Matrices Inversas. Rango Matrices Elementales

Transcripción

1 Matrices Inversas. Rango Matrices Elementales Araceli Guzmán y Guillermo Garro Facultad de Ciencias UNAM Semestre doyouwantmektalwar.wordpress.com

2 Matrices Matrices identidad La matriz identidad de tamaño n, es la matriz cuadrada I n = (δ ij ) n tal que δ ij = { 1 i = j, 0 i j. (Conocida como delta de Kronecker) Esto es, I n tiene 1 s en su diagonal, y 0 s en el resto de las entradas. Por ejemplo, I 1 = (1) I 2 = ( ) I 3 = I 4 = Teorema Si A es una matriz cuadrada de tamaño n, entonces AI n = I na = A. Si no hay lugar a confusión, podemos escribir simplemente I y obviar el tamaño. Lo mismo haremos si, dado el contexto, podemos entender con toda seguridad el tamaño.

3 Matrices invertibles y matrices inversas Dada una matriz cuadrada A de tamaño n, decimos que A es invertible si existe una matriz B tal que AB = BA = I n Decimos en este caso que B es la inversa de A y usamos la notación B = A 1. La nomenclatura y la notación queda justificada con el siguiente Teorema La matriz inversa de una matriz invertible es única Demostración. Si B y B son inversas de A, entonces B = BI n = B(AB ) = (BA)B = I nb = B. Si una matriz cuadrada no es invertible decimos que es singular.

4 Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones Teorema Si una matriz cuadrada A de tamaño n es invertible, entonces para todo b R n, el sistema Ax = b tiene solución única. Demostración. Solo hay que formalizar algunas de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existencia) Sea b un vector cualquiera en R n. Sea x = A 1 b. Tenemos Ax = A(A 1 b) = (AA 1 )b = I nb = b. (Prueba de unicidad) Supongamos ahora que y R n cumple la igualdad Tenemos Ay = b. A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b I ny = A 1 b y = A 1 b

5 Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones Teorema Si una matriz cuadrada A de tamaño n es invertible, entonces para todo b R n, el sistema Ax = b tiene solución única. Demostración. Solo hay que Una formalizar cadenita algunas de implicaciones de las observaciones que ya hemos hecho. (Prueba de existencia) Sea b un vector cualquiera en R n. Sea x = A 1 b. Tenemos A es invertible Ax = A(A 1 b) = (AA 1 )b = I nb = b. b R n (Ax = b tiene solución (Prueba de unicidad) Supongamos ahora que y R n única) cumple la igualdad Ay = b. Tenemos A 1 (Ay) = A 1 b (A 1 A)y = A 1 b I ny = A 1 b y = A 1 b

6 Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones Corolario Sea A una matrix cuadrada de tamaño n. Si A es invertible, el sistema homogéneo Ax = 0 tiene únicamente la solución trivial x = 0. Demostración. Para todo b R n, el sistema Ax = b tiene solución única. En particular, el sistema homogéneo Ax = 0 tiene solución única. Pero la solución trivial x = 0 es siempre solución del sistema homogéneo, de manera que ésta debe ser única.

7 Matrices invertibles y sistemas de ecuaciones Corolario Sea A una matrix cuadrada de tamaño n. Si A es invertible, el sistema homogéneo Ax = 0 tiene únicamente la solución trivial x = 0. Una cadenita de implicaciones Demostración. A es invertible Para todo b R n, el sistema bax R= n (Ax b tiene = bsolución tiene solución única. única) En particular, el sistemaax homogéneo = 0 tieneax únicamente = 0 tienesolución trivial única. x = 0 Pero la solución trivial x = 0 es siempre solución del sistema homogéneo, de manera que ésta debe ser única.

8 Matrices inversas. Propiedades Teorema Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible. Entonces: 1. A 1 es invertible y (A 1 ) 1 = A. 2. Si λ 0, λa es invertible y (λa) 1 = 1 λ A A T es invertible y (A T ) 1 = (A 1 ) T. 4. Para cualquier natural m > 0, A m es invertible y (A m ) 1 = (A 1 ) m. Demostración. 1. Inmediato, puesto que AA 1 = A 1 A = I. 2. Tenemos que ( ) 1 λ A 1 (λa) = λ λ A 1 A = I. 3. Nuevamente, (A T )(A 1 ) T = (A A) T = I T = I. 4. Se deja al estudiante.

