8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

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1 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones ACTIVIDADES INICIALES 8.I. Qué es una clepsidra? Qué ventajas tiene sobre el reloj de sol? Un reloj de agua. La ventaja respecto al reloj de sol es que puede funcionar por la noche o en días sin sol, la ventaja respecto al reloj de arena es que se podían hacer más grandes medir más tiempo. 8.II. Redacta un problema de matemáticas como el planteado por el padre de Lilavati pásalo a tus compañeros. Eponed los problemas en clase e intentad resolverlos a medida que estudiáis la unidad. Resolved también el problema planteado en el teto. Actividad abierta 8.III. Investiga las principales contribuciones de las matemáticas indias, haz un breve informe de una página ponlo en común con tus compañeros. Actividad abierta 8.. Actividad resuelta ACTIVIDADES PROPUESTAS 8.. Escribe estos enunciados en forma de ecuación. a) La suma de dos números consecutivos es. b) La suma de tres números pares consecutivos es 0. c) Un número más su quinta parte es. a) ( ) b) ( ) ( ) 0 c) En una academia de idiomas el número de alumnos que estudian francés es la mitad de los que estudian inglés. Calcula el número de alumnos de cada grupo si en total son 0. Sea el número de alumnos de francés Ha 80 alumnos que estudian francés 60 que estudian inglés. 8.. Formula como una ecuación un número impar es igual a un número par e intenta resolverla. Qué observas? Un número impar : Un número par : Un número impar es igual a un número par : 0, no es cierto, luego no puede ser que un número impar sea igual a un número par. 8 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

2 8.5. Verdadero o falso? Razona la respuesta. a) es solución de. b) es una identidad. c) Tiene soluciones reales? d) Si una ecuación consiste en un polinomio igualado a 0, entonces las raíces del polinomio son las soluciones de la ecuación. a) Verdadero, a que b) Falso, a que para el valor no es cierta, para c) No, porque 0 d) Verdadero < 0 no eiste para vale Actividad resuelta 8.7. Resuelve la siguiente ecuación Halla la solución de esta ecuación Resuelve la siguiente ecuación Las edades de tres alumnos son números pares consecutivos. Si la suma de sus edades es, cuántos años tiene cada uno? La ecuación es ( ) ( ). ( ) ( ) Tienen, 6 años, respectivamente. 8.. María ha dibujado un rectángulo cuo largo es tres veces el ancho. Si el perímetro del rectángulo mide 80 centímetros, cuánto mide el área? Si es el ancho, es el largo. Entonces, el perímetro es cm A cm Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 9

3 8.. Los cuadrados mágicos cumplen que la suma de cualquiera de sus filas, columnas o diagonales es siempre la misma. a) Copia rellena los huecos que faltan. b) Averigua cuánto vale si la suma de este cuadrado mágico es. c) Si sumas a todas las casillas del cuadrado, sigue siendo mágico? Por qué? Compruébalo. a) 5 5 b) c) Sí. Ahora, la suma de cualquiera de sus filas, columnas o diagonales es. 8.. Resuelve estas ecuaciones con paréntesis. a) ( ) ( ) 6 b) 0 5( 0) a) ( ) ( ) b) 0 5( 0) Resuelve las siguientes ecuaciones con denominadores. a) b) a) b) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) 5( ) b) 8( ) ( ) 9 7 a) ( ) 5( ) b) 8( ) ( ) (TIC) Resuelve estas ecuaciones. 6 a) 7 6 b) a) 6 6 7( ) b) Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

