4º ESO ACADÉMICAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa NÚMEROS REALES

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1 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los NÚMEROS REALES.- ONJUNTOS NUMÉRIOS N Números Nturles _ Son los que utilizmos pr contr, los primeros que prendemos,,,,,. Z Números Enteros _ Son los que no tienen decimles, los nturles y sus opuestos -, -, -,,,,, Q Números Rcionles _ Son los que se pueden poner como frcción. Ls EDP_Epresiones Decimles Periódics (ects, purs o mits). Ejemplos, 7, Periódics. Ejemplos,,,,. 8,,, -. I Números Irrcionles _ Son los que no se pueden poner como frcción. Ls EDNP_Epresiones Decimles No R Números Reles _ Son Q+I, es decir, todos los números que nosotros utilizmos hbitulmente, ecepto ls ríces cudrds (de índice pr) con rdicndo negtivo, como -..- ERRORES El vlor de un número se puede proimr por defecto, por eceso o por redondeo y dependerá de l cifr l que se hg l proimción. De tods forms, cundo proimmos el vlor de un número se comete un error que determinmos de l siguiente mner Error Absoluto _ Se obtiene medinte l epresión E = V pr V rel, hor bien no es lo mismo equivocrnos en que equivocrnos en., por lo tnto definimos tmbién el Error Reltivo. Error Reltivo _ Se obtiene medinte l epresión E r E V r, y que sirve pr comprr diferentes errores. EJEMPLO_ lcul el error bsoluto y el error reltivo que se comete l proimr l frcción, como. 98 E = V pr V rel = = = = = = Er E V 9 r, que supone un buen proimción..- INTERVALOS Los intervlos son un herrmient útil pr determinr grupos de números. Se utilizn pr indicr l solución de un inecución y en funciones pr indicr el dominio, recorrido, crecimiento Los tipos de intervlos más utilizdos son Intervlo errdo _ [,b] tom todos los vlores entre y b, incluidos y b. b Intervlo bierto _ (,b) tom todos los vlores entre y b, sin incluir ni ni b. b

2 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los Intervlo semibierto o semicerrdo _ (,b] tom todos los vlores entre y b, sin coger pero cogiendo b. b [,b) tom todos los vlores entre y b, cogiendo pero sin coger b. b Intervlos infinitos _ (-,b] tom todos los vlores menores o igules que b. b (-,b) tom todos los vlores menores que b. b [,+ ) tom todos los vlores myores o igules que. (,+ ) tom todos los vlores myores que. (-,+ ) tom todos los vlores, todos los números, Є R. - EJEMPLO_ lcul todos los números que cumpln - <. Probndo con vlores de, se obtiene el intervlo (-,7) De un mner más técnic se podrí proceder ) < < 7 ) > > uy solución es, lógicmente, el mismo intervlo (-,7)..- PROPIEDADES DE POTENIAS ) n m = n+m _undo se multiplicn potencis con l mism bse se dej l bse y se sumn los eponentes. ) n m = n-m _undo se dividen potencis con l mism bse se dej l bse y se restn los eponentes. ) n b n = ( b) n _undo se multiplicn potencis con diferente bse pero igul eponente, se multiplicn ls bses y se dej el eponente. ) n b n = (b) n _undo se dividen potencis con diferente bse pero igul eponente, se dividen ls bses y se dej el eponente. ) ( n ) m = n m _Potenci de un potenci, se multiplicn los eponentes. ) = _ulquier número elevdo cero es uno. 7) = _ulquier número elevdo uno es el propio número. 8) -n = n _Un potenci de eponente negtivo es igul l inverso de su potenci de eponente positivo. 9) b n b n _Un frcción elevd eponente negtivo es igul su invers con eponente positivo. EJEMPLO_ lcul ls siguientes potencis, plicndo sus propieddes ) -8 = -8 = - = d) = ; (-8) = ; = g) = b) 8 (( - ) - ) = = e) = 7 -(-) = 7 + = 7 7 h) = 8 c) 7 = = 7 7 = f) - i) - = ; = -

