluta acumulada en el ntervalo anteror al medano, el cálculo de la medana es: M e N F = L + (L+ f L ) Al gual que sucedía con la meda, el valor calculado no es el valor real de la medana, pero compensa con la reduccón de operacones que hay que realzar. Además s los datos dentro del ntervalo están dstrbudos de un modo más o menos unforme el valor obtendo se aproxma mucho al real. Observacones sobre la medana: - En realdad la medana no utlza los valores de la muestra, sno que depende esencalmente de la colocacón de los datos en la msma. - Es útl cuando algún dato d la muestra es exageradamente grande o pequeño, o cuando los datos están agrupados en ntervalos y uno de ellos no tene límte defndo. Ejercco: 3.- Calcular la medana para las sguentes dstrbucones de datos: a) Caso: Notas de los alumnos de º Bachllerato: 6, 4, 3,, 8, 6, 5, 6, 7, 3,,, 7, 3, 9,,, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 4, 5 5

16 b) Caso : Notas de Matemátcas Nº de alumnos c) Caso 3: Notas de Matemátcas [0,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,0) Nº de alumnos

17 c) MODA La moda M o es el dato que más se repte, es decr el valor de la varable con mayor frecuenca absoluta. Es la únca medda de centralzacón que tene sentdo estudar en una varable cualtatva, pues no precsa la realzacón de nngún cálculo. La moda no tene por qué ser únca, sno que puede haber dstrbucones multmodales. S los datos están agrupados en ntervalos elegmos el ntervalo modal, que es aquel con mayor frecuenca absoluta. Aunque hay una fórmula para un cálculo más ajustado del valor de la moda, tomaremos como valor aproxmado de dcho parámetro la marca de clase correspondente. Ejercco 4 Se ha preguntado a un grupo de alumnos de º de Bachllerato sus pesos y los resultados obtendos se han colocado en la sguente tabla. Calcula la meda, medana y moda de la dstrbucón de datos: Peso [45,50) [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) [70,75] Nº de personas (f )

18 6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de centralzacón representan ben a un conjunto de datos cuando están agrupados en torno a ellas, pero no cuando hay bastantes observacones alejadas de ellas. Las meddas de dspersón mden, por tanto, el grado de alejamento de los datos respecto a las meddas de centralzacón, fundamentalmente respecto de la meda. Esas meddas son: A) RANGO O RECORRIDO El recorrdo de una dstrbucón es la dferenca entre el dato mayor y el dato menor obtendos al observar los valores de la varable. Cuando más pequeño es el rango más concentrado están los datos. El problema está en que haya algún dato muy extremo. S la varable es agrupada, se calcula la dferenca entre el límte superor del últmo ntervalo y el límte nferor del prmer ntervalo. B) VARIANZA Se llama varanza de una sere de datos x, x, x 3,..., x n, que tenen frecuencas f, f, f 3,..., f n respectvamente, y se representa por s, a la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones respecto de la meda, esto es: La varanza tambén puede calcularse como la meda de los cuadrados menos el cuadrado de la meda. s = n = f (x N x) s = n = s = x ( x) x N f n = n x N f Observacones sobre la varanza: - La varanza depende de todos los valores de la muestra. - La varanza nunca puede ser negatva. Vale cero úncamente cuando todos los datos son guales, y cuanto mayor sea más dspersos estarán los datos. - La varanza se mde usando el cuadrado de la undad de medda de la varable. S x son ltros, s se medrá en ltros al cuadrado. 8

19 C) DESVIACIÓN TÍPICA Es la raíz cuadrada postva de la varanza y se denota por s. s = n f (x = N x) D) COEFICIENTE DE VARIACIÓN Se llama coefcente de varacón y se representa por C.V. al cocente entre la desvacón σ típca y el valor absoluto de la meda. C.V. = x Consderacones: - Tanto la varanza como la desvacón típca mden la dspersón de los datos respecto de la meda. La varanza tene el nconvenente que la undad de medda en la que vene expresada es el cuadrado de la undad en que se expresan los datos; sn embargo, la desvacón típca vene expresada en las msmas undades que los datos, por eso es más utlzada. - El CV es un número real postvo que no tene dmensones, es decr, no depende de las escalas usadas al medr, y se utlza para comparar dspersones de dos varables estadístcas. En ocasones se suele expresar en tanto por cento. - El CV mde la dspersón relatva de los datos en relacón con la meda. Cuanto más pequeño sea más concentrados estarán los datos alrededor de la meda, sendo por tanto la meda más representatva. - S X e Y son dos varables de medas x e y y desvacones típcas s x y s y : a) S x = y b) S x y,, σ x < σ y x es más representatva. σ σ x y < x es más representatva. Es decr, s las medas son x y dstntas será más representatva la que tenga menor CV En ambos casos la sere de datos X está más concentrada que la sere Y. 9

20 Ejercco 5.- Calcular recorrdo, varanza, desvacón típca y CV para los datos: a) b) Notas de Matemátcas Nº de alumnos Notas de Matemátcas [0,5) [5,6) [6,7) [7,9) [9,0) Nº de alumnos

21 7. MEDIDAS DE POSICIÓN PERCENTILES Se llaman percentles a los 99 valores que dvden la sere de datos en 00 partes guales. Se representan por P, P,, P 99. El percentl P n, ndca que el n% de los datos está por debajo de este valor. Para calcular el percentl P n, utlzaremos la fórmula: (n/00) N sendo N el tamaño de la muestra. Una vez calculada esta cantdad, elegremos el prmer valor de la varable cuya frecuenca absoluta acumulada lo exceda Ejemplo : La sguente tabla representa las calfcacones de los alumnos de una clase en matemátcas. Calcula el percentl 30. x f F Como (30/00) 40=, el percentl P 30 =4. Ya que F 4 =3 y es el prmer valor de la frecuenca absoluta acumulada que excede a. CUARTILES Se llaman cuartles a los valores que dvden la sere de datos en cuatro partes guales. Se representan por Q, Q y Q 3. Para calcularlos basta tener en cuenta que Q =P 5, Q =P 50 =Me y Q 3 =P 75. En ocasones se utlza el rango ntercuartílco como medda de dspersón, para evtar los problemas de los valores extremos. RI = Q 3 -Q DECILES Se llaman decles a los nueve valores que dvden a la sere de datos en 0 partes guales. Se desgnan por D,D,,D 9. Para calcularlos basta tener en cuenta que D =P 0, D =P 0, D 9 =P 90.