4 8.7. La tercera, la cuarta, la quinta la seta parte de mi dinero suman 6 euros menos de lo que llevo. Cuánto llevo? Dinero 6 0 euros Actividad interactiva 8.9. Actividad resuelta 8.0. Decide cuál de estas ecuaciones es de segundo grado. a) 9 8 b) 8 c) 5 Las ecuaciones de.º grado son la a la c. En la ecuación b, al operar desaparecen los términos de º grado. 8.. (TIC) Qué ecuación tiene por soluciones? a) 7 0 c) 7 0 b) 7 0 d) 7 0 La ecuación c. 7 0; Escribe las ecuaciones de segundo grado que tenga estas soluciones. a) c) b) 5 d) 7 a) ( ) 0 0 b) ( 5) ( ) c) [ ( )] ( ) d) [ ( 7)] ( ) ( 7) Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por raíces. ( ) ( ) Verdadero o falso? Toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales. Falso, puede tener 0, ó soluciones reales Actividad resuelta 8.6. Halla las soluciones de estas ecuaciones. a) b) 00 0 a) 5 0 0, b) , Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 0 c) 6 0 b) 5 0 d) 8 0 a) 0 ( ) 0. Soluciones: 0 b) 5 0 ( 5) 0. Soluciones: 0 5 c) 6 0 ( 6) 0. Soluciones: 0 d) 8 0 ( 8 ) 0. Soluciones: 0 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

5 8.8. Calcula las soluciones de estas ecuaciones. a) 0 b) 7 0 a) b) (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5 c) b) 75 d) a) ( 6) 0 0, b) 75 ( 75) 0 0, 5 c) ( ) 0 0, d) (TIC) La distancia s de frenado en kilómetros de un coche que va a una velocidad de v km/h decelera a a km/h v viene dada por s a. A qué velocidad iba un coche que, frenando a 500 km/h, recorrió 00 m antes de detenerse por completo? v 500 0, 00 0 km/h a s v a s v a s 8.. Actividad resuelta 8.. Resuelve estas ecuaciones. a) 0 b) 5 0 a) b) ± 5 ± ( ) ± ;, ( 5) 5 ± 9 ;, 8.. (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) c) 0 b) 0 0 d) 8 0 a) b) c) 7 ± ± ( 7) 0 7 ± 9 ; 5, ( ) 0 ± ; 6, 5 ( ) ± ± ;, d) ± ± 6 ;, 6 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

6 8.. Sin resolverlas, averigua el número de soluciones de estas ecuaciones. a) 0 c) b) d) 5 0 Vemos el signo del discriminante. a) < 0. No tiene soluciones reales. b) ( 6) 9 0. Tiene una única solución. c) ( 5) ( 8) > 0. Tiene dos soluciones reales. d) ( ) ( ) 5 > 0. Tiene dos soluciones reales Tiene solución? 0. Como el discriminante es < 0, la ecuación no tiene soluciones reales Actividad resuelta 8.7. Plantea el sistema de ecuaciones lineales para este enunciado: Una clase tiene 6 alumnos el número de chicas es el triple que el de chicos. Sea el número de chicas e el número de chicos En la clase ha 9 chicos 7 chicas Comprueba si los valores e 7 son soluciones de los siguientes sistemas. a) b) 5 5 a) 7 b) e 7 no son solución del sistema. e 7 sí son solución del sistema El perímetro de un rectángulo es de 0 metros la base es el doble de la altura. a) Plantea el sistema de ecuaciones lineales para averiguar los lados. b) Resuelve el sistema mediante una tabla dando valores a la altura. c) Cuál es el área del rectángulo? a) Si la altura del rectángulo es, la base es 0. b) Altura () Base () Perímetro m m 6 m m m m m 6 m 8 m m 8 m m 5 m 0 m 0 m c) S m Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

7 8.0. Actividad resuelta 8.. Resuelve estos sistemas, sumando o restando ecuaciones. a) 50 b) 0 5 a) Sumando: b) Restando: , 0, 8.. Resuelve los siguientes sistemas, sumando o restando ecuaciones. a) 00 b) 60 a) Sumando: b) Restando: , 0 0 0, Las soluciones de dos sistemas equivalentes son,,,. Es esto posible? Por qué? No, porque si son sistemas equivalentes, han de tener las mismas soluciones. 8.. (TIC) Utiliza la regla de la suma de ecuaciones para resolver los siguientes sistemas. a) 0 b) 0 0 a) 0 b) , 5 0 No tiene solución (TIC) La suma de dos números es 0, su diferencia es 60. Cuáles son? Utiliza la regla de la suma para resolverlo. Sean los números e , 0 Los números son Actividad interactiva 8.7. Actividad resuelta Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