9 Matrices inversas. Propiedades Teorema Si A y B son matrices cuadradas invertibles del mismo tamaño, entonces el producto AB es invertible y (AB) 1 = B 1 A 1. Demostración. (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Corolario Si A 1, A 2,..., A n son matrices cuadradas invertibles del mismo tamaño, entonces B = A 1 A 2 A n es invertible y B 1 = (A 1 A n) 1 = A 1 n A 1 2 A 1 1. Si A es una matriz cuadrada inveritible y n > 0 es un número entero, entonces definimos A n = (A 1 ) n

10 Operaciones Elementales Recordemos que las operaciones elementales por renglón sobre matrices son de tres tipos: 1. Intercambiar un renglón por otro. 2. Multiplicar un renglón por un escalar distinto de cero. 3. Sumar a un renglón un múltiplo escalar de otro. Decimos que dos matrices A y B son equivalentes (por renglón), lo que escribirmos A B, si B puede obtenerse de A mediante operaciones elementales. Es claro que A A. Pero obsevamos que de hecho, toda operación elemental es reversible con una operación del mismo tipo. Así que si B puede obtenerse de A mediante operaciones elementales, entonces A puede obtenerse de B mediante operaciones elementales. Es decir, A B si y sólo si B A. Por otra parte, si A, B y C son matrices tales que A B y B C, entonces es claro que A B. Por lo tanto, la equivalencia por renglón, es una relación de equivalencia en el espacio de todas las matrices.

11 Formas escalonadas Una matriz está en forma escalonada (por renglones) si tiene las siguientes propiedades 1. Todas las filas diferrentes de cero están arriba de cualquier fila con puros ceros 2. Cada entrada principal de una fila está en columna a la deracha de la entrada principal de una fila superior. 3. Todas las entradas de una columna que estén debajo de una entrada principal son cero. Si una matriz cumple además las siguientes propiedades, entonces está en forma escalonada reducida (por renglones): 4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es Cada 1 principal es la única entrada diferente de cero en su columna.

12 Formas reducidas y sistemas de ecuaciones Teorema : Existencia y Unicidad de la Forma Escalonada Reducida Toda matriz es equivalente a una única matriz escalonada reducida Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene solución) si y sólo si, la forma escalonada reducida de la matriz aumentada no tiene un renglón de la forma ( b), con b 0. Si el sistema es consistente, entonces el conjunto solución contiene ya sea una solución, cuando no existen variables libres, o un número infinito de soluciones, cuando existe al menos una variable libre.

13 Así que I n es la forma reducida de A. Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Formas reducidas y sistemas de ecuaciones Teorema Sea A = (a ij ) n n una matriz cuadrada de tamaño n. El sistema homogéneo Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n si y sólo si, A es equivalente por renglón a la matriz identidad I n. Demostración. Supongamos que el sistema homogéneo Ax = 0 n tiene únicamente la solución trivial. Esto es, los siguientes sistemas son equivalentes En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea, entonces

14 Formas reducidas y sistemas de ecuaciones Teorema Sea A = (a ij ) n n una matriz cuadrada de tamaño n. El sistema homogéneo Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n si y sólo si, A es equivalente por renglón a la matriz identidad I n. Demostración. Una cadenita de implicaciones Supongamos que el sistema homogéneo Ax = 0 n tiene únicamente la solución trivial. Esto es, los siguientes sistemas son equivalentes A es invertible b R n (Ax = b tiene solución única) Ax = 0 tiene únicamente solución trivial x = 0 A I En otras palabras, si aplicamos al algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz aumentada del sistmea, entonces Así que I n es la forma reducida de A.

15 Matrices Elementales Una matriz elemental (por renglón) E, de tamaño n, es la que resulta de realizar alguna de las operaciones elementales sobre la matriz identidad I n.

