1 Aproximación de funciones por polinomios.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1 Aproximación de funciones por polinomios."

Transcripción

1 GEODESIA Y FUNCIONES OTOGONALES Enrique Clero Curso GPS en Geodesi y Crtogrfí Crtgen de Indis Aproximción de funciones por polinomios. Consideremos el conjunto de funciones S = ; x; x ; x 3 ; x ; ::::: Si x [; b], el desrrollo de Tylor y un función f(x) continu en un intervlo [; b]. f(x) = f(x )+! f (x )(x x )+! f (x )(x x ) + 3! f (x )(x x ) 3 +:::::d un buen proximción en un reducido entorno del punto x. Cundo se trt de proximr l función f(x) en todo el intervlo [; b] por un combinción linel de elementos de S por ejemplo: P 3 (x) = + x + x + 3 x 3 hbrá que elegir un criterio de proximción. L proximción se considerrá óptim cundo los vlores de ; ; ; 3 veri quen min E = [f(x) P (x)] dx Est es l proximción mínimo cudrátic. L condición de mínimo es equivlente, en este = = = = esultndo el sistem de ecuciones, pr este cso prticulr: E = [f(x) P (x)] dx = E = f(x) + x + x + 3 x = f(x) + x + x + 3 x 3 ( ) dx = f(x) + x + x + 3 x 3 ( x) dx = f(x) + x + x + 3 x 3 x dx = f(x) + x + x + 3 x 3 x 3 dx =

2 b b dx + b xdx + x b dx + 3 x 3 dx = f(x)dx b b b b xdx + x b dx + x 3 b dx + x b dx + x 3 b dx + x b dx + x 3 b dx + 3 x b dx + 3 x 5 b dx + 3 x dx = x 5 dx = x 6 dx = xf(x)dx x f(x)dx x 3 f(x)dx esult un sistem de cutro ecuciones con cutro incógnits: A = 6 AX = B dx xdx x dx x 3 dx xdx x dx x 3 dx x dx x dx x 3 dx x dx x 5 dx 3 x 3 dx x dx x 5 dx 7 5 x 6 dx X = B = 6 Si se cmbi el grdo del polinomio de proximción result un sistem de ecuciones diferente cuy solución ; ; ; 3; veri crá, en generl, 6= 6= 6= 3 6= 3 3 f(x)dx xf(x)dx x f(x)dx 7 x 3 f(x)dx5 Es posible encontrr un conjunto S de funciones tles que los coe cientes obtenidos pr un determindo grdo se conserven cundo se proxime por otro de grdo myor.

3 Aproximción de funciones por combinciones lineles de funciones ortogonles. Consideremos el conjunto de funciones S = f' ; ' ; ' ; ' 3 ; ' ; :::::g tles que existen ls integrles y veri cn: Z b Z b ' i (x) ' j (x) = si i 6= j ' i (x) ' j (x) = k i 6= si i = j y un función f(x) es de cudrdo integrble en un intervlo [; b] : Ls funciones del conjunto S con ls propieddes nteriores se denominn ortogonles. Si demás k i = 8i se denominn ortonormles L proximción será hor P (x) = i ' i (x) = ' (x) + ' (x) + ' (x) + :::::::: + n ' n (x) i= El criterio de proximción es: min E = [f(x) P (x)] dx L condición de mínimo es = = = ; n = Derivndo bjo el signo integrl e integrdo luego término término, result el sistem linel b b b ' b + b ' ' dx + b ' ' dx + b ' ' dx + ' b dx + b ' ' dx + :::: + n b ' ' dx + ' ' dx + :::: + n :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: ' ' n dx = b ' b dx + :::: + n ' ' n dx = ' ' n dx = f' dx f' dx f' dx 3

