Semana 1 TRIÁNGULOS NOTABLES - SEGMENTOS - ÁNGULOS Semana 2 TRIÁNGULOS I - PROPIEDADES FUNDAMENTALES... 13

Transcripción

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2 Índice Semn 1 TIÁNGULS NTLS - SGNTS - ÁNGULS... 5 Semn TIÁNGULS I - IS FUNNTLS... 1 Semn NGUNI TIÁNGULS Y SUS LIINS Semn 4 LÍGNS... 5 Semn 5 UILÁTS... 9 Semn 6 IUNFNI - IS FUNNTLS - T NLT Y ITT... 5 Semn 7 ÁNGULS SIS L IUNFNI Semn 8 INLI Semn 9 SJNZ TIÁNGULS... 5 Semn 10 LINS ÉTIS N L TIÁNGUL TÁNGUL Semn 11 LÍGNS GULS Semn 1 ÁS GINS TINGULS Y UNGULS... 7 Semn 1 LIÓN NT ÁS - ÁS GINS IULS Semn 14 S ÁS Semn 15 INTUIÓN L GTÍ L SI Y LIS GULS Semn 16 SÓLIS GÉTIS I: LLÍ - IS - ILIN Semn 17 SÓLIS GÉTIS II: IÁI - N - SF... 99

3 Geometrí Semn 18 S GNL Semn 19 S I: TIÁNGULS I Semn 0 S II: LÍGNS Y UILÁTS Semn 1 S III Semn S IV: IUNFNI I Semn S V: IUNFNI II Semn 4 S VI: INLI Y SJNZ - LINS ÉTIS N L TIÁNGUL TÁNGUL Semn 5 S VII... 1 Semn 6 S VIII: ÁS GINS TINGULS Y UNGULS Semn 7 S IX: LIÓN NT ÁS - ÁS GINS IULS Semn 8 S X: ÁS III Semn 9 GTÍ L SI - LIS GULS Semn 0 SÓLIS GÉTIS Semn 1 S GNL Semn S GNL Semn GTÍ NLÍTI Semn 4 LN TSIN Y LÍN T

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5 olegios TIL GTÍ Semn 1 uinto tólic TIÁNGULS NTLS - SGNTS - ÁNGULS Segmento Ángulo Segmento = m = d (;) = perciones con segmentos: dición b + = + b = Sustrcción b - = - b = unto medio de un segmento: lementos: Vértice del ángulo, Ldos del ángulo edid del ángulo isectriz del ángulo Notción: m = Se lee: "L medid del ángulo es º." lsificción de los ángulos Según su medid: "" es punto medio del segmento * Ángulos onveos 0º < < 180º istnci de un punto un segmento: Ángulo gudo: 0º < < 90º d d Ángulo ecto: = 90º "d" es l distnci del punto "" hci el segmento TIL tólic 5

6 iclo tólic Ángulo btuso: 90º < < 180º * Ángulos onsecutivos: * Ángulo no onveo: 180º < < 60º.... * Ángulos dycentes: * Ángulo Llno: = 180º Según su sum: IS ÁNGULS NT TS LLS (L 1 // L ) * Ángulos lternos internos: * Ángulos omplementrios: L 1 = + = 90 L * Ángulos correspondientes: Not: l omplemento de un ángulo es lo que le flt l ángulo pr ser 90º. 90 º L 1 = * Ángulos suplementrios L * ropieddes dicionles (L // L ) 1 + = 180º ) L 1 Not: l Suplemento de un ángulo es lo que le flt l ángulo pr ser 180º. S 180 º L = + Según l posición de sus ldos: * Ángulos opuestos por el vértice: b) w L 1 + w = 180º = L 6 TIL tólic

7 GTÍ c) º L bº cº L = º + bº + cº d) w L L Triángulos rectángulos notbles 1. e 0 y w = 180º Triángulos rectángulos notbles 0 tetos: = b =. e 45º 60 b c Hipotenus: + = 90 = c * Teorem de itágors: + b = c 45 * lgunos triángulos rectángulos cuyos ldos son vlores enteros: * TIL tólic 7

8 iclo tólic. e 7 y 5 4. Si: L // 1 L, clculr L L el triángulo rectángulo notble nterior se puede deducir: * / 5. lculr " + ", si: = = 1 * 10 7 / 5 5 * ropiedd: Solo pr triángulo rectángulo de 75 y n l figur mostrd, clculr. 75 H h 15 roblems pr l clse h = 4 1. Se tienen los puntos colineles,, y de tl mner que: = y + = 1, hllr.. 1, Se tienen los puntos consecutivos,, y de tl mner que: + + = 40 y =, clculr lculr: " - " n l figur se present el triángulo equilátero. Si: = 4 m y = 16 m ; clculr: TIL tólic

9 GTÍ 8. n l figur, clculr, si: = 16 m 1. lculr, si: L // 1 L y L // L 4 y = 4 7º L 1 0º. 1 m º L L 4 L 9. n l figur: = 4 m ; = 6 m, clculr "" 15º , n l figur, =(); clculr: m GH. 180º- 0º. 5 m G H F 10. L figur muestr tres cudrdos consecutivos; clculr l medid del ángulo "".. 0º. 0º º. 100º. 10º. 15º. 145º 11. Sobre un rect se ubicn los puntos consecutivos,, y S, tl que: = Sy(S) - () = 0(S), clculr lculr, si: + b = 50 y L1 // L S 15. n l figur, clculr l distnci desde hst L 1 L b 16. n el gráfico: L1 // L y //, clculr L 1 L TIL tólic 9

10 iclo tólic Si: = 10 m, clculr "H". 0º 0º. 4 m H 45º 18. Se tienen los ángulos consecutivos, y, luego se trzn ls bisectrices, N y Z de los ángulos, y N respectivmente. Si: m + m - 4mZ = 80, clculr: m.. Los puntos consecutivos "", "", "" y "" pertenecen l mism rect. "" es el punto medio de. Hllr, si: - = cm.. 8 cm Sobre un rect se ubicn los puntos consecutivos "", "", "", "" y "", siendo "" punto medio de ; demás, =. lculr l longitud de, si : = 18 m.. 6 m n l figur, L1 // L. lculr "". 0º 50º L Sobre un rect se ubicn los puntos consecutivos. 100º. 105º. 110º. 115º L, y tl que: >, luego los puntos medios, N y de, y N respectivmente. Si: = K, clculr: n l figur L 1 // L, clculr:. K. K. 4K. 5K L 1 0. Hllr ""; si N = 5 m y = m L. 40º. 0º. 60º. 50º N. m lculr: Tre domiciliri 1. "", "" y "" son tres puntos consecutivos de un rect, = () + 1 y = 1 m. Hllr "".. 9 m Sobre un rect se tiene los puntos consecutivos "", "", "" y "" tl que: = 4 m, = 16 m y. Hllr " ".. m , n l figur, clculr "". 60º TIL tólic

11 GTÍ. 1º. º. º. 7º 9. lculr "H", si: H = 0 cm. 1. Hllr el perímetro de l figur. H º 7º cm Hllr el perímetro del cudrilátero. 10. lculr "", si: = 105º 45º 7º/ n 45º. 0º. 7º. 5º. 45º. 4 n. (4+ )n. (4+ + )n. (+ + 6 )n 11. n un rect se tienen los puntos consecutivos "", 5 "" y "", siendo: (). Hllr. 15. e l figur, clculr: n un rect se tiene los puntos consecutivos "", "", "" y "", cumpliendo l relción: 4() - () - () = 4 m ; hllr "", si: = m y = 5 m º 0º 0º. 5 m TIL tólic 11

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13 olegios TIL GTÍ Semn uinto tólic TIÁNGULS I - IS FUNNTLS II. Según sus ldos c 1. Triángulo scleno b lementos:,,... Vértices,,... Ldos,,... Ángulos Internos,,... Ángulos ternos + b + c = p... erímetro b c. Triángulo Isósceles b c lsificción de los Triángulos I. Según sus ángulos se. Triángulo quilátero se 1. Triángulos blicuángulos ) Triángulo cutángulo 60 b) Triángulo btusángulo 0º <,, < ropieddes Fundmentles = < < 180. Triángulo ectángulo. y + = 90 + y + z = 60 z TIL tólic 1

14 iclo tólic.. 90º. 10º. 110º. 10º. Hllr en l figur. = + 4. istenci del triángulo o desiguldd tringulr c b b - c < < b + c - c < b < + c - b < c < + b Hllr - y ropieddes uilires 1. y 160 = Hllr, si: + b = 0 y N = N b N lculr m = roblems pr l clse n l figur; = y =F. lculr m F. 6. n l figur, hllr 40º F TIL tólic