8 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones Resuelve por sustitución estos sistemas. a) 6 b) a) b) ( ) (TIC) Halla la solución de los siguientes sistemas. a) b) 5 6 a) ( ) b) ) 5( Plantea para este enunciado un sistema de ecuaciones resuélvelo por sustitución: En un corral ha conejos patos. El número de animales es 0 el de patas 00. Cuántos conejos patos ha en el corral? Sea el número de conejos e el de patos. ( ) Ha 0 conejos 0 patos La base de un rectángulo es centímetros maor que la altura su perímetro es 6 centímetros. Halla sus dimensiones. Sea la longitud de la base e la de la altura. ( ) La base del rectángulo mide centímetros, la altura, Eva: Si o te quito dos monedas, tendré tantas como tú. Elena: Sí, pero si o te quito cuatro, entonces tendré cuatro veces más que tú. Cuántas monedas tienen Eva Elena? : monedas que tiene Eva. : monedas que tiene Elena. ( ) 8, 8.5. Actividad resuelta

9 8.5. Resuelve por reducción estos sistemas. a) 5 b) a) { b) { { { Halla la solución de los siguientes sistemas por reducción. a) b) a) { 5 9 b) { { { Intenta resolver el sistema. Qué observas? 5 El sistema no tiene solución, al resolverlo llegamos a 5 7, que no es cierto (TIC) Resuelve estos sistemas por reducción. a) 5 6 b) a) { 6 6 b) { { { Halla dos números naturales tales que su suma aumentada en sea igual a dos veces el maor, que la diferencia de los dos números menos sea igual al menor. Sean e los números. ; Los números son. 6 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

10 8.59. Tu tío tiene 7 años más que su hijo, dentro de le doblará la edad. Cuántos años tiene cada uno? Resuélvelo por reducción. Llamando a la edad del tío a la de su hijo: 7 7 ( ) ( ) { El tío tiene años, su hijo, Actividad resuelta 8.6. (TIC) Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones a) b) a) Se despeja en las ecuaciones: 8 ;. 8 0 Solución:, 0 b) Se despeja en las ecuaciones: ; 6 Y O 0 X Y O X 0 Solución: 0, Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 7

11 8.6. (TIC) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mediante un método gráfico. 8 5 a) b) 0 7 a) Se despeja en las ecuaciones: -8 ; - 0 Y O 8 0 X Solución:, b) Se despeja en las ecuaciones: - ; Y O X Solución:, EJERCICIOS Ecuaciones de primer grado 8.6. Relaciona cada ecuación con su número de soluciones. 5 5 Infinitas soluciones 7 0 soluciones 9 6 ( ) solución soluciones 8.6. En una familia, la madre gana el triple que el padre entre los dos ingresan mensualmente 800 euros. a) Escribe la ecuación que corresponde a esa situación. b) Cuánto gana cada uno? a) 800 b) ; 600. El padre gana 00 euros, la madre, Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

12 8.65. En la ecuación , realiza las transformaciones que se indican.. Suma 5 a los dos miembros.. Suma 6 a los dos miembros.. Divide por los dos miembros. Cuál es la solución? La solución es Para qué valor de la balanza está equilibrada? Qué es resolver una ecuación? Resuelve la ecuación ( ) ( ) 0. Es encontrar un valor para la incógnita de modo que se cumpla la igualdad. ( ) ( ) 0. Para que el producto sea 0, alguno de los dos factores debe ser 0, de modo que o (TIC) Averigua si los valores 0,,, 5, son soluciones de No es solución. ( ) ( ) ( ) () () Es solución Es solución.. No es solución No es solución. ( ) ( ) ( ) Es solución Escribe con una sola incógnita las ecuaciones correspondientes. a) Un número más su doble más su mitad, suman. b) Los cuadrados de dos números consecutivos se diferencian en 5. c) La mitad más la cuarta parte de un número suman unidades más que el tercio más la quinta parte del mismo número. a) b) ( ) 5 c) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) a) b) 5 b) ( ) ( ) Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 9