16 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Operaciones y Matrices Elementales Teorema : Operaciones elementales por producto de matrices Si una matriz elemental E es el resultado de realizar una cierta operación por renglón sobre la identidad I m, y A es una matriz de m n, entonces el producto EA es la matriz que resulta cuando realizamos la misma operación sobre A.

17 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Operaciones y Matrices Elementales

18 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Operaciones y Matrices Elementales

19 Matrices Elementales y Equivalencia por Renglón Corolario Sean A y B matrices. Entonces A B si y sólo si, existe una sucesión finita E 1,..., E k de matrices elementales tales que B = E 1 E 2 E k A. Demostración. Supongamos que B se obtiene desde A mediante k operaciones elementales. Podemos hacer una interpretación algorítmica, en el sentido de que B se obtiene de A en k pasos sucesivos, cada paso corresponde a la aplicación de una operación elemental. Para cada 1 i k, sea E i la matriz elemental correspondiente a la operación del i-ésimo paso. La matriz B se obtiene sucesicamente del modo siguiente A, E 1 A, paso 1: aplicamos la primera operación elemental E 2 E 1 A, paso 2: aplicamos la segunda operación elemental.. B = E k E 2 E 1 A, paso k: aplicamos la k-ésima (y última) operación elemental

20 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Inversas de Matrices Elementales Teorema : Inversas de Matrices Elementales Toda matriz elemental es invertile, y la inversa es también una matriz elemental. Más aún, la inversa de una matriz elemental E se obtiene con una operación sobre la identidad del mismo tipo con la que se obtuvo E.

21 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Operaciones y Matrices Elementales

22 Inversas de Matrices Elementales

23 Determinante de Matrices Elementales Teorema Si E es una matriz elemental, E = 0. Especifícamente, 1. Si E se obtiene de multiplicar por λ 0 el renglón i de I, entonces E = λ. 2. Si E se obtiene de intercambiar dos renglones de I, entonces E = Si E se obtiene de sumar λ R veces el renglón j al renglón i de I, entonces E = 1. Ejemplos Sean E 1 = ( ) λ 0, E = ( ) 0 1 y E = ( ) 1 λ. Entonces 0 1 E 1 = λ = λ E 2 = = 1 E 3 = ( ) 1 λ =

24 Matrices Elementales y Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Teorema Para toda matriz B, B I si y sólo si, B es el producto de matrices elementales. Demostración. Si B I, entonces existen matrices elementales E 1, E 2,..., E k tales que B = E 1 E 2 E k I. Pero I es elemental. Así que B es el producto de matrices elementales. Por otra parte, si B = E 1 E 2 E k, donde cada E i es elemental, i = 1,..., k, entonces simplemente escribimos B = E 1 E 2 E k I. Por lo tanto B I. Teorema El sistema homogéneo tiene solución unica (trivial) si y sólo si A es el producto de matrices elementales

25 Matrices Elementales y Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Teorema Para toda matriz B, B I si y sólo si, B es el producto de matrices elementales. Una cadenita de implicaciones Demostración. A es invertible Si B I, entonces existen b matrices R n (Ax elementales = b tiene E 1 solución, E 2,..., única) E k tales que B = E 1 E 2 E k I. Pero I es elemental. Así que B es el producto de matrices elementales. Ax = 0 tiene únicamente solución trivial x = 0 Por otra parte, si B = E 1 E 2 E k, donde cada E i es elemental, i = 1,..., k, entonces simplemente escribimos B = E 1 E 2 E k I. A Por lo I tanto B I. Teorema A = E 1 E 2 E k, con E 1, E 2,..., E k son matrices elementales El sistema homogéneo tiene solución unica (trivial) si y sólo si A es el producto de matrices elementales

26 Matrices Elementales y Matrices Invertibles Teorema Si A es un producto de matrices elementales, entonces A es invertible. Demostración. Las matrices elementales son invertibles, así que si A es un producto de matrices elementales, A es invertible.