15 GTÍ 7. Si el triángulo es equilátero, clculr. 1. lculr : n un triángulo cutángulo dos de sus ldos sumn 0 m. lculr el myor vlor entero que puede tomr l ltur reltiv l tercer ldo.. 11 m Hllr, si: = = 9. n un triángulo rectángulo se trz l ltur H y luego l bisectriz del ángulo H. Si: = 8 m y = 5 m, clculr.. 9 m Hllr, si: + + = Si es un triángulo equilátero, clculr n un triángulo isósceles, el ángulo "" mide 100º. Se trz l ltur desde "" y l bisectriz del ángulo "", cuys prolongciones se cortn en el punto "", hllr m.. 0º. 0º. 40º. 60º 16. n l figur: ==, clculr "". 60º º. 75º. 80º. 85º. 90º º n l figur: 70º y =; H=. lculr "". 17. el gráfico: +b=00º; clculr "". º º 70º H b. 10º. 15º. 140º. 10º. 10º. 15º. 116º. 150º TIL tólic 15

16 iclo tólic 18. n l figur, clculr lculr el vlor de "" en: n un triángulo escleno, I" es punto de intersección de ls bisectrices interiores. Si: I=u; I = 9u, clculr, si es entero.. 8 u Según el gráfico, clculr el vlor de e l figur = ; m = m. Si: = 7 ; clculr "" Tre domiciliri., lculr el vlor de "" : º - º 6. el gráfico, clculr: º +º e l figur, clculr "" : º+0º.. 14 º-10º. 15º. 0º. 0º. 5º º+0º. n l figur: =, clculr "" n l figur: = = =, clculr: 40º 100º F º. 50º. 40º. 70º. 1. 1,5.. 4 TIL tólic

17 GTÍ 8. e l figur, clculr: "m + n" 1. lculr "", si: = y T = T m n 140º. 40º. 0º. 0º. 10º 9. n un triángulo, se trz l ltur H ("H" en ). Si: + = 8, clculr el máimo vlor entero de H.. 60º. 50º. 0º. 40º 14. lculr "", si: - = 18º e l figur, clculr. º º 60º el gráfico djunto, determinr l relción correct ( = ).. 18º. 0º. 15º. 17º 15. el gráfico, clculr "", si: = y m = 40º º º. 150º. 160º. 170º. 140º. =. 5=. 7=. 7= 1. Si: 110º, clculr " ".. 0º. 50º. 40º. 70º TIL tólic 17

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19 olegios TIL GTÍ Semn uinto tólic NGUNI TIÁNGULS Y SUS LIINS Triángulos congruentes plicciones de l congruenci de triángulos N 1. ropiedd de l isectriz ) c c b b = = = N sos de congruenci de triángulos b) so I: (L) N N = N = so II: (LL). ropiedd de l editriz ) L L : editriz de b b = b) so III: (LLL) m : editriz de = b c b c m TIL tólic 19

20 iclo tólic bservción: ropiedd en un Triángulo Isósceles 4. ropiedd de l edin eltiv l hipotenus Si: es medin H = ; : s isósceles Si: = H. Teorem de los puntos medios ltur edin isectriz editriz roblems pr l clse 1. Si: = ; = 7 y = 9, clculr. N L Hllr, si: F = y F =. 50 Si: = L // 1 N = N N = F 10 Tmbién: Si es un cudrdo, clculr "H", demás: = 7 m y = 1 m. N H Si: = N = N N // N =. 5 m. 4 m. 6 m.,5 m 0 TIL tólic

21 GTÍ 4. lculr F, si: = ; F = 7 m y F = 5 m. 9. el gráfico; clculr " ". F 7. 1 m. 15 m. 17 m. 19 m 5. n l figur, clculr, si: = 1 m y =.. 10º. 15º. 18º. 0º 10. n l figur: N //, clculr "N", si =6m. N m. 15m. 4 m. 0 m 6. el gráfico, clculr, siendo: = y = 5 u. m. m. 4 m. 5 m 11. Si: =8m; =14m y =10m. lculr "N". 5 N 0. 4 u. 6 u. 8 u. 10 u 7. Si: = m, clculr.. 8 m. 6 m. 4 m. 5 m 1. n l figur: =m; =6m y =. lculr "L". L m. 18 m. 1 m. 15 m 6 8. lculr, si: = y =.. 4 m. 6 m. 8 m. 9 m 1. lculr ""; si; H=8cm; H=cm; = y = H. 5 cm. 6 cm. 8 cm. 10 cm TIL tólic 1

22 iclo tólic 14. n un triángulo isósceles ; = se trz l bisectriz interior ; en l prolongción del ldo se ubic el punto "", de tl mner que: m =90º y =1m. lculr "". 0. el gráfico, el triángulo es equilátero y su ldo mide 10cm; si "" es punto medio de. lculr "".. 5 m. 6 m. 7 m. 8m 15º 15. el gráfico: H=H; L1 y L son meditrices de respectivmente; si m =100º. lculr "". L 1 L º H N. 10º. 1º º 16. n un triángulo rectángulo recto en, en se ubic el punto "L" y luego se trz ls meditrices de L y L que intersectn y en "" y "N" respectivmente. lculr N, si: = 9 m y N = 1 m. 1 m. 15 m. 0 m. 18 m 17. n un triángulo rectángulo recto en ""; se tom un punto "" en y un punto "" en tl que: ==. lculr m. Si: m =mº y. 5m. 5 m. 5 m. 10 m Tre domiciliri 1. n l figur, =. lculr "" Si los triángulos y TK son equiláteros, clculr ""... mº 90º. mº 90º. 5mº 180º mº 90º T K 18. n un triángulo se tom un punto "" en su interior, tl que m =90º y m =m, siendo "" 100 punto medio de. lculr ""; si = y =b; (>b). - b. - b. b. b 19. n un triángulo cutángulo ; l m =60º y l ltur H=6cm, por "H" se trzn H y HF perpendiculres ls bisectrices de los ángulos H y H respectivmente. lculr "F".. 1 cm. 4 cm. cm. cm n l figur, es un cudrdo. Si = 8 y N = 6, hllr "N". 8 N TIL tólic

23 < GTÍ 4. n l figur, es un cudrdo. Hllr "", si =17 y F = 1. F 8. Se tiene un tringulo donde el ángulo eterior de es igul 40, ls meditrices de y se cortn en "". lculr el ángulo n l siguiente figur, hllr l medid de N si =15m. 9. n un triángulo se trz l medin y del vértice se trz un rect que cort l medin en "" y l ldo en "N". Hllr "N", si N mide 1 cm y "" es punto medio de.. 1 cm n un triángulo rectángulo (recto en "") se trz l ltur H y l bisectriz interior que se cortn en N ( en ), hllr H, si H=7 y = n un triángulo, por el vértice "" se trz un ,5. 7,5 6. Según el gráfico L es meditriz de y =cm. lculr "T". prlel, ls medins N y prolongds cortn respectivmente en "" y "F" l prlel respectivmente. Hllr "", si: F= Hllr "N", si =6m, =8m y =7m L N T. 9 m. 10, ,5. 1 cm.. 1,5.,5 7. lculr "", si: = () 1. Hllr " ", si: = (F) F TIL tólic

24 iclo tólic 14. n l figur, = 18, = 16 y = 0. Hllr "FG". 15. Si = y H = 10, hllr "". G F 45 H TIL tólic

25 olegios TIL GTÍ Semn 4 uinto tólic LÍGNS b c d Heágono quiángulo e d 4. olígono quilátero lementos: Vértices: Ldos: Ángulos Internos: Ángulos ternos: erímetro: igonl:,,,...,,,...,,,...,,... + b + c + d + e = p,,... Heptágono quilátero Not: 5. olígono egulr Nº Ldos = Nº Vértices = Nº de Ángulos lsificción de los olígonos ctógono egulr 1. olígono onveo. olígono no onveo (oncvo) ropieddes de los olígonos Heptágono no onveo r olígonos de n ldos: 1. Nº Totl de igonles = n(n - ) 180º <, < 60º. olígono quiángulo. de Ángulos Internos = 180º (n - ). de Ángulos ternos = 60º, pr un polígono onveo TIL tólic 5

