Nos aproximamos al método de Gauss

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1 Lmberto Cortár Vinues 7 SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS. TEMAS WIKI Nos proimmos l método de Guss Hst hor hemos resuelto sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits. Por ejemplo: Recuerd que podímos empler tres métodos de resolución: igulción, sustitución reducción. Supongmos que hor queremos resolver el siguiente sistem con tres incógnits: 8 No necesitmos ningún método nuevo, simplemente despejmos en l tercer ecución llevmos su vlor l segund ecución, de l que obtendremos. Conocidos los vlores de e, es fácil deducir el vlor de utilindo l primer ecución. Observ: 8 = = + = ; = 8 = 8; = Decimos que el sistem tiene solución: = ; = ; = Tmbién se suele poner que (,, es solución del sistem. Si todos los sistems de tres ecuciones con tres incógnits fuern como el nterior, serí mu sencillo resolverlos. Pues nd, si el sistem tiene un estructur distint lo que tenemos que hcer es convertirlo en un sistem equivlente cu estructur se similr l nterior está. Ls mniobrs que tendremos que hcer pr logrr nuestro objetivo constituen el denomindo método de Guss o método de tringulción o de cscd. Imgins por qué se cuñron estos nombres? En definitiv: Ddo un sistem de tres ecuciones con tres incógnits tenemos que convertirlo en uno equivlente cu primer ecución teng ls tres incógnits, l segund dos l tercer solo un. Así: A B C P D E Q F R Obtenid est estructur se dice que el sistem está tringuldo o en cscd. Pr ir trnsformndo el sistem que nos den en otro equivlente recuerd lo que hcímos en el método de reducción pr sistems de dos incógnits: Multiplicr un ecución enter por un número distinto de cero (o dividir Sumr dos ecuciones (tmbién se pueden restr, pero es más rriesgdo Págin de 8

2 Lmberto Cortár Vinues 7 Págin de 8 Aplicmos el método de Guss Culquier sistem puede tener solución o no tenerl. Necesito un descnso después de l profund refleión que cbo de hcer Si el sistem tiene solución se dice que es comptible si no l tiene diremos que es incomptible. Necesito otro descnso Si es incomptible no h nd más que decir; el sistem no tiene solución está. Estos sistems ern mis preferidos cundo tení que eminrme: el ejercicio se terminb rpidito. Averigur que el sistem es incomptible es fácil porque en lgún momento del proceso nos encontrremos con un ecución que eprese lgun tonterí del estilo = (supongo que te precerá un tonterí decir que cinco es igul que cero. Antes de seguir, vmos con un ejemplo de sistem incomptible de pso empemos prcticr eso de multiplicr ecuciones por números (cundo multipliquemos por - diremos que cmbimos de signo tod l ecución sumrls. R F Q E D P C B A L primer ecución siempre se dej como está. Si no te gust l que está l primer l cmbis por otr, pero l que dejes como primer l mntienes hst el finl. Profe, cómo sé si me gust l primer ecución? Pcienci, lo irás descubriendo. Con l equis de l primer ecución vmos eliminr ls equis de l segund tercer ecución. Cmbimos de signo l primer ecución se l summos l segund; multiplicmos por - l primer ecución se l summos l tercer: 6 Prctic con estos dos: b Objetivo Eliminr los tres señldos -I + II -I + III Sistem Incomptible (SI Este sistem es similr l nterior, incluso más sencillo porque l equis de l primer ecución tiene signo contrrio l de ls equis de l segund tercer ecuciones. L novedd está en dónde prece l ecución bsurd. L primer ecución no me gust pr ocupr ese puesto, prefiero l segund por eso ls he cmbido de posición. Adivins l rón? I II

