FORMAS NORMALES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

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1 FORMAS NORMALES ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES E. SÁEZ L ide generl de l Teorí de Forms Normles consiste en encontrr un sistem de coordends donde un determind expresión se reduce un expresión equivlente que contiene sólo los términos más relevntes, por ejemplo, es conocido en el estudio de ls cudrátics reles en dos vribles reles con coeficientes constntes, que existen trslciones y rotciones en el plno que permiten definir nuevs coordends donde l ecución de l cudrátic no contiene el término mixto y no contiene l menos un término linel y que son irrelevntes pr l form culittiv de l gráfic de l cudrátic. Dichs ecuciones son llmds Cnónics. Otro ejemplo conocido es en el estudio de ls mtrices cudrds, donde se demuestr que existen bses decuds en los Espcios Vectoriles respectivos tles que medinte trnsformciones lineles es posible representr l mtriz en términos de los vlores propios que son los números relmente relevntes de l mtriz. Dichs mtrices se dicen de Jordn. L expresión generl de un Ecución Diferencil Prcil Linel Rel de Segundo Orden en dos vribles, definid en un dominio Ω del plno en coordends crtesins es de l form (1) (x,y) u + b(x,y) u + u + d(x,y) u + x x y c(x,y) y x e(x,y) u f(x,y)u + g(x,y) = 0 donde los coeficientes,b,c : Ω R son funciones en dos vribles que dmiten desrrollos de Tylor convergentes y no se nuln simultnemente en Ω. Los coeficientes d, e, f, g : Ω R son funciones en dos vribles y continus. Como l ecución (1) es de segundo orden, veremos en lo que sigue que siempre es posible reducir los coeficientes de ls derivds de segundo orden constntes muy simples medinte un cmbio de coordends definids por sistem de ecuciones de l form () ξ = ξ(x,y) con (ξ,η) (x,y) 0, (x,y) Ω tl que (1) en ls nuevs coordends es equivlente un de los siguientes tipos de ecuciones más sencills, llmds Forms Normles, o bien, forms Forms y + Deprtmento de Mtemátic, UTFSM e mil: edurdo.sez@usm.cl. 1

2 E. SÁEZ Cnónics de (1). (3) FormsNormles : 1.) u u + T.O.I. = 0 ξ η 1.b) u + T.O.I. = 0 ξ η.) u.b) + T.O.I. = 0 η + T.O.I. = 0 ξ 3) ξ + u η + T.O.I. = 0 donde T.O.I., design los términos de orden inferior l efectur el cmbio de coordends () (1) pr obtener (3). Definición. Diremos que l ecución (1) es de tipo Hiperbólic, ó Prbólic, o bien, Elíptic, si y sólo si existe un cmbio de coordends tl que l ecución se puede escribir en l Form Norml 1., ó., o bien 3., respectivmente. Nótese de (3) que no existe unicidd de Forms Normles. Además, ls forms 1.),.) y 3.) son por definición de tipo Hiperbólics, Prbólics y Elíptic, respectivmente. En Físic e Ingenierí es frecuente encontrr ls E.D.P. u u = 0 Ecución de Ond Unidimensionl x t u = 0 Ecución de Clor Unidimensionl x t + u = 0 Ecución de Lplce Bidimensionl x y Ests ecuciones son ejemplos inmeditos de Ecuciones de tipo Hiperbólic, Prbólic y Elíptic, respectivmente. Teorem L E.D.P. (1) es reducible en Ω l form: 1) Hiperbólic si y sólo si b (x,y) (x,y)c(x,y) > 0, (x,y) Ω ) Prbólic si y sólo si b (x,y) (x,y)c(x,y) = 0, (x,y) Ω 3) Elíptic si y sólo si b (x,y) (x,y)c(x,y) < 0, (x,y) Ω Demostrción Se : Ω R tl que (x,y) = b (x,y) (x,y)c(x,y). Demostrremos en primer lugr que en Ω, el signo del discriminnte (x,y) es invrinte bjo un cmbio de coordends del tipo (). Por () es inmedito que existe un cden de dependenci de ls vribles del tipo: u ξ η x y