13 8.7. En una clase de 8 alumnos de.º de ESO ha doble número de alumnos americanos que africanos doble número de alumnos europeos que americanos. a) Elige una incógnita plantea una ecuación que refleje el enunciado. b) Cuántos alumnos ha de cada continente? a) Sea el número de alumnos africanos. Entonces la ecuación es 8. b) Resolvemos: 7 8. Ha alumnos africanos, 8 americanos 6 europeos (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) d) ( ) ( ) 5 9 b) ( ) ( ) 7 8 e) ( 5) 8 6 ( 5 ) ( ) c) ( ) 5 f) ( ) 5 6 ( ) 5 0 a) b) ( ) ( ) c) ( ) 5 d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) ( ) 5 6 ( ) 8 0( ) ( ) ( ) Observa la balanza. Encuentra un valor de la incógnita tal que la balanza: a) Se incline a la derecha. b) Se incline a la izquierda. c) Consiga el equilibrio. a), 7 < 5 b), 7 5 > 5 c), Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

14 8.7. Un grupo de 5 amigos contratan una ecursión por 80 euros. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada uno de los restantes pone euros más de lo que le corresponde. Cuántos son los amigos que no tienen dinero? Sea el número de amigos que tienen dinero. Entonces, los amigos que no tienen dinero son Lo que paga cada uno de los que tienen dinero es, que es lo mismo que lo que tendrían 80 que pagar si pagasen todos euros más;. 5 Resolvemos la ecuación Los amigos que no tienen dinero son. Ecuaciones de segundo grado Escribe en cada caso la ecuación de segundo grado que tenga estas soluciones. a) b) 5 5 c) 0 d) a) ( ) ( ) 0 c) (0 ) 0 0 b) (5 5) 5 ( 5) 5 0 d) ( ) ( )( ) Resuelve las ecuaciones incompletas de segundo grado. a) b) 0 c) 7 0 a) (5 0) 0 0, b) 0 6,. c) Copia completa el gráfico. Introduce dos números Súmalos S, 5 Introduce los resultados en la ecuación 0 S P Multiplícalos P Resuelve la ecuación S, P 5 5 0, 5 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

15 8.78. Resuelve estas ecuaciones utilizando la fórmula eplicada en la unidad. a) 0 b) a) ± 8 ± (TIC) Resuelve las siguientes ecuaciones. a) ( ) b) 9 ± c) 7 5 b) 0 0 d) a) 0, 0 c) 9 ± ± ± 9 0 ± 7 0 ± ± b) 5, d), Completa la ecuación 5 6 c 0asegurándote de que tenga dos soluciones distintas. Cuántas soluciones eisten? b ac > c > 0 6 0c > 0 6 > 0c > c > c soluciones 7 > c 8.8. Halla el valor de c en la ecuación de segundo grado c 0, para que una de sus soluciones sea. La suma de raíces es, ;. s El producto de raíces es c. Como las soluciones son c 6. p Soluciona las ecuaciones sin usar la fórmula a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) a), 6 b), 8.8. Relaciona cada ecuación con su número de soluciones soluciones solución 0 soluciones Vemos el signo de los discriminantes. 0 < 0 0 soluciones 5 0 ( 5) > 0 soluciones 0 0 solución 8.8. A qué ecuación corresponden las soluciones? a) c) b) 6 0 d) 6 0 a) ( ) 5 ( ) 6 0 0; b) ( ) ( ) 6 0; c) ( ) 5 ( ) 6 0; d) ( ) ( ) 6 0; 6 0 Corresponden a la ecuación d. Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

16 8.85. Cuál de los tres coeficientes de una ecuación de segundo grado nunca puede ser 0? Justifica tu respuesta. No puede ser 0 el coeficiente que va con, porque si fuese 0, tendríamos una ecuación del tipo 0 b c 0 b c 0, que no es una ecuación de segundo grado Qué valor debe tener c para que la solución de la ecuación 9 0 c 0sea única? Para que tenga solución única, el discriminante tiene que ser 0, b ac 0, que en nuestro caso es 900 6c 0 c Dos ecuaciones de segundo grado pueden tener las mismas soluciones? Sí, ( )( ) 0 tiene las mismas soluciones que ( )( ) Dos ecuaciones de segundo grado pueden tener una solución común la otra distinta? Justifica la respuesta. Sí, las ecuaciones ( )( ) 0 ( ) 0 tienen en común la solución,, sin embargo, la otra solución es diferente (TIC) Desarrolla las ecuaciones hasta conseguir escribirlas en la forma a b c 0,, luego, resuélvelas. ( ) 5 7 a) b) ( ) ( ) ( ) 5 7 a) ( ) ± 5 ( 6) ± ±9 ( ) ( ) b) 6 ( ) 0( 60) La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es centímetros la hipotenusa mide 0 centímetros. Aplica el teorema de Pitágoras, utilizando una sola incógnita halla el valor de los catetos. Como la suma de los catetos es, tenemos que estos valen. Entonces, por el teorema de Pitágoras: 0 ( ) 8 0. ± 8 ± 8 6 Los catetos miden 8 6 centímetros. Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