3 Lmberto Cortár Vinues 7 Si el sistem es comptible por tnto tiene solución, puede ser que teng un únic solución o que el número de soluciones se infinito. Sí, sí, infinits soluciones, ni dos, ni tres, ni curent. O tiene un o tiene infinits, los sistems son sí de etremos. Si l solución es únic se clcul sunto termindo. Diremos que el sistem es comptible determindo: comptible porque tiene solución determindo porque l solución se puede determinr de mner concret (es únic. Vemos un ejemplo: I III I + II -I + III Hemos cmbido l primer l tercer ecuciones pr dejr en primer lugr l ecución que es más propid pr hcer cero ls equis de l segund tercer. L primer ecución no se toc, se qued sí no se vuelve utilir. Y tenemos tres incógnits en l primer ecución dos en l segund. Únicmente nos flt dejr solo un en l tercer. Utilindo l segund ecución (recuerd que l primer no l puedes volver usr tenemos que hcer cero un de ls incógnits de l tercer pr que en l tercer ecución solo quede un. Observmos que es más fácil hcer cero l de l tercer (bst con sumr l segund l tercer II + III 7 6 = = 6; = + = ; = Sistem comptible determindo (. Solución únic: (-,, Otr mner de trbjr los sistems es utilindo únicmente los coeficientes de ls incógnits. Utilimos únicmente l mtri de los números cundo esté tringuld (tres, dos uno volvemos poner el sistem con sus incógnits resolvemos. Observ: Un ve conseguido el objetivo: tres, dos, uno (números distintos de cero volvemos escribir el sistem pr resolverlo. 7 6 = = 6; = + = ; = Págin de 8

4 Lmberto Cortár Vinues 7 Si el sistem es comptible pero tiene infinits soluciones el proceso se complic un poco. En este cso diremos que el sistem es comptible indetermindo. Estos sistems se reconocen porque vmos perder un ecución. Nos quedremos con más incógnits que ecuciones, en este cso tres incógnits dos ecuciones. En ocsiones el ejercicio viene desde el principio con dos ecuciones tres incógnits. El truco pr resolverlo será trnsformrlo en un sistem de dos ecuciones con dos incógnits pr lo cul convertiremos un de ls incógnits (csi siempre l en un prámetro, un número,, que puede doptr culquier vlor. L solución dependerá de ese prámetro. Aprende con este ejemplo: I + II -I + III II + III Nos hemos queddo sin l tercer ecución que no port nd, = es evidente (no es un tonterí como el = 6 del ejemplo de sistem incomptible. Tenemos, pues, un sistem con dos ecuciones tres incógnits. Convertimos en prámetro l psmos l otro miembro como número. = = + = = = Hemos termindo. L solución es: = 7; = ; = De otr form: ( 7,, Efectivmente, hemos encontrdo infinits soluciones, un pr cd vlor de λ: = (,, ( 7,, = (,, El sistem es comptible indetermindo (SCI Si lo hcemos con l mtri de los números: I + II -I + III II + III Págin de 8

5 Lmberto Cortár Vinues 7 Págin de 8 Esquem de clsificción de los sistems Prctic con cutro sistems comptibles: b c d S I S T E M A Tiene solución S. COMPATIBLE No tiene solución SISTEMA INCOMPATIBLE (SI Solución únic SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO ( Infinits soluciones SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (SCI Prctic utilindo l mtri de los coeficientes. Coloc como primer ecución quell que se más rentble. No utilices l mtri de los coeficientes. Observ que h más incógnits que ecuciones. Este es un sistem homogéneo (tods ls ecuciones son igul cero Los sistems homogéneos siempre son comptibles que l menos tienen l solución (,,, pero podrí ser comptible indetermindo tener infinits soluciones.

6 Lmberto Cortár Vinues 7 Págin 6 de 8 Ejercicios 6 6 SCI SI SCI 9 6 SCI De selectividd CCSS II Mdrid, junio 7 Considérese el sistem de ecuciones dependiente del prámetro rel : Discútse en función de los vlores del prámetro. b Resuélvse pr = [: (,, ] (El primer prtdo prenderás resolverlo en º, hor resuelve el prtdo b Mtemátics II Mdrid, junio 7 Ddo el siguiente sistem de ecuciones Discutirlo en función de los vlores del prámetro. b Resolver el sistem pr = :,, c Resolver el sistem pr = :,, (El primer prtdo prenderás resolverlo en º, hor resuelve los prtdos b c CCSS II, Mdrid 6 Los enuncidos son similres los nteriores. Nos sltmos el prtdo en el que se pide discutir el sistem dejmos únicmente ls resoluciones. [: ] [: (,, ] [: ] :,,