26 iclo tólic 4. Ángulo Interior = 180º (n - ) n, pr un polígono egulr y quiángulo 4. lculr el número de digonles del polígono en el cul l duplicr el número de ldos, l sum de sus ángulos internos se triplic n l figur; clculr "". 5. Ángulo terior = 60º n egulr y quiángulo, pr un polígono 6. Ángulo entrl = 60º n egulr r un polígono 7. Nº de digonles desde un vértice = n º. 10º. 15º. 144º 6. l gráfico muestr l polígono regulr, clculr el número de digonles, si L1 y L son meditrices de y respectivmente. L 1 Nombres de olígonos 6 Nº de ldos Nombre... Triángulo 4... udrilátero 5... entágono 6... Heágono 7... Heptágono 8... ctógono u ctágono 9... Nonágono ecágono ndecágono 1... odecágono entdecágono 0... Icoságono roblems pr l clse 1. n un polígono regulr, l relción entre l medid de un ángulo interior y eterior es como es. lculr el número de ldos del polígono omo se llm el polígono regulr; si l sum de sus ángulos internos es el triple de l sum de ls medids de sus ángulos eternos?. Heágono. ctágono. udrilátero. entágono. Se tiene un nonágono equiángulo FGHI, clculr el menor ángulo que formn ls prolongciones de y º n l figur, L 1 y L son meditrices de y. lculr el número de ldos del polígono equiángulo lculr el número de ldos de un polígono conveo, si desde cutro vértices consecutivos se pueden trzr 45 digonles n un polígono conveo, el número de triángulos obtenidos l unir un punto de uno de sus ldos con los vértices es 6. Hllr el número de digonles de dicho polígono. L 1 L L TIL tólic

27 GTÍ n l figur se muestr en polígono equiángulo FGH. Si: 5 H u y = 7u. lculr. G. 1 u n un polígono equiángulo F... ls bisectrices de los ángulos y F son perpendiculres. lculr el número de digonles de dicho polígono lculr el número de ldos de quel polígono en el cul l disminuir dos ldos, su número de digonles disminuye en Se tiene un heágono equiángulo F de tl mner que = m ; = 6m ; F = 1m y F = 9m. lculr ls longitudes de y.. 4m y 6m. 4m y 7m. m y 7m. m y 4m 14. n un octógono equiángulo FGH ; y = 1m. lculr l medid del ángulo.. 7º0'. º0'. 11º15'. 8º 15. n l figur, clculr "". F m 16. n un nuevo sistem de cálculo l sum de ángulos internos de un triángulo es "10S" grdos en dicho sistem. Se pide clculr l sum de ángulo internos con el nuevo sistem en dich figur.. 0 S. 50 S. 70 S. 5 S G 17. n un octógono equiángulo FGH ls prolongciones y formn el ángulo " "; y F el ángulo " ", F y HG el ángulo ángulo " ". lculr: " ".. 90º. 10º. 180º. 60º F " " y GH y el 18. uince veces el ángulo interior de un polígono regulr equivle l cudrdo de su ángulo eterior. uántos vértices tiene dicho polígono? Sen " 1 " y " " los ángulos centrles de dos polígonos regulres; " 1 " y " " sus ángulos interiores. Si: 1 mº, clculr: 1. m-1. m+1. m. m 0. Si l medid de cd ángulo interior de un polígono de "n" ldos, se disminuye en 5º, su número de digonles disminuye en (5n - ). lculr "n" º º 100º. 10º. 100º. 144º. 150º TIL tólic 7

28 iclo tólic Tre domiciliri 1. uál es el polígono en el cul desde un solo vértice se pueden trzr siete digonles?. udrilátero. entágono. ecágono. odecágono. uántos ldos tienen el polígono en el cul el número totl de digonles es el doble del número de ldos? uál es el polígono en el cul l sum de ángulos interiores más l sum de ángulos eteriores es igul 900?. Triángulo. entágono. ágono. ctógono 4. uántos ldos tiene el polígono regulr en el cul su ángulo eterior es igul su ángulo interior? uál es el polígono que no tiene digonles?. entágono. Triángulo. ágono. ctógono 10. uántos ldos tiene el polígono en el cuál l disminuir dos ldos, su número de digonles disminuye en? uántos ldos tiene el polígono donde l sum de los ángulos internos es igul seis veces l sum de los ángulos eternos? lculr l medid del ángulo eterior de un polígono regulr, si desde un vértice se pueden trzr 7 digonles.. 10º. 1º. 1º. 0º 1. lculr l sum de ángulos internos de quel polígono conveo cuyo número de digonles ecede en 5 l número de sus ángulos internos º. 1 60º º. 1 60º 14. n l figur, clcul " ". 6. lculr l sum de ángulos interiores de un polígono en el cul el número de digonles es el doble del número de ldos Si l sum de ángulos interiores de un polígono es 540, cuál es su número de digonles? Hllr l sum de ángulos internos de un polígono conveo si el número de digonles es igul l número de ldos lculr el número de ldos de quel polígono en el cul l umentr un ldo su número de digonles ument en siete.. 10º. 0º. 0º. 40º 15. n un octógono conveo, tres ángulos consecutivos son igules 90º. lculr l medid de cd uno de los restntes sbiendo que son igules entre sí.. 15º. 154º. 16º. 10º TIL tólic

29 olegios TIL GTÍ Semn 5 uinto tólic UILÁTS * onveo * No conveo 60 lsificción ) Trpezoide * Trpezoide simétrico o bisosceles b) Trpecios lses de trpecios se menor Trpecio scleno h se myor w Trpecio Isósceles // ; "h" : ltur * + = 180º * + w = 180º Trpecio ectángulo c) rlelogrmos lses de prlelogrmos omboide ectángulo // y // * + = 180º ombo udrdo TIL tólic 9

30 iclo tólic ropieddes: I. n el trpezoide:.. b b b b II. n el trpecio ( // ). edin (N). Segmento que une los puntos medios de ls digonles () b b N y N // // b // // y b roblems pr l clse 1. n l figur; clculr "".. n l figur; clculr "". 100º 50º º º 80º. 5º. 90º. 50º. 60º. n un trpezoide mostrdo; clculr "". 80º 80º º. 60º. 65º. 70º. 80º. 10º. 0º. 0º. 40º 4. n l figur; clculr "m ", si: = º. 45º. 7º. 60º +4 0 TIL tólic

31 GTÍ 5. n el trpecio de l figur; =1 m; =9 m y =6 m y =. lculr "".. m ,5 1. n l figur se muestrn cinco plcs cudrds que, junts, formn un rectángulo de 110 cm de perímetro. Hllr el perímetro de l plc sombred.. 1m n un trpecio l medin mide 10 cm y l bse menor 4 cm. lcul l longitud del segmento que une los puntos medios de ls digonles de dicho trpecio.. 16 cm L bse myor de un trpecio mide 8 m. Si sus digonles son perpendiculres y miden 6 m y 8 m, hllr l longitud de l bse menor.. 1m n un trpecio rectngulr, recto en "" y "",l bse menor mide 10 m. Si = y m = 10º, clculr l longitud de l digonl myor del trpecio.. 5m n un trpecio isósceles l medin mide "" y l ltur del trpecio es "h". lculr l medid de un de ls digonles... h. h h. h 10. n un trpecio escleno, //, m =(m ). Si: =10 cm, clculr l distnci entre los puntos medios de y.. 45 cm Si es un rombo y (H)=(H), clculr "". H º. 10º. 1º. 15º. 17º 14. n l figur, es un romboide. lculr su perímetro, si: = m.. 14 m n l figur es un cudrdo de perímetro 8 m y F=8 m. lculr.. 6 m n el siguiente trpecio: 10 m F 15 m 17 m 18 m Ls bisectrices del ángulo "" y el ángulo "" se cortn en "", ls bisectrices del ángulo "" y el ángulo "" en "". lculr " ".. 6 m n un rectángulo por un punto "" de l digonl se prolong hst un punto "" de modo que: =. demás: =0 m y =6 m. lculr "".. 6 m TIL tólic 1

32 iclo tólic 17. n un prlelogrmo en el cul l bisectriz interior del ángulo "" cort en "F". lculr l longitud del segmento que une los puntos medios de F y, si: =10 m.. 5 m n l figur; es un rectángulo. Si: =(), clculr "m ". Tre domiciliri 1. Si es un romboide; clculr "" n l figur: +=. lculr "". F. 10º. 0º. 0º. 45º 19. Si es un trpezoide bisósceles siendo y sus ldos menores, clculr " ", demás: = º. 9º. 10º. 11º º. 5º. 45º. 55º. 60º. Los ángulos internos de un cudrilátero están en l relción de 4; 5; 1 y. uánto mide el myor ángulo?. 0º. 10º. 150º. 60º 4. n l figur, clcule " " 0. Se muestr un rectángulo ; =6 u y GF=F=4 u. lculr "G". G. u F. 180º +. 60º +. 60º º + 5. n un prlelogrmo : =5 m, =8 m y l bisectriz del ángulo "" intersec en "". lculr "".. 1 m teriormente l ldo de un cudrdo se ubic el punto "" de modo que es equilátero. lculr l medid del ángulo formdo por y.. 60º. 45º. 75º. 80º TIL tólic