4 b b ' n ' dx + b ' n ' dx + b ' n ' dx + :::: + n ' ndx = f' n dx Por l ortogonlidd result b i i = k i ' b i dx = b f' i dx (i = ; ; ; :::; n) f(x)' i (x)dx Cd coe ciente depende sólo de l función ' i correspondiente, pero es independiente de ls demás. Así, pues, si con objeto de mejorr l proximción ñdimos más términos l combinción linel de funciones de S sólo hbrá que clculr los coe cientes correspondientes los términos ñdidos; los coe- cientes nteriormente clculdos son idénticos. Est es l grn ventj de ls sucesiones ortogonles en orden l representción proximd de ls funciones.. Cálculo del error de l proximción Considerremos el cso en el que S es un sucesión ortogonl. E = [f(x) P (x)] dx = E = i= " f(x) i ' i (x)# dx desrrollndo el cudrdo e integrndo. " # E = f i ' i dx = f f i ' i + i= i= i=! 3 i ' i 5 dx Teniendo en cuent que ls integrles de los productos ' i ' j son nuls, por l ortogonlidd, se puede escribir: E = b i i= ' i dx n X i= b i f' i dx + f dx Teniendo en cuent que b f' i dx = i ' i dx = ik i E = E = i= b i f dx ' i dx i k i i= n X i= b i i ' b i dx + f dx = f dx b i i= ' i dx

5 . Desiguldd de Bessel pr ls sucesiones ortonormles En el cso de que ls funciones de S sen ortonormles, k i = E = f dx como E > result: i= i i= b i < f dx 8i result 3 Propieddes de los sistems S de funciones ortogonles Consideremos el conjunto de funciones S = f' ; ' ; ' ; ' 3 ; ' ; :::::g tles que existen ls integrles y veri cn: Z b Z b ' i (x) ' j (x) = si i 6= j ' i (x) ' j (x) = k i 6= si i = j El conjunto S es numerble por lo que se utiliz lterntivmente l expresión sucesión de funciones ortogonles, tmbién se utiliz pr designrlo el término sistem de funciones ortogonles..- Sistems ortogonles cerrdos pr un clse de funciones. Un sistem ortogonl se dice que es cerrdo pr ls funciones de un ciert clse cundo el error E de l proximción tiende cero cundo n tiende in nito. Si ls funciones de l clse son de cudrdo integrble, en el limite E = f dx X i k i = ) i= i= f dx = X i k i (Prsevl) X Se dice que l serie i ' i converge en medi l función f(x) en el intervlo [; i= b] 5

6 Dd un función de l clse existe siempre un desrrollo convergente en medi que l represent..- Sistems ortogonles completos. Un sistem ortogonl se dice que es completo si l existenci de un función h ortogonl tods ls de S implic que h es un función idénticmente nul. Ejemplos de sistems ortogonles. Consideremos l sucesión fcos nxgen el intervlo [; ] : Se veri c pr n = ; ; 3; ::: cos cos nx nxdx = dx = x sennx n = Pr m 6= n cos mx cos nxdx = (cos(m + n)x + cos(m n)x) dx = Pr n = ; cos nx dx = Además L sucesión fcos nxg cos nxdx = sennx n = n = ; ; ; ::::es un sistem ortogonl sen(m+n)x m+n + sen(m n)x m n =. L sucesión fsennxg n = ; ; 3; ::::en el intervlo [; ] sen nxdx = ( cos nx) dx = x sennx n = Pr m 6= n ls integrles: senmxsennxdx = (cos(m+n)x cos(m n)x)dx = ( sen(m+n)x (m+n) sen(m n)x (m n) = 6