7 Lmberto Cortár Vinues 7 Págin 7 de 8 [: (,, ] :,, Se consider el sistem de ecuciones dependientes del prámetro rel : Resuélvse el sistem pr = ; = =. : =, ; =, (,, ; =, (, 9, 9 Mtemátics II, Etremdur 7 6 Estudie como es el siguiente sistem de ecuciones resuélvlo: : ; ( +, + 7 9, CCSS II, Cstill León 7 Resuelve el siguiente sistem linel de ecuciones pr = [: (,, ] CCSS II, Ctluñ 6 8 Se el sistem de ecuciones: 6 Justifique si es comptible determindo. b Resuelv el sistem formdo por ls dos primers ecuciones. : ( 6 + 7, , CCSS II, UNED 9 Resuelv el siguiente sistem de ecuciones lineles: 7 Resuelv usndo el método de Guss o lgún método mtricil. : ( 7 7, 8, 7

8 Lmberto Cortár Vinues 7 En problems CCSS II, Mdrid Un estudinte h gstdo un totl de 8 euros en l compr de un mochil, un bolígrfo un libro. Si el precio de l mochil se redujer l set prte, el del bolígrfo l tercer prte el del libro l séptim prte de sus respectivos precios iniciles, el estudinte pgrí un totl de 8 euros por ellos. Clculr el precio de l mochil, del bolígrfo del libro, sbiendo que l mochil cuest lo mismo que el totl del bolígrfo el libro. Solución: Mochil, = ; bolígrfo, = libro, = Hemos ido tres dís seguidos l br de l Universidd. El primer dí tommos cfés, refrescos btidos, el precio fue de 7. El segundo dí tommos cfé, refrescos btidos, el precio totl fue de. Por último, el tercer dí tommos cfés un btido, el precio fue de. Justifíquese rondmente si con estos dtos podemos determinr o no el precio de un cfé, de un refresco de un btido, suponiendo que estos precios no hn vrido en los tres dís. Solución: No se puede determinr de mner concret CCSS II, Vlenci 7 6 Un estudinte obtuvo un clificción de 7, puntos en un emen de tres pregunts. En l tercer pregunt obtuvo un punto más que en l segund los puntos que consiguió en l primer pregunt quintuplicron l diferenci entre l puntución obtenid en l tercer primer pregunts. Cuál fue l puntución obtenid en cd un de ls pregunts? Solución: ª pregunt, =, puntos; ª pregunt, = puntos ª pregunt, = puntos Un resturnte ofrece cd dí desunos, comids cens. Los desunos cuestn euros, ls comids 8 ls cens. El último sábdo se sirvieron tnts comids como desunos cens juntos. L recudción totl fue de 6 euros. L recudción obtenid con ls comids superó ls de ls cens en 6 euros. Cuántos desunos, comids cens se sirvieron? b Qué beneficio se obtuvo si ls gnncis de un desuno son, euros, ls de un comid euros ls de un cen euros? Solución: desunos, = ; comids, = 7 cens, =. Beneficio: 7 euros CCSS II, Zrgo 7 Un empres invirtió un totl de euros entre tres fondos A, B C. El beneficio que obtuvo por cd euro invertido en el fondo A fue de, euros, en el fondo B, euros en el fondo C, euros. Con ests inversiones obtuvo un beneficio totl de 97 euros. Además, l inversión en el fondo A fue igul l triple de l sum de ls inversiones en B C. Cuánto dinero invirtió en cd fondo? Solución: fondo A, = 7 ; fondo B, = 9 fondo C, = 6 CCSS II, Murci 6 En un empres trbjn empledos de ls ctegorís A, B C. El slrio mensul de cd trbjdor es de, 7 euros respectivmente. Todos los trbjdores destinn el % de su slrio un pln de pensiones, lo que sciende en un mes un totl de 9 euros. El número de trbjdores de l ctegorí A es el % de los de l ctegorí B. El número de trbjdores de l ctegorí B más el de l C super en l número de trbjdores de l ctegorí A. Hllr el número de trbjdores de cd ctegorí que tiene l empres. Solución: trbjdores A, = ; trbjdores B, = trbjdores C, = Págin 8 de 8