33 GTÍ 7. n l figur, clcule " ".. 60º. 5º. 67,5º. 58,5º 8. Se tiene un trpezoide, m =90º y m =60º. Si: = =, clculr: m.. 15º. 0º. 5º. 0º 9. Si ls digonles de un rombo miden 14 m y 48 m, clculr su perímetro.. 60 m n un prlelogrmo, m = 45º, = 5 m y =4 m, se trz l ltur H ("H" en ). lculr "H".. 0,5 m. 1. 1, n el romboide, si: F = 5 m y F = m, clculr "". 1. Se tiene un prlelogrmo ( > ), en se ubic el punto "" de modo que:=. Si: m = 10º, clculr l medid del ángulo.. 50º. 65º. 15º. 115º 1. Se tiene el cudrilátero, de modo que m =80º, m =50º, m =80º y m =80º. lculr: m.. 0º. 40º. 50º. 5º 14. Si es un romboide y es un rombo, clculr "". 50º. 50º. 80º. 60º. 40º 15. Se muestr el rectángulo y el romboide F. Si: =40 cm y F=9 cm. lculr "". 90- F 10º F. 4 m cm TIL tólic

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35 olegios TIL GTÍ Semn 6 uinto tólic IUNFNI - IS FUNNTLS - TS NLT Y ITT ircunferenci. º N Si: // m = m T L 1 L. lementos: L 1 ""... entro... uerd ""... dio ect tngente =... iámetro L... ect secnte 1 L... ect tngente "T"... unto de Tngenci m = º... rco centro rdio L 1 N... Flech o Sgit 4. ropieddes fundmentles 1. centro "" y "" son puntos de tngenci = Si: = m = m TIL tólic 5

36 iclo tólic 5. Teorem de itot (Solo cudriláteros circunscritos) Si: = Flech + = + 6. roblems pr l clse 1. esde un punto eterior un circunferenci se trzn dos tngentes que miden 1 m. Si formn un ángulo de 60, clculr el rdio de l circunferenci n l figur, clculr, si: r = m y es punto de tngenci. Si: iámetro = = = 90º Teorem de oncelet (Solo rectángulo). 4 m r 7 + = + r. Hllr: m, si es centro y 8() = () r r inrdio Hllr, si: = TIL tólic

37 GTÍ 5. lculr l medin del trpecio mostrdo. 10m 10. Si es un cudrdo donde r = 6 m, clculr el perímetro del triángulo T. 5º. 5 m m T r 6. n l figur: "", "" y "" son puntos de tngenci y el perímetro del triángulo mide 50 cm. Si: = 10 cm, el vlor de "" es: 11. n l figur, determin el rdio de l circunferenci inscrit cm n el gráfico "", "", "" y "" son puntos de tngenci. lculr m ,5. 1,75 1. n un triángulo rectángulo, el semiperímetro es igul 16 m y su inrdio mide 4 m. Hllr l longitud de l hipotenus Hllr, si: = 1 m y = 5 m 70º. 50º. 40º. 45º. 55º 8. lculr en l figur n l figur; es diámetro, =6m; =10m y l. m lculr l ltur H de un triángulo rectángulo, recto en ""; sbiendo que l sum de los rdios inscritos en los triángulos, H y H es 8m.. m n qué relción deben estr los rdios de circunferencis tngentes eteriores pr que el ángulo formdo por ls dos tngentes comunes eteriores mid 60º?. 1 :. 1 :. :. : 5 rect L es tngente l circunferenci. lculr "". 16. Si es un cudrdo, "" es centro y =, clculr "". ("T" es punto de tngenci). T L. 8 m º N. 56º0'. 60º. 75º. 5º TIL tólic 7

38 iclo tólic 17. n l figur, clculr "", si: =5m y "" es centro. 7º. 8 m lculr el rdio de l circunferenci inscrit en el triángulo rectángulo, si: - N = 0 m. 7º. n l figur: =. Hllr " " n l figur T es tngente l circunferenci. Hllr "". 51 T N. 10 m l punto de tngenci de l circunferenci inscrit en un trpecio rectángulo divide l myor de los ldos no prlelos en segmentos que miden 1 y 9 m. lculr l medin del trpecio.. 6 m n l figur "", "", "", "" y "" son puntos de tngenci "" y "" son centros de ls circunferencis "r" y "" son rdios. Si =4r, clculr m.. 106º. 10º. 74º. 60º Tre domiciliri 1. n l figur; + =, hllr " + r", si: =6 m. r n l figur los puntos "", "" y "T" son puntos de tngenci. Hllr l medid del ángulo T T 5. n un triángulo, = 8u; = 9u y = 11u. L circunferenci inscrit determin sobre el punto de tngenci "L". Hllr "L".. 6u n un triángulo rectángulo, l hipotenus y el inrdio sumn 17. Hllr el perímetro del triángulo rectángulo do un trpecio isósceles circunscrito un circunferenci. Si un ldo no prlelo mide 8, hllr l medid de l medin del trpecio n l figur, hllr " ". r. m ,5 T 8 TIL tólic

39 GTÍ n l figur, N = 1. Hllr: +r. 9. n l figur, "" es centro de l circunferenci = y "T" es punto de tngenci. Hllr l m S. T r N S n l figur, clculr" ". 1. n l figur, es un cudrdo, "T" es punto de tngenci, F = 17 y F = 15. Hllr "FT". F T T 11. n l figur, hllr el inrdio del triángulo, si: F= y G= Se tiene dos circunferencis tngentes interiores cuyos rdios miden m y 8m. esde el centro de l circunferenci myor se trz un tngente l circunferenci menor, luego l longitud de dich tngente es:. m., n l figur hllr "", si m L = 80 ; demás "", "", "F" y "" son puntos de tngenci. F G F L TIL tólic 9

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41 olegios TIL GTÍ Semn 7 uinto tólic ÁNGULS SIS L IUNFNI Ángulos en l ircunferenci 1. Ángulo entrl 5. Ángulo terior ) b) =. Ángulo Inscrito c) + = 180. Ángulo Seminscrito udriláteros Inscritos ) b) 4. Ángulo Interior + = 180º = c) = TIL tólic 41

42 iclo tólic roblems pr l clse 6. Si: + = 00º ; clculr "º" 1. Si es un triángulo equilátero, clculr. º º. 60º. 100º. 90º 7. lculr "" en l figur, siendo "", "", "" y "" puntos de tngenci.. n l figur, clculr "", si m = 100º y "" es centro. 70º º 60º 100º. 100º. 5º. 50º. 40º. Si "" y " 1 " son centros, mn = 84, clculr m. demás, es punto de tngenci.. 55º. 65º. 75º. 70º 8. n l figur, clculr m. ("", "" y ""; son puntos de tngenci) N 1. 75º. 5,0º. 7,0º. 67,0º 9. n l figur: Si es un romboide, hllr ; demás y son puntos de tngenci. y Si: + y = 90º, clculr º. 45º. 90º. 180º 10. lculr "", ("" y "T" son puntos de tngenci) or un punto "", eterior un circunferenci, se trzn ls tngentes y T, que formn un ángulo de 7º. etermin l medid del ángulo formdo por T y el diámetro que ps por "".. 6º. 18º. 4º. 40º º. 0º. 5º. 15º. 5º T 0º 4 TIL tólic

43 GTÍ 11. Según el gráfico, clculr " ". 15. n l figur, =, m = 60, clculr. N º. 10º. 70º. 60º 1. lculr "": si: 80º, demás "", "" y "" son puntos de tngenci Hllr, si es centro,, y T son puntos de tngenci. 80 º T. 0º. 40º. 50º. 60º m 1. el gráfico: m = = K, clculr: m F Hllr:. ("" y ""; son puntos de tngenci) F 50. K. K. K. 4 K 14. n l figur "" y "" son puntos de tngenci; clculr 1 m. Si: m (m ). 58º Hllr, en l figur mostrd, (,,, y son puntos de tngenci) º. 5º. 4º. 7º TIL tólic 4

44 iclo tólic 19. lculr m, si: =. ("" es centro de l semicircunferenci) ' 0. Hllr l medid del ángulo que formn S y NT l intersectrse, si S, y T son puntos de tngenci. 4. n l figur, si L // y "" es centro, clculr "" Ls bses de un trpecio inscrito en un circunferenci determinn sobre est dos rcos cuy diferenci es 00. Hllr el myor ángulo del trpecio. L N S T 6. Si: = 150º y = 5º, clculr "" Tre domiciliri 1. Hllr m, si: = 14º y "" es punto de tngenci.. 118º. 1º. 18º. 18º. Hllr "", si m =110º y "" es un punto de tngenci.. 7,5º. 6,5º. 60º. 65º 7. Un cudrilátero inscrito en un circunferenci tiene tres ldos igules, cd uno de los cules subtiende un rco de 80º. uánto mide el myor de los ángulos internos del cudrilátero?. 80º. 150º. 100º. 10º 8. n l figur mostrd, hllr el vlor del ángulo " ", si = y demás, "" y "" son puntos de tngenci. S Hllr " ", si S // N. ("" es centro) n l figur mostrd, hllr "", si =, = 11º y "" es centro de l semicircunferenci. S N H TIL tólic

