PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea f una función continua en el intervalo, y F una función primitiva de f tal que, F() y F(). Calcula: a) f ( ) d b) 5 f ( ) 7 c) F d ( ) f ( ) d MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A a) f ( ) d F( ) F() F() b) f d f d d 5 ( ) 7 5 ( ) ( ) c) F F F F ( ) () () 8 7 ( ) f ( ) d

3 Sea la función f definida por f( ) para y. a) Halla una primitiva de f. b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo,k sea ln, donde ln denota el logaritmo neperiano. MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Las raíces del denominador son: ; Descomponemos en fracciones simples: A B A( ) B( ) ( )( ) Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. A A B B Con lo cual: d d d ln( ) ln( ) C b) k k A ln d ln( ) ln( ) ln ln k k Resolvemos la ecuación logarítmica: k k k ln ln ln ln ln k k k 5 k k k

4 Sean f, g : las funciones definidas por: f ( ) sen y g( ) cos a) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo,., respectivamente. b) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las rectas y MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Representamos gráficamente las dos funciones en el intervalo que nos dan: b) El área que nos piden son los dos recintos coloreados: Calculamos el área (cos ) ( cos ) cos cos Área A A sen d sen d sen sen sen cos sen cos cos sen cos sen u

5 Sea f la función f : definida por f ( ) cos. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular la integral F( ) cos d, que es una integral por partes. F( ) cos d sen sen d sen cos cos d sen cos sen C u ; du d dv cos d; v sen u ; du d dv sen d; v cos F( ) sen cos sen C Como nos piden una primitiva que pase por (, ) F( ), luego sustituyendo podemos calcular el valor de C. sen cos sen C C C Por lo tanto, la función primitiva que nos piden es: F( ) sen cos sen

6 Sea f : la función definida por: f ( ) a) Halla la ecuación de la recta tangente R E S a O la L gráfica U C I de Ó f N en el punto de abscisa. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y, determinando los puntos de corte de ambas gráficas. c) Calcula el área del recinto anterior. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) La recta tangente en es y f () f '() ( ) f () f f '( ) '() () Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y ( ) y b) Hacemos un esbozo. Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: ; Luego, los puntos de corte son: (, ) y (,) c) A ( ) ( ) d d 6 7 u

7 Sea f, g: las funciones definidas por: f ( ) y g( ), respectivamente. a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: 6 ; Luego, los puntos de corte son: (,) y (,) Hacemos un esbozo. b) A ( ) ( ) d 6 d 9u

8 Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas y, y 8 y la curva y R E. S O L U C I Ó N a) Realiza un esbozo de dicho recinto. b) Calcula su área. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Hacemos un esbozo. 8 b) ( ) ( ) A d d u

9 Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (, ) definida por f ( ) a bln( ), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en y que f ( ) d 7 8ln. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Como tiene un etremo relativo en, se cumple que f '(), luego: b b f '( ) a f '() a b a Calculamos la integral: Previamente calculamos por partes la integral de ln() f ( ) ln d ln a 6a a a a d a a a a a a ln( ) ( ln ) 8 ln ln Luego, los valores son: a ; b

10 Sea la función f : definida por f ( ) ( ) e. Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Vamos a calcular la integral, que es una integral por partes. u ; du d dv e d; v e I ( ) e d e ( ) e d Volvemos a hacer la integral que nos queda por partes. u ; du d dv e d; v e I e ( ) e d e ( ) e e d e ( ) e e C e ( ) C Calculamos una primitiva que pase por el punto,. F e C F F e C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Luego, la primitiva que nos piden es: F e ( ) ( )

11 Sean las funciones f : y g : (, ) definidas por f( ) y g( ) respectivamente. a) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan. b) Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Calculamos los puntos de corte igualando las dos funciones: 6 Luego, los puntos de corte son: (,) y (,) Hacemos un esbozo. 6 ; A d d u b) ( ) ( )

12 Sea I d. a) Epresa la integral I aplicando el cambio de variable t. b) Calcula el valor de I. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Como el cambio es t, vamos a calcular cuanto vale d: dt d t d d t dt t t t Calculamos los nuevos límites de integración: t t Sustituyendo, tenemos: ( t ) ( t)( t) I ( t dt) ( t dt) t( t) dt ( t t ) dt t t b) Calculamos el valor de I t t ( ) I t t dt

13 9 Sea f : la función definida por f( ). a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta y 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B a) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa es: y f () f '() ( ) Calculamos: 9 f () f '( ) f '() Sustituyendo, tenemos: y f () f '() ( ) y ( ) y 5 b) Esbozamos el recinto que nos dicen Calculamos el área del recinto A d d d d u

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