PRUEBAS DE SIGNIFICACIÓN DE MEDIAS Y SUS DIFERENCIAS 1. La Significación de Medias en Muestras Grandes

Transcripción

1 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL PRUEBAS DE SIGNIFICACIÓN DE MEDIAS Y SUS DIFERENCIAS La Sgnfcacón de Medas en Muestras Grandes De las sesones anterores podemos entender cómo las medas de las muestras selecconadas aleatoramente de una poblacón dferen entre sí y que es posble obtener una medda de la varabldad de estas medas, llamada error estándar. En esta seccón veremos cómo se usan estos errores estándar para probar la sgnfcacón de los resultados obtendos de expermentos. Para aclarar el sentdo del térmno sgnfcacón vamos a exponer un eemplo. Eemplo Supongamos que tomamos una muestra aleatora de 00 legumbres de una espece arbórea de una plantacón que empeza a producr fruto, y que hallamos que la muestra da una meda de 9.47 semllas por legumbre. Se sabe que la desvacón estándar del número de semllas por legumbre es S se ha postulado una meda de 30 semllas por legumbre como la del campo, podemos consderar nuestra muestra como selecconada de una poblacón con esta meda? Ya que las legumbres ndvduales tenen una desvacón estándar de 5.64 granos, el error estándar de la meda de una muestra aleatora de 00 espgas será σ 5.64 = = n 00 Las medías de muestras de tamaño 00 se dstrburán, por lo tanto, con respecto, a la meda de la poblacón, con un error estándar de La desvacón de la meda observada de la muestra con respecto a la meda hpotétca de la poblacón es = De donde, la razón, desvacón error estándar = = 0.94 Suponendo que las medas de las muestras estén dstrbudas normalmente -suposcón generalmente razonable, aun cuando la poblacón orgnal se desvíe un tanto de la normal-, la razón anteror se puede consderar como una desvacón normal. S coteamos una tabla de Z hallamos que la probabldad de que la desvacón sea tan grande numércamente como 0.94, o más grande que 0.94, es Ésta es la fraccón del número nfntamente grande de muestras de este tamaño que se pueden esperar que en muestreo repetdo tengan una meda que dfera de la meda de la poblacón tanto como la cantdad observada o más que ella. En otras palabras, en el muestreo de una poblacón con una meda de 30 semllas y una desvacón estándar de 5.64 semllas, obtendríamos una desvacón tan grande como la observada o mayor que ella, en cas 35 por cento de los casos, para muestras aleatoras de este tamaño. Por consguente, no tenemos razón para consderar que esta meda de la muestra esté en contradccón con la meda hpotétca de la poblacón, porque dferencas tan grandes o mayores que la observada surgrían muy frecuentemente como resultado de la fluctuacón del muestreo. Por lo tanto, se dce que una desvacón de esta magntud no es sgnfcatva. Por otra parte, s el valor de la probabldad de obtener una desvacón tan grande como la observada o mayor que ella, es bao, lo tomamos como una ndcacón de una dferenca real entre la meda observada y el valor hpotétco de la meda de la poblacón porque raramente surgen dferencas de tal magntud o mayores como resultado sólo de Resposable: Ing.For. Carlos Vargas Salas Adaptado de: V.G.Panse y P.V.Sukhatme, 963. Métodos estadístcos para nvestgadores agrícolas. Fondo de Cultura Económca, Méxco, da. Edcón en español. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág.

