UNIDAD 4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

Transcripción

1 UNIDAD 4 ELIPSE CIRCUNFERENCIA, SUS ECUACIONES CARTESIANAS. OBJETIVOS ESPECÍFICOS. Al término de l unidd, el lumno: Conocerá deducirá l ecución cnónic de l elipse l circunferenci. Conocerá plicrá ls ecuciones ordinris de l elipse l circunferenci. Aplicrá ls ecuciones en prolems de plicción... Resolverá prolems de corte euclidino.

2 Teng en mente: LAS MATEMÁTICAS SE DISFRUTAN RAZONANDO. Sin lo nterior, ls mtemátics se le hrán mu urrids rápidmente ndonrá su estudio. Así que, con uen ánimo lo lrgo del siguiente trjo usted podrá estudir prender el siguiente: Contenido UNIDAD 4. Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins L elipse L elipse como lugr geométrico Construcción lguns propieddes... 5 Ecución referid l centro de l elipse Ecentricidd Ldo recto Ecución de l elipse, con ejes prlelos los ejes de coordends Ecución estándr Ecución generl Aplicciones Órits Rect tngente Refleiones Regiones en el plno L circunferenci L circunferenci como lugr geométrico Definición de circunferenci Elementos de l circunferenci Ecución crtesin Ecución estándr Ecución generl Aplicciones Circunferenci sujet condiciones dds Rects tngentes... 7 Intersecciones Regiones Ejercicios Not. El contenido, tmién se compñ con lguns práctics en GeoGer. Softwre que permitirá ver geométricmente mucho del contenido nterior.

3 UNIDAD 4. ELIPSE Y CIRCUNFERENCIA, SUS ECUACIONES CARTESIANAS. Se firm que el estudio de ls cónics fue inicido por Menecmo Eudoio l intentr resolver el prolem del Oráculo de Delfos, consistente en l duplicción del cuo ddo un cuo determinr con regl compás otro que conteng el dole de volumen, medinte un número finito de psos. Es el mtemático Apolonio de Perg, conocido como el grn geómetr, quien escriió un trtdo sore ls cónics formdo por ocho liros. En su liro Cónics estudi ls figurs que se pueden otener l cortr un cono circulr recto por un plno según se el ángulo de corte: punto, rect, dos rects que se cruzn, circunferenci, práol, elipse o hipérol. Es Arquímedes quien se dee el nomre de práol Apolonio los nomres de elipse de hipérol. En el estudio ctul de ls cónics se pueden considerr como el lugr geométrico de los puntos del plno tl que l rzón de sus distncis un punto fijo un rect fij es constnte, llmd ecentricidd. En todo esto, l grn portción de René Descrtes por el siglo XVII es el de her podido nlizr los elementos de cd un de ls cónics reflejr medinte un ecución lgeric de segundo grdo l relción de ls culiddes geométrics de dichs curvs. Finlmente, el mtemático elg Dndelin en el siglo XIX relizó un trjo en el cul mostró que efectivmente ls cónics trtds como curvs descrits por ecuciones lgerics correspondín ls secciones cónics. Pr ello, mostró en un cono en el que usó esfers inscrits tngentes su superficie interior: l eistenci de los focos, ls rects directrices, l ecentricidd, etc. Es decir, mostró l eistenci geométric de cd un de ls curvs como un sección cónic en su trjo conocido como Esfers de Dndelin.

4 Column Column Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 4.1. LA ELIPSE. En el plcio de Goierno de mi puelo se están relizndo remodelciones un lñil está construendo l prte frontl de los portles. L figur que generó no es linel como es común (un dl), tmpoco es l de un circunferenci (pues utilizrí un clvo un cuerd). En ést ocsión utilizó dos rmells fijs, psó un cordel por ls rmells el cul est mrrdo por sus etremos. Al tensr el cordel determinó puntos de referenci pr colocr los tiques uilires sore un tlón pues no vn pegdos con mezcl, después del coldo los quitó. Rellenó ls esquins de los tiques pr fijr el lugr por donde mrc el cordel. Después de ello, sore est figur pegó tiques con mezcl l finl l dl el techo. Al quitr los tiques uilires quedó un figur curv que no es un circunferenci. Aunque l lñil no le import lo que relizremos quí pr colmo ni cuent se v dr, nosotros podrí servirnos en el futuro profesionl un poco de curiosidd con el trzo de su figur. Así que, unque el lñil logr sus propósitos sin ser el porque, nosotros trtremos de logrr lgo de conocimiento con su técnic constructiv lo lrgo de l siguiente sección. 4

5 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. Como introducción de l nuev figur por estudir, primermente lo hremos se de: pregunts, definiciones lgo más Podrá oservr l grn vriedd de pregunts que se pueden hcer cundo se tiene curiosidd por ls coss. CONSTRUCCIÓN Y ALGUNAS PROPIEDADES. i. L curiosidd inicil es ser l form complet de l curv que se otiene con este método. Primero, en un crtón podemos fijr dos tchuels seprds por 4 cm. Segundo, tomemos un hilo de poco más de 50 uniddes de lrgo lo mrrmos por sus etremos pr que quede el hilo mrrdo de 50 cm. Tercero, con el hilo envolvemos ls tchuels lo tensmos con un lápiz. Pr terminr, trsldmos el lápiz mnteniendo el hilo tenso trcemos l curv. L figur generd es como l siguiente: T 1 T Fig Construcción de l elipse. P Al seguir jugndo con l construcción, podemos lterr l seprción de ls tchuels conservr el tmño del hilo. Al cercrlos l figur se prece más más un circunferenci en el límite (cundo se juntn) es un circunferenci de rdio 5 cm. Por otro ldo, si los lejmos se hce más plnd llegndo ser dos segmentos emplmdos de tmño 5 cm. ii. L curv trzd se llm elipse. Mientrs que, ls tchuels son dos puntos fijos se tomn como puntos de referenci pr el trzdo de l curv. Los puntos fijos se llmn focos l distnci entre ellos es llmd distnci focl. En este ejercicio, vle 4 cm (es l seprción entre ls tchuels). iii. Al girr 180 l elipse sore l rect que une los focos tenemos que coincide l elipse gird con l originl, se dice que est líne es un eje de simetrí. Note que tmién es eje de simetrí l meditriz los focos. Estos ejes de simetrí son llmdos el eje principl (el que ps por los focos) el eje secundrio (es l meditriz los focos). El punto donde se cruzn los dos ejes es llmdo centro de l elipse, el cul es un punto de simetrí. 5