27 Matrices Elementales y Matrices Invertibles Una cadenita de implicaciones Teorema A es invertible Si A es un producto de matrices elementales, entonces A es invertible. b R n (Ax = b tiene solución única) Demostración. Ax = 0 tiene únicamente solución trivial x = 0 Las matrices elementales son invertibles, asíaque Isi A es un producto de matrices elementales, A es invertible. A = E 1 E 2 E k, con E 1, E 2,..., E k son matrices elementales A es invertible

28 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Sea A una matriz cuadrada de tamaño n. Son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene solución única para todo b R n. 3. Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n. 4. La forma escalón reducida de A es I n. 5. A es el producto de matrices elementales.

29 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Ejemplo

30 Ejemplo

31 Método de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa Si A es una matriz cuadrada invertible de tamaño n, entonces existe una sucesión finita de matrices elementales E 1,..., E k tales que I n = E k E 2 E 1 A Por lo tanto, si multiplicamos (por la derecha) ambos lados de esta última igualdad por A 1, A 1 = E k E 2 E 1 I n. Esta última igualdad nos dice que la misma secuencia de operaciones por renglón que sirven para reducir A en I n, sirven para reducir I n en A 1. En vista de esta observación, podemos establecer un método para encontrar matrices inversas el cual ilustramos a continuación con algunos ejemplos.

32 Método de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

33 Método de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

34 Método de Gauss-Jordan para encontrar la matriz inversa

35 Determinantes y Matrices Elementales Lema Sean B una matriz cuadrada y E una matriz elemental del mismo tamaño de B. Entonces EB = E B. Ejemplos Sean E 1 = ( ) λ 0, E = ( ) 0 1 y E = ( ) ( ) E 1 B = λ 0 a b = 0 1 c d λa c ( ) 1 λ. Y sea. B = 0 1 λb d = λ a c ( ) a b. Entonces c d b d = E 1 B. ( ) ( ) E 2 B = 0 1 a b = 1 0 c d c d a b = a b c d = E 2 B ( ) ( ) E 3 B = 1 λ a b = 0 1 c d a + λc b + λd c d = a b c d + λc λd c d = a c b d = E 3 B.

36 Matrices Escalonadas Lema Si A es una matriz cuadrada en forma escalón reducida por renglón, entonces A = I, o bien A tiene un renglón o una columna de ceros. Demostración. Veamos el caso de una matriz cuadrada de tamaño 3. Sea pues A = (a ij ) 3 3 una matriz cuadrada de tamaño 3, y supongamos que A está en forma escalón reducida y sin columnas ni renglones de ceros. En particular esto significa que a 11 = 1 (de lo contario, la primera columna sería de ceros). Por lo tanto a 21 = 0 = a 31. Ahora, si a 22 = 0, entonces a 32 = 0, y dado que A no tiene columnas ni renglones de ceros, también a 12 0 (de hecho a 12 = 1) y a 33 0 (de hecho a 33 = 1). Pero de ello también se sigue que a 23 = 0. Luego, el renglón 2 es de ceros. Contradicción. Por tanto a 22 = 1. Y en consecuencia, a 12 = 0 = a 32. De ello se sigue finalmente que a 33 = 1, y por tanto a 31 = 0 = a 32. Esto es, A = I 3.

37 Matrices inversas. Rango. Matrices Elementales Determinantes de matrices escalonadas Lema Si A es una matriz cuadrada en forma escalonada reducida por renglón, entonces A = 1 si A = I o bien A = 0 en otro caso. Demostración. Inmediato del lema anterior. Lema Sea A una matriz cuadrada y sea R su forma escalón reducida por renglón. Entonces A = 0 si y sólo si R = 0 (o equivalentemente A = 0 si y sólo si R = 0). Demostración. Para una colección finita de matrices elementales E 1, E 2,..., E k, se cumple la igualdad R = E k E k 1 E 2 E 1 A. Luego, R = E k E k 1 E 2 E 1 A = E k E k 1 E 2 E 1 A.. = E k E k 1 E 2 E 1 A. La conclusión del lema se sigue puesto que E i = 0 para toda i = 1,..., k.