2 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL fluctuacones del muestreo. Cuando es baa la probabldad de obtener una desvacón tan grande como la observada, o mayor que ella, se dce que la desvacón es sgnfcatva, esto es, que ndca una dferenca real entre la muestra y las medas de la poblacón. Qué valor de probabldad puede consderarse como sufcentemente bao para ndcar sgnfcacón? Esto es asunto de eleccón. Es costumbre consderar 0.05 sufcentemente bao para este propósto, lo que sgnfca que s la probabldad de obtener una desvacón del valor hpotétco tan grande como el observado o mayor que él es 0.05 o menor, consderamos que la desvacón es sgnfcatva. La probabldad selecconada se conoce por nvel de sgnfcacón, y el procedmento estadístco de decdr s la hpótess, llamada la hpótess nula -que en este caso es que la muestra provene de una poblacón con una meda verdadera de 30 semllas por legumbre- deberá rechazarse o no, se llama prueba de sgnfcacón. Evdentemente, las nferencas con respecto a la sgnfcacón estarán equvocadas certo número de veces, según sea el nvel de sgnfcacón selecconado. Ya que las solas fluctuacones de muestreo dan desvacones sgnfcatvas en P = 0.05, en 5 por cento de los casos, en promedo una vez de cada vente nterpretaríamos equvocadamente una desvacón debda al azar como una verdadera desvacón. No es posble eludr enteramente esta dfcultad. Como se especfcó en el captulo anteror, las nferencas con respecto a la poblacón, basadas sobre muestras, están suetas a certo grado de ncertdumbre. Lo meor que podemos hacer es reducr esta ncertdumbre, selecconando un nvel de probabldad más estrcto para ndcar sgnfcacón. Así, podemos selecconar un nvel de probabldad de P=0.0, esto es, un nvel de sgnfcacón del uno por cento, en cuyo caso una desvacón que surge al azar se nterpretará como real en un promedo solamente de una en cen veces, y podemos tener más confanza en la conclusón cuando una desvacón es sgnfcatva al nvel de P = 0.0 de sgnfcacón que cuando es sgnfcatva al nvel de P = En ambos casos, precsa darse cuenta de que la nferenca estadístca, por su naturaleza, es ncerta pero, sn embargo, rgurosa en el sentdo de que el grado de ncertdumbre se conoce o se puede determnar prevamente. El nvestgador deberá usar con dscrecón la prueba de sgnfcacón, estudando amplamente la stuacón que se le presenta. No deberá, por una parte, poner el nvel de sgnfcacón tan bao como para que haya a menudo confusones con desvacones al azar. No deberá, por otra parte, desechar las ndcacones de los resultados de expermentos u observacones cuando se encuentran resultados no sgnfcatvos, sno que debe repetr y s es necesaro amplfcar su expermenta con obeto de obtener resultados más defntvos. Se puede ver en la tabla de la ntegral normal de probabldad (tabla Z) que la desvacón correspondente a una probabldad P = 0.05 es aproxmadamente dos veces la magntud de su error estándar (.96 veces el error estándar, para ser más exactos), de manera que s una desvacón observada es gual a dos veces el error estándar, es sgnfcatva al nvel del 5 por cento. De gual modo, una desvacón.58 veces su error estándar es sgnfcatva al nvel del por cento. En la práctca, lo que a menudo necestamos no es la probabldad correspondente a un valor partcular de la desvacón normal, sno el valor de la desvacón normal correspondente a nveles selecconados de probabldad. S el valor observado de la desvacón normal resulta mayor que el valor tabulado a un nvel selecconado de sgnfcacón, se consdera que la desvacón es sgnfcatva. La anteror exposcón aclarará la dea sobre la que se basa la prueba de sgnfcacón. La prueba de sgnfcacón es un método para conceder el debdo margen a las fluctuacones de muestreo que afectan los resultados de expermentos u observacones. Esto se hace en el caso presente al reconocer dferencas que son el doble del error estándar del resultado, σ/ n, o mayores que él, como sgnfcatvas de una desvacón real. El hecho de que los resultados de expermentos bológcos estén afectados por una cantdad consderable de varacón no controlada hace necesaras tales pruebas. En cencas como la fsca y la químca, la varacón no controlada es generalmente tan pequeña, al compararse con la magntud de la observacón, que generalmente basta con consderar como exactamente determnada la meda de dos o tres repetcones de una observacón. En la nterpretacón de los resultados del trabao expermental, en estas cencas, no se sente, por lo tanto, la necesdad de técncas estadístcas en la msma extensón que en las cencas bológcas. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág.