6 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins iv. Considere culquier punto de l elipse, llámelo P. Cuánto mide T 1P T P? En l figur 4.1, semos que todo el hilo mrrdo es de 50 cm, de donde T P TP T 1T 1 Tmién semos que l distnci focl es de 4 cm, por lo que T 50 1P T P 4 50 T 1P T P 50 4 T 1P T P 6 Concluendo, l distnci de cd foco l mismo punto de l elipse l sumrls es constnte!, en este cso d 6 cm. v. Los puntos de l elipse que se encuentrn en el eje principl son llmdos vértices el segmento que los une se llm eje mor. Mientrs que, los vértices de l elipse sore el eje secundrio formn el eje menor. Qué tmño tienen? Vemos los ejes en un modelo geométrico. Eje menor U V 1 T 1 T V Eje mor U 1 Pr el eje mor, V 1 V. Como V es uno de los tntos puntos de l elipse, dee cumplirse T1 V T V 6 ( se justificó) El segmento T V por simetrí es igul V 1 T 1, l sustituirlo result T1 V V1T 1 6 De donde, V V 6 1 6

7 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Pr el eje menor. Nuevmente, U es otro de los tntos puntos de l elipse. Se cumple: T U T U 1 Por simetrí, el triángulo T 1 T U es isósceles, por lo que U T Ahor con l mitd del triángulo isósceles, en donde C es el centro de l elipse, se tiene un triángulo rectángulo. Al plicr el Teorem de Pitágors, result U C 1 13 Al resolverl U C 5. En consecuenci, el eje menor dee medir 10 cm, porque es el dole del vlor clculdo (con vlor positivo). Aunque h lguns coss más por verse en est prticulr elipse, nos dimos un ide de l curv que quedó como dorno en los portles de mi puelo: son elipses! Bien, l nlizr curvs prticulres en l morí de ls ocsiones se tiene el inconveniente de que no se precin generliddes en ells o fórmuls que permitn predecir comportmientos u otrs coss. Ahor lo conveniente es nlizr ls elipses en su form generl pr después plicrls. Not. Como ud, todos los conceptos de est sección otros, puede repsrlos con l práctic en GeoGer: CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE. El inicio de l práctic es como se muestr 7

8 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins ECUACIÓN REFERIDA AL CENTRO DE LA ELIPSE. A prtir del inciso iv de l nterior sección, tenemos l siguiente: Definición. Un elipse es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cu sum de distncis dos puntos fijos es igul un constnte. Bien, pr descriir l elipse medinte un fórmul es conveniente definir tmién los prámetros que intervienen en ell: Distnci focl, Eje mor, Eje menor, d( F1, F ) c F 1 F representn los focos, son los puntos fijos de l elipse, c > 0 d( V1, V ) V 1 V son los vértices mores (etremos del eje mor), > 0. d( U1, U) U 1 U son los vértices menores (etremos del eje menor), > 0. En l figur 4., plicndo l definición: En prticulr, d F, P) d( F, P) constnte ( 1 d F, V ) d( F, V ) constnte ( 1 U P L constnte cuánto vle? Pr determinrl se descompone el eje mor V 1 V F 1 F d( V1, V ) d( V1, F1 ) d( F1, V ) por simetrí d V, F ) d( F, ). ( 1 1 V Al relcionrls, d V, V ) d( F, V ) d( F, ) ( 1 1 V U 1 Fig. 4.. L elipse Al ser V un punto de l elipse, d ( V 1, V ) dee ser igul l constnte uscd como es un prámetro definido como, se conclue: d F, P) d( F, P) (4.1) ( 1 L constnte siempre es igul l medid del eje mor! L ecución (4.1) puede ser considerd como l relción lgeric de l elipse. Por otro ldo, l elipse l generrse en un plno olig considerr cd uno de sus puntos como descrito por dos segmentos perpendiculres (pueden ser representdos con vriles). En l figur 4.3, sen estos: CT es el desplzmiento desde el centro C de l elipse l proección del punto P sore el eje mor 8

9 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins TP como el desplzmiento de su proección sore el eje menor. Con ests considerciones, hor podemos determinr un fórmul que relcione los desplzmientos En el plno crtesino, el centro de l elipse está en el origen los vlores e son ls coordends del punto P. Al menos h dos forms de deducir l ecución: (1) Medinte distncis trjr con ríces (el más común de los cursos), () Al estilo pre-nlítico, se resuelve un sistem de ecuciones no se trjn ls ríces (lo usremos) Se tiene dos triángulos rectángulos por considerr: F 1 TP F TP. Se cumple: U P F 1T TP F1 P () l F T TP F P () V 1 F 1 C T F V Aquí F T c 1 TF c o FT c U 1 Fig Desplzmientos de P. Simplificndo simologí, digmos que F P. En consecuenci F P, l 1 l que dee cumplirse l relción lgeric (4.1). Ahor reemplcemos lo nterior en ls relciones pitgórics: Al restr un l otr, ( + c) + () = ( l) Se desrrolln ls potencis se simplific ( c) + () = (l) (c) ( + c) ( c) = ( l) (l) + c + c - + c - c = 4 4l + l l 4c = 4 4l c = l Se despej l, l c. 9