7 .3 L fmili de funciones f; sennx; cos nxg n = ; ; 3; ::: x [ ; ] dx = sen nxdx = cos nxdx = Si m 6= n senmx:sennxdx = cos mx: cos nxdx = senmx: cos nxdx = cos nx ( )dx = +cos nx ( )dx = Est fmili de funciones constituyen l bse del nálisis rmónico. Constituyen un sistem cerrdo pr ls funciones que son desrrollbles en serie de Fourier. Los coe cientes del desrrollo in nito o de l proximción por un número nito de funciones de este sistem ortogonl se denominn coe cientes de Fourier (son los i determindos nteriormente).tods ls funciones de l fmili tienen el período común y reciben el nombre genérico de rmónicos. Se denomin nálisis rmónico de un función periódic f(x) l expresión, exct o proximd, medinte un serie de Fourier o un sum prcil, es decir, un combinción linel de rmónicos. Un de ls principles plicciones del nálisis rmónico en Geodesi es el estudio de ls mres oceánics prtir de los registros de los mreógrfos.. Construcción de un sucesión de funciones ortogonles. Consideremos un sucesión de polinomios: P (x) ; P (x) ; P (x) ; P 3 (x) ; ::::::::; P n (x) ; :::::::: de grdo n = ; ; ; 3; :::::; n; :::: tles que son ortogonles en el intervlo ( ; ): Si tles polinomios existen se dice que se h construido un fmili de funciones esférics. En prticulr, cundo P n(x)dx = n+ 7

8 se denominn Polinomios de Legendre. Slvo un constnte, podemos escribir: P (x) = P (x) = x + P (x) = x + x + P 3 (x) = x 3 + x + x + 3 P (x) = x + x 3 + x + 3 x +... Procediendo de un mner ordend l condición de ortogonlidd permite determinr los coe cientes. P P dx = (x + ) dx = = ) = P (x) x Determindos P (x) y P (x) l condición de ortogonlidd permite escribir: P P dx = P P dx = P P dx = P P dx = x + x + dx = 3 + = x x + x + dx = 3 = P (x) x 3 A prtir de P ; P ; P se determin P 3 por ls condiciones P P 3 dx = P P 3 dx = P P 3 dx = result P 3 (x) x x Análogmente P ; P 5 ; ::::: P (x) x 6 7 x Ls polinomios P ; P ; P ; P 3 ; P ; P 5 ; ::: veri cn ls condiciones de ortogonlidd y tmbién l sucesión k P ; k P ; k P ; k 3 P 3 ; k P ; k 5 P 5 ; ::: los polinomios de Legendre se obtendrán determinndo ls constntes k ; k ; k ; k 3 ; k ; k 5 ; ::: de mner que se cumpl l condición P n(x)dx = n+ 8

9 k k P dx = = x+ ) k = P dx = 3 = x+ ) k = k P dx = 5 = x+ ) k 8 5 = 5 ) k 9 = ) k = 3 esultn los primeros términos de l sucesión de Polinomios de Legendre P (x) P (x) x P (x) 3 x P 3 (x) 5 x3 3 x P (x) 35 8 x 5 x P 5 (x) 63 8 x5 35 x x epresentción grá c y x -.5 P = 3 x 9

10 y x P 3 (x) 5 x3 3 x y x P (x) 35 8 x 5 x + 3 8

11 y x -.5 P 5 (x) 63 8 x5 35 x x Los polinomios de Legendre veri cn l relción de recurrenci: (n + ) P n+ = (n + ) xp n np n Así P = 3xP P = 3x ) P (x) 3 x 3P 3 = 5xP P = 5x 3 x x ) P 3 (x) 5 x3 3 x P = 7xP 3 3P ) P (x) 35 8 x 5 x P 5 = 9xP P 3 ) P 5 (x) 63 8 x5 35 x x Veri cn l fórmul de Olinde odrigues P n (x) = n n! d n dx n (x ) n y son soluciones de l ecución diferencil: x y xy + n (n + ) y =

12 5 Armónicos esféricos 5. Funciones socids de Legendre Se obtienen prtir de l fórmul de Ferrers P nm (x) = ( x ) m dm dx m P n (x) Siendo P n (x) el polinomio de Legendre de grdo n. Se veri c: Si m = ) P n (x) = P n (x) Si m > n ) P nm (x) Si m es pr se obtiene un polinomio Si m es impr un función que contiene p denominción de funciones socids. En Geodesi se utiliz l sustitución x = cos Aplicndo l fórmul result: n m P nm (x) P nm (cos ) x cos p x sen 3x ( + 3 cos ) 3x p x 3 sen 3 x 3 ( cos ) 3 x(5x 3) 8 (3 cos + 5 cos 3) 3 3 5x p x 3 8 (sen + 5sen3) 3 5 x 5 x (cos cos 3) x 3 5 (3sen sen3) x por eso l 5. Armónicos esféricos super ciles Sobre l super cie de un esfer tomndo como coordends curvilines l ltitud geocéntric y l longitud se de nen ls funciones nm (; ) = P nm (cos ) cos m S nm (; ) = P nm (cos )senm Ests funciones son ortogonles respecto l producto interno = = (; )b(; )sendd = :bd nm : sr d = si s 6= n o r 6= m

13 S nm :S sr d = si s 6= n o r 6= m nm :S sr d = en culquier cso nd = n+ nmd = Snmd = (n+m)! n+ (n m)! (m 6= ) Un función f (; ) de nid sobre l super cie de l esfer puede desrrollrse (o proximrse) en serie de rmónicos esféricos P f (; ) = P Y n (; ) = n= np n= mn= [ nm nm (; ) + b nm S nm (; )] Teniendo en cuent l ortogonlidd los coe cientes del desrrollo son: n = n+ nm = n+ b nm = n+ (n m)! (n+m)! f(; )P n (cos )d (n m)! (n+m)! f(; ) nm (; )d f(; )S nm (; )d 3

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio

Integración Numérica. 18 Regla del Trapecio Integrción Numéric L integrl resuelve el problem de clculr el áre bjo l gráfic de un función positiv definid sobre un intervlo cerrdo. El cálculo elementl de funciones de un vrible rel proporcion un método

Más detalles

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica

Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos Tema 3: Integración numérica Métodos Numéricos: Resumen y ejemplos em 3: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Mrzo 8, versión.4 Contenido. Fórmuls de cudrtur.

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales.

Clase del Miércoles 13 de Junio de 2012: Ecuaciones Integrales. Clse del Miércoles 3 de Junio de 22: Ecuciones Integrles. Introducción En est clse estudiremos ls ecuciones integrles de Fredholm y de Volterr. -+ - Empezremos por considerr l ecución de Fredholm de segund

Más detalles

Funciones ortogonales y series de Fourier

Funciones ortogonales y series de Fourier Funciones ortogonles y series de Fourier Ls series e integrles de Fourier constituyen un tem clásico del Análisis Mtemático. Desde su prición en el siglo XVIII en el estudio de ls vibrciones de un cuerd,

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016

Examen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016 Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos E... Mins: Métodos Mtemáticos Resumen y ejemplos em 6: Integrción numéric Frncisco Plcios Escuel Politécnic uperior de Ingenierí de Mnres Universidd Politécnic de Ctluñ Octubre 8, Versión.5 Contenido.

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

TEMA V: POLINOMIOS ORTOGONALES

TEMA V: POLINOMIOS ORTOGONALES TEMA V: POLINOMIOS ORTOGONALES 1. Introducción Un sistem de funciones reles f n (x) (n =, 1,, 3,...) se dice ortogonl respecto l función peso ρ(x) en el intervlo, b] si f m (x)f n (x)ρ(x)dx = pr todo m

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Definición 7.1 (Serie de Fourier) Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [ π, π] a: (a n cos nx + b n sen nx) ( ) n=1

Definición 7.1 (Serie de Fourier) Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [ π, π] a: (a n cos nx + b n sen nx) ( ) n=1 Tem 7 Series de Fourier Nuestro principl objetivo es introducir ls series de Fourier. Ésts surgieron históricmente l resolver por el método de seprción de vribles un problem de contorno de ecuciones en

Más detalles

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K

DETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

Presentación Axiomática de los Números Reales

Presentación Axiomática de los Números Reales Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. 1 Prte I Presentción Axiomátic de los Números Reles 1. Axioms de los Números Reles 1.1. Axioms de Cuerpo Aceptremos l existenci de un conjunto R cuyos elementos

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1

TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO

Los números reales. 1.4 Orden de los números reales CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1 Los números reles 1 1.4 Orden de los números reles Un número que pertenezc los reles. 2 R / es positivo si está l derech del cero; esto se denot sí: > 0 o bien 0 < : 0 Un número que pertenezc

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

Aproximación e interpolación mediante polinomios

Aproximación e interpolación mediante polinomios LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs. 621 627 621 Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics,

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones.

n f j (x). j=0 f n Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones. Cpítulo 10 Series de Funciones 10.1. Series de Funciones Definición 10.1 Se X R y (f n ) n N un sucesión de funciones reles sobre X. Pr n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x). Llmmos (S n ) n N

Más detalles

ECUACIONES INTEGRALES

ECUACIONES INTEGRALES ECUACIONES INTEGRALES JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA TEXTO DE LAS CARRERAS LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA ECUACIONES INTEGRALES TEXTO DE LAS CARRERAS: LICENCIATURA E INGENIERÍA FÍSICA JOSÉ MIGUEL MARÍN ANTUÑA

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Ecuaciones de Segundo Grado II

Ecuaciones de Segundo Grado II Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe

Más detalles

Integración Numérica. La regla del trapecio.

Integración Numérica. La regla del trapecio. Integrción Numéric. L regl del trpecio. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Integración Numérica. Las reglas de Simpson.

Integración Numérica. Las reglas de Simpson. Integrción Numéric. Ls regls de Simpson. Curso: Métodos Numéricos en Ingenierí Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j..otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidd: ITESM

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS A. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Cundo se quiere indicr un número no conocido, un cntidd o un expresión generl de l medid de un mgnitud (distnci, superficie, volumen, etc

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.

APLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal. Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA

MOMENTOS Y CENTROS DE MASA MOMENTOS Y CENTROS DE MASA El objetivo de ests línes es explicr brevemente otr de ls numeross plicciones que posee el Cálculo Integrl. En este cso, considermos un plc pln y delgd con form culquier, y nos

Más detalles

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática

Tutorial MT-m3. Matemática Tutorial Nivel Medio. Función cuadrática 12345678901234567890 M te m átic Tutoril MT-m3 Mtemátic 2006 Tutoril Nivel Medio Función cudrátic Mtemátic 2006 Tutoril Función Cudrátic Mrco Teórico 1. Función cudrátic: Está representd por: y = x 2 +

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

Regla del Trapecio Para comenzar, sólo dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) e interpolación lineal resulta

Regla del Trapecio Para comenzar, sólo dos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) e interpolación lineal resulta Cpítulo IV Integrción Numéric IV.1. Cudrturs: Regls Simples L fórmuls de cudrtur o regls simples se obtienen por medio de interpolción polinomil: l función integrr se muestre, es decir, se tomn puntos

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II

Segunda Versión. Integración y Series. Tomo II UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA Deprtmento de Mtemátic y Cienci de l Computción CÁLCULO Segund Versión Integrción y Series Tomo II Gldys Bobdill A. y Rfel Lbrc B. Sntigo de Chile 4

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.

Se traza la paralela al lado a y distancia la altura h a. Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos

Más detalles

Formulario de integrales

Formulario de integrales Formulrio de integrles c -5 Slvdor Blsco Llopis Este formulrio puede ser copido y distribuido libremente bjo l licenci Cretive Commons Atribución. Espñ. Séptim revisión: Febrero 5 Set revisión: Julio 3

Más detalles

Sucesiones de Funciones

Sucesiones de Funciones Cpítulo 9 Sucesiones de Funciones 9.1. Sucesiones de Funciones. En los cpítulos 3 y 4 vimos que un sucesión de números reles es, simplemente, un colección numerble y ordend de números reles. De mner similr,

