Dpto. de Matemáticas. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13. Problemas. Hoja 3

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1 Dpto. de Mtemátics. CÁLCULO NUMÉRICO. Curso 12/13 Problems. Hoj 3 Problem 1. Escrib explícitmente l mtriz de iterción M del método de Jcobi. Acotndo el rdio espectrl de M por l norm infinito dé un condición suficiente en términos de los elementos de A pr que el método de Jcobi se convergente. Problem 2. Se r i = j i i,j / i,i y se r el myor r i. Supong que r < 1, es decir, l mtriz A es estrictmente digonlmente dominnte, y demuestre que l iterción de Guss-Seidel converge con e n r e n 1, donde l norm debe ser l del supremo. Utilice inducción en el índice de l componente. Problem 3. Supong que el iternte inicil en el método de l potenci no tiene componente sobre el utovlor dominnte y supong que no hy errores de redondeo. A qué vector convergen los iterntes? Problem 4. Si A es un mtriz rel cudrd d d y?x un vector rel d-dimensionl no nulo, el cociente de Rileigh de x (reltivo A) se define por (x T Ax)/(x T x). Se x no nulo un utovector proximdo de un mtriz A obtenido por culquier procedimiento. Hy entonces un esclr λ que csi stisfce el sistem de d ecuciones y un incógnit xλ = Ax. Pruebe que el cociente de Rileigh es l solución de mínimos cudrdos de tl sistem sobredetermindo. Problem 5. Supong que A es un mtriz rel simétric d d que verific: i) A tiene d utovectores reles linelmente independientes v 1, v 2,, v d. ii) Los utovlores λ 1,, λ d stisfcen λ 1 > λ 2 λ 3 λ d. Supong que prte de un iternte inicil x 0 que tiene componente no nul en l dirección del utovector dominnte v 1. Pruebe que pr los vectores definidos por l recurrenci x n = Ax n 1, n 1 l diferenci entre el cociente de Rileigh y el utovlor dominnte es O[( λ 2 / λ 1 ) 2n ]. Pr cd vector no nulo x denotemos por M(x) el vlor de un de ls componentes que tengn myor módulo. Denotemos hor y 0 = M(x 0 ) 1 x 0 y pongmos z n = Ay n 1, y n = M(z n ) 1 z n, n 1. Qué ocurre con lso cocientes de Rileigh de los vectores y n? Deduzc que pr mtrices simétrics en el método de l potenci es mucho mejor tomr como proximción l utovlor el cociente de Rileigh de y n que l cntidd M(z n ). 1

2 Problem 6. Si w es un vector d-dimensionl con w 2 = 1 l mtriz P (w) = I 2ww T se llm el reflector de Householder socido w. Demuestre que, l ctur sobre cd vector v que está en l dirección de w P (w), produce el vector opuesto, es decir, P (w)v = v. Pruebe que P (w) dej invrintes los vectores ortogonles w. Concluy que, geométricmente, P (w) describe l reflexión especulr sobre el hiperplno vectoril ortogonl w. Deduzc, sin efectur cálculos, que P (w) es un mtriz ortogonl de cudrdo l identidd. Problem 7. Demuestre que ddos dos vectores d-dimensionles hy un reflector de Householder que enví el primero en el segundo si y sólo sí mbos vectores tienen l mism norm. Problem 8. Se A un mtriz cudrd d d de l que se conoce un utovector x. Supongmos que x es unitrio y construymos un reflector P que envíe el primer vector coordendo e 1 en x. Qué estructur tiene l mtriz B = P 1 AP? Concluy que los utovlores de A son el socido x y los de un mtriz menor de B, de modo que el problem de hllr los utovlores de A se h reducido l de hllr los utovlores de un mtriz de dimensión inferior en un unidd. Podrímos usndo este procedimiento cculr sucesivmente, usndo el método de l potenci, todos los utovlores de un mtriz? Problem 9. Considere l mtriz A d d tridigonl simétric cuyos elementos digonles vlen 4 y los de ls digonles dycentes vlen 1. Demuestre que A tiene sus utovlores en el intervlo [2, 6]. Puede demostrrse que A no tiene utovlores múltiples de modo que el método de l potenci es de plicción en l proximción del utovlor dominnte λ 1. Se form l mtriz B = A 2I cuyos utovlores difieren en 2 de los de A. Qué es más conveniente, usr el método de l potenci en A pr proximr λ 1 ó usr el método de l potenci en B y sumr 2 l resultdo obtenido? Problem 10. Se A un mtriz rel con utovlores reles que stisfcen λ 1 > λ 2 λ d 1 λ d. Se plic el método de l potenci A λi y se sum λ l resultdo pr proximr λ 1. Qué vlor de λ llevrá un convergenci más rápid? Problem 11. Considermos regls de cudrtur de l form I N+1 (f) = α 0 f(x 0 ) + + α N f(x N ) 2