3 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los.- NOTAIÓN IENTÍFIA L notción científic es un form de escribir números. Se utiliz cundo son muy grndes o muy pequeños. Un número escrito en notción científic está formdo por el producto de dos prtes ) Un número deciml de un sol cifr, distint de cero, en l prte enter, desde y pico hst 9 y pico. b) Un potenci de bse con eponente entero ( -, -, -,,,, ). EJEMPLO_ Reliz los siguientes cálculos e indic el resultdo en notción científic. ) 8, = = NO SE PUEDE DEJAR ASÍ, AUNQUE EL ÁLULO ES ORRETO, NO ES NOTAIÓN IENTÍFIA. b) = = 8 - Tmbién se puede hcer = = 8 - = RADIALES Los rdicles son potencis de eponente rcionl. En generl se cumple n m m n, donde n m,,, es elrdicndo es el índice de l ríz es el símbolo de l ríz EJEMPLO_ lcul el resultdo de los siguientes rdicles trnsformándolos en potencis ) 7 7 b) c) 8 d) 8..- RADIALES EQUIVALENTES Dos rdicles se dicen equivlentes si escritos en form de potenci tienen l mism bse y el mismo eponente. Su vlor será el mismo. EJEMPLO_ omprueb si los siguientes rdicles son equivlentes y, se preci que sí son equivlentes mbos rdicles. Se puede observr tmbién, cómo se relizn ls simplificciones de rdicles,, siempre que el índice del rdicl y el eponente del rdicndo sen divisibles por el mismo número, esto es, que puesto el rdicl en form de potenci con eponente rcionl (frccionrio), éste se pued simplificr, luego se ps de nuevo form rdicl. En l práctic se ctú sí, obvindo l trnsformción en potenci..- INTRODUIR Y EXTRAER NÚMEROS DE UN RADIAL.. Introducir Pr introducir números en un rdicl se elevn l índice del rdicl y se meten multiplicndo l rdicndo. EJEMPLO_ Introduce los siguientes números en sus rdicles. ) desrrollo se reduce los siguientes cálculos, en l práctic todo este b) 8 c) 8

4 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los.. Etrer Pr etrer números en un rdicl estos deben ser potencis cuyo eponente se el índice del rdicl o superior, se dej fuer l bse elevd l número de grupos que se pueden formr con dicho eponente con respecto l índice, multiplicndo l rdicl y dentro del rdicl se dej l bse elevd l eponente sobrnte. En ríces de índice pequeño (ríces cudrds y cúbics) se puede descomponer el rdicndo inicil en un cudrdo o un cubo y otro número, dependiendo que l ríz se cudrd o cúbic. EJEMPLO_ Etre el número más grnde posible de los siguientes rdicles. ), tmbién se pueden buscr cudrdos perfectos y etrerlos de l ríz cudrd en este cso, b) 8, tmbién se pueden buscr cubos perfectos y etrerlos de l ríz cúbic en este cso, c) 7 7 En este cso, demás, se puede simplificr el rdicl, como vimos nteriormente. En cunto l vlor fuer del rdicl, si el número es menor de., se pone el vlor, si no se dej en potenci , como en este ejemplo. 7 7 d) b c b c b En el cso de epresiones lgebrics se ctú de igul form, se dividen los eponentes de ls potencis entre el índice y se etre cd potenci elevd l cociente obtenido y se dej dentro l potenci elevd l resto de cd división, por ejemplo, se divide entre, el cociente es y el resto es, debe slir y quedr dentro..- RADIALES SEMEJANTES Dos rdicles se dicen semejntes si tienen el mismo índice y el mismo rdicndo. EJEMPLO_ omprueb si los siguientes rdicles son semejntes. ) 8, que sí que son semejntes. 7 b) 7 y, que tienen mismo índice pero diferente rdicndo, luego no son semejntes. c) y, que tienen mismo rdicndo pero diferente índice, luego no son semejntes..- OPERAIONES ON RADIALES.. Sum y rest de rdicles Pr sumr o restr rdicles estos deben ser semejntes. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes sums y rests de rdicles. ), si no son semejntes, los rdicles no se pueden juntr. b) Se puede trbjr trnsformndo los rdicles, bien etryendo cudrdos o cubos perfectos, bien descomponiendo los rdicndos y etryendo quells potencis que sen myores que el índice