3 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL El propósto del Eemplo es, esencalmente, explcar las deas referentes a las pruebas de sgnfcacón. La prueba se aplca ahí a una dferenca entre una meda observada y un valor hpotétco cuando se conoce la desvacón estándar de la poblacón en estudo σ. Sn embargo, el valor de σ generalmente no se conoce. En tal caso, s -la estmacón de σ, dervada de la muestra msma- se puede usar sn error sero con tal de que la muestra sea sufcentemente grande, esto es, que contenga más de 30 ndvduos. La Sgnfcacón de la Dferenca de Medas en Muestras Grandes La comparacón de una meda observada con su valor hpotétco no es un problema que se presente frecuentemente. En cambo, un problema que se encuentra más comúnmente en agrcultura y en otras nvestgacones bológcas es la comparacón de dos medas de muestras. Podemos desear comparar los rendmentos medos de dos varedades de trgo, la longtud de hebra de dos varedades de algodón, el porcentae de azúcar de dos varedades de caña, etc., es decr, que deseamos saber s se puede consderar que dos muestras han sdo selecconadas de la msma poblacón normal. Debe recordarse que el error estándar de la dferenca de las medas de dos muestras de tamaños n y n, selecconadas de una poblacón con desvacón estándar σ, es + σ y que su estmacón está dada por n n donde s + [de la dferenca de medas] n n s = ( n ) ( ) s + n s [A] n + n S I y S son las desvacones estándar de las dos muestras, respectvamente. Con tal que las muestras sean sufcentemente grandes para que podamos tomar la desvacón estándar σ como buena estmacón de las muestras, cabe usar la fórmula [A] para probar la sgnfcacón de la dferenca entre las dos medas de las muestras, con la ayuda de la desvacón normal. Con este propósto calculamos la razón dferenca de medas dela dferenca de medas la consderamos como una desvacón normal, y refermos el valor obtendo a la tabla de la ntegral normal de probabldad. El eemplo lustrará este método. Eemplo La Tabla proporcona los datos de la longtud de espgas de Trgo Pusa 4 en dos muestras de 400 cada una, tomadas en dos estacones del año dstntas. Una estmacón de la desvacón estándar de la poblacón de la cual se puede consderar que las muestras se han selecconado, se obtene susttuyendo por s I y s en [A] los valores.09 y 0.90 respectvamente. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 3

4 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL TABLA Comparacón de la longtud de espga en trgo Pusa 4 en dos años sucesvos Desvacón estándar Número de espgas Longtud meda de de longtud de Año en la muestra espga en cm. espga en cm Obtenemos s = 399(.09) + 399(0.90) 798 =.00 En ausenca del conocmento del valor σ, de la poblacón, éste se puede tomar como su valor para los fnes de la prueba ya que las muestras son grandes. De ahí que el error estándar de la dferenca de las medas sea σ + n n = = La dferenca en las medas de las dos muestras es 0.06 cm. Por lo tanto, la razón dferenca de medas = dela dferenca de medas = 0.8 Se puede ver en la tabla de la ntegral normal de probabldad (tabla de Z) que la probabldad correspondente a esta razón es La dferenca no puede, por lo tanto, consderarse como sgnfcatva. Mentras se efectúa la prueba debe recordarse que la fórmula usada para calcular el error estándar de la dferenca presupone la ndependenca de las dos muestras y que la sgnfcacón de la dferenca debe probarse en la forma del Eemplo solamente cuando las dos muestras consderadas son ndependentes. Por ndependenca de las dos muestras queremos decr que no hay relacón o correspondenca entre los ndvduos que consttuyen las dos muestras. Así, las muestras obtendas de dferentes poblacones o de dferentes partes de la msma poblacón serán ndependentes. Las muestras selecconadas aleatoramente de la msma poblacón se pueden consderar como ndependentes cuando la poblacón es grande. S hay una correspondenca entre los ndvduos en las dos muestras, y se pueden poner por pares gracas a la exstenca de algún factor común que una los membros de un par, no podemos consderar las dos muestras como ndependentes. En el caso