17 8.9. La ecuación c 0, para qué valores de c tiene una solución? Y dos soluciones? Y ninguna solución? Depende del valor del discriminante. c 0 c. Tiene una solución. c > 0 c <. Tiene dos soluciones. c < 0 c >. No tiene ninguna solución Las ecuaciones del tipo a b c 0 se llaman bicuadradas. Si se realiza el cambio de variable: z z, se transforma la ecuación bicuadrada en una ecuación de segundo grado en la variable z. Una vez aplicada la fórmula para obtener z, se deshace el cambio se halla la solución. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. a) 5 0 b) z a) Se realiza el cambio de variable: 5 0 z Se resuelve la ecuación de segundo grado: 5 ± ± 7 z 5z 0 z z 6,z 9 Las soluciones son:,,, z b) Se realiza el cambio de variable: z Se resuelve la ecuación de segundo grado: 6 ± ± z 6z 5 0 z z 5,z Las soluciones son: 5, 5,, 8.9. En un triángulo rectángulo, el lado maor mide centímetros más que el mediano 5 más que el pequeño. Cuánto miden sus lados? El triángulo es rectángulo el lado maor es la hipotenusa: ( ) ( 5) ± ± 6 7, 6 No es válida porque al restar 5 quedaría un lado de longitud negativa. Los catetos miden 7 cm, la hipotenusa, 75 cm. Sistemas de ecuaciones 8.9. Halla el valor de a b, para que se cumpla que los dos sistemas sean equivalentes. 0 a b c 7 5 ( ) ( 5) ( 7 5) ( 6) a 5, b, c 0 0 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

18 8.95. ( TIC) Resuelve por el método de sustitución. a) b) 5 a) ; sustituendo en la segunda ecuación:, luego b) 5 ; sustituendo en la primera ecuación: ( 5) 6 7, luego (TIC) Resuelve por el método de reducción a) b) a) 5 b) (TIC) Resuelve mediante el método de reducción. 7 a) b) a) ( ) b) ( 7) ( ) 5 ( 5 ) ( ) 6 5 ( 5 ) ( ) Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 5

19 8.98. (TIC) Resuelve gráficamente estos sistemas. a) 0 b) 0 5 a) Se despeja en las ecuaciones: ; 0 0 Solución:, 0 0 Y O X b) Se despeja en las ecuaciones: 0; 5 5 Y Solución:, 6 O X Indica, sin resolverlos, si estos sistemas son compatibles o incompatibles. 7 5 a) b) 0 a) Incompatible, porque tendríamos 7 0. b) Compatible Comprueba si los valores e 7 son solución del sistema. 5 9 a) b) 0 a) 5 ( ) No son solución. b). Sí son solución. ( ) 7 0 ( ) (TIC) Resuelve mediante el método de sustitución. a) b) a) 5 Solución:, ( ) b) Solución:, 6 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

20 8.0. Halla el valor de m n, si e es solución del sistema. m n 5 9 Sustituimos en las ecuaciones del sistema las soluciones: m 6 m m 6 n 5 9 n 5 9 n n 8.0. Con las siguientes ecuaciones, plantea un sistema que tenga por solución (, ) Las ecuaciones que forman un sistema con esa solución son: La figura corresponde a la resolución gráfica de un sistema de ecuaciones lineales. a) Cuál es la solución? b) Escribe las dos ecuaciones del sistema. Y O X a) Solución:, b), Plantea un sistema que tenga como solución e 5. Respuesta abierta, por ejemplo: Sin resolverlos, indica cuántas soluciones tiene cada uno de estos sistemas. 5 5 a) b) 6 0 Y 5 Y O X O X a) No tiene ninguna solución porque tenemos la igualdad 5, que es falsa. b) Tiene infinitas soluciones porque la segunda ecuación es la primera multiplicada por. Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 7

