Solución de la ecuación de Schödinger para una partícula libre.
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- Arturo Carrizo Cano
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1 Solución d l cución d Schöding un tícul lib. Vmos nliz l volución tmol d l función d ond d un tícul lib con un jmlo concto. Ptimos d l siguint condición inicil: (; ) ik dond y k son dos constnts ls. Lo qu tndmos s, o un ldo, nliz ls oidds d l tícul n l instnt inicil y o oto, obtn l función d ond n l instnt t. En im lug odmos clcul l vlo mdio d l osición y l dissión n l instnt inicil. L dnsidd d obbilidd l osición n l instnt inicil s: (; ) j (; )j (; ) (; ) El vlo mdio d l osición n l instnt inicil s: hi () (; ) d d L intgl ntio s nul usto qu l intgndo s un función im d. P clcul l dissión, ncsitmos conoc l vlo mdio d : () (; ) d d d Vmos hc l siguint cmbio d vibl: L intgl qud: s ds d d ds s ds () s s s ds s s ds 3 Po tnto, l dissión n t vl: () q h i () hi () Vmos obtn ho infomción sob l momnto d l tícul n l instnt inicil, lo cul ncsitmos conoc l función d ond n l sntción d momntos.
2 Clculmos n im lug l tnsfomd d Foui d l función (; ): (k; ) ik (; ) d ik ik d [ +ik ik ] d P clcul l intgl, scibimos l gumnto d l onncil como un cuddo fcto: + ik ik + i (k ) k + (k k ) L intgl qud: (k; ) Hcmos l cmbio d vibl ( +i (k k )) (k k ) d (k k ) ( +i (k k )) d s + i (k k ) ds d (k; ) (k k ) s ds L intgl qu qud s ud convti n un Gmm d Eul lizndo l cmbio: s ds s t sds dt ds t dt s ds t t dt Po tnto, l tnsfomd d Foui n l instnt inicil qud: (k; ) (k k ) A ti d st función odmos obtn dictmnt l función d ond n l sntción d momntos, (; ), y l dnsidd d obbilidd l momnto n l instnt inicil, (; ): (; ) } } ; } (; ) (; ) } } ( }k ) } ( }k )
3 Utilizndo st dnsidd d obbilidd vmos clcul l vlo mdio dl momnto y l dissión dl momnto n l instnt inicil. L distibución d obbilidds l momnto s un distibución Gussin. L distibución Gussin un vibl ltoi s tin l siguint fom: s (s) s (s hsi) s A ti d l distibución (; ) odmos dduci lo siguint: hi () }k () } A ti d l función d ond n l instnt inicil hmos obtnido infomción, tnto sob l osición d l tícul como sob su momnto, n ticul los vlos mdios y dissions qu hmos obtnido sts mgnituds son: hi () () hi () }k () } Podmos d o tnto un inttción ls constnts y k qu cn n l función d ond inicil. L constnt stá lciond con l dissión n l osición, mints qu l constnt k stá lciond con l vlo mdio dl momnto n l instnt inicil. Po último, l dissión n l momnto vi c l inciio d indtminción, y qu ()() }. A continución vmos obtn l función d ond n l instnt t, lo qu nos mitiá ncont ls cctístics d l tícul n dicho instnt. L función d ond (; t) s obtin solvindo l cución d Schöding, qu l cso d un tícul lib qu s muv lo lgo dl j (; t) (; t) Aho bin, dich función d ond tmbién s ud obtn ti d l tnsfomd d Foui n l instnt inicil: Alicmos st cución nusto cso: (; t) (k; ) i(k!t) dk (; t) () (k k ) i(k!t) dk h i (k k ) i(k }k tm) dk () 3 3
4 P clcul l intgl ntio, comltmos l cuddo d l onncil como un función d k: }k t k m L intgl qud: (; t) (k k ) i m k () 3 k i + k i + k q m +i}tmk k + k A + }k + i }t m i+ k +i}tm ik i}k ik + i }k t m tm ( }k tm) +i}tm dk Podmos sc fu todo lo qu no dnd d k: (; t) () 3 ik i}ktm ( }ktm) +i}tm +i}tmk i+ k +i}tm dk A continución hcmos l cmbio d vibl: s + i}tmk i + k + i}tm dk + i}tm ds y qud: (; t) () 3 ik i}ktm ( }ktm) +i}tm s ds + i}tm L intgl qu qud vl como sim, d modo qu: 8 (; t) + i }t ik i}k m tm >< >: }k + i }t m Po último, ti d l función d ond, odmos clcul l dnsidd d obbilidd d ncont l tícul n l osición, l instnt t: 9 > >; (; t) j (; t)j (; t) (; t) + } t >< m >: 8 }k + } t m 9 > >;
5 Est función sult s d nuvo un distibución Gussin, d l qu odmos t l vlo mdio dl momnto y l dissión l osición. hi (t) }k (t) + } t m Po tnto, l cnto d l distibución s dslz un vlocidd }k m hi ()m, l igul qu n l moviminto ctilíno y unifom d l mcánic clásic. Po oto ldo, l dissión umnt dbido qu n l instnt inicil l tícul no tin un vlocidd bin d nid. Podmos combién l sultdo d l dissión con l mcánic clásic. L dissión n l vlocidd vl: v m } m Est dissión n l vlocidd oduc un dissión n l osición n l instnt t: vt ) }t m Podmos comob qu st sultdo coincid con l d l mcánic cuántic timos gnds. 5
r,, R r exp exp 1 cos cos 1
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