presente, por eemplo, no podemos parear las 400 espgas de la prmera muestra y las 400 espgas de la segunda muestra, de acuerdo con cualquer relacón o correspondenca, y podemos consderar que las dos muestras son ndependentes. S, por otra parte, las 400 espgas de la segunda estacón del año se han obtendo de las progenes respectvas de las 400 espgas selecconadas en la estacón anteror, habrá una correspondenca de la progene orgnal entre los ndvduos en las dos muestras y podríamos haberlos pareado sobre la base de esta relacón. En este caso la prueba anteror sera napropada. La prueba correcta para los datos en que es posble aparear se descrbe más adelante. Cuando, sn embargo, la semlla está mezclada y la muestra en la segunda estacón se obtene del total de la cosecha, se perde la correspondenca y debe consderarse que las dos muestras son ndependentes, como en el eemplo anteror. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 4

5 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL Las Muestras Pequeñas: La Prueba t En el Eemplo la desvacón estándar para cada estacón del año se obtuvo de los 400 valores de 399 desvacones ndependentes, que, como se menconó en el últmo captulo, se llaman grados de lbertad. La estmacón fnal de la varanca de la longtud de espga está así basada sobre = 798 grados de lbertad. Cuando una varanca se basa sobre tan gran número de grados de lbertad, se puede tomar como una estmacón exacta de la varanca de la poblacón, y la prueba de sgnfcacón de la dferenca se puede efectuar con segurdad sobre la base de la desvacón normal. Sn embargo, frecuentemente sucede en nvestgacones bológcas que debemos comparar medas obtendas de muestras que constan de sólo unas pocas observacones. En tales casos la varanca obtenda de la muestra no es una estmacón sufcentemente exacta de la varanca de la poblacón y no es correcto probar la sgnfcacón de la dferenca con la ayuda de la desvacón normal. La dstrbucón de la cantdad dferenca [B] dela dferenca se desvía consderablemente de la normaldad cuando la varanca de la poblacón está estmada de una pequeña muestra. En la hpótess nula el numerador de la razón es con gual probabldad postvo o negatvo, de manera que la dstrbucón de la razón es smétrca. La dstrbucón básca de la prueba de dferencas en muestras pequeñas la trabaó por prmera vez W. S. Gosset, que escrbó bao el pseudónmo de Student, y hay tablas dsponbles que dan los valores de la razón anteror, exceddos en muestreo con una probabldad conocda, para muestras de dferentes tamaños, esto es, para números dferentes de grados de lbertad (Statstcal Tables, Fsher y Yates). La razón [B] cuando el error estándar de la dferenca está estmado de la muestra, se denota por t, y la tabla que da los valores de la razón requerda para sgnfcacón a varos nveles de probabldad y para dferentes grados de lbertad se conoce como tabla de t. La tabla de t se utlza con el número de grados de lbertad sobre los que se basa la estmacón del error estándar. Los valores requerdos de t para la sgnfcacón del 5 y el por cento como nveles de sgnfcacón, para mayor brevedad, se escrben como t 0.05, y t 0.0. Así, el valor t 0.05 es ese valor que está exceddo con una probabldad de 0.05 en la dreccón negatva, y de 0.05 en la dreccón postva, con una probabldad total P = La fgura sguente reproduce en una forma gráfca los valores de t correspondentes a dstntos grados de lbertad para los dos nveles de sgnfcacón. Valores de t para los nveles de probabldad P=0.0 y P= Valores de t t0.0 t Grados de lbertad Se han marcado los valores de t requerdos para sgnfcacón a los nveles de 5 y de por cento cerca a los puntos que corresponden a cada nvel, los cuales se unen con líneas para ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 5