21 8.07. La suma de las dos cifras de un número es, si se invierte el orden de sus cifras, el número aumenta en 9 unidades. Cuál es el número? cifra de las decenas cifra de las unidades ( 0 ) ( 0 ) El número buscado es el 56. PROBLEMAS Mario gasta un viernes por la tarde en el cine del dinero que llevaba, de lo que le queda en un bocata a la salida del cine. Vuelve a casa con euros. Cuánto dinero llevaba al salir de casa? Si es el dinero que llevaba al salir de casa, tenemos que:? 6 Mario salió de casa con euros Durante el recreo, en la cafetería de mi instituto, compro todas las mañanas un bocadillo un refresco. El bocadillo cuesta el triple que el refresco, en total me cobran,80 euros. Cuál es el precio del bocadillo?, el del refresco? Sea el precio del refresco, el del bocadillo es entonces. 8, 8, 0, 5 El precio del bocadillo es,5, el del refresco, 0, (TIC)En un mercadillo solidario se venden dos tipos de figuras de artesanía. Unas a,50 euros otras a,50 euros. Se vendieron 8 figuras se obtuvieron 5 euros. Cuántas unidades se vendieron de cada tipo? Sean el n.º de figuras vendidas de,50, e, el n.º de figuras vendidas de, ,5,5 8 5,5 05,5 5,5, Se vendieron 5 unidades de figuras de,50 unidades de,50. ( ) 8.. En una clase de.º de ESO, la cuarta parte repiten curso. El director cambió a tres repetidores del grupo por otros tres de otro grupo que no habían repetido. Ahora solo repiten curso un séptimo del total. Cuántos alumnos ha en la clase? Sea el n.º de alumnos de la clase. Entonces es el n.º de repetidores antes En clase ha 8 alumnos. 8 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

22 8..(TIC) Me faltan,0 euros para comprar mi pizza favorita. Si tuviera el triple de lo que tengo compraría pizzas. Cuánto cuesta la pizza cuánto dinero llevo? Sea el precio de la pizza, entonces, es el dinero que llevo. (, ),, La pizza vale,0. Llevo 8, En una fiesta a la que acuden personas, ha tres hombres más que mujeres tantos niños como hombres mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres niños. Sea el n.º de mujeres, entonces es el n.º de hombres es el n.º de niños Ha 9 mujeres, hombres niños. 8.. Los coeficientes de una ecuación de segundo grado son, 5. Averigua cuál es el coeficiente de si se sabe que la ecuación tiene dos soluciones distintas. a b c b ac Si b ac > 0 dos soluciones distintas, entonces la ecuación es 5 0 ó 5 0. El coeficiente de es La resolución de una ecuación de segundo grado se ha emborronado ha partes que no se aprecian. 9 ± Puedes averiguar la ecuación? b 9 9 b ac c c c a La ecuación buscada es: Javier tiene 5 años más que su hermano Miguel su madre tiene años. Dentro de tres años, la edad de la madre será el triple que la suma de las edades de los hijos. Cuál es la edad actual de cada uno? Si es la edad actual de Miguel, la edad actual de Javier es 5. ( 5 ) 5 ( ) 6 Miguel tiene años, Javier, (TIC) En el Concurso Literario Anual, la asociación de padres madres de alumnos de un instituto premia con libros, por un valor de 96 euros, a los alumnos que haan presentado las tres mejores redacciones. Reparten el premio proporcionalmente a sus notas: 0; 9,5 8,5. Cuánto dinero le corresponde a cada alumno premiado? Si es la constante de proporcionalidad: 0 9,5 8, A quien obtuvo un 0 le corresponden 70, quien obtuvo 9,5 recibirá 66,50, la persona de puntuación 8,5 será premiada con 59,50. Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 9

