Mecánica de Sólidos. UDA 3: Torsión en Ejes de Sección Circular

Transcripción

1 Mecánica de Sólidos UDA 3: Torsión en Ejes de Sección Circular 1

2 Definición y Limitaciones Se analizarán los efectos que produce la aplicación de una carga de torsión sobre un elemento largo y recto como un eje o tubo. En un inicio se considerará que el elemento tiene una sección transversal circular. Se mostrará como determinar la distribución de esfuerzo dentro del elemento, así como el ángulo de torsión cuando el material se comporta en forma elástico lineal o de manera inelástica Se abordará el análisis estáticamente indeterminado de los ejes y tubos, además de temas especiales como los elementos con secciones transversales. 2

3 Deformación por Torsión de un Eje Circular El par de torsión es un momento que tiende a torcer un elemento sobre su eje longitudinal. Su efecto es de gran importancia en el diseño de ejes o árboles de transmisión utilizados en vehículos y maquinarias. Observe que: La torsión ocasiona que los círculos se conserven como círculos y que cada línea longitudinal de la cuadrícula se deforme en una hélice que interseca los círculos en ángulos iguales. Las secciones transversales de los extremos a lo largo del eje seguirán siendo planas. Las líneas radiales se conservan rectas durante la deformación. 3

4 Fórmula de la Torsión Cuando un par de torsión externo se aplica sobre un eje, éste genera un par de torsión correspondiente. Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke. τ Gγ En consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante conducirá a una correspondiente variación lineal en el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial ubicada en la sección transversal. Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante sobre la sección transversal en función de la posición radial ρ del elemento. Ahora es posible aplicar la condición de que el par de torsión producido por la distribución de esfuerzos sobre toda la sección transversal sea equivalente al par de torsión interno resultante T en la sección, lo cual mantendrá al eje en equilibrio. 4

5 Deformación por Torsión de un Eje Circular Cada elemento de área da, ubicado en ρ, está sometido a una fuerza de df τ da. El par de torsión producido por esta fuerza es dt = ρ(τda. Por lo tanto, para toda la sección transversal se tiene: La integral depende sólo de la geometría del eje. Representa el momento polar de inercia del área de la sección transversal del eje alrededor de su línea central longitudinal. Su valor se simboliza como J: 5

6 Deformación por Torsión de un Eje Circular 6

7 Deformación por Torsión de un Eje Sólido Si el eje tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento de área en forma de un aro o anillo diferencial que tienen un grosor dp y una circunferencia 2πp: J es una propiedad geométrica del área circular y que siempre es positiva. Las unidades que se utilizan mas a menudo para su medición son mm4 o in4. 7

8 Deformación por Torsión de un Eje Sólido El esfuerzo cortante varia linealmente al largo de cada línea radial de la sección transversal del eje. Si se aísla un elemento del material que se encuentra sobre esta sección, entonces debido a la propiedad complementaria de la fuerza cortante, deben existir también esfuerzos cortantes iguales que actúen sobre cuatro de sus caras adyacente. No solo el par de torsión interno T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo cortante a lo largo de cada línea radial en el plano del área de la sección transversal, sino que también se desarrolla una distribución del esfuerzo cortante asociada a lo largo de un plano axial. 8

9 Deformación por Torsión de un EjeSólido. 9

10 Deformación por Torsión de un Eje Tubular Si un eje tiene una sección transversal tubular, con radio interior C1 y radio exterior Co, entonces su memento polar de inercia J puede determinarse con base a : 10

11 11

12 12

13 13

14 Ejemplo #1: 14

15 Solución de ejemplo #1: 15

16 Ejemplo #2: Deformación por Torsión de un Ejes 16

17 Transmisión de Potencia Con frecuencia, los ejes y tubos con secciones circulares se utilizan para transmitir la potencia desarrollada por una máquina. Cuando se utilizan con este fin, se les somete a un par de torsiones que depende de la potencia generada por la máquina y de la velocidad angular del eje. La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. El trabajo transmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el ángulo de rotación. Como la velocidad angular del eje 19

18 Transmisión de Potencia En el sistema Internacional, la potencia se expresa en vatios cuando el par de torsión se mide en newton-metros (N-m) y w se expresa en radianes por segundo (rad/s) (1 W = 1N-m/s). Para el sistema americano (pies-libras-segundos) la potencia tendrá unidades pies-libras por segundo (ft-lb/s) y se denomina caballos de fuerza (Horse Power) hp. 1 hp = 550 pies-lb/s La frecuencia, es una medida del número de revoluciones o ciclos que realiza el eje cada segundo. 1 Hz = 1 ciclo/s 1 ciclo = 2 π rad ω= 2πf 20

19 Transmisión de Potencia Diseño de Ejes Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotación, el par de torsión que se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de: 2 Al conocer T y el esfuerzo cortante permisible para el material, es posible determinar el tamaño de la sección transversal del eje empleando la fórmula de la torsión, siempre y cuando el comportamiento del material sea elástico lineal. 2 ) Eje Sólido Eje Tubular 21

20 Transmisión de Potencia 22

21 Angulo de Giro Si se aplica un par de torsión T en un extremo de la barra circular, y el otro extremo se mantiene fijo, la flecha se torcerá entre lo dos extremos a través de un ángulo θ. Conforme se aplica el par de torsión, un elemento a lo largo de la superficie externa del miembro, inicialmente recto, gira un pequeño ángulo: donde: T: par de torsión L: longitud de la barra J: momento polar de inercia G: módulo de elasticidad a cortante 23