6 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL dar las dos curvas mostradas. Estas curvas permten aprecar cómo el valor de t requerdo para sgnfcacón a cualquer nvel depende del número n' de grados de lbertad. De n' = a n' = 5 o 6, el valor decrece rápdamente; luego el decrecmento es mucho más gradual y práctcamente desprecable después de n' = 30. Es sufcentemente exacto tomar t = para sgnfcacón al nvel del 5 por cento para n' = 30 o más. Para n' =, los valores de t son los msmos que los de la desvacón normal y esa parte de la tabla es, de hecho, la tabla de la desvacón normal. S m es la meda de una muestra de tamaño n y s es la desvacón estándar estmada de la muestra, y s vamos a probar la desvacón de m de un valor µ hpotétco, entonces ( m µ) n t = s con n - grados de lbertad. S queremos probar la sgnfcacón de la dferenca entre dos medas de muestras m y m, basadas en muestras ndependentes de tamaños n y n, y s s y s son las desvacones estándar estmadas, prmero calculamos una estmacón de la desvacón estándar común aplcable a ambas muestras combnando las sumas de cuadrados correspondentes a las dos muestras, dvdendo entre el número total de grados de lbertad y tomando la raíz cuadrada como en la fórmula [A]. Entonces m m m m nn t = = s n + n s + n n Este valor de t se buscará naturalmente en la tabla de t con n' = n +n - grados de lbertad. En el caso especal en que las dos muestras son del msmo tamaño, dgamos n, la prueba se reduce a m m n t = [C] s y en la tabla de t se buscará con n' = (n - ) grados de lbertad. Nótese que la prueba de t es apropada cuando la varanca de la poblacón consderada se estma de la muestra, mentras que la prueba basada sobre la desvacón normal es estrctamente aplcable sólo cuando la varanca se conoce de la hpótess. Cuando la muestra es grande, las dos pruebas son déntcas para los fnes práctcos y, por lo tanto, la prueba t se usa generalmente sólo con muestras pequeñas. Se podría suponer que la prueba t es solamente una prueba aproxmada, nfluencada por los errores en la estmacón de la desvacón estándar de la poblacón debdos al pequeño tamaño de la muestra. De hecho, dfere de la prueba basada sobre la desvacón normal en que toma en cuenta estos errores. Es, por lo tanto, una prueba rgurosa de la hpótess de que las dos muestras se selecconan de una poblacón que tene la msma meda y varanca. El sguente eemplo lustra la aplcacón de la prueba. Eemplo 3 La Tabla da la lluva en dos lugares A y B, en 4 estacones, de 94 a 947, ncluyendo ambos años. Suponendo que las 4 estacones consttuyen una muestra representatva de la lluva en los dos lugares, podemos consderar que los dos lugares tenen la msma meda anual de lluva? Los 4 valores de la lluva en cada uno de los dos lugares no pueden consderarse como muestras ndependentes de la lluva en los dos lugares, ya que hay correspondenca dscreta entre las estacones y los valores. El parear estos valores de acuerdo con las estacones es, pues, esencal. Sn embargo, trataremos los datos prmero como s las dos muestras fueran ndependentes. Esto, ncdentalmente, servrá para mostrar cómo se puede llegar a una conclusón errónea por una aplcacón nadecuada de la prueba. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 6

7 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL Los detalles del cálculo de las medas y de las desvacones estándar de las dos muestras están en las columnas correspondentes de la tabla. Susttuyendo, estos valores en la fórmula [C], tenemos t =.0 Este valor de t con 46 grados de lbertad es mucho menor que el valor de t al 5 por cento, y sobre la base de ello podemos conclur que no hay dferenca sgnfcatva en la lluva en los dos lugares. x Estacón Tabla : Comparacón de lluva en dos lugares A y B Lluva en A (en pulgadas) Lluva en B (en pulgadas) A+B A-B Total x x x ( x ( n ) ( x Combnado.0 ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 7