23 8.8.Marta Ále quedan todas las tardes en la biblioteca. Entre ambos recorren 6 kilómetros. Ále camina a una velocidad de 7 kilómetros por hora Marta a 5 kilómetros por hora. Ambos salen de sus casas llegan a la biblioteca al mismo tiempo. a) Cuánto tardan en llegar a la biblioteca? b) Cuál es la distancia de cada casa a la biblioteca? e v t ta tb ea eb 6 5 7, 5 v v 7 5 A B,5 a) t A 0,5 0. Tardan 0 minutos en encontrarse. 7 b) La distancia de la biblioteca a casa de Ale es de,5 km, a casa de Marta, de 6,5,5 km. 8.9.(TIC) La diferencia entre el denominador el numerador de una fracción es 8. Se sabe que si se suma 8 unidades a cada uno de los términos, la fracción resultante es equivalente a. Halla la fracción La fracción es. 7 AMPLIACIÓN 8.0. Esteban le pide a Joaquín que reste de cierto número que divida el resultado entre 9. Joaquín, que no oe bien, resta 9 a ese número divide el resultado entre, obtiene. Qué habría obtenido Joaquín si oera bien? a) 5 b) c) 5 d) 8 ( 9) La respuesta correcta es la a. 8..Yo tenía el doble de la edad que tenías tú cuando o tenía la edad que tú tienes ahora. Cuando tú tengas la edad que o tengo ahora, la suma de nuestras edades será de años. Cuál es la suma de nuestras edades en este momento? a) 90 b) 95 c) 00 d) 05 Edad hace ( ) años Edad actual Edad dentro de ( ) años Mi edad ( ) Tu edad ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] 57 8 La respuesta correcta es la b Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

24 8.. Juan tiene hijos, dos niños gemelos una niña. La suma de sus edades es, la diferencia, 5. El producto de las edades de los tres es: a) 76 b) 96 c) 86 d) La respuesta correcta es la c. 8.. Un avión sale de una base aérea a las 8.00, llega al punto de destino, retorna inmediatamente llega a las.0. Si la velocidad a la ida fue de 960 km/h a la vuelta fue de 70 km/h, la diferencia de los tiempos empleados en una otra fue de: a) 0 min b) 5 min c) 0 min d) 60 min 960t 70t t t 0 t,5 t t t t,5 t t 0,5 t 0,5 h 0 min La respuesta correcta es la a. 8.. La diagonal de un rectángulo de área 60 m mide m. La diferencia entre sus dimensiones es: a) 8 m b) 9 m c) 0 m d) m ( ) Si 0, 9 recíprocamente; por tanto, la diferencia entre sus dimensiones es: 0 9 m La respuesta correcta es la d. AUTOEVALUACIÓN 8.. Averigua cuál de las siguientes ecuaciones es una identidad. a) 9 7 c) 6 0 b) ( ) 8 6 d) 7 La b, porque si operamos, vemos que ha lo mismo a los dos lados de la igualdad. 8.. Resuelve estas ecuaciones. a) 0 b) 8( ) a) 0 7 9( ) b) 8( ) Escribe la ecuación de segundo grado que tiene por soluciones. ( )( ) Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

25 8.. En el garaje de una comunidad de vecinos ha un total de vehículos entre coches motos 98 ruedas tocan el suelo del garaje. Cuántos coches cuántas motos ha en total? Sea el número de coches e el número de motos ( ) 98 6 Ha 8 coches motos Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5 0 b) 0 ± 9 0 ± 7 5 ± 6 6 a) b) 8.6. Halla el valor de a b, para que el siguiente sistema tenga como solución e. 5 a b 5 a ( ) 5 a 6 a b ( ) b b 8.7. Averigua si el siguiente sistema es compatible o incompatible sin resolverlo Es incompatible porque si multiplicamos la primera ecuación por, tenemos una equivalente que es 0, al resolver tendríamos que 8, lo cual es falso Resuelve estos sistemas de ecuaciones lineales a) b) a) Sustitución: 7 5 7( 6 5) b) Reducción. Sumando las dos ecuaciones: 5 5( 5) ( ) Halla un número tal que la diferencia entre su cuádruplo su cuarta parte sea 5. Sea el número El número es. Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