45 GTÍ 10. n l figur, es diámetro y N = 40º. Hllr l medid del ángulo N. ( y ' son centros) 1. n l figur mostrd, hllr el ángulo "", si: + F = 10º. N º ' F 11. n l figur, =. Hllr "", si: =. ("" es centro) Si "" es centro, hllr "". º n l figur, es tngente l circunferenci y =. Si: m = 0º, clculr l medid del e l figur, clculr "" si "" es centro. (T: punto de tngenci). T TIL tólic 45

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47 olegios TIL GTÍ Semn 8 uinto tólic INLI T THLS Tres o más rects prlels, determinn sobre dos o más rects secntes, segmentos cuys longitudes son proporcionles. bservción: L 1 L L T L ISTIZ isectriz Interior Si: L // L // L 1 = Si: // isectriz terior = b b = m n b b = m n m roblems pr l clse n m n 1. n el gráfico, si: L 1 // L // L, clcule u... 4 L 1 4 L L. n l figur: //, determinr "" TIL tólic 47

48 iclo tólic. n el gráfico, - = 16u. lcule:. 8. n l figur: ; 5 L1 // L // L. si: =, clculr: "F", si: u N 9 F L 1 L L 4. L 1 // L // L // L 4, clcule, si: m - n = 9u.. 7, n m L 1 L L L 4 9. lculr "", si: = 10, = 14 y = u Hllr " - ", si: = 5, = 7 y = , Hllr "", si: = 1 y = lcule: º n l figur: m=m=m = 45, = 5 y = 1, clculr "". 45º º 4. 7º. 5º. 0º. 45º 7. n el gráfico, = 8u, = 6u y = 7u. lcule: lculr "", si: = 5 y =.. 1 u , TIL tólic

49 GTÍ 1. Si: = 4, =, // H. Hllr "H" si: HF = 4,5 y L // L // L 1 H. 6. 7, F L 1 L L 17. n l figur = 15. Hllr "", si "G" es bricentro del triángulo y "L" es prlel "" ,5. 8 L 18. n un triángulo l cevin bisec l bisectriz interior. lcule, si: = u y = 5u. G 14. n l figur, N // ; 6 y = 14. lculr "N".. 8 u N 19. n l figur: // N, 5() = (), = 4(), = 6 y N = 1. lculr "N" ,. 5. 5,4 15. n un triángulo, se trz l bisectriz interior F, luego por "F" se trz F // ("" en ), l bisectriz del ángulo F intersect en "". Si: F = y = b, clculr "F".. ( b). b b b b. ( b). ( b) lculr: N G, si: "G" es bricentro del. 16. Si: // y //, clculr "". G TIL tólic 49

50 iclo tólic Tre domiciliri 1. n l figur mostrd, L // 1 L // L // L, clculr: 4 (y - ). + 1 cm + y 7,5 cm L 1 L L y ( + y) L 4. 1,0 cm.,0. 1,5. 5,0 5. n l figur se cumple que L 1 // L // L y.si: = 48 m, clculr "". 4 L L 1 L. 8 m n l figur; clculr "", si: L // L // L 1.. Si: L // 1 L // L, clculr: ( + b + c). 10 L 1 c 9 b n l figur: //, clculr "". (n centímetros) 8 6 L 1 L L 6 º. 0º. 7º. 45º. 60º 7. n l figur; si: =(); clculr "º". 45º L L º 7º 5º... 0º. 60º n l figur, clculr "", si: = m. 1 cm Si: L 1 // L // L, = 1 = 1 y demás'' = 7 cm, 4 m m clculr ''. L 1 L L. 5 8 m.. 4 cm TIL tólic

51 GTÍ 9. n un triángulo, se trz l bisectriz interior. Luego se trz el segmento N prlelo ("" en y "N" en ). Si N = m, = m y = 4 m, hllr "". 1. n l figur: L1 // L // L // L 4. Si:. = 5 y N.S = 56, hllr: N. 1 m lculr "N"; si: =4; =8; =; F=1; F=6. N S N F Hll "", si: N // cm N n el gráfico ls rects L 1, L y L son prlels. lcule. L 1 m L n L p 1 4., u.,0..,5. 1 cm el gráfico "T" punto de tngenci, clculr "". 1. n l figur, //. Hll "". 5 T ,5 TIL tólic 51

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53 olegios TIL GTÍ Semn 9 uinto tólic 1er. so: Si tienen ángulos de igul medid. SJNZ TIÁNGULS do. so: Si tiene ldos respectivmente proporcionles y el ángulo comprendido entre dichos ldos de igul medid..k b b.k er. so: Si tienen sus tres ldos respectivmente proporcionles. c.k c.k b b.k SJNZ TIÁNGULS os triángulos son semejntes si tienen sus tres ángulos congruentes y ls longitudes de sus ldos homólogos respectivmente proporcionles. Ldos Homólogos: Se denominn sí los ldos que se oponen ángulos congruentes, en triángulos semejntes. T n h m b H t N c NT m = b n = c t H = = K K zón de semejnz h TIL tólic 5

54 iclo tólic roblems pr l clse 1. Hllr "", si: // el gráfico, clculr "". 6. do un trpecio de bses: = y = 17. Se trz N prlelo ls bses ("" y "N" en y respectivmente). lculr "N", si: = n l figur "" es centro de l semicircunferenci. = 8; = ; = 8, clculr "" n el triángulo mostrdo, hllr "" Hllr el ldo del cudrdo mostrdo en l figur en función de l bse "b" del triángulo sobre el cul descns y de l ltur "h" reltiv dich bse... bh b h bh b h h b.. bh b h b h bh 9. Los ldos de un triángulo miden 18, 4 y 6 uniddes. Hllr el menor ldo de un triángulo semejnte cuyo perímetro es 65 uniddes.. 16 u Un triángulo tiene por ldos 0, 6 y 0cm, cuáles son los ldos de otro triángulo semejnte de 114 cm de perímetro?. 0, 49 y 5 cm. 0, 9 y , 5 y , 4 y 0 10.n un triángulo se trz l cevin de modo que: m = m, = 5 y = 7, clculr "" lculr "". 11.n l figur mostrd, hllr "". 4 S ,5., TIL tólic

55 GTÍ 1. ibuje el triángulo rectángulo recto en "". Sobre se tom el punto "" y se trz H perpendiculr. Si: = 5; = 15; H =, clculr "" n un trpecio ( // ), "" es el punto medio de. Si: m = m y = 7, = 5. lculr "" do un prlelogrmo tl que: 5 = 4. n se ubic el punto "", clculr l distnci de "", si l distnci es ,5..,5 18. lculr, si: = y =. 14. lculr "" si los triángulos,, K son equiláteros. K lculr "" si l figur sombred es un cudrdo y b = Según el gráfico: // si: = 4 u. y =, clculr "", b n un triángulo se trz l cevin de modo que: m = m, = y = 6. lculr "" u n un triángulo l distnci de "" N // es 5/7 de l ltur H. Si los ldos del triángulo son: = 7, = 5 y = 9, hllr el perímetro del triángulo N TIL tólic 55

56 iclo tólic Tre domiciliri 1. n l figur mostrd, clculr, si:.=144 m ; demás: =.. 96 cm Si es un prlelogrmo; clculr "". Si: = 8 m; F = 1 m y F = 6 cm F. 9 m n l figur; //, =1 cm, =4 cm y = cm, clculr "".. 10 m Hllr en l figur mostrd, si y son diámetros perpendiculres. ( = m y = 4 m).. 6 cm m.... n l figur, //, //. Hll "", si: //. 1 cm cm 8. lculr, si H es ortocentro. demás: = m; = 4 m; = 8 m y = 18 m. H. 0,50 cm. 0,75. 0,5. 0,60 4. Hllr, si: = 5 m, T = 4T, y T son puntos de tngenci.. m n l figur mostrd, clcul l longitud del segmento, sbiendo que es bisectriz y //.. m T. 5. Los ldos de un triángulo miden = 0 cm, = 50 cm y = 40 cm. or un punto "" ubicdo en y distnte 1 cm del vértice "" se trz N //. lculr el perímetro del cudrilátero N.. 6 u.,4.,., TIL tólic

57 GTÍ 10. do un cudrdo y un triángulo equilátero con el mismo perímetro "l", clculr "", si: = S. 1. n l figur, clculr el rdio de l circunferenci, si y son diámetros perpendiculres. (= y =4). S.. l 5 6 l n l figur hllr "". l l do un prlelogrmo, se trz un rect ("" en ) que corte en "". lculr "", si: = 4 y = () cm 15 cm 15. Si: = 4, // y = 5 m, hllr "". 1 cm 5 cm. 8 cm m Hllr:, si : H=, = y =. H.,5... TIL tólic 57