8 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL La Prueba t en Muestras Pareadas El tratamento de los datos de lluva en la seccón anteror como s los dos grupos de valores fueran ndependentes, gnora la nterdependenca de los valores de la lluva en los dos centros en la msma estacón. El método apropado consste en tomar las dferencas en los valores correspondentes de la varable (se toman las dferencas en la msma dreccón, con la debda consderacón al sgno) y se analzan como valores de una varable separada. S no hay dferenca en la meda de la lluva que ha caído en los dos lugares, el valor esperado de la dferenca será cero. Podemos calcular drectamente la desvacón estándar de la dferenca y probar la sgnfcacón de la desvacón de la dferenca de la meda del valor hpotétco, cero. Las dferencas (A - B) se dan en la qunta columna de la tabla, y los cálculos se hacen como en el caso anteror. El total es el total algebraco. La desvacón estándar de la dferenca es.60. De donde (.7) 4 t =.60 Ya que hay 4 dferencas, la estmacón de su desvacón estándar se basa en 3 grados de lbertad. La Tabla de t se observa, por lo tanto, con n'=3. Hallamos que para este valor de n', t 0.05 =.07. Ya que el valor de t que hemos calculado rebasa este valor, conclumos que la dferenca entre la meda de lluva en los dos lugares es sgnfcatva. Así pues, hemos obtendo un resultado dferente del anteror. La razón de ello es que tomando en cuenta los cambos paralelos en la lluva en los dos lugares las dferencas son mucho menos varables que lo que huberan sdo en el caso de que fueran ndependentes. Por consguente, al asentar su ndependenca, hemos sobre-estmado el error de la dferenca y subestmado su sgnfcacón. Al aplcar la prueba t, el nvestgador debe, por lo tanto, tener en la mente este punto con respecto a la ndependenca de las dos muestras y precaverse contra una aplcacón errónea de la prueba. S hay cualquer clase de correspondenca entre los valores ndvduales en las dos muestras, deberían parearse, tomarse dferencas y analzarse drectamente, como se hzo antes. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 8

9 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL El Análss de Varanca La prueba de sgnfcacón de la dferenca en muestras pareadas en el eemplo anteror tambén puede presentarse en una forma más nstructva. Calculamos la suma total de cuadrados de desvacones (S.C.) de la meda general de los 48 valores de la lluva, esto es 4 = = ( x donde x es la lluva en el -ésmo lugar en la estacon -ésma, y x es la meda general. El correspondente cuadrado medo (C.M.) se obtendrá al dvdr la suma de cuadrados entre 47, número de grados de lbertad en que está basado. Podemos observar la varacón total representada por el cuadrado medo como debda a tres causas: varacón debda a lugares, varacón debda a estacones y varacón debda a otras causas no dstngubles, y estmamos de la sguentes manera las componentes de varacón motvadas por estos tres factores: La cantdad ( x se puede expresar como (x - x.- x. + x ) + (x. - x ) + (x. - x ) donde x. y x. son las estacones y las medas del lugar respectvas. De donde la cantdad 4 = = ( x se puede poner como 4 { ( x x. x. + x) + ( x. + ( x. } = = Esta cantdad es de manera obva gual a 4 x x. x. + x) + 4( x. + ( x. 4 ( x) + ( x x. x. + x)( x. 4 + ( x x. x. + x)( x. 4 + ( x. ( x. Se puede demostrar por álgebra que los tres últmos térmnos son guales a cero, por lo que se obtene la sguente gualdad 4 4 ( x = ( x x. x. + x) + 4 ( x. + ( x. 4 La cantdad (. x 4, que está dervada de las medas de estacón da la suma de cuadrados debda a la varacón de estacones y el cuadrado medo correspondente a la varacón estaconal se obtene al dvdr la suma de cuadrados entre 3 grados de lbertad entre estacones. La cantdad 4 ( x. representa la suma de cuadrados debda a varacón de lugar, y el cuadrado medo correspondente se obtene dvdendo la suma de cuadrados entre grado de lbertad entre lugares. 4 ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 9

10 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL 4 La cantdad x x. x. + ( x) representa la suma de cuadrados debda a causas resduales, y el cuadrado medo obtendo al dvdr esta suma de cuadrados entre los restantes 3 grados de lbertad proporcona una medda de la varacón debda a causas resduales. Esta últma componente de varacón se conoce como la nteraccón entre estacones y lugares, y representa la varacón en dferencas de lugares entre dferentes estacones que no se toman en cuenta en las dferencas estaconales puras, o, lo que es lo msmo, representa la varacón en dferencas estaconales entre los lugares que no se han tomado en cuenta en las dferencas puras de lugares. Como representa la varacón debda a causas no controladas, se llama cuadrado medo del error. Las dferentes sumas de cuadrados se calculan en la práctca como se explcará después. Se puede demostrar que El térmno 4 4 ( x = x 48x 48x se llama factor de correccón (F.C.). De gual modo: y 4 ( x. es gual que x. 48x, es decr,. F. C. 4 4 ( x. es gual a 4 x. 48x, es decr, 4. F. C. 4 x x En la práctca es convenente calcular la suma de cuadrados de los totales de clase más ben que de las medas de clase. S T. es el -ésmo total estaconal, T.