26 PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS Refleiona deduce > El cesto de manzanas 8.. El epigrama anterior plantea un problema. Redáctalo utilizando un lenguaje más actual e indica claramente cuál es la incógnita. Una señora tiene un cesto de manzanas. Su hija Ino toma dos setos de las manzanas; la siguiente, Sémele, coge un octavo, Autonoé, un cuarto. La hija menor, Ágave, tomó un quinto se fue. Si la madre deja 0 manzanas para su único hijo le queda tan solo una manzana para ella, cuántas manzanas tenía el cesto? 8.. Justifica por qué el número de manzanas debe ser múltiplo de,, 5 8. Para que al tomar,,, el número de manzanas sea un número entero Resuelve por tanteo el problema. Busco un múltiplo común de,, 5 8, pruebo para saber cuántas manzanas quedan. Si tomo el m.c.m., que es 0, resulta que Ino toma 0; Autonoé, 0; Sémele, 5, Ágave,, con lo que quedarían: 0 ( ) 0 9, que es justo lo que dice el enunciado. La respuesta es 0 manzanas. 8.. Escribe con lenguaje algebraico el problema resuélvelo Cuántas manzanas había en total en el cesto? Cuántas manzanas coge cada una de las hijas de Cadmo? Había 0 manzanas. Ino toma 0; Autonoé, 0; Sémele, 5, Ágave, Investiga en la red busca otros epigramas griegos con problemas matemáticos. Eres capaz de formularlos en lenguaje actual resolverlos? Respuesta libre Calcula resuelve > El reparto del botín 8.. Si llamamos al número de monedas que tenía el cofre al principio, escribe la epresión que indica las monedas que coge el segundo pirata. ( ) 5 9 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

27 8.. Si llamamos al número de monedas que cogió el segundo pirata, escribe la epresión que nos indica cuántas monedas cogió el tercero. 8.. Plantea una ecuación o un sistema de ecuaciones para averiguar cuántas monedas tenía el cofre resuélvelo. El tercero dejó Como 5, se obtiene: Razona descubre > No olvides el PIN! 8.. Por qué al año que viene no vale la fórmula de Irene? Porque el año que viene cada uno de ellos tendrá un año más. 8.. Por qué al año que viene tampoco vale la fórmula de Pablo? Por la misma razón. 8.. En qué año se produjo el descubrimiento de América? Es relevante este dato para el problema? En 9, es suficiente para determinar el PIN mediante la ecuación: N 0 9 N Qué números de PIN cumplen la primera observación de Marta? Los únicos números cuo cubo es otro número de tres cifras son: 5 5, 6 6, 7, , con lo que obtenemos las siguientes posibilidades: 55, 66, 7, Cuál es el PIN? Averígualo por los tres métodos. De los números que cumplen la condición de Marta, el único que tiene las cuatro cifras distintas es 58. Por el método de Irene tendremos: ( ), que es la diferencia entre dos cuadrados consecutivos. Como sabemos que esta es igual a (n ), se deduce que: n n 7. Los dos cuadrados consecutivos son: Luego el PIN es Inventa tu propia fórmula para recordar fácilmente este número de PIN otra para el de tu móvil. Respuesta libre Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones

28 Aprende a pensar > La incineradora Juntaos en grupos de cuatro; cada uno será el alcalde de uno de los cuatro pueblos. Vuestro objetivo final es decidir en qué punto del cuadrado situaréis la incineradora. Para ello podéis considerar algunos o todos los datos hacer los cálculos que necesitéis. Cada alcalde deberá negociar de acuerdo con los intereses de su pueblo. Al final de la negociación, eponed vuestra solución en clase concluid entre todos cuál os parece la mejor. Crees que las incineradoras contaminan el medio ambiente? Te parece adecuado situarlas cerca de las poblaciones? Entra en participa en el debate. Respuesta libre Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 5

29 Proecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Féli Anaa, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Féli Moreno, Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proecto: Aída Moa Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo ecepción prevista por la le. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a ecepción de las páginas que incluen la leenda de Página fotocopiable. Ediciones SM Impreso en España Printed in Spain 6 Unidad 8 Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones