METODO DE ITERACION DE NEWTON

Transcripción

1 METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogamos que queremos resolver la ecuació f( ) y lo que obteemos o es la solució eacta sio sólo ua buea aproimació, para obteer esta aproimació observemos la siguiete figura P, f ( ) Para calcular la ecuació de la recta tagete que pasa por el puto, ( ) P f debemos recordar la ecuació de la recta dado u puto y la pediete, dode la pediete la podemos obteer derivado la fució y evaluado e, así m f '( ), luego f ( ) f( ) f '( ) Si despejamos obtedremos la itersecció co el eje X y este valor correspode a, es decir f ( ) f '( ) De esta maera podemos repetir el proceso para el puto, f( obteiedo el valor de, este proceso lo podemos repetir hasta obteer la ecuació e el puto, f( ), el cual os permite obteer el valor de e la forma siguiete f ( ) f '( ) Esta epresió es coocida como la fórmula de Newto Raphso. Ejemplo 7 Calcular la raíz de 3, aplicado el método de iteració de Newto Raphso. Solució: Como la ecuació a resolver es 3, etoces f( ) 3, luego el método de Newto Raphso os dice que la fució de iteració es dada por: f( ) 3 f '( )

2 Dado que la raíz de 3 es u úmero compredido etre y y la fució f '( ) o se aula e dicho itervalo, podemos aplicar el método de Newto Raphso tomado como valor iicial obteiédose.,,75, , , , Como se puede observar se ha obteido la solució e 4 iteracioes, si recordamos el método de Puto Fijo esta solució se obtuvo e 6 iteracioes (Ejemplo 5), además co el método de Bisecció se obtiee e 47 iteracioes. El problema que debemos efretar al aplicar este método es el puto iicial, para poder determiar este valor realicemos el siguiete aálisis. Supogamos que teemos acotada, e el itervalo a, b ua úica raíz de la ecuació f( ) y que f '( ) y ''( ) a, b, es decir, que ambas derivadas tiee sigos costates e dicho itervalo. Obsérvese que si f( a) f( b), dado que f '( ) a, b etoces por los teorema de Bolzao y Rolle sabemos que eiste ua úica raíz e dicho itervalo. Además por las codicioes eigidas sabemos que o eiste, e a, b igú puto crítico (i etremo relativo i puto de ifleió), esta situació se preseta e la figura siguiete f o se aula e igú puto del itervalo 3 E cualquiera de los cuatro casos posibles de la figura aterior la fució cambia de sigo e los etremos del itervalo (debido a que la primera derivada o se aula e dicho itervalo), es decir, dado que la seguda derivada tiee sigo costate e a, b, e uo de los dos etremos la fució tiee el mismo sigo que su seguda derivada. E estos casos, el método de Newto Raphso es covergete debiédose tomar como valor iicial a si f( a) f ''( a) b si f( b) f ''( b)

3 es decir, el etremo e el que la fució tiee el mismo sigo que su seguda derivada. Lo aterior es avalado por el siguiete teorema Teorema 3: (Regla de Fourier) Sea f ( ) ua fució cotiua de tal maera que eiste f '( ) y f ''( ) e u itervalo a, b además: i) f( a) f( b) ii) f '( ) y f ''( ) y matiee sigo a, b, etoces: Eiste ua úica raíz de la ecuació f( ) e dicho itervalo y se puede garatizar la covergecia del método de Newto Raphso tomado como valor iicial el etremo del itervalo e que la fució y su seguda derivada tiee el mismo sigo. Ejemplo 8: Hallar el puto de ifleió de la curva y 6 a) Establezca el esquema iterativo cuado se aplica el método de Newto Raphso. b) Determie el valor iicial que permitirá la covergecia de dicho método. c) Co ua precisió de cico (5) cifras decimales. Determiar el puto de ifleió. Solució: Para determiar el puto de ifleió si eiste debemos aalizar lo siguiete: i) Calcular la primera derivada, es decir, y ' ii) Calcular la seguda derivada e igualar a cero, es decir, y '' iii) Calcular la tercera derivada y evaluar el valor obteido e ii) si es distito de cero etoces e el valor ecotrado y y' y'' 3 Como y '', y y '', etoces aplicado el de Newto Raphso, 3 ecesitamos ua ecuació f( ), la cual es f( ), 3 Aplicado el Teorema podemos separar de maera tal que, luego podemos cocluir que teemos dos fucioes las cuales os permitirá visualizar y aalizar las raíces las raíces de la ecuació plateada. g ( ) 3 h ( )

4 Como se puede observar e la gráfica eiste ua sola raíz real,, segú el teorema debe cumplirse que f() f(), para justificar esta desigualdad calculemos f() 3 ; f() 3 Por tato f() f() Este resultado se muestra e la figura siguiete f 3 ( ) f () f () Luego u esquema iterativo para aplicar el método de Newto Raphso es: 3 f( ) f '( ) 3 b) Para determiar el valor iicial que os asegure la covergecia debemos realizar lo siguiete i) La f '( ) y ''( ) ii) Eiste u asegurar la covergecia. f, además debe mateer sigo,, tal que f f '', etoces a partir de este valor podemos i) Si 3 f ( ), etoces: f '( ) 3 f ''( ) 6, el comportamieto de los sigos de f ( ), f '( ) y f ''( ), se muestra e la siguiete tabla. 3

5 f ( ) f '( ) f ''( ), +, + +,3 + +,4 + +,5 + +,6 + +,7 + +,8 + +, , ii) De la tabla aterior se puede observar que,9 f( ) f ''( ), etoces el puto iicial que asegura la covergecia del método de Newto es,9 c) Para calcular el puto de ifleió usaremos el esquema iterativo de Newto determiado e la parte a) 3 f( ) f '( ) 3,9,578778,847,8934, ,696E 6 3, ,689E 4, Por tato si, etoces el valor del puto de ifleió es, f(, ), P I (, ;, ) 4