5 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los.. Producto y cociente (Multiplicción y división) de rdicles Pr multiplicr o dividir rdicles hy que considerr dos csos.- Los rdicles tienen el mismo índice, se multiplicn los rdicndos y se dej el mismo índice..- Los rdicles tienen distinto índice, se procede convertir los rdicles índice común, trnsformndo consecuentemente sus rdicndos, y un vez lcnzdo el mismo índice, se multiplicn los nuevos rdicndos dejndo como índice el índice común clculdo. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes multiplicciones y divisiones de rdicles. ) 8, si tienen mismo índice, multiplicmos los rdicndos y se dej el índice. b) c).. c ) c ) , con números tn grndes es mejor , en l práctic hremos el ejercicio según el punto c, pero en el prtdo c se muestr pso pso l ejecución del producto de rdicles con diferentes índices, trnsformndo primermente los rdicles en potencis de eponente rcionl (frcción) y hciendo el mínimo común múltiplo de dichs frcciones, se observ como dich operción fect los numerdores que en definitiv son los eponentes de los rdicndos. d) 9 8 9, l opertividd es l dich, teniendo en cuent que cundo el eponente del rdicndo no es un uno se debe modificr como se modifique el índice del rdicl, sí pr trnsformr en se procede hciendo mínimo entre los índices,, y es, luego entre es por lo que se debe multiplicr el eponente por que será, esto es, ( ) =. Si es un cociente, se procede simplificr el resultdo todo lo más que podmos... Potenci de un rdicl undo un rdicl se elev un potenci, se dej el mismo índice y se elev es potenci el rdicndo. EJEMPLO_ Reliz ls siguientes potencis de rdicles. ) c b b c, psdo el rdicl potenci de eponente rcionl, vemos como l potenci solo fect l numerdor de l frcción, esto es, l rdicndo del rdicl originl. b) , debemos simplificr l máimo el rdicl, etryendo del rdicl el myor fctor posible. 7.. Ríz de un rdicl undo un rdicl se le hce un ríz, el resultdo es otro rdicl con el mismo rdicndo y con índice del nuevo rdicl el producto de los índices. c b cb

6 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los EJEMPLO_ Reliz ls siguientes ríces de rdicles. ) 8, psdo el rdicl y l ríz potenci de eponente rcionl, se plic que potenci de un potenci se multiplicn los eponentes y por tnto cul justific l propiedd rrib indicd., lo 9 b) introduce hst l más interior y se oper como se h indicdo., cundo hy un número entre l ríces se c) , sin embrgo cundo se trt de sums, se debe ir de dentro hci fuer, clro está, los rdicles deben estr muy bien preprdos pues de lo contrrio no se podrín relizr ls operciones de form ect y sencill..- RAIONALIZAIÓN L rcionlizción consiste en quitr los rdicles del denomindor. Es un mer cuestión estétic, pues el rdicl desprece del denomindor y prece en el numerdor, pero fcilit los cálculos posteriores con ess frcciones. Básicmente tenemos dos csos ) l frcción tiene un solo rdicl en el denomindor, se debe multiplicr numerdor y denomindor por un rdicl con el mismo índice y un rdicndo que multiplicdo con el originl permit epresr el nuevo rdicndo como potenci de eponente el índice del rdicl. EJEMPLO_ Rcionliz ls siguientes frcciones con rdicles. ), como vemos se quit l ríz del denomindor pero prece en el numerdor. b) 8, en est ocsión multiplicmos por pr conseguir y sí poder eliminr l ríz del denomindor. c), ddo que debemos simplificr el resultdo todo lo que podmos, este cso se podí hcer descomponiendo primermente el rdicndo del denomindor y multiplicndo por lo mermente necesrio,, se h multiplicdo por ( )=, en lugr de por =, pero no hy much diferenci. b) l frcción tiene un sum o rest con rdicles en el denomindor, se debe multiplicr numerdor y denomindor el conjugdo del denomindor. El conjugdo de un epresión viene ddo de l tbl djunt. EJEMPLO_ Rcionliz ls siguientes frcciones con rdicles. ) b) , en este cso se pude simplificr el resultdo finl por. Un error muy grve serí decir que el resultdo es 7 7. c) 9 EXPRESIÓN, donde no se puede simplificr más. ONJUGADO ( + b) ( b) ( + b) ( b) ( b) ( + b) ( b) ( + b)

7 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los 7.- LOGARITMOS Llmmos logritmo en bse, del rgumento b, l número c que cumple que elevdo c es b. log b c c b, con > y.- undo l bse es, el logritmo se llm logritmo deciml y se escribe log log.- undo l bse es e (número e cuyo vlor proimdo es 788 ), el logritmo se llm logritmo neperino y se escribe log e ln..., (vlor obtenido con l tecl ln de l clculdor). Este tipo de logritmo tiene bstnte uso en químic, físic y otrs ciencis, pero nosotros solmente lo vemos como curiosidd, recordd, El sber no ocup lugr, bueno, un poco. EJEMPLO_ lcul el vlor de en los siguientes logritmos. ) log = = = b) log = 8 = 8 8 = = 8 =, pero ddo que no 8 9 puede ser negtiv l solución será. 9 c) log =, que tmbién se podí hber soluciondo hciendo log = PROPIEDADES DE LOGARITMOS ) log = _ Se cumple que =. ) log = _ Se cumple que =. ) log (B ) = log B + log _ Se cumple que log ( ) = log + log. = + = y por otr prte, log ( ) = log. =. B ) log ( ) = log B log. _ Se cumple que log ( ) = log. log = = y por otr. prte, log ( ) = log =. ) log B = log B _ Se cumple que log ( ) = log ( ) = log = = y por otr prte, log ( ) = log ( definición de logritmo. ) = log = log =, por l ) log B = logcb _ mbio de bse log A c _ Se utiliz pr clculr logritmos desconocidos, si conocemos todos los logritmos en bse c (normlmente c es o el número e), esto es, usndo l clculdor. EJEMPLO_ onocido el logritmo de log =, clculr ) log 8 = log = () log = = 9. _Not () Aplicndo l propiedd b) log = log ( ) = () log + log = + =. c) log = log =() y () log log = = 99. 7

8 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los EJEMPLO_ lculr, plicndo el cmbio de bse, el vlor del logritmo log log log Utilizndo el cmbio con logritmo deciml log 97..., pero tmbién log log loge ln 9... se puede utilizndo el cmbio con logritmo neperino log 97..., se puede log ln observr que los psos intermedios no tienen nd que ver, pero el resultdo finl es el mismo. e 8. PORENTAJES Los porcentjes o tntos por cien epresn l rzón entre dos mgnitudes directmente proporcionles e indicn l cntidd de un de ells que corresponde de l otr. Tmbién se utilizn el tnto por uno y el tnto por mil. EJEMPLO_ Observ ls siguientes forms de epresr proporciones PROPORIONALIDAD RAZÓN TANTO POR TANTO POR TANTO POR. de cd, de cd, de cd, 8 de cd.,, EJEMPLO_ He comprdo en ls rebjs un televisión por 78,, cundo su precio de vent er de 898. Qué descuento me hicieron sobre el precio de vent?.- PRIMERA FORMA_ Restmos pr obtener el descuento plicdo , = 79,. Ahor hcemos un regl de tres pr clculr el porcentje que supone este descuento.- SEGUNDA FORMA_ , 79, lculmos qué porcentje supone l cntidd pgd sobre el precio de l televisión y restmos del , 78, EJEMPLO_ L producción de un huerto de tomtes h umentdo un 8 este ño. Si l producción de este ño h sido de.7 kilos. uál fue l producción del ño nterior? Ddo que l producción de este ño llev incorpordo el umento del 8, plntemos un regl de tres direct considerndo que los.7 kilos suponen el 8, mientrs que l producción sin umento del ño nterior supone el kilos de tomtes 8

9 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los EJEMPLO_ En un comercio hy un trje que mrc un precio de.. Al ir pgr el comercil me dice que el trje tiene un de descuento y que debe crgrle el de IVA. uánto pgré por el trje? Qué porcentje equivlente mbos me están plicndo? Imgin que me plicn primero el IVA del y después el descuento del. uánto pgré por el trje? Qué porcentje equivlente mbos me están plicndo?.- Pr clculr el precio finl hcemos dos regls de tres consecutivs ,8 trs el descuento y ntes del IVA trs el descuento y con el IVA El porcentje equivlente los dos plicdos se puede clculr comprndo el precio finl con el precio inicil medinte l siguiente regl de tres..,8.,8 8,9 8,9-8,9. Por tnto el porcentje único equivlente plicr sucesivmente un descuento del y un umento del es un umento del 8,9 (no es un umento de un, ( - ) como se podrí pensr de ntemno..- Pr clculr el precio finl plicndo primero el IVA del y después el de descuento hcemos dos regls de tres consecutivs ,8 trs el IVA pero sin descuento trs el IVA y con descuento Podemos observr que si bien l cntidd intermedi (. con IVA y sin descuento) es diferente l del primer cso (.8 sin IVA y con descuento) como cbí esperr, sin embrgo, l cntidd finl que incluye el descuento y el IVA no cmbi y en mbos csos es de.,8, por tnto, debemos concluir que el orden en el que se plicn los porcentjes sucesivos no influye sobre el resultdo finl. Ddo que el importe finl no cmbi, el porcentje único equivlente l descuento del y l IVA del es el 8,9 que y hemos indicdo nteriormente. UTILIZAIÓN DE FATORES DE AUMENTO O FATORES DE DISMINUIÓN be indicr en los ejemplos nteriores que estos cálculos se pueden simplificr si en cd cso se utilizn los fctores de umento o de disminución porcentul socidos los porcentjes plicdos.. Por ejemplo, en el cso del descuento del este fctor es,9 que podemos clculr ,9.8 trs el descuento y ntes del IVA 9

10 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los.8 Y en el cso del umento por IVA del este fctor es, que podemos clculr.8.8.8,.,8 trs el descuento y con el IVA Además pr clculr el porcentje único equivlente l descuento del y l IVA del se puede hcer medinte el producto de los fctores de umento y disminución,9, =,89 8,9 Podemos comprobr que si multiplicmos l cntidd inicil, sin descuento y si IVA, por este fctor equivlente,89 se obtiene l cntidd finl con descuento y con IVA.,89 =.,8. INTERÉS SIMPLE INTERÉS OMPUESTO Los bncos se dedicn mnipulr el dinero de sus clientes, hy csos en los que nosotros dejmos un cntidd de dinero l bnco cmbio de que l tiempo nos devuelvn es cntidd y un poco más, son los intereses, en otrs ocsiones el bnco nos dej dinero nosotros cmbio de que se lo devolvmos con los intereses pctdos. undo nosotros dejmos un cntidd l bnco (cpitl inicil) este nos devuelve l cntidd más los intereses (cpitl finl), si estos intereses no se cumuln ño trs ño estmos hblndo de interés simple, pero cundo los intereses se cumuln ño trs ño l cpitl inicil clculndo los intereses sucesivos sobre este cpitl cumuldo estmos refiriéndonos l interés compuesto.. INTERÉS SIMPLE Sen o pitl_ ntidd inicil de dinero invertid. I Interés_ ntidd de dinero dicionl que nos devuelven. r Rédito_ Interés que producen durnte un ño, tipo de interés o tnto por ciento de interés. t Tiempo_ Puede ir epresdo en ños, meses o dís. Tenemos l siguiente proporcionlidd compuest direct - direct D D D tiempo ño t ños tiempo meses t meses tiempo. dís t dís D D D r I r I r I I I I r t r t. r t. con el tiempo en ños. con el tiempo enmeses. con el tiempo endís. EJEMPLO_ Alejndro h depositdo en su bnco. un tipo de interés simple nul (rédito) del. uánto dinero recibirá l cbo de ños? Si tenemos un cpitl inicil (dinero que ponemos l principio) de. y lo metemos en un depósito l de interés simple, cd ño recibiremos. Si lo dejmos ños, l finl nos devolverán., los. que nosotros pusimos más de intereses, por cd uno de los ños. Se observ en el gráfico que cd ño los intereses se clculn sobre l cntidd inicil sin relizr l cumulción de los mismos