3 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES... 3 Usndo l Regl de l Cden y cmbindo de notción se obtiene que ls derivds prciles respecto de x e y, estn dds por ls expresiones: u x = u ξ + u η η x u y = u ξ + u η η y u xx = u ξξ ξx + u ξη η x + u ηη ηx + T.O.I. u xy = u ξξ + u ξη η y + u ηξ η x + u ηη η x η y + T.O.I. = u ξξ ξy + u ξη η y + u ηη ηy + T.O.I. u yy Reemplzndo ls derivds prciles nteriores en (1) se obtiene que l form generl de l Ecución Prcil en ls cordends (ξ,η) es del tipo (4) Au ξξ + Bu ξη + Cu ηη + T.O.I. = 0 donde los coeficientes de ls derivds de segundo orden están dds por: A = ξx + b + cξy (5) B = η x + b( η y + η x ) + c η y C = ηx + bη x η y + cηy Con un cálculo opertorio simple se verific l identidd: B AC (b c)( η y η x ) (b c) [ ] (ξ,η) (x, y) L identidd nterior, demuestr que el signo de l expresión = b c es invrinte bjo cmbio de coordends pues Sign(B AC) = Sign(b c) si y sólo si (ξ, η) (x,y) 0 ( ). Es inmedito de (3) que ls Forms Normles : Hiperbólic, Prbólic y Elíptic implicn, respectivmente: (x,y) 1(resp. 1 ), (x,y) 0 y (x,y) 4 1, de donde los signos de (x,y) en Ω son positivos, cero y negtivo y que son invrintes bjo cmbio de coordends. ( ) Demostrremos continución que dependiendo del signo de, existe un cmbio de coordends () que trnsform (1) un de ls respectivs Forms Normles en (3). Cso 1.- Supongmos que (x,y) > 0 en Ω y busquemos funciones ξ = ξ(x,y),η = η(x,y) tles que nulen simultnemente ls expresiones de A y C en (5). Si tles funciones existen entonces B 0 en (5) pues B AC > 0 y dividiendo (4) por 1 B se tiene l Form Norml 1.b) de (3). L demostrción se reduce nlizr l consistenci del sistem de ecuciones diferenciles de primer orden (6) ξx + b + cξy = 0 ηx + bη x η y + cηy = 0

4 4 E. SÁEZ Como ls ecuciones del sistem son similres, el estudio de l primer de ells es válido pr l segund ecución cmbindo el rol de ξ por η. L primer ecución del sistem, dividid por ξy tiene l form ( ) ξx (7) + b + c = 0 Si 0 en cd punto de Ω, se tiene un ecución de segundo grdo donde el cuociente ξx jueg el rol de incógnit. Sus soluciones son: = b + b c, o bien, = b b c Sen ls ecuciones diferenciles ordinris dy (8) dx = b b c, y, dy dx = b + b c Si ξ(x, y) = cte es un solución generl de l segund ecución nterior, entonces es inmedito que dx + dy = 0 y en consecuenci dy = dx ξx, de donde el cuociente es solución de l ecución de segundo grdo (7) y l función ξ stisfce l primer ecución del sistem (6). Análogmente si η(x, y) = cte es solución generl de l primer ecución de (8), entonces l función η stisfce l segund ecución del sistem (6). Pr demostrr que l trnsformción ξ = ξ(x,y) define un cmbio coordends en Ω, bst demostrr que el jcobino de l trnsformción no se nul en Ω. En efecto ls funciones η, por (7) y (8) stisfcen = b+ b c Luego ηx η y ηx η y = b c = b b c 0, de donde, Entonces, η y η x = (ξ,η) (x,y) 0, x,y Ω η y η x η y 0 Si 0, entonces b(x,y) 0 en cd punto de Ω pues por hipótesis (x,y) > 0. Si c 0, bst dividir (1) por b pr tener l form norml de l ecución diferencil. Se entonces c(x,y) 0 en cd punto de Ω. El sistem (6) se reduce l expresión b + cξy = 0 bη x η y + cηy = 0