3 que integren exctmente ls funciones constntes. Demuestre que el grdo de exctitud es M si y solmente si l regl no d error l cudrr ls funciones 1, x, x 2,, x M y d error no nulo l cudrr x M+1. Utilice este resultdo pr probr que el grdo de exctitud de l regl de los trpecios es 1 y el de l regl de Simpson es 3. Problem 12. Demuestre que en el problem nterior ls funciones x k pueden sustituirse por ls funciones (x ξ) k, donde ξ es un número rel culquier. L elección ξ = ( + b)/2 es prticulrmente útil porque entonces l integrl de (x ξ) k es nul si k es impr. Use este resultdo pr comprobr de nuevo que el grdo de exctitud de l regl de Simpson es 3. Problem 13. Obteng los coeficientes de l regl de los trpecios y los de l regl de Simpson por el método de coeficientes indetermindos. Problem 14. En el método de coeficientes indetermindos se puede exigir grdos de exctitud k imponiendo que l regl cudre sin error ls funciones 1, x ξ, (x ξ) 2,, (x ξ) k, siendo ξ culquier número rel. Escrib el sistem resultnte. Obteng los coeficientes de ls regls de los trpecios y Simpson usndo est ide con ξ =. Luego repit con ξ = ( + b)/2. Compre l dificultd de los cálculos con l del problem nterior. Problem 15. Hlle los coeficientes de ls regls del punto medio y Simpson medinte desrrollos de Tylor en torno l punto ( + b)/2. Problem 16. Hlle por el método interpoltorio l únic regl de grdo de exctitud 3 que us ls bsciss equiespcids, (2 + b)/3, ( + 2b)/3, b. Vuelv obtener los coeficientes usndo coeficientes indetermindos, imponiendo exctitud en ls funciones de l form (x c) k, c = ( + b)/2. Obteng un vez más los coeficientes hor por desrrollo de Tylor en torno c. Problem 17. Además de ls regls de cudrtur de l form I N+1 (f) = α 0 f(x 0 ) + + α N f(x N ) se pueden considerr otrs que usen por ejemplo vlores de l derivd de f. Buscmos un regl de l form α 0 f() + α 1 f(b) + β 0 f () + β 1 f (b). Determine los cutro pesos pr logrr que el grdo de exctitud se 3; pr ello use coeficientes indetermindos bsdos en ls funciones (x c) k, 3

4 c = ( + b)/2. Vuelv determinr esos pesos hor desrrollndo en Tylor en torno c. Demuestre que el grdo de precisión es exctmente 3. Problem 18. Demuestre que l únic regl que us un sol bscis y tiene grdo de exctitud myor o igul que 1 es l del punto medio. Concluy que con un sol bscis no es posible lcnzr grdo de exctitud myor o igul que 2. Problem 19. En el intervlo [ 1, 1] hlle por coeficientes indetermindos l regl de grdo de exctitud máximo posible bsd en ls dos bsciss ± 3/3. Cuál es el grdo de exctitud? L regl obtenid se bs en un interpolnte linel y con todo integr exctmente ls cúbics. Problem 20. Sen α y g funciones reles definids en [, b] tles que ls integrles A = α(x) dx 0, B = g(x)α(x) dx existn, α tome vlores 0 y g se continu. Pruebe que existe un punto η [, b] pr el que g(x)α(x) dx = g(η) α(x) dx. Problem 21. Vmos demostrr en vris etps que el error en l regl del rectángulo es E R (b )2 (f) = f (η), 2 suponiendo qeu f tiene derivd continu en [, b]. i) Demuestre que E R (f) = (f(x) f()) dx. ii) Demuestre que l función de x, < x b dd por g(x) = (f(x) f())/(x ) se puede definir tmbién pr x = de suerte que después de es prolomgción g se continu en [, b]. iii) Pruebe que pr cd η [, b] existe otro η [, b] tl que g(η) = f (η ). iv) Use el prtdo i) y el problem 20 pr concukir que E R (f) = g(η) (x ) dx = (b )2 g(η). 2 v) Use los prtdos iii) y iv) pr obtener el resultdo. 4

5 Problem 22. Vmos demostrr en vris etps que el error en l regl del punto medio es E P M (b )3 (f) = f (η), 24 suponiendo que f tiene dos derivds continus en [, b]. i) Demuestre que Demuestre que tmbién E P M (f) = E P M (f) = (f(x) f(c)) dx. (f(x) f(c) f (c)(x c)) dx. ii) Demuestre que l función de x, x [, b], x c, dd por g(x) = (f(x) f(c) f (c)(x c))/(x c) 2 se puede definir tmbién pr x = c de form que l prolongción se continu en [, b]. iii) Pruebe que pr cd η [, b] existe otro η [, b] tl que g(η) = f (η )/2 (recuerde l form de Lgrnge del error en l interpolción de Tylor y teng especil cuiddo en el cso η = c). iv) Use el prtdo i) y el problem 20 pr concluir que E P M (f) = g(η) (x c) 2 dx = (b )3 g(η). 12 v) Use los prtdos iii) y iv) pr obtener el resultdo. Problem 23. Se g un función continu en el intervlo [, b] y consideremos números α i 0 no todos nulos y puntos η i [, b], i = 1,, N. Pruebe que existe η [, b] pr el cul α 1 g(η 1 )+ +α N g(η N ) = g(η)(α 1 + +α N ). Este problem es un vrinte discret del problem 20. Problem 24. Se v proximr l integrl de e x2 entre 0 y 1 por l regl del punto medio compuest usndo un prtición uniforme. Se desen errores menores que Cuántos subintervlos hy que usr? Problem 25. Exmen myo Se pretende proximr 1 f(x) dx α 0 f( ) + α 1 f() pr 0 < 1. 1 Probr que existe un únic fórmul de cudrtur que integr exctmente los polinomios de grdo 1 independientemente del vlor de. Encontrr el 5

6 vlor de que hce que l fórmul se tmbién exct pr los polinomios de grdo 2. Qué grdo de precisión tiene l fórmul obtenid? Problem 26. Exmen junio Se f(x) un función definid sobre un intervlo b es I = f(x)dx. Deriv l regl de Simpson con el método que tu cres conveniente. Tomndo f(x) = exp( x 2 ) con 0 x 1 y utilizndo l regl compuest de Simpson tomndo nodos equidistntes x 0 = 0,..., x N = 1, dr un cot del error de est regl dependiendo de N. Recordr que l cot de error de l regl de Simpson es E S (f) = (b ) mx { f 4) (x) }. x b 6