10 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 10 Este vlor de l, se sustitue en (c) pr otener un ecución que depend de los prámetros de l elipse de los desplzmientos del punto P. ) ( ) ( c c c c c c c c c c c c cu c (d) L ecución finl no prece más simple que l inicil nos qued l sensción de frustrción. Ahor es conveniente un descnso en l secuenci pr nlizr prte del resultdo otenido. Recordemos que el triángulo F CU es rectángulo, figur 4.4. En él, U C d c F C d ), ( ), (. Además, U F d U F d ), ( ), ( 1, porque U es punto de l elipse. Al tener ), ( ), ( 1 U F d U F d, result. Ahor, el Teorem de Pitágors permite que tengmos l relción pitgóric de los prámetros de l elipse: c (4.) Tmién se firm que c. Se provech l iguldd se sustitue en lo otenido (en d), quedndo V 1 V F F 1 c C U 1 U Fig Relción entre los prámetros.

11 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Al simplificr, otenemos l ecución cnónic de l elipse: 1 (4.3) EXCENTRICIDAD. Un form de medir que tn redond o que tn pln es un elipse se hce medinte l ecentricidd e. Se define, como l rzón de l distnci focl l eje mor. Reducid qued (el del numerdor el del denomindor se cncel) c e (4.4) En l elipse l ecentricidd es un vlor entre 0 1, c <. El ser más redond se logr cundo se cercn los focos, o tmién c << ; e se proim l 0. Pr el cso prticulr de un circunferenci c = 0 por tnto e = 0. Mientrs que, si los focos se seprn cd vez más sin cmir el eje mor, estos se cercn los vértices mores (l elipse es mu pln), c son csi igules. De donde e es próimo l 1. LADO RECTO. El ldo recto tmién sirve como un uilir pr el trzdo rápido de l elipse. Su vlor está ddo por l siguiente fórmul (su deducción se dej como ejercicio): ldo recto (4.5) Ejemplo 1) A prtir de l construcción relizd en l nterior sección, determine su ecentricidd el ldo recto de l elipse, figur 4.1. Los prámetros que descrien l elipse son: = 13, = 5 c = 1. En consecuenci, su ecentricidd tiene un vlor de: e Los plnets, normlmente tienen un ecentricidd menor un décimo de unidd. Sus trectoris elíptics son mu redonds. Mientrs que su ldo recto mide 5 50 l. r

12 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins ECUACIÓN DE LA ELIPSE, CON EJES PARALELOS A LOS EJES DE COORDENADAS. Se h definido: un elipse es el lugr geométrico de los puntos del plno cu sum de distncis los focos es constnte. Los puntos fijos F 1 F son los focos, que supondremos seprdos un distnci c. Tmién prendimos que l constnte equivle l tmño del eje mor de vlor. Los puntos P cumplen con (4.3): 1 u v o 1 L primer está referid ejes de coordends XY, mientrs que l segund es como si considerármos ejes de coordends UV. En est últim ecución u son el vlor del semieje mor el desplzmiento del punto P sore el mismo eje, mos formn un cociente. Mientrs que, v son los vlores correspondientes con respecto l eje menor. ECUACIÓN ESTÁNDAR. A prtir de l nterior ecución podemos determinr l representción de l elipse en el sistem crtesino según su posición. En l figur 4.5, se h colocdo l elipse tl que su centro se encuentr en el punto C (h, k) su eje mor prlelo l eje X, tmién se mrcn sus desplzmientos. Pr determinr l ecución de l elipse reltiv los ejes -, deducimos ls siguientes relciones (son directs): h u k v u h v k k C u P(, ) v Al sustituirlos en l ecución cnónic, otenemos l form estándr de l elipse centrd en C(h, k) eje mor prlelo l eje. h k h Fig Elipse con centro C(h, k). 1 (4.6) Los puntos notles deen definirse prtir de sus coordends. Además, deen de cumplirse tods ls relciones estudids. A ser: 1

13 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins F h c, k) F ( h c, k). Se cumple d( F, F ) c 1( 1 V h, k) V ( h, k). Se cumple d( V, V ) 1( 1 U h, k ) U ( h, k ). Se cumple d( U, U ) 1( 1 El punto medio los tres segmentos nteriores es el centro C (h, k). Relción pitgóric de los prámetros: c. Ldo recto, Ecentricidd, e = c/ Ejemplo ) L ecentricidd de un elipse es 0.8 está centrd en el origen. Determine su ecución estándr, si un vértice mor es el punto (5, 0). Se tiene los dtos: C (0, 0), V (5, 0) e = 0.8. Con ello, tenemos que el eje mor es prlelo l eje. Además, d( C, V ) c c Con l ecentricidd, e 0. 8 c Esto no es suficiente pr otener l ecución estándr de l elipse. Flt otener el vlor del semieje menor, pr ello se utiliz l relción pitgóric de los prámetros, quedndo (5) = + (4), de donde = 3 (el vlor positivo) Ahor sí, l ecución estándr es Si queremos relizr un trzdo rápido de l elipse es conveniente loclizr lgunos puntos de ell. De entrd los fáciles, los cutro vértices: V 1 (-5, 0), V (5, 0), U 1 (0, -3) U (0, 3). Otros que tmién son rápido de determinr son los etremos de los ldos rectos: l.r = / = 18/5 = 3.6; por lo que se tienen otros cutro puntos 4, Se loclizn los ocho puntos se trz l curv que ps por ellos.... o