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59 olegios TIL GTÍ Semn 10 uinto tólic LINS ÉTIS N L TIÁNGUL TÁNGUL royección ortogonl L proyección ortogonl de un punto sobre un rect; es el pie de l perpendiculr trzd por dicho punto l rect. st perpendiculr se denomin proyectnte y l rect eje de proyección. royectnte ' L je de royección n el triángulo " ' " es l proyección de "" sobre L. H es l proyección de "c" sobre "b". H es l proyección de "" sobre "b" c N H b. N es l proyección de "b" sobre "". N es l proyección de "c" sobre "" elciones métrics en el triángulo rectángulo y c: tetos c h b : Hipotenus h: ltur reltiv l hipotenus n H b m n: royección del cteto "c" sobre l hipotenus "b" m: royección del cteto "" sobre l hipotenus "b" TIL tólic 59

60 iclo tólic * Teorem 1: n todo triángulo rectángulo, un cteto es l medi proporcionl entre l hipotenus y l proyección de dicho cteto sobre l hipotenus. = b.m c = b.n emostrción: H ~ c c c b = n c n H b c = b.n H ~ b = m H m b = b.m * Teorem : n todo triángulo rectángulo l ltur reltiv l hipotenus es l medi proporcionl entre ls proyecciones de los ctetos sobre l hipotenus. emostrción: h = m.n H ~ H n h H h H m h = m n h h = m.n * Teorem : n todo triángulo rectángulo el producto de los ctetos es igul l producto de l hipotenus por l ltur reltiv l hipotenus..c = b.h 60 TIL tólic

61 GTÍ emostrción: H ~ c h H b c b = h.c = b.h * Teorem 4: (Teorem de itágors) L sum de los cudrdos de los ctetos es igul l cudrdo de l longitud de l hipotenus. + c = b emostrción: Sumndo ls dos epresiones del teorem 1, es decir: * Teorem 5: = b.m c = b.n + + c = b.m + b.n + c = b(m + n) b + c = b n todo triángulo rectángulo, l invers del cudrdo de l longitud de l ltur reltiv l hipotenus es igul l sum de ls inverss de los cudrdos de ls longitudes de sus ctetos. emostrción: el teorem :.c = b.h; elevndo l cudrdo:.c = b.h 1 h 1 c 1 1 h b.c 1 h c.c 1 h 1 c 1 ropiedd: 0 T 0 1 r Si: "", "" y "T" son puntos de tngenci, entonces: =.r TIL tólic 61

62 iclo tólic emostrción: Trzndo: L // d r -r 0 r 0 1 r L -r d +r itágors: ( + r) = ( - r) + d d =.r =.r roblems pr l clse 1. L hipotenus y un cteto de un triángulo rectángulo miden 9 y 1 cm. lculr l longitud del otro cteto.. 18 cm Hllr l longitud del myor cteto de un triángulo rectángulo, cuyos ldos están en progresión ritmétic de rzón Hllr "", si: H = 9 y H = lculr l longitud de l ltur reltiv l hipotenus, si los ctetos del triángulo rectángulo miden 6 y 8 cm..,6 cm. 4,. 4,8. 5, 7. L sum de los cudrdos de los ldos de un triángulo rectángulo es 00 cm. lculr l longitud de l hipotenus.. 15 cm Si: =, clculr " r ". H 0 r lculr l longitud del menor cteto de un triángulo rectángulo, si ls proyecciones de los ctetos sobre l hipotenus miden y 6 cm.. cm lculr l ltur reltiv l hipotenus, si ls proyecciones de los ctetos sobre l hipotenus miden 1 y 7 cm.. 18cm Los ldos de un triángulo miden 8, 15 y 16 cm, cuánto se debe quitr cd ldo pr que resulte un triángulo rectángulo?... 1 cm TIL tólic

63 GTÍ 10. Si: N = 8 cm y N = 1 cm, hllr "N". N 16. Se tiene un trpecio de digonles perpendiculres ls cules miden 1 y 9. lculr l medin de dicho trpecio , "" y "T" son puntos de tngenci: r = 5 u y T = 9 u. Hllr "". 16 cm Hllr "N" r N T b. b. b H. 4,9 u. 5,6. 6,4. 6,8 18. n el gráfico: = 6 cm y = 8 cm. Hllr l distnci de "".. b. b b 1. n un triángulo obtusángulo obtuso en "", por el punto medio "" de se trz perpendiculr. Hllr "", si: = 6 u; = u y = 7 u u Hllr "", si: = 4,5 cm y = 8 cm. 1. Hllr "", si: = 8 cm y = 10 cm.. 6 cm Los ldos de un triángulo miden 9, 16 y 18. ué longitud "" se debe restr cd ldo pr que el triángulo resultnte se triángulo rectángulo? cm n el gráfico es un rectángulo, tl que: = 6.cm y = 50 cm. lculr "" lculr l sum de los ctetos de un triángulo rectángulo con l ltur reltiv l hipotenus sbiendo que ls proyecciones de los ctetos sobre dich hipotenus miden 9 y cm TIL tólic 6

64 iclo tólic Tre domiciliri 1. Si es un cudrdo, clculr su perímetro, si se sbe que: F = 4m y = m.. 7cm Si: =, clculr y. y F. m lculr el rdio de l semicircunferenci n l figur, es un cudrdo, es centro, clculr m.. 10., ,5. n l figur, clculr "", si: = 4m y = 6m n l figur N=5m; 40 ("" y "N" son puntos. 4, m. 4,1.,5. 5 medios de y respectivmente). lculr "". 4. Hllr el producto de por F si se tiene un cudrdo inscrito en un semicircunferenci de rdio 5 m.. m. 1 N m n l figur, clculr el perímetro del rectángulo, sbiendo que los rdios de ls circunferencis myor y menor, miden 8cm y cm respectivmente. F 9. Si es un cudrdo de ldo "", clculr "" ("" y "" son puntos de tngenci) TIL tólic

65 GTÍ 10. es un cudrdo, hllr "". 1 r 1. n l figur, es un cudrdo. Hllr. r Si es un cudrnte, hllr "" Hllr "" Hllr: L sum de los cudrdos de ls medins reltivs los ctetos de un triángulo rectángulo es 45 cm. Hllr l longitud de l hipotenus cm TIL tólic 65

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67 olegios TIL GTÍ Semn 11 uinto tólic LÍGNS GULS efinición Son quellos polígonos equiángulos y equiláteros l vez; cuyo centro es el centro de l circunferenci inscrit o circunscrit l polígono. * potem (p) : s l distnci del centro del polígono regulr cd uno de los ldos. l 5 l 5 l 5 p 5 H l 5 l 5 r p 5 l 5 ircunrdio r Inrdio * Triángulo quilátero 90 * udrdo l 4 p 4 10 l l 10 p H l 4 H 90 l 4 90 l = p = r = l 4 = p 4 = r = * Heágono egulr l 6 60 H p l 6 l 6 = l 6 l 6 F p 6 = r = TIL tólic 67

68 iclo tólic udro resumen olígono regulr Ángulo centrl Ldo del polígono potem del polígono o regulr regulr rco que subtiende (l n ) (p n ) Triángulo 10º l = p = udrdo 90º l 4 = p 4 = entágono 7º l 5 = 10 5 p 5 = Heágono 60º l 6 = p 6 = ctógono 45º l 8 = p 8 = ecágono 6º l 10 = 5 1 p 10 = 10 5 odecágono 0º l 1 = p 1 = ropieddes de Ángulos en l ircunferenci 1. Ángulo Inscrito. Ángulo Interior. Ángulo terior m= b b b - b = roblems pr l clse 1. n l figur: L 5 y L representn ldos de polígonos regulres. lculr "". n l figur; clculr "". L L 4 L 5 L 1 L. 8º. 84º. 86º. 88º TIL tólic

69 GTÍ. n el gráfico es el ldo de un cudrdo y T es el ldo de un triángulo equilátero; clculr "º". L 4 L º. 75º. 100º. 105º. 10º 4. n el gráfico; clculr "º" si: y ("" es el centro de l circunferenci). T. 80º. 90º. 60º. 75º 8. Si F es un heágono regulr y es un pentágono regulr, clculr "". F L º. 0º. º. 4º. 6º. 60º. 65º. 70º. 75º 5. Si: y 15º 9. Un triángulo equilátero está inscrito en un circunferenci de rdio 4 m. lculr el ldo de dicho triángulo.. m Si el perímetro de un heágono circunscrito un circunferenci es 48 cm, hllr l longitud del potem del cudrdo inscrito en l mism circunferenci. ntonces es equivlente l ldo de un:. Triángulo equilátero. udrdo. ctógono regulr. Heágono regulr 6. n l figur; es un polígono regulr; si: = 5 m clcul: "F". 5m Si: F es un heágono regulr, clculr " ". F. 4 m Hllr el perímetro del cudrdo circunscrito un circunferenci que l vez está circunscrit un triángulo equilátero de ldo igul 6 m. 4 m l perímetro de un heágono regulr es 4 m. lculr el perímetro del nuevo heágono que se form l unir los puntos medios de los ldos del heágono originl.. 4 m Se tiene un triángulo equilátero circunscrito un circunferenci que su vez circunscribe otro triángulo equilátero. lculr l relción entre los perímetros de dichos triángulos F TIL tólic 69