5 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES... 5 Dividiendo l primer ecución del sistem por ξ x se tiene l ecución de segundo grdo con incógnit el cuociente ξy ; o bien fctorizndo, Sus soluciones son : b + c( ) = 0 (b + c ) = 0 = 0, o bien, Sen ls ecuciones diferenciles ordinris = b c dx dy = 0, y, dx dy = b c Sen x = cte, y, η(x,y) = cte ls respectivs soluciones generles de ls ecuciones ordinris, entonces ξ = x stisfce el sistem (6). El sistem como un trnsformción define un cmbio de coordends pues (ξ,η) = η 0, y que, b 0. Lo nterior demuestr sólo l prte (x,y) y 1) del Teorem. Cso.- Supongmos que (x,y) 0 en Ω. Análogmente lo nterior busquemos hor funciones ξ = ξ(x,y),η = η(x,y) tles que nulen simultnemente ls expresiones de A y B en (5). Si 0 en (1) entonces b 0 pues b c 0, luego c 0 en cd punto de Ω. Bst dividir (1) por c pr tener l form Prbólic.b). Si 0 en cd punto de Ω en (1), del cso 1.- se sbe que l función ξ = ξ(x,y) obtenid de l segund ecución diferencil en (8), (que se reduce l form más simple dy = b), tiene l propiedd de nulr l expresión de A. Pero dx B AC 0 pues el sign( (x,y)) es invrinte bjo cmbios de coordends, entonces l mism función ξ = ξ(x,y) nterior, tmbien nul B. Por otro ldo bst tomr η(x,y) = y y que en el cso c 0 en cd punto de Ω, no nul l expresión de C (si c 0 el teorem es inmedito pues (1) dividid por se encuentr en l form norml Prbólic.b)) Pr terminr l demostrción de este cso flt demostrr que l trnsformción definid por el sistem: ξ = ξ(x,y) η = y, define un cmbio de coordends en Ω.

6 6 E. SÁEZ Pero (ξ, η) (x,y) = 0 1 =, y = b Si b 0 en Ω, entonces c 0 y l demostrción es inmedit pues bst dividir (1) por pr tener l form norml Prbólic.b). Si b 0 en cd punto de Ω, entonces 0 y el Jcobino nterior no se nul en Ω lo que termin l demostrción del cso.-. Cso 3.- Supongmos que (x,y) < 0 en Ω. Busquemos funciones ξ = ξ(x,y),η = η(x,y) tles que simultnemente nule l expresiones de B y se teng l identidd A C en (5). Entonces de (5) y de ls identiddes en Ω, A C 0 y B 0 se tiene respectivmente el sistem: (ξ (9) x ηx) + b( η x η y ) + c(ξy ηy) = 0 η x + b( η y + η x ) + c η y = 0 Multiplicndo l segund ecución del sistem por i y sumndo con l primer se obtiene: ( + iη x ) + b( + iη x )( + iη y ) + c( + iη y ) = 0 Dividiendo l ecución por ( + iη y ) se tiene: ( + iη x + iη y ) + b( + iη x + iη y ) + c = 0 Est expresión signific que el cuociente ξx+iηx +iη y es solución de l ecución de segundo grdo X + bx + c = 0, es decir, (10) + iη x = b i + iη y c b Nótese que 0 en cd punto de Ω pues b c < 0 (el cso = 0 no es posible pues b < 0 es un contrdicción.) Consideremos l ecución diferencil ordinri dy dx = b + i c b, y se, Φ(x,y) = ξ(x,y) + iη(x,y) = c 1 + ic C su solución generl, donde c 1 + ic es un constnte complej rbitrri. Pero l diferencil de Φ(x,y) = cte es dφ = Φ x dx + Φ y dy = 0, entonces dy dx = Φx Φ y y en consecuenci se tiene (10). El cálculo nterior signific que ls funciones ξ = ξ(x,y) (11) stisfcen el sistem (9) y en consecuenci A C B 0.

7 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES... 7 Flt demostrr que el sistem (11) define un trnsformción que es un cmbio de coordends, o bien, que (ξ,η) 0 en cd punto de Ω. (x,y) Consideremos l prte imginri Im( + iη x + iη y ) = η x η y ξ y + η y = c b 0, en cd punto de Ω Entonces (ξ, η) (x,y) = η y η x 0, en cd punto de Ω lo que concluye l demostrción. Comentrio 1. El teorem nterior se generliz E.D.P. lineles de segundo orden definids en un dominio Ω R n. Por cmbios de coordends l form generl de l E.D.P. se puede escribir en l form norml n λ i + T.O.I. = 0, y se tiene l siguiente clsificción : ξi i=1 1) Elíptic i,λ i > 0 (resp. λ i < 0) ) Prbólic i,λ i = 0 3) Hiperbólic (!)i,λ i > 0 (resp. λ i < 0), λ j < 0 (resp. λ j > 0) si i j 4) Ultrhiperbólic Existe más de un λ i > 0 y más de un λ i < 0 Comentrio. Se l función socid un mism E.D.P. de l form (1) : Ω R R, tl que, (x,y) = b (x,y) (x,y)c(x,y) Consideremos l prtición de Ω en los tres conjuntos Ω = Ω 1 Ω Ω 3 donde Ω 1 = 1 (, 0), Ω = 1 (0) y Ω 3 = 1 (0, ) Entonces, un mism ecución puede ser de los tres tipos: Elíptic, Prbólic, o bien, Hiperbólic si se restringe los conjuntos Ω 1, Ω, o bien, Ω 3 respectivmente. Es decir, el tipo de ecución depende del dominio de definición de los coeficientes de l E.D.P. Ejercicio interesnte Encontrr l solución de l ecución de Ond Unidimensionl t = u k donde k > 0 es un constnte, x tl que stisfg ls condiciones iniciles de Cuchy: (1) u(x, 0) = f(x) u t (x, 0) = g(x) con f,g C 1 Solución: Si el coeficiente k 1 en l ecución de Ond, entonces dich ecución no está escrit en form norml por l presenci de este coeficiente diferente de uno.

8 8 E. SÁEZ Es inmedito que, (x,y) = b c = k > 0 y en consecuenci l ecución de Ond es de tipo Hiperbólico. Sen ls ecuciones diferenciles ordinris dt dx = b + b c = 1 k, dt dx = b b c = 1 k Entonces ls respectivs soluciones generles son: x kt = c 1, x + kt = c, donde c 1,c son constntes rbitrris. Luego existe el cmbio de coordends ξ = x kt η = x + kt, donde l Ec. de Ond es de l form Hiperbólic De (5) se tiene que B = k y l ecución en ls nuevs coordends es de l form + T.O.I = 0. Es simple verificr que los términos T.O.I 0, dividiendo l B u ξ η ecución nterior por 4k se tiene l form hiperbólic u = 0. Es clro que culquier ξ η función que depende sólo de uns de ls vribles es nuld por l derivd mixt (se supone de clse C ). Entonces u = φ(ξ) + ψ(η), con φ,ψ C funciones rbitrris son soluciones de l form hiperbólic. En consecuenci, regresndo ls vribles originles por el cmbio de coordends, (13) u(x,t) = φ(x kt) + ψ(x + kt) son soluciones rbitrris de l ecución de Ond. Consideremos l siguiente interpretción de l solución u = φ(x kt). Supongmos que l gráfic de φ en el instnte inicil t = 0 es como l curv γ 0 de l figur. Entonces l gráfic de u = φ(x kt) es un curv dinámic γ t que como función del tiempo, se desplz s = kt uniddes hci l derech velocidd k, pues kt > 0. Análogmente l gráfic de ψ(x + kt) es un curv que como función del tiempo se desplz s = kt uniddes velocidd k hci l izquierd pues kt < 0. Por ests interpretciones, se dice que ls soluciones de l ecución de Ond, u(x,t) = φ(x kt) + ψ(x + kt) son sums de onds vijers como indic l figur: u γ 0 γ t kt x

9 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES... 9 Busquemos hor ls funciones φ, ψ tles que l(s) solución(es) stisfce(en) ls condiciones iniciles de Cuchy, es decir, l(s) solución(es) stisfcen ls condiciones (1), entonces tomndo t = 0 en (13) se tiene que φ,ψ stisfcen el sistem: f(x) = φ(x) + ψ(x) g(x) = kφ (x) + kψ (x) Derivndo l primer ecución del sistem nterior respecto de x se tiene que ls derivds de φ,ψ stisfcen el sistem: φ (x) + ψ (x) = f (x) kφ (x) + kψ (x) = g(x) Despejndo del sistem ls derivds de φ,ψ tenemos: φ (x) = kf (x) g(x) k ψ (x) = kf (x)+g(x) k Integrndo respecto de x se tiene ls identiddes: φ(x) f(x) 1 x g(ξ)dξ k 0 ψ(x) f(x) + 1 x g(ξ)dξ k 0 Reemplzndo ls trslciones x x kt y x x + kt en l primer y segund identidd respectivmente se obtiene: φ(x kt) f(x kt) 1 x kt g(ξ)dξ k 0 ψ(x + kt) f(x+kt) + 1 x+kt g(ξ)dξ k 0 Finlmente, sumndo ls dos identiddes nteriores encontrmos l solución llmd de D Almbert del problem de l Ecución de Ond con condiciones iniciles de Cuchy. u(x,t) = 1 1 x+kt [f(x + kt) + f(x kt)] + g(ξ)dξ k x kt RESUMEN Cso 1.- b (x,y) (x,y)c(x,y) > 0, (x,y) Ω E.D.P. Hiperbólic. i) Si 0, sen ls Ecuciones Diferenciles Ordinris: dy dx = b + b c dy, dx = b b c y ls respectivs soluciones generles : ξ(x,y) = c1 η(x,y) = c

10 10 E. SÁEZ Entonces el cmbio de coordends: ξ = ξ(x,y), Trnsform (1) l form, B u ξ η + T.O.I. = 0 Dividiendo l expresión nterior por B, se obtiene l Form Norml Hiperbólic, (14) ξ η + T.O.I. = 0 ii) Si = 0 y c 0, en cd punto de Ω, sen ls Ecuciones Diferenciles Ordinris: dx dy = 0, dx dy = b c x = c y ls respectivs soluciones generles : 1 η(x,y) = c Entonces el cmbio de coordends: ξ = x, Trnsform (1) l form, B u ξ η + T.O.I. = 0 Dividiendo l expresión nterior por B, se obtiene l Form Norml Hiperbólic (). iii) Si = 0 y c = 0, en cd punto de Ω, bst dividir (1) por b pr obtener l Form Norml Hiperbólic en ls coordends crtesins originles, Cso.- x y + T.O.I. = 0 b (x,y) (x,y)c(x,y) 0, (x,y) Ω E.D.P. Prbólic. i) Si = 0, en cd punto de Ω, bst dividir (1) por c pr obtener l Form Norml Prbólic en ls coordends crtesins originles, y + T.O.I. = 0 ii) Si 0 y c 0, en cd punto de Ω, se l Ecución Diferencil Ordinri dy dx = b, y l respectiv solución generl: ξ(x,y) = c 1

11 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES Entonces el cmbio de coordends: ξ = ξ(x,y), Trnsform (1) l form, C u η = y η + T.O.I. = 0 Dividiendo l expresión nterior por C, se obtiene l Form Norml Prbólic, η + T.O.I. = 0 iii) Si 0 y c = 0, en cd punto de Ω, bst dividir (1) por pr obtener l Form Norml Prbólic en ls coordends crtesins originles, Cso 3.- x + T.O.I. = 0 b (x,y) (x,y)c(x,y) < 0, (x,y) Ω E.D.P. Elíptic. Se l Ecución Diferencil Ordinri: dy dx = b + i c b y l respectiv solución generl : Φ(x,y) = ξ(x,y) + iη(x,y) = c 1 + ic C Entonces el cmbio de coordends: ξ = ξ(x,y), Trnsform (1) l form, A u ξ + u A η + T.O.I. = 0 Dividiendo l expresión nterior por A, se obtiene l Form Norml Elíptic, ξ + u η + T.O.I. = 0, Ejercicios propuestos: 1) Clsificr y reducir su form norml: i) u xx + u xy + u yy + u x u y = 0 ii) u xx + u xy + 5u yy + 3u x + u = 0 iii) y u xx + xyu xy 3x u yy = y u x x 3 xu y y iv) x u xx y u yy = 0 ) Demostrr que términos de primer orden de un E.D.P., se pueden nulr bjo l sustitución: u = ve Ax+By.

12 1 E. SÁEZ 3) Se l ecución de Ond Unidimensionl con condiciones de Cuchy: = 9 u, < x < t x u u(0,x) = 0, (0,x) = x, < t < t (i) Resolver el problem de Cuchy. (ii) En el plno xu, hg un bosquejo de ls onds del problem pr los instntes t = 0 y t = 1, respectivmente. (iii) Tiende l ond del problem un posición determind cundo t?. 4) Cuál es l solución de l E.D.P. u xx u yy = 3x y u(x, 0) = 1 tl que stisfce ls condiciones: u(x, 0) = x y 5) Se u = u(x,t) y considere l E.D.P. x u x + u x = x, x 0, c > 0. c t i) Introduzc en l E.D.P. l sustitución v(x,t) = xu(x,t). ii) Escribir l E.D.P. obtenid en i) en su form norml. ii) Encontrr l solución de l E.D.P plnted, tl que stisfce ls condiciones iniciles de Cuchy: u(x, 0) = c. u(x, 0) = x t 6) Se l ecución de Ond Unidimensionl z t = z x, con < x <, t > 0 i) Cuál es l solución que stisfce ls condiciones iniciles de Cuchy? z(x, 0) = 1 x (x, 0) = 0 z t ii) En el plno xz hg un bosquejo de l solución pr t = 0 y t = 1. iii) En el plno xz. Pr qué tiempo t > 0 l solución encontrd en i) ps por el punto (x,z) = (0, 4)?. Hg un bosquejo de l ond. iv) Existe lgun instnte t tl que l solución encontrd en i) ps, en el plno xz, por el punto (x,z) = (1, 1 ). 7) Se el problem de Cuchy = u ; x,t R t x sen x si x [0,π] u(x, 0) = 0 si otro cso u(x, 0) 0 t Hg un bosquejo en el plno ux, de l ond solución del problem, en el instnte t = π. 4 x

13 FORMAS NORMALES DE ECUACIONES ) Se l E.D.P.: 3 u x + 5 u x t + u = 0, x,t t i) Encontrr un solución generl de l E.D.P. u(x, 0) = f(x),f C 1 ii) Resolver el problem de Cuchy: u (x, 0) = g(x),g C0 t Indicción: Aplique ls ides que se usron pr deducir l solución de D Almbert. 9.- Considere l E.D.P, 4 u x + u y = 0 i) Qué clse de E.D.P. es l Ecución Considerd?. ii) Encontrr un cmbio de coordends que trnsform l E.D.P. su form norml. References [1] A. R. Cstro F. Curso básico de ecuciones en derivds prciles. Addison-Wesley Iberomericn. Wilmington, Delwre. E.U.A [] I. Perl A. Primer curso de ecuciones en derivds prciles. Addison-Wesley / Universidd Autónom de Mdrid. Wilmington, Delwre. E.U.A