14 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Este tipo de ejercicios está compñdo con un práctic en GeoGer, llmd: Centro, vértice ecentricidd. En est práctic, usted puede drle ls coordends que quier l centro o l vértice, sí como l ecentricidd. Tmién puede trtr elipses cuo eje mor es verticl (se verá más delnte) o inclindo. Deléitese con el ejercicio con l práctic en geoger.gg. Qué ps si l elipse se coloc en el centro, pero hor con el eje mor prlelo l eje? En este cso se puede hcer un modelo precido l figur 4.5 otener ls relciones que se cumplen con ls vriles se lleg determinr l form estándr de l ecución. Relciones entre segmentos v h k u h v u k Se sustituen ests relciones en l form cnónic, quedndo: k h 1 P(, ) v u C k h Fig Elipse verticl con centro C(h, k). 14

15 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Ahor se reordenn los términos principles. Result l ecución ordinri de l elipse con centro en C(h, k) con eje mor prlelo l eje (tmién se dice que es verticl). h k 1 (4.7) El vlor del semieje mor hor divide l, hí es donde v el eje mor. Por supuesto, tmién se relizn los correspondientes cmios en ls coordends de los puntos notles de l elipse. Vemos, F1 ( h, k c) F ( h, k c). Se cumple d( F1, F ) c V1 ( h, k ) V ( h, k ). Se cumple d( V1, V ) U1( h, k) U( h, k). Se cumple d( U1, U) El punto medio los tres segmentos nteriores es el centro C(h, k). Relción pitgóric de los prámetros: c. Ldo recto, Ecentricidd, e = c/ Ejemplo 3) Anlice l elipse centrd en el punto (, 3), con un foco en (, 6) un vértice mor en (, 8). H práctic en GeoGer llmd: Centro, vértice foco. Los tres puntos ddos como dtos tienen l mism scis, el. Tmién semos que los tres puntos están sore el eje principl, se conclue que l elipse está lrgd verticlmente. En ell, C (, 3), F 1 (, 6) V (, 8); de donde: Semidistnci focl, c d( C, F ) Semieje mor, d( C, V ) Semieje menor, c 3 Ecentricidd, e Ldo recto, Ecución ordinri, h = k = 3, l. r (vlor positivo)

16 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Puntos notles: F1 ( h, k c) F1 (, 0) F ( h, k c) F1 (, 6) V 1( h, k ) V1 (, ) V ( h, k c) V (, 8) U 1( h, k) U1(, 3) U( h, k) U(6, 3) Not. El vlor mor que divide v dejo de l, pues el eje mor es verticl. Gráfic Pr un mejor trzo, loclice tmién los -4 etremos de los ldos rectos: ( 3., 6) ( 3., 0). Es más redond que l del ejemplo, deido que su ecentricidd es menor. Pero que conste, está lrgd verticlmente.... ECUACIÓN GENERAL. L ecución estándr de l elipse es mu fácil de recordr, lrgd horizontlmente o verticlmente, pero podemos ponerl de otr form. Veámoslo con l form horizontl, ecución (4.6). Al multiplicrl por, desrrollndo ls potencis recomodndo términos, result h k h h k k h h h k k De l mism mner, l ordinri verticl qued h k h h k k k Pr lgunos no es fácil memorizr ls estructurs nteriores. Por ello, siempre es conveniente desrrollr los psos lgericos llegr l resultdo. Se puede ver el hecho de que los coeficientes de siempre son positivos. Además, ms tienen l mism estructur lgeric: un ecución de segundo grdo en dos vriles. Es decir, tienen l mism form generl:

17 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins A B D E F 0, con A B 0 (4.8) El rincrnos el coeficiente C es deido que está reservdo pr el término cudrático con ls dos vriles, C (ls elipses con ejes inclindos contienen este término). Tmién podemos firmr, el vlor mor oservdo en los términos cudráticos indic que l elipse está lrgd en l otr vrile. Ejemplo 4) Anlice l ecución generl Tmién se compñ de un práctic en GeoGer. Los coeficientes cudráticos son positivos de diferente vlor, l ecución represent un elipse verticl (el coeficiente cudrático mor est en l ). Un form de otener los prámetros es desrrollr l form ordinri pr después comprr; o ien, utilizr l técnic de completr trinomio cudrdo perfecto. Sigmos l segund opción, el término independiente se ps l otro ldo se fctoriz el coeficiente cudrático de cd un de ls vriles Pr completr el trinomio en el primer préntesis: piense en el coeficiente linel, -; hor oteng su mitd, -1; l finl, elévelo l cudrdo, +1. Este último vlor es el que se greg en el primer préntesis. Pr el segundo préntesis, sig l mism secuenci gregrá el 4. Pr recompensr l lterción de l ecución, se gregn tmién en el segundo ldo de l iguldd pero deen de ir fectdos por el coeficiente cudrático correspondiente Cd trinomio cudrdo perfecto se fctoriz como el cudrdo de un inomio, de donde Se divide por 36, quedndo Es un elipse lrgd lo verticl, se compr con l ordinri en form direct se otiene: C (1, -), = 3 =