70 iclo tólic 14. n l figur se muestr un circunferenci de centro "" cuyo rdio mide m. Si el triángulo es equilátero y // ; el perímetro del triángulo sombredo es: 19. Si: m=m= m y cm, clculr "".. 1 cm n l figur; clculr N si es un triángulo equilátero y =10 cm; demás: = y N=N. 15. n un heágono regulr F de ldo igul 1, ls prolongciones de l digonl y el ldo F cortn en ""; clculr "" N Se tiene un triángulo equilátero de ldo "L" y eteriormente de ltur "", sobre cd ldo del triángulo. Luego l unir los vértices libres se form un heágono regulr, entonces:. 5 7 cm L. L Tre domiciliri. L. L 6 1. lculr "". 17. do un cudrdo de ldo "L" prtir de cd vértice y sobre cd ldo se tom un segmento que mide "", de tl mner que l retirrlos y unir los etremos libres se form un octógono regulr. lculr "" en términos de "L". L L 5. L L (1 ). ( 1). L L ( ). ( 4 1) lculr "". 18. Se un triángulo obtusángulo y se "" el rdio de l circunferenci circunscrit él, los ángulos gudos sumn 45º, entonces el ldo myor es igul l:. Ldo del triángulo equilátero inscrito en l circunferenci.. Ldo del cudrdo inscrito en l circunferenci.. Ldo del pentágono regulr inscrito en l circunferenci.. Ldo del heágono regulr inscrito en l circunferenci TIL tólic

71 GTÍ. Un heágono F se encuentr inscrito en un circunferenci de rdio m. Se prolong y cortándose en "". lculr el perímetro del triángulo.. 6 m n l figur, el ldo del cudrdo mide m. Hllr el diámetro de l circunferenci menor. 9. Se tiene un octógono regulr FGH inscrito en un circunferenci de rdio m. Hllr l longitud del segmento que une los puntos medios de F y.. m ,5 10. l diámetro de un circunferenci mide 1 m. Hllr el perímetro del triángulo equilátero inscrito en dich circunferenci.. 1 m m.. 5. etermin el polígono regulr cuyo ldo mide 7 m, sbiendo que l longitud de su perímetro medido en metros, es equivlente los 8/5 de su ángulo interior.. 1. Heágono. ctógono. ecágono. odecágono 6. Si el perímertro del triángulo equilátero circunscrito un circunferenci es 18 m, hllr el perímetro del triángulo equilátero inscrito en l mism circunferenci.. 18 m l ldo de un cudrdo inscrito en un circunferenci es m. lculr el ldo del cudrdo circunscrito l mism circunferenci.. m Si un cudrdo y un heágono se inscriben en un mism circunferenci, el cociente de sus potems es: L digonl de un cudrdo mide 6 m. Hllr el cudrdo del rdio de l circunferenci circunscrit l cudrdo.. 18 m Se tiene un triángulo equilátero circunscrito un circunferenci que su vez circunscribe otro triángulo equilátero. lculr l relción entre los perímetros de dichos triángulos n el pentágono regulr, hllr el ángulo que formn ls bisectrices interiores de los ángulos "" y "" n qué relción están los perímetros de un triángulo equilátero y un cudrdo inscritos en un mism circunferenci? esde un punto de un circunferenci se trzn dos cuerds que miden 4 m y 5 m y que demás formn un ángulo de 60. lculr el rdio de l circunferenci.. 1m TIL tólic 71

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73 olegios TIL GTÍ Semn 1 uinto tólic ÁS GINS TINGULS y UNGULS I. Áres de regiones tringulres 1. r todo triángulo 4. Fórmul de Herón h c b b b c p (Semiperímetro) h b.h p(p )(p b)(p c) b 5. n función del inrdio h b r = inrdio p = semiperímetro. Fórmul trigonométric r = p. r b.b sen 6. n función del circunrdio. Triángulo equilátero c b.b.c 4 4 c TIL tólic 7

74 iclo tólic 7. n función del erdio 4. Áre del rectángulo h = b. h r c c c b p = semiperímetro c b 5. rlelogrmo = r (p - c) c = r (p - ) h = r (p - b) b b II. Áre de regiones cudrngulres = b. h 1. ulquier cudrilátero 6. ombo d.. sen : igonl myor d : igonl menor d.. Trpecio m b N h b h = m h m = medin del trpecio roblems pr l clse 1. n el gráfico, clculr el áre del triángulo sombredo. Si: = 16 m y = m.. Áre del cudrdo d = d. 0 m TIL tólic

75 GTÍ. n l figur: = =. lculr el áre de l región cudrngulr. 5. n l figur, es un triángulo equilátero y es un cudrdo. lculr el áre del triángulo, si: = m. 0º... m uánto debe medir "" pr que el áre del trpecio se el doble de l del triángulo? cm 6. Los ctetos de un triángulo rectángulo miden 5 m y 1 m (m< = 90º). L circunferenci inscrit determin sobre los ctetos, los puntos de tngenci "" y "" sobre y respectivmente. lculr el áre de l región cudrngulr.. 6 m cm 7. n l figur; //, = 5 m ; = 4 m ; G = 4 m y GF = m. lculr el áre del triángulo... 5 cm lculr el áre del rectángulo N, si el áre del triángulo es "k". demás: =.. 8 G 16. m. F 5 6 N n l figur: r // s ; = 4 m ; = m ; = m y F = 5 m. lculr el áre de F k. k r. k 4. k F s. 8 m TIL tólic 75

76 iclo tólic 9. n l figur mostrd, es un cudrdo, clculr el áre de l región tringulr H, si: H = 1 m y = 6 m. 14. Según el gráfico, "" es el centro del rectángulo, si: m=(mn) y N = m. lculr el áre de l región rectngulr, si: // N. H N. 48 m m. 10. Se tiene un trpecio de bses: = 8 cm y = 64 cm. Se tomn "" y "" puntos en y respectivmente. Si el segmento divide l trpecio en dos cudriláteros equivlentes y = 4 cm, clculr.. 8 cm L bse de un triángulo isósceles mide 15 m y un de ls lturs igules mide 1 m. lculr el áre de dicho triángulo n un romboide de ldos 8 y 4 m, un ltur mide 6 m. lculr el áre del romboide Hy dos respuests 16. Si es un cudrdo de áre 64 m, clculr el áre de l región tringulr, siendo "T" punto de tngenci y "" es centro.. 75 m L figur muestr un cudrdo de ldo m. Si: "" y "" son puntos medios y "T" punto de tngenci. lculr el áre de l región tringulr T.. 1 m. T T. 18 m n el rectángulo, clculr el áre del triángulo, si: N = 6 m y = 11 m. r.. 1. n el resctángulo mostrdo: = 10 m y = 6 m. lculr el áre del rectángulo m r N r. 80 m L figur represent un rectángulo subdividido en otros cutro rectángulos con sus respectivs áres. l vlor de "" será: TIL tólic

77 GTÍ n l figur, clculr el áre de l región sombred: "" y "", centros). 4. Los ctetos de un triángulo rectángulo están en l relción de 1, clculr l longitud del cteto myor si el áre del triángulo es 16 u u Según l figur, = 1 m ; H = 9 m, demás: = (H). lculr el áre de l región. 0m 15m. 60 m H 0. lculr el áre de l región tringulr que se form l unir los centros "" ; " 1 " y " ", si: = 9m ; b = 16m y c = 4 m. ("", "N", "" son puntos de tngenci). b. 18 m lculr "" si el áre del triángulo es 4 u. 1 c N L. 75 m Tre domiciliri 1. lculr el áre de l región tringulr.. 1 u n l figur, es un cudrdo y es un triángulo equilátero de ldo 4 m. lculr el áre de l región tringulr. 4u 60 6u. 6 u m n un cudrdo, hllr el áre si se sbe que. n un triángulo cutángulo, l ltur H mide 1 m y m < = 45. Si: = 1 m, clculr el áre de l región tringulr.. 90 m l perímetro de un triángulo equilátero es 6 u. lculr el áre de su región.. 18 u mide cm.. 5 cm Si se sbe que el ldo del cudrdo es cm, hllr el áre de l región cudrd que se form l unir los puntos medios de los ldos de dicho cudrdo.. 1 cm... - TIL tólic 77