=x T. De donde x. = La suma de cuadrados entre estacones es, por lo tanto, gual a 4 T. F. C. Igualmente, la suma de cuadrados debda a lugares es gual a 4 T. F. C. donde T. es el total del -ésmo lugar, y el dvsor representa el número de valores en los cuales está basado el total de clase. El factor de correccón (F.C.) se calcula meor partendo del gran total G de todas las observacones, y es G /48. La suma de cuadrados debda a la nteraccón se calcula generalmente restando las dos últmas sumas de cuadrados de la suma total de cuadrados. Cuando los datos constan de pares de observacones, como en el caso anteror, se puede obtener drectamente de la fórmula = 4 Interaccón S. C. d 4d donde d es la dferenca -ésma (tomada en debdo acuerdo con el sgno) y d es la dferenca meda. Este resultado srve de útl comprobacón de la exacttud de los cálculos. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág. 0

11 Departamento de Maneo Forestal FR00 SEMINARIO EN ESTADISTICA FORESTAL Los resultados de] cálculo de los dferentes cuadrados medos se presentan generalmente en una forma tabular, según se ve en la Tabla 3. Este método de dvdr la varacón total en componentes destnadas a causas dferentes se conoce por análss de varanca, y la tabla que muestra los dversos cuadrados medos unto con los correspondentes grados de lbertad se llama tabla de análss de varanca. Tabla : Análss de Varanca de datos de lluva Causa de varacón Grados de lbertad Suma de cuadrados Cuadrado medo Lugares Estacones Lugares Estacones (error) Total El lector, como eercco, comprobará estos cálculos. La Prueba F La tabla del análss de varanca proporcona un medo rápdo de probar la sgnfcacón de las dferencas entre medas de clase. Así, en el eemplo de la lluva, proporcona los medos de probar dferencas entre los dos lugares o entre las 4 estacones. S las dferencas observadas entre los lugares o las estacones se han debdo enteramente a fluctuacones al azar, dríamos que los dversos cuadrados medos fueron del msmo orden. Una comparacón del cuadrado medo debdo a cualquer causa (como estacones o lugares) con el error cuadrado medo proporcona una prueba de sgnfcacón de las dferencas que surgen de esa causa partcular. La comparacón se hace encontrando la razón del cuadrado medo respectvo (cuadrado medo debdo a lugares o estacones en el eemplo presente) al cuadrado medo del error. Esta razón se conoce como razón de varanca y se denota por F. Hay tablas que dan los valores de F requerdos para sgnfcacón a dferentes nveles de probabldad y dferentes grados de lbertad para el numerador y el denomnador de la razón. Coteando la tabla de F podremos verfcar que ncluye valores de probabldad para los dos nveles de sgnfcacón comúnmente usados, a saber, del 5 y del por cento. La dferenca que aquí deseamos probar es la dferenca entre lugares. Tenemos 6.37 F = = De la tabla de F hallamos que con y 3 grados de lbertad, respectvamente, para el numerador y el denomnador, los valores requerdos con el fn de que haya sgnfcacón a los nveles del 5 y el por cento son 4.8 y 7.88, respectvamente. Esta prueba, pues, lleva al msmo resultado que la obtenda prevamente, es decr, que las dferencas de lugares son sgnfcatvas al nvel del 5 por cento. Estas dos pruebas resultan, de hecho, déntcas aquí ya que para un únco grado de lbertad en el numerador la razón F es déntca a t, como se puede verfcar con los valores observados de t y de F. La prueba F tene actualmente aplcacones más amplas, ya que tambén proporcona una prueba total de varas dferencas, en tanto que la prueba t se refere a una sola dferenca. ConceptosSgnfcaconMedas.doc 9/05/000 0:5 Pág.