11 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los Aplicndo l fórmul pr ños I.. lculmos el cpitl finl, sumndo los intereses l cpitl inicil f = o + I f =. + =. EJEMPLO_ Alejndro h depositdo en su bnco. un tipo de interés simple nul (rédito) del. uánto dinero recibirá l cbo de 7 meses? Y l cbo de dís? Aplicndo ls epresiones nteriores pr meses y dís I por tener el dinero durnte 7 meses lculmos el cpitl finl, sumndo los intereses l cpitl inicil f = o + I f =. + =. I , por tener el dinero durnte dís lculmos el f, sumndo los intereses l o f = o + I f =. + 7, =.7,. INTERÉS OMPUESTO Su fórmul i f o t donde i t f o es el pitl finl, el dinero inicil es el pitl inicil, dinero que ponemos l principio es el tnto por ciento de interés es el tiempo en ños más los intereses o rédito. EJEMPLO_ Alejndro h depositdo en su bnco. un tipo de interés simple nul (rédito) del. uánto dinero recibirá l cbo de ños? Si tenemos un cpitl inicil (dinero que ponemos l principio) de. y lo metemos en un depósito l de interés compuesto, cd ño recibiremos el del cpitl inicil más los intereses generdos hst ese momento. Si lo dejmos ños, l finl nos devolverán.7,9, los. que nosotros pusimos más 7,9 de intereses, rzón de,,,,, y,7, cd uno de los cutro ños, se observ en el gráfico que cd ño se cumuln los intereses y se hce el sobre l cntidd cumuld.,. +. +,., +,.8, +,7.7,9 t Aplicndo l fórmul pr ños i f o f.,.,.,8.7,9.7, EJEMPLO_ uánto tiempo tendrí que dejr Alejndro los. pr que se duplicrn? L epresión resolver serí (tener en cuent que f será. ) t t t log,..,, t log ños.., log, Observmos que en este tipo de situción precen los logritmos como herrmient de resolución. * En el cálculo del interés influye l frecuenci con l que se pgn los intereses, nul, semestrl, mensul, sí l fórmul del interés compuesto se puede reescribir f o i n nt donde i t n f o es el pitl finl, el dinero inicil es el pitl inicil, dinero que ponemos lprincipio es el tnto por ciento es el tiempo en ños más los intereses de interés o rédito. número de veces que se cobrn los intereses l ño,

12 º ESO AADÉMIAS NÚMEROS REALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTIAS. SAGRADO ORAZÓN OPIRRAI_Julio ésr Abd Mrtínez-Los NOTAS_ NÚMEROS REALES * SÍMBOLOS _ Implic ó quiere decir ó supone que, l relción es ciert de izquierd derech. _ Implic ó quiere decir ó supone que, l relción es ciert de derech izquierd. _ Doble implic, l relción es ciert en mbos sentidos. _ Distinto _ Infinito _ Aproimdo _ Pertenece _ No pertenece / _ Tl que Π _ Tl que _ Eiste _ No eiste α _ Alf β _ Bet _ Gmm * PREFIJOS PARA UNIDADES PREFIJO VALOR PREFIJO VALOR TERA =... DEI - =, GIGA 9 =... ENTI - =, MEGA =.. MILI - =, KILO =. MIRO - =, HETO = NANO -9 =, DEA = PIO - =, * NÚMERO DE SOLUIONES (RAÍES) DE UN RADIAL ÍNDIE RADIANDO NÚMERO DE RAÍES REALES ASOS PAR (UADRADA) POSITIVO DOS, POSITIVA Y NEGATIVA NEGATIVO NO TIENE - IMPOSIBLE ERO UNA RAÍZ, EL ERO IMPAR (ÚBIA) UALQUIERA UNA 8 y - 7 * VALOR ABSOLUTO - si si * OPERAIONES ERRÓNEAS ON RADIALES y POTENIAS ) b b b FALSO b) b b 9 9 FALSO b b 9 FALSO 9 b b VERDADERO 9 c) (+b) = + b ( + ) + = + = 9 FALSO ( + ) = 7 = 9 9 d) + = 8 FALSO + = 8 + = e) + = VERDADERO + = = + + = VERDADERO + + = = * EXPRESIONES NOTABLES ) (+b) = + b + b El cudrdo de un sum es igul l cudrdo del primero más el doble del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. b) ( b) = b + b El cudrdo de un rest es igul l cudrdo del primero menos el doble del primero por el segundo, más el cudrdo del segundo. c) (+b) ( b) = b Sum por diferenci, diferenci de cudrdos.