78 iclo tólic 10. l diámetro de un circunferenci mide 4 cm. Hllr el áre del cudrdo inscrito en dich circunferenci.. cm Si el áre de un heágono regulr es 96 m, hllr el áre del triángulo que se form l unir los puntos medios de tres ldos no consecutivos de dicho heágono.. 18 m cm Se tiene un romboide en el cul el ldo myor mide 8 cm y se sbe que el áre mide cm, hllr l distnci entre los ldos myores.. 16 cm n l figur, se tiene un heágono regulr, si "" es punto medio de y mide 1, clculr el áre de dicho heágono. 1. Si se sbe que los ldos de un rectángulo están en l relción de 1 y que su perímetro vle 7 cm. Hllr el áre de dicho rectángulo.. 40,5 cm Si l digonl de un rectángulo mide 4 1 cm, y sus ldos están en relción de, hllr el áre del rectángulo.. 4 m. 16 F TIL tólic

79 olegios TIL GTÍ Semn 1 uinto tólic LIÓN NT ÁS - ÁS GINS IULS I. LINS ÁS N GINS TINGULS 1 S 1 S b S S S S S G S S S S1 S b : edin G: ricentro 4 S S N N : se edi II. LINS ÁS N GINS UNGULS 1. n trpezoides conveos:. n trpecios //. n prlelogrmos. =. Tmbién: S S S. * S * S S S S S N N: rlelogrmo Tmbién: * : unto culquier S S N S S S S TIL tólic 79

80 iclo tólic III. S TIÁNGULS SJNTS c d ~ r h p b q S b c d = = = = =... S p q r h IV. ÁS GINS IULS 1 írculo y ircunferenci. Sector circulr. oron circulr ircunfernci írculo r Áre de un círculo Longitu de un ircunferenci. 60º 4. Segmento circulr ( r ) () 4 L = ecordr = Sector - = 80 TIL tólic

81 GTÍ roblems pr l clse 5. l áre de l región cudrngulr es de 48 m. lculr el áre de l región sombred. 1. n l figur clculr "S". 40m S 5. 1 m m lcul el áre totl, si el áre de l región sombred es de m. 6. lculr el áre de l región sombred, si es un romboide, =, áre del es 1 m. b b. 4 m n. 6 m Si el áre de l región tringulr es 48 m, clculr el áre de l región sombred.. 1 m c b c n b 7. n l figur, es un prlelogrmo. lculr "S ". S 1 + S. S1 S S S1 - S.. S - S1. (S- S 1) 8. n un triángulo se trz l cevin y sobre ell se determin el punto de tl mner que: = y =. lculr l relción entre ls áres de los triángulos y. 4. n l figur el áre de es de 4 cm ; clculr el áre de l región sombred b b 9. lculr " + y", siendo "" e "y" el áre de ls regiones mostrds. u. 1 cm y u 15 u. 9 u TIL tólic 81

82 iclo tólic 10. n l figur mostrd, clculr: y N = (N) S S 1 ; si: = () S 1 S N. - m S. - m 4. 0,5. 0,8. 0, lcul el áre del círculo, si el rdio del sector es de 9 cm.. - m 8. - m Si es un cudrdo de 144 m de áre, clculr el áre del medio círculo sombredo. 60º. 5 cm n l figur mostrd, = = = m. lculr el áre de l región sombred. T. m ,5 16. L figur muestr tres círculos congruentes de centros " 1" ; " " ; " ". l áre de l prte sombred es igul: 1. m.... l áre de uno de los círculos.. l mitd del áre de un círculo. 1. Hllr el áre de l región sombred, si se sbe que: = m; b = 4 m; c = 5 m.. del áre de un círculo. del áre de un círculo. b c 17. lculr el áre de l región sombred. Si: = y = = 1 m.. 7 m n l figur, clculr el áre de l región sombred; si: es un cudrdo de m de ldo. y S son diámetros. 8 TIL tólic

83 GTÍ. 4 ( - )m. 8 ( - 9 ). 6 (4- ). 6 ( - 4 ) Tre domiciliri 1. lculr el áre sombred si el áre del triángulo es 66 m y y son medins. 18. Si es un cudrdo, = = n, clculr el áre de l región sombred.. n.. n 19. Hllr l diferenci de ls áres de ls regiones sombreds, si l ldo del cudrdo mide 4 cm.. n 5 n. 11m n un triángulo, "" y "N" son los puntos medios de y respectivmente. Sobre se tom un punto "" y se trz el triángulo N. Si el áre de es 0 cm, clculr el áre del triángulo N.. 10 cm n un triángulo se trz l bisectriz interior F. Hllr l relción entre ls áres de los triángulos F y F, si: = 5 y = ( - 8) cm. ( - 8) n l figur, es un cudrilátero cuy áre es 10 cm. l triángulo tiene un áre de 5 cm, cuál es el áre del triángulo, sbiendo que "" es punto medio de l digonl? 0. Si el áre del es S, clculr el áre de l región sombred... S 0 S 10.. S 0 7S 0. 5 cm l ldo de un triángulo equilátero mide 6 6 m. l triángulo es cortdo por dos prlels uno de los ldos, tles que, dividen el triángulo en tres figurs de áres igules. lculr l longitud de l prlel más próim l ldo.. 8 m or el bricentro de un triángulo, se trz un prlel que cort en "" y "" los ldos y respectivmente. Si el áre del tringulo es 8 m, hllr el áre del triángulo.. m TIL tólic 8

84 iclo tólic 7. n un triángulo, el ldo =. uánto mide l prlel dicho ldo, tl que determin dos regiones equivlentes? 1. uánto mide el áre sombred si l digonl del cudrdo mide 4? Si el prlelogrmo tiene por áre 10 m, clculr el áre sombred, si "", "N", "" y "" son puntos medios. N. -. ( -). ( -). 1. n l figur, si: N = 1 y =, hllr l rzón del áre del trpecio isósceles l áre del círculo. N. 15m n l figur, hllr el áre sombred: (). 5( - ) (4 - ) 10. Hllr el áre sombred lculr el perímetro de un rectángulo inscrito en un circunferenci de diámetro 10 cm, sbiendo que el áre del rectángulo es 48 cm.. 1 cm L sum de ls longitudes de ls circunferencis de dos círculos tngentes interiores es 0 m y l distnci entre sus centros es 4 m. lculr l diferenci de sus áres.. 0 m ( - ). ( - 4). ( - ). (4 - ) 11. Si es un cudrdo y "", "N", "" y "" puntos medios, hllr el áre sombred. N TIL tólic

85 olegios TIL GTÍ Semn 14 uinto tólic S ÁS roblems pr l clse 1. Si = 6m ; = 8m y H = 7 m, hllr el áre del triángulo H... H 8 m n l figur, l diferenci entre ls áres de los cudrdos y FG es 56 m. Si =4m, el áre del triángulo es: m. 5. n l figur, es un romboide, = : = m ; y = 10 m, clculr el áre de l región... 1 m Hllr - N, si: = 6 m y = 8 m. y 4 F N.,5 m. 18,5. 0,5. 4,5 G. 1 m... 1,5. lculr el áre de l región tringulr, si: = 6 m y = 11 m.. 0 m n l figur, un circunferenci de centro "" tiene m de rdio y el triángulo es equilátero. Si: //, el áre sombred es: 7. n l figur, es un triángulo isósceles ( = ) de áre igul 7 cm. Si: N =, clculr el áre del triángulo N.. 4 cm N TIL tólic 85

86 iclo tólic 8. lculr el áre de un círculo, si dos cuerds prlels y miden 6 y 10 m respectivmente y l distnci entre dichs cuerds es 8 m.. m n l figur, es un romboide. lculr su áre sbiendo que: = N = N ; = 4 cm ; y = 1 cm y z = cm 1. n un triángulo se trz l bisectriz interior y, en el triángulo, l cevin tl que: m = m. Si el áre de l región tringulr es 5u y =(), clculr el áre de l región.. 5u Según l figur S 1 + S = 16 cm, clculr "r". K. 0 cm y N 10. n l figur, es un cudrdo y un rco tiene centro en "". Si el áre sombred mide el perímetro del cudrdo es igul : z 4 -, 8 S S 1. 4 cm r S 15. n l figur, clculr el áre sombred, si: = = m ; = 1 m y = 7 m L m lculr el áre de l coron circulr sombred, si T es punto de tngenci, = 1 m.. 6 m lculr el áre de l región sombred, si:, y son diámetros. T 16. n l figur, clculr l relción entre ls áres del rectángulo S y del trpecio, si: = y = S 8 15 s 4 s 17. Según l figur, el áre de l región cudrd es 16 cm ; clculr el áre de l región cudrngulr L. (L: es punto de tngenci) L TIL tólic