38 Matrices Invertibles Teorema Una matriz cuadrada A es invertible si y sólo si A = 0. Demostración. Sea R la forma escalón reducida de A. Si A es invertible, entonces R = I, y por el lema anterior, A = 0 puesto que I = 1. Recíprocamente, si A 0, entonces nuevamente por el lema anterior, R 0. Y como R está en forma escalón reducida, se sigue que R = I, así que A es invertible. Observación Hay que notar que esta prueba no usa en absoluto la Regla de Cramer.

39 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Sea A una matriz cuadrada de tamaño n. Son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene solución única para todo b R n. 3. Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n. 4. La forma escalón reducida de A es I n. 5. A es el producto de matrices elementales. 6. A = 0.

40 Matrices Invertibles Corolario Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño, tales que AB = I ó BA = I, entonces A es invertible y B = A 1. Demostración. Supongamos que BA = I. Consideremos el sistema homogéneo Ax = 0. (Recordemos que un sistema homogéneo tiene siempre solución trivial). Multiplicamos por la derecha por B, BAx = B0 Ix = 0 x = 0. Esto implica que esl sistema homogéneo tiene una única solución x = 0. Por el Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles (TFMI), A es invertible. Y si ahora multiplicamos por la derecha ambos lados de BA = I, obtenemos BAA 1 = IA 1 BI = A 1 B = A 1

41 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Sea A una matriz cuadrada de tamaño n. Son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene solución única para todo b R n. 3. Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n. 4. La forma escalón reducida de A es I n. 5. A es el producto de matrices elementales. 6. A = Existe una matriz B tal que AB = I. 8. Existe una matriz B tal que BA = I.

42 Regla del Producto del Determinante Corolario Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Entonces AB = A B. Demostración. Partiremos la demostración en dos casos, a saber, A invertible y A no invertible. Supongamos que A es invertible. Entonces, por el TFMI, A = E 1 E 2 E k, donde E i es elemental para toda i = 1, 2,.., k. Luego, por uno de los lemas probado anteriormente, AB = E 1 E 2 E k B = E 1 E 2 E k B.. = E 1 E 2 E k B = E 1 E 2 E 3 E k B.. = E 1 E 2 E k B = A B.

43 Regla del Producto del Determinante Corolario Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño. Entonces AB = A B. Demostración. Supongamos que A no es invertible. Vamos a verificar que AB no es invertible. Si lo fuera, entonces para alguna matriz C se tiene A(BC) = (AB)C = I. Se sigue que A es invertible (por el corolario anterior). Contradicción. Por lo tanto AB = 0 = 0 B = A B.

44 Rango de una matriz El rango de una matriz A = (a ij ) m n es igual al número de renglones distintos del renglón cero de la forma escalonada reducida de A. Usamos la notación rank(a). Observe que 0 rank(a) m. Pero se puede probar que rank(a) = rank(a T ). Por lo tanto también se cumple que 0 rank(a) n.

45 Rango de una matriz Teorema Una matriz cuadrada A de tamaño n es invertible si y sólo si, rank(a) = n. Demostración. Si A es invertible, entonces por el TFMI, su forma escalón reducida es I n. Y desde luego, el número de renglones distintos del renglón cero de I n es n. Recíprocamente, si rank(a) = n, entonces la forma escalón reducida de A tiene n renglones distintos del renglón cero. Pero ya probamos que la forma escalón reducida de una matriz cuadrada es la identidad I n o bien tiene al menos un renglón de puros ceros. Como no sucede lo segundo, se tiene que la forma escalón reducida de A es I n. Por el TFMI, A es invertible. Teorema Sea A una matriz de n m tal que rank(a) = r, y sea b R n. Supongamos que el sistema Ax = b es consistente. Entonces la solución general del sistema tiene n r parámetros (variables libres).

46 Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Teorema Fundamental de las Matrices Invertibles Sea A una matriz cuadrada de tamaño n. Son equivalentes: 1. A es invertible. 2. Ax = b tiene solución única para todo b R n. 3. Ax = 0 n tiene únicamente solución trivial x = 0 n. 4. La forma escalón reducida de A es I n. 5. A es el producto de matrices elementales. 6. A = Existe una matriz B tal que AB = I n. 8. Existe una matriz B tal que BA = I n. 9. rank(a) = n.