18 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Lo demás, es fácil de clculr, tenemos práctic Eje mor = 6 Eje menor = 4 Distnci focl = 5... Ecentricidd, Ldo recto, APLICACIONES. Conclumos el estudio de ls elipses con lguns de sus plicciones con más ejemplos resueltos. ÓRBITAS. L primer Le de Kepler firm: l trectori de los plnets es como un elipse donde el Sol está en uno de sus focos. Ejemplo 5) El plnet más cercno l Sol es Mercurio, cu ecentricidd es de 0.06 eje mor de 115 millones de kilómetros. Determine l distnci máim mínim de Mercurio l Sol? Como : km e km Además, e c / c e km km. De donde, Dis.mínim c km km km Dis.máim c km km km RECTA TANGENTE. En tres psos es posile construir rects tngentes l elipse en culquier de sus puntos. Primero, se trzn segmentos desde el punto P los focos. Segundo, se determin l isectriz l ángulo F 1 PF. Tercero, por el punto P se trz l perpendiculr l isectriz. No es difícil demostrr que est perpendiculr es l tngente desed. 18

19 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Utilicemos l siguiente figur pr relizr l demostrción. Construmos l circunferenci con centro en P que pse por el foco más cercno, digmos F. Se prolong el segmento F 1 P hst que coincid con l circunferenci en un punto más llá de l elipse, le llmremos E. El triángulo F PE es isósceles, que los ldos F P PE son rdios de l mism circunferenci. Ahor, trcemos l isectriz SP l ángulo F PE (S es culquier punto de l isectriz diferente P), en consecuenci es perpendiculr l isectriz l ángulo S F 1 PF ; que son isectrices dos E P ángulos dcentes suplementrios. Como F PE es isósceles, l rect SP tmién es meditriz l ldo F E, por lo tnto S está l mism distnci de F que F de E. O se F S SE 1 F. Por l construcción del punto E, tenemos: E F P F P. Como l F1 1 longitud de un ldo del triángulo dee ser menor que l sum de los otros dos ldos, tenemos l desiguldd: E F S SE F S F S F1 1 1 De donde l cominr los resultdos, qued F1 P F P F1 S F S Qué indic este resultdo? Que l rect SP efectivmente es l rect tngente l curv. Pues, únicmente el punto P cumple con l condición de pertenecer l elipse culquier otro punto de l rect SP está por fuer de ell. L rect toc l elipse en uno sólo un punto, en P. REFLEXIONES. Si un elipse se hce girr lrededor de su eje mor gener un superficie, llmd superficie de revolución (como los lones de fútol mericno). Lo interesnte de ests superficies es que si se coloc un fuente de rdición en uno de los focos, entonces todo ro que prt de él se reflejrá en l superficie psrá por el otro foco propiedd de l rect tngente l elipse, pues el ángulo de incidenci de un foco sore un punto es igul l ángulo de refleión l otro foco. Est propiedd es l eplicción de ls cámrs de los secretos, donde un sonido emitido en uno de los focos puede ser escuchdo perfectmente en otro, pero no necesrimente en los puntos intermedios. Se utiliz tmién en estudios de l rdición, en donde l emnción totl de lgun fuente se reliz en uno de los 19

20 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins focos se concentr en el otro (sí se pueden destruir cálculos ilires sin utilizr el isturí). Ángulo de refleión P Ángulo de incidenci F 1 F Alrededor del mundo h vris cámrs de los secretos. Por ejemplo en el convento del Desierto de los Leones, en el D. F., se encuentr l glerí de los murmullos, en ell un person colocd en un lugr mu especil (foco) puede hlr con voz mu j otr person colocd en l otr posición especil (el otro foco) l puede escuchr. Est curiosidd tmién está en el convento de Actopn, Hidlgo; en el juego de pelot en Chichén Itz. En l construcción áre del siglo XIII, l Almr que se encuentr en l ciudd de Grnd, Espñ. Etc. REGIONES EN EL PLANO. Cundo l form ordinri de l elipse se trnsform l form generl, siempre qued l mism form, ecución (4.8). Lo recíproco, l psr de l form generl l ordinri tiene tres comportmientos diferentes l completr el trinomio, el ldo derecho puede ser positivo negtivo o cero. En consecuenci, l dividir por el vlor del ldo derecho (ecepto con el 0), se tendrí el ldo derecho iguldo : 1, 0 o -1. Vemos el resumen de los csos en l form cnónic l representción cnónic tiene l mism form en l posición que este, que no está referid l sistem crtesino. Sólo depende del centro de l elipse : 1, 0, 1, se trt de un elipse. es unpunto. esunelipsenorel,noh gráfic. Aprovechndo el contorno linel de l elipse, l utilizr l desiguldd es posile representr regiones del plno cu fronter es l elipse. 0

21 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Ejemplo 6) Grfique en el plno: A muchos se les complic trjr con ls desigulddes. Pr ellos, es mejor nlizr l iguldd después loclizr l región l evlur l desiguldd. Al considerr , tenemos que es un elipse. Se trnsform l form 3 ordinri, quedndo Al estr iguld 1, semos que h - tod un curv elíptic como fronter. Pr ser l región correspondiente, se sustitue el -3 centro (0, 1) en l desiguldd originl, (0) + 3(1) -4-6(1) 3 > 0. Al simplificr, -6 > Como esto es flso, se tiene que l prte intern de l elipse no cumple con l desiguldd. En consecuenci, l gráfic es l región etern de l elipse. En este cso, l elipse es fronter de l región no es prte de l gráfic, por eso está puntedo. En los csos en que se inclu l fronter, se utilizrán ls desigulddes: o LA CIRCUNFERENCIA. Comprendid l elipse, en su form cnónic ordinri, l circunferenci nos será reltivmente fácil. L circunferenci puede considerrse como un cso límite de l elipse l colocr los focos en su centro. En est considerción, el eje mor es de igul tmño que el eje menor, se les llm diámetro. Aplicndo l nterior ide, tenemos LA CIRCUNFERENCIA COMO LUGAR GEOMÉTRICO. Pr el trzo de l circunferenci no se necesitn dos puntos fijos, hor st con uno. Por ello tenemos l siguiente: DEFINICIÓN DE CIRCUNFERENCIA. Un circunferenci es el lugr geométrico de todos los puntos tles que su distnci un punto fijo es constnte. 1

22 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Donde, los elementos fundmentles pr determinr l circunferenci, son: El punto fijo C, llmdo centro. L distnci constnte r, se llm rdio. L relción geométric pr l circunferenci, está dd por: r C P d( C, P) r. (4.9) Fig L circunferenci. En prticulr pr l circunferenci, = = r, su ecución cnónic es: r r 1 r (4.10) L ecución cnónic, sin echr mno de l otenid con l elipse, es posile deducirl directmente prtir de los desplzmientos del punto P, tnto el horizontl como el perpendiculr sore uno de sus diámetros. En l figur 4.8, se plic directmente el Teorem de Pitágors se logr l mism ecución cnónic (se costumr ponerl sin frcciones). Ahor qued un relción pitgóric entre los desplzmientos el rdio de l circunferenci. P r C Fig Relción pitgóric Su ecentricidd es 0, que l coincidir los focos con el centro c = 0 e = 0. El ldo recto es igul l tmño del diámetro l rect tngente en un punto de ell es l perpendiculr l diámetro correspondiente (pues los rdios focles coinciden). ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA. C: Centro de l circunferenci. A CP : Rdio, segmento que une el centro con P un punto culquier de l circunferenci. D 1 D : Diámetro, segmento que une dos puntos de l circunferenci psndo por el centro. A 1 A : Cuerd, segmento de rect que une dos puntos culesquier de l circunferenci. A 1 D 1 S s T C D

23 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins S, Secnte, es un rect que cort en dos puntos l circunferenci. T: Tngente, es un rect que toc en un solo punto l circunferenci. Es perpendiculr l rdio. s: Arco, es l prte de l circunferenci limitd por dos puntos ECUACIÓN CARTESIANA. Un circunferenci loclizd en el plno crtesino tiene l ventj de que es simétric culquier de sus diámetros, l form de l ecución ordinri es l mism esté en l posición que esté. ECUACIÓN ESTÁNDAR. En l figur 4.9, tenemos un circunferenci centrd en (h, k) de rdio r. Ahor, l considerr P(, ) como un punto de l circunferenci, podemos determinr l distnci entre los puntos C P. r C(h, k) P(, ) h d( C, P) k Fig Circunferenci centrd en (h, k). Aquí, tmién se cumple l condición pr l circunferenci Al Igulrls d( C, P) CP r. h k r Se elev l cudrdo mos ldos se otiene l llmd form ordinri de l ecución de un circunferenci centrd en (h, k). h k r (4.11) Ejemplo 7) Oteng l ecución ordinri de un circunferenci, si uno de sus diámetros se form con los puntos (-, 5) (4, -3). Procedimiento. Pr determinr l ecución ordinri de l circunferenci es necesrio conocer ls coordends del centro el vlor del rdio. Ninguno de ellos se conoce, deemos determinrlos primero. 3

24 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Cálculo del centro. Se conoce los etremos de un diámetro, entonces el punto medio de ellos es el centro de l circunferenci. Dtos: 1 D1 (,5) D (4, 3) 3 Fórmuls: 1 h 1 k Sustitución : 4 h 1 5 ( 3) k 1 Conclusión C(1,1) Cálculo del rdio. El rdio es l mitd de l distnci entre los etremos del diámetro. O ien, es l distnci del centro culquier de los etremos. Dtos 1 1 C(1,1) 1 1 D1 (,5) 5 r Fórmul 1 1 r Sustitución r 9 16 Conclusión r 5 Cálculo de l ecución en form ordinri. Conociendo C(1, 1) r = 5, se sustitue en l form (4.11), quedndo ECUACIÓN GENERAL. Al desrrollr ls potencis de l form ordinri reordenndo términos, se lleg l form generl de l ecución de l circunferenci h h k k r h k h k r 0 Si se efectún los cmios, entre los prámetros constntes D = -h, E = -k Y F = h + k - r Se lleg l form generl de l ecución de l circunferenci. D E F 0. (4.1) 4

25 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Si lguno de los nuevos prámetros está frccionrio, se multiplic por el mínimo común múltiplo de los denomindores result A B D E F 0, con A B. Si l comprmos con l form generl de l elipse se tiene l mism estructur. Sólo que los coeficientes cudráticos deen ser igules. Nuevmente puede psr que dd un ecución de segundo grdo tipo circunferenci, l psrl l ordinri quede: circunferenci rel, un punto o un circunferenci imginri. Ejemplo 8) Determine l form generl de l circunferenci si su form ordinri es Se desrrolln los inomios. 3 0 Reordenndo simplificndo.... Ejemplo 9) Discut l ecución En est ocsión plicremos el procedimiento de desrrollr l form ordinri pr después comprr con l form generl. Cundo los coeficientes cudráticos de ls vriles son 1 (o se pueden hcer 1) l ecución represent un circunferenci. En este cso, consúltelo más rri de l págin, tenemos que: D = -h, E = -k F = h + k - r. Al resolverls: D h, E k 1 r D E 4F. Al sustituirle vlores, qued h, k 3 r ( 4) (6) 4(17) 16 Conclusión l ecución represent un circunferenci centrd en (, -3), pero su rdio no es número rel, r =i. En consecuenci, si grficmos no se verá gráfic en el plno, sólo se preci el centro de l circunferenci (en este cso el centro no es prte de l circunferenci. 5

26 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins APLICACIONES. Ahor conclumos el tem de l circunferenci con lgunos ejemplos de plicción. CIRCUNFERENCIA SUJETA A CONDICIONES DADAS. Tnto l ecución ordinri como l generl tienen tres prámetros en sus fórmuls. Por lo tnto, son necesris tres condiciones independientes pr determinr l ecución de un circunferenci. Ejemplo 10) Determine l ecución de l circunferenci que ps por los puntos (, 5), (3, -) (-4, -3). Pr entender el prolem es decudo construir un modelo geométrico que nos permit drnos l ide de lo que trt el prolem. Se loclizn los tres puntos se divin por donde quedrí el centro. Entendido el prolem, tenemos que los puntos deen de stisfcer su ecución ordinri, se plnten ls ecuciones: Pr (, 5): h 5 k r Pr (3, -): 3 h k r Pr (-4, -3): 4 h 3 k r Se tiene un sistem de ecuciones no linel dee resolverse. Igulmos ls dos primers, h 5 k 3 h k Desrrollo de inomios, 4 4h h 5 10k k 9 6h h 4 4k k Se simplific, h 14k 16 h 7k 8 () Se repite el procedimiento con ls dos últims 4 h 3 k 3 h k 16 8h h 9 6k k 9 6h h 4 4k k 14h k 1 Se simplific ún más, 7h k 6 () 6

27 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Ahor () () formn un sistem linel con dos vriles, se despej k de (): k = -7h 6. Se sustitue en () se resuelve h 7 7h 6 h 49h h 50 h 1 Y se conoce l scis del centro, se sustitue este vlor en l ecución () ( 1 7k 8 7k 7 k 1 Con estos vlores, se sustituen en l primer tendremos el vlor del rdio r r 5 r 5 Teniendo los elementos fundmentles concluimos: l ecución ordinri de l circunferenci de rdio 5 centrd en (-1, 1) es RECTAS TANGENTES. L rect tngente un circunferenci en uno de sus puntos es l rect tngente l rdio correspondiente l punto de tngenci. Su pendiente es el recíproco negtivo de l pendiente entre el centro el punto de tngenci. Ejemplo 11) Determine l ecución de l rect tngente l circunferenci en el punto (1, -1). Pr determinr l ecución de l rect nos hce flt su pendiente. Pr determinrl es necesrio conocer el centro de l circunferenci. Prámetros de l circunferenci. D h r 1 6 3, E k Cálculo de l pendiente. Dtos : C( 3, ) P( 1, 1). 7

28 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins m CP m tn g 4 5 Cálculo de l ecución. 4 Dtos : P( 1, 1) m. 5 Ecución: - 1 = m( - 1 ) P C 6 7 INTERSECCIONES. Se conoce que dos rects pueden coincidir en todos los puntos, en uno o en ninguno. Así, dos circunferencis pueden coincidir en todos sus puntos, en dos, en uno o en ninguno. Y, un rect con un circunferenci? Ejemplo 1) Determine los puntos de intersección entre l rect 3 0 l circunferenci Los puntos de intersección deen ser quellos que stisfcen ls dos ecuciones. Por lo que deemos resolver el sistem no linel. Al despejr de l ecución de l rect, tenemos: = - 3. Se sustitue en l circunferenci, Se desrrolln los inomios, Se simplific, o Se resuelve, Esto indic que h dos posiles intersecciones, pero flt conocer sus sciss. Se logr l sustituirlos en = 3. 8

29 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Conclusión. L rect l circunferenci coinciden ,, son dos puntos. El más de l ordend es con el más de l scis.... REGIONES. El trtmiento pr ls regiones en el plno se hce identificndo primero l fronter l considerrl con l iguldd. Se otienen sus elementos se grfic. Se determin l región solución con el centro de l circunferenci l sustituirl en l desiguldd originl. Se somre l región solución. Ejemplo 13) Oteng l región solución de 9. Se consider l iguldd, 9. Se identific l curv, es un circunferenci rel. C (0, 0) r = 3. Se elige un punto interior l curv, de preferenci el centro se sustitue en l desiguldd originl Se elige l región, l desiguldd se stisfce pr un punto interior. Entonces l región que se somre es el interior de l circunferenci. En este cso tmién se inclue l fronter

30 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 4.3. EJERCICIOS. 1) Otrs forms de construir l elipse: Tome un hoj de ppel trnsprente, en ell diuje un circunferenci un punto dentro de ell (que no se el centro). Dole l hoj de mner que un punto de l circunferenci coincid con el punto diujdo desdole l hoj. Ahor repit el procedimiento con otros puntos de l circunferenci (entre más sen se preci mejor). Ls mrcs de los doleces hn formdo un elipse en su prte intern, en donde el punto diujdo el centro de l circunferenci son los focos. Tome un cono de unicel, hor relice un corte plno de ldo ldo de sus predes sin llegr l se. El perímetro del corte será un elipse. Mientrs más prlelo se l se del cono, l elipse será más precid l circunferenci. Ddo el digrm con circunferencis concéntrics dos puntos, diuje un elipse de ecentricidd 0.8 otr de 0.4. Supong que l seprción entre dos circunferencis concéntrics próims es de un unidd. Dónde colocrí los focos? Cuál es el tmño del eje mor? ) Un generlizción de l primer le de Kepler se otiene con l Le invers de los cudrdos de l grvitción universl puede demostrrse con el cálculo. L trectori de culquier stélite nturl o rtificil lrededor de un cuerpo es normlmente un elipse, ecepto cundo es lterd por lgun cus etern. i. Se coloc un stélite en un órit elíptic lrededor de l Tierr, su distnci más cercn l superficie terrestre es de 300 km, llmdo perigeo; l más lejn de 500 km, pogeo. Encontrr l ecentricidd de l órit. ii. Cundo un plnet está más lejos del Sol se llm felio cundo está más próimo se llm perihelio. Si el felio de l Tierr es de km (por el 4 de julio) el perihelio de km (por el 4 de enero), determine l distnci ínter focl (un foco es el Sol el otro es imginrio, el felio el perihelio son los vértices de l elipse generd). Determine el tmño del eje mor sí como el del eje menor. Si el diámetro del Sol es de km, el foco imginrio qued dentro o fuer del Sol? iii. Demuestre que el felio Q = (1 + e) el perihelio P = (1 e). 30

31 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 3) Deduzc l fórmul (4.5) pr el ldo recto. Sig el procedimiento plicdo en el cso prticulr, pero poniendo los prámetros en form generl. Pr ello, oteng l el ldo recto será el dole de l. F 1 -l c F l 4) Constru un elipse mrque tres puntos de ell, que no sen los vértices. Con regl compás, trce ls rects tngentes en cd uno de los puntos (pong los trzos uilires mu ligeros pr que no se fee el diujo). 5) Utilizndo l fórmul de distnci entre dos puntos, muestre que los puntos: A (-5, 0), B (5, 0), C (-3, 16/5), D (-3, -16/5); son puntos de un elipse cuos focos son F 1 (-3, 0) F (3,0). 6) L ecución de l elipse tmién puede otenerse prtir de l fórmul de distnci entre dos puntos. Como un ejercicio lgerico, oteng l ecución de l elipse centrd en el origen con eje mor prlelo l eje. Considere: los focos (0, -c) (0, c); con el eje mor. Como se cumple d(f 1, P) + d(f,p)=, l utilizr l fórmul de distnci entre dos puntos, result 0 c 0 c Despeje uno de los términos que lleve l ríz cudrd, eleve l cudrdo mos ldos de l iguldd. Al simplificr qued por desgrci un término con l ríz cudrd, despéjel eleve l cudrdo nuevmente. Simplifique utilice l relción pitgóric pr otener l ecución conocid 1. 7) Ls siguientes elipses tienen su centro en el origen, determine todos sus prámetros, l ecución ordinri, todos los puntos notles, su ecución generl, su gráfic; de modo que stisfgn ls siguientes condiciones: i. Vértice (-4, 0) foco (,0). ii. Foco en (0, -4) con eje mor igul 10. iii. Vértice mor (10, 0) e = 0.6. iv. Vértice menor (0, -6) l.r. = 8. v. Foco (5, 0) F P F P vi. Foco (0, 10.5) ps por (1, -5.5). vii. Vértice menor (0, ) eje mor = 6. viii. Vértice mor (0, 3) vértice menor (, 0). i. Vértice menor (3, 0) c = 3.. Vértice mor (4, 0) l.r. = 4. 31

32 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 8) Anlice ls siguientes elipses (hllr todos sus elementos), que stisfcen ls siguientes condiciones: i. Centro (0, 1), foco (3, 1) Vértice (5, 1). ii. Vértices (, 6), (7, 10) (7, ) (1, 6). iii. Vértices mores (5, ) (5, -6), con eje menor = 4. iv. Centro (0. 6), foco (0, 0) ecentricidd = v. 1. viii vi. 1. i vii ) Discut ls siguientes ecuciones cudrátics (nlice). i vi ii iii iv v ) Grfique l región dd por: i ii vii viii i ) Construcciones. Los rcos elípticos se utilizn en ls construcciones sólids rígids con economí de mteril, como en puentes, óveds u otrs estructurs. i. L óved del techo de un recinto tiene l form de un semi-elipse de revolución. Ls predes tienen un ltur de 1.5 m l distnci entre ells es de 10 m. L ltur mor entre el techo el piso es de 3.7 m que distnci de ls predes deen siturse dos persons pr conversr en voz j se escuchen ún sin estr junt? Considere que sus cezs están en los focos de l elipse o mu cercno ellos. ii. Un rco de 80 m de luz tiene form semi-elíptic. Siendo que su ltur es de 30 metros, hllr l ltur del rco en un punto situdo 15 metros del centro. 3

33 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 1) Encontrr l ecución de ls siguientes circunferencis: i. Centro en (, 3) rdio 5. ii. Rdio 7 centro en (-3, -). iii. Centro en (-1, ) ps por el punto(5, ). iv. Ps por el punto (-1, 0) centro en (0, -4). v. Los puntos etremos de un diámetro son (3, 6) (-5, ). vi. Es tngente los ejes de coordends de rdio 3, en el primer cudrnte. vii. Centro en (4, 5) es tngente l rect 3-4 = 0. viii. Centro en (3, 0) es tngente l rect -3-1 = 0. i. Ps por el punto (, -3), el centro se encuentr en l intersección de ls rects: = = 0.. Ps por l intersección de = = 0, centro en (-3/, 0) 13) Encuentre el rdio ls coordends del centro de cd un de ls circunferencis dds:: i vi ii iii iv v vii viii i ) Compruee que l circunferenci 6 6 0, es concéntric con ) Un cuerd de l circunferenci 16 0 está sore l rect = + 4. Determine l longitud de l cuerd. 16) Encuentre l ecución de l circunferenci que ps por los puntos: i. (4, -5), (6, 1) (0, 3). ii. (-5, ), (1, ) (3, 0). 17) Muestre que l circunferenci tiene dos puntos en común con l elipse ) Grfique l región solución de ls desigulddes: i iii. ii

34 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Emen de l unidd. 1) Escri l definición de: ) Elipse. ) Ldo recto. c) Eje mor. d) Ecentricidd. ) Escri l ecución de l circunferenci en su form ordinri e indique lo que signific cd prte. 3) Determine l ecución de l elipse con centro en (6,1), un foco el punto (9, 1) vértice el punto