22 Módulo 3: Torsión en Ejes Sección rectangular Línea media de la cara ancha S s S s T T b L Línea media de la cara angosta a

23 Módulo 3: Torsión en Ejes S smax Punto crítico S s (b) Estado de esfuerzo S smax b T S s a (a) Distribuciones de esfuerzos cortantes a lo largo de (i) los lados de la sección, (ii) dos líneas medias y (iii) una línea oblicua T (c) La forma de las secciones rectangulares cambia al ser sometida a torsión y dichas secciones no permanecen planas T S smax = αab S ' = γ 2 smax S smax,, θ = TL Gβab 3, a/b α β γ Sección rectangular

24 Módulo 3: Torsión en Ejes Tubos de pared delgada T t < r m /10, r m = A m π, S s ds S s t: espesor de pared t A m L T T S s = TL ds, = 2A t 4, TLs θ 2 A G Si t = cte, θ =. t 4A 2 Gt m m m

25 t T r m t r T r m. 2 y Gt r TL t r T S m m s π θ π = =. 2 3 y, Gt r TL t r T S m m s π θ π = = Circular hueca Circular hueca con ranura Módulo 3: Torsión en Ejes Tubos de pared delgada

26 Módulo 3: Torsión en Ejes Diagrama de torques

27 Módulo 3: Torsión en Ejes Diagrama de torques Solución: El esfuerzo cortante máximo producido por torsión depende de la magnitud del par de torsión y del diámetro de la sección; entonces, se debe encontrar la combinación de par de torsión y diámetro que produce el máximo esfuerzo. Se debe construir un diagrama de par de torsión para determinar los pares internos en las diferentes secciones del elemento. Diagrama de par de torsión: Nótese que las cargas sobre el elemento garantizan el equilibrio de éste, ya que la suma de pares de torsión es igual a cero: T1 T2 + T3 = 20 kn 50 kn + 30 kn = 0. El sentido positivo del par puede asumirse arbitrariamente.

28 Módulo 3: Torsión en Ejes T 1 = 20 kn-m T 2 = 50 kn-m T 3 = 30 kn-m Diagrama de torques φ 8 φ 10 φ 9 A B C D E F G H I Medidas en cm T (kn-m) 20 x A B C D E F G H I 30 Entre las secciones A y C no hay cargas, por lo tanto, se traza una línea horizontal en T = 0 desde A hasta C. En C se traza una flecha vertical hacia arriba que corresponde al par T1 de 20 kn-m; el signo de este par se tomó arbitrariamente positivo. Entre C y E no hay par, entonces, se traza la línea horizontal mostrada. En la sección E está el par T2 de 50 kn que va en sentido contrario a T1, entonces, se traza la flecha vertical hacia abajo que llega hasta un valor de T = 20 kn 50 kn = 30 kn. La línea horizontal entre E y G indica que no hay par en ese tramo de la pieza. La flecha en G corresponde al par T3. Finalmente, la línea horizontal entre G e I indica que no hay par entre estas dos secciones. El diagrama cierra en T = 0 indicando que la pieza está en equilibrio.

29 Módulo 3: Torsión en Ejes Diagrama de torques Sección crítica y esfuerzo máximo: Las secciones más críticas se escogen con base en el par de torsión y el diámetro de éstas. - Los tramos AC y GH no soportan par de torsión ni tampoco esfuerzo. - El tramo CD soporta un par de 20 kn-m y tiene un diámetro de 8 cm. - El tramo DE puede descartarse ya que soporta el mismo par que el del tramo CD, teniendo mayor diámetro (por lo tanto, menores esfuerzos de acuerdo con la ecuación 2.12). - El tramo EF soporta un par de torsión mayor que el del tramo DE, entonces, podría ser crítico. - Finalmente, el tramo FG soporta 30 kn y tiene un diámetro de 9 cm. Comparado con el tramo CD no podría descartarse ninguno de los dos, a simple vista, ya que uno tiene mayor par, pero el otro menor diámetro. Comparando el tramo FG con el EF, se descarta este último, ya que ambos soportan el mismo momento de torsión, pero el EF posee mayor diámetro (menores esfuerzos). En conclusión, se analizan los tramos CD y FG. Sin tener en cuenta los efectos de los cambios de sección sobre los esfuerzos, todas las secciones de cada tramo soportarán la misma distribución de esfuerzos. En el tramo CD, el esfuerzo máximo (que ocurre en la periferia) está dado por la ecuación: Para el tramo FG, el esfuerzo máximo es igual a: De acuerdo con esto, las secciones más críticas son las del tramo FG, y el esfuerzo máximo in dicho tramo ocurre en la superficie y es igual a 210 MPa.

30 Módulo 3: Torsión en Ejes Diagrama de torques Cálculo del ángulo de torsión: El ángulo de torsión total es la suma de los ángulos de torsión en los diferentes tramos. Nótese que en los tramos AB, BC, GH y HI no hay deformación ya que no están cargados. Los signos de los ángulos de torsión se han tomado de acuerdo con los signos de los pares de torsión en los diferentes tramos. El ángulo de torsión total es: El signo negativo indica que el ángulo de torsión en el tramo EG es mayor que en el CE. Mirando la pieza por la derecha, la cara I gira en sentido horario con respecto a la cara A; esto se deduce con base en la dirección de los pares de torsión que producen las deformaciones.

31 Módulo 3: Torsión en Ejes Cálculo del ángulo de torsión: Propiedades FÍSICAS aproximadas de algunos materiales de ingeniería. Ψ Diagrama de torques

32 Módulo 3: Torsión en Ejes