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA VECTORES EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Hllr un vector unitrio u r r r r de l mism dirección que el vector v = 8i 6j.Clculr otro vector ortogonl v r y de módulo 5.. Normliz los vectores: u r = ( 1, v r = (-4,3

Más detalles

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple

Integral de una función real. Tema 08: Integrales Múltiples. Integral definida. Aproximación de una integral simple Integrl de un función rel Tem 08: Integrles Múltiples Jun Igncio Del Vlle Gmbo Sede de Guncste Universidd de Cost ic Ciclo I - 2014 Ls integrles definids clculn el áre bjo un curv y = f (x) pr un región

Más detalles

Números Naturales. Los números enteros

Números Naturales. Los números enteros Números Nturles Con los números nturles contmos los elementos de un conjunto (número crdinl). O bien expresmos l posición u orden que ocup un elemento en un conjunto (ordinl). El conjunto de los números

Más detalles

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES

CONTROL DE PROCESOS FACET UNT TEMA 1 Nota Auxiliar B ÁLGEBRA DE BLOQUES Digrms en Bloques Un sistem de control puede constr de ciert cntidd de componentes. Pr mostrr ls funciones que reliz cd componente se costumr usr representciones esquemátics denominds Digrm en Bloques.

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Unidad 1: Números reales.

Unidad 1: Números reales. Unidd 1: Números reles. 1 Unidd 1: Números reles. 1.- Números rcionles e irrcionles Números rcionles: Son quellos que se pueden escriir como un frcción. 1. Números enteros 2. Números decimles exctos y

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.

DETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1. DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)

Más detalles

15.1 Introducción 115

15.1 Introducción 115 Cpítulo 15 Integrción Numéric Resumen 15.0.3 En este cpítulo veremos un serie de técnics que se llmn métodos de cudrtur que permiten clculr integrles descomponiendo l integrl en l cudrtur numéric ms el

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39

ÍNDICE GENERAL. Índice de Símbolos 37. Bibliografía 39 Índice generl. L Integrl Indenid.. Antiderivd e Integrl Indenid...................... Integrles inmedits........................... 3.3. Regl de l Cden............................ 4.4. Sustitución o Cmbio

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas

La Geometría de las Normas del Espacio de las Funciones Continuas Divulgciones Mtemátics Vol. 11 No. 1(2003), pp. 71 82 L Geometrí de ls Norms del Espcio de ls Funciones Continus The Geometry of the Norms of the Spce of Continuous Functions Arístides Arellán (ristide@ciens.ul.ve)

Más detalles

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1

M A T E M Á T I C A S. Números Reales. Fraccionarios Positivos Negativos MIXTOS: 3 ¼ 1 M A T E M Á T I C A S Números Reles Enteros Rcionles Positivos Negtivos Nturles (,,,4,5,6... α) Primos (,,5,7,,,7) Pres (... 4,-,0,,4,6,..., ) Impres ( -...,-,-,0,,,5,..., ) Dígitos ( 0,,,,4,5,6,7,8,9

Más detalles

Teorema de la Función Inversa

Teorema de la Función Inversa Teorem de l Función Invers Pr el cso de un funcion F : U R R se tiene Nuestro problem es, dds ls funciones x f(u, v) y y g(u, v) que describen x, y como funciones de u, v, cundo es posible estblecer funciones

Más detalles

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS. Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria Matemáticas III Bloque VII Ing. Jonathan Quiroga Tinoco LA ELIPSE EJERCICIOS RESUELTOS Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Mtemátics III Bloque VII Ing. Jonthn Quirog Tinoco 1. Pr encontrr l ecución de l elipse con centro en el origen, un foco

Más detalles

Integración en una variable. Aplicaciones

Integración en una variable. Aplicaciones Tem 4 Integrción en un vrible. Aplicciones Ls integrles formlizn un concepto bstnte sencillo e intuitivo, el de áre. Los orígenes del cálculo de áres los podemos encontrr en el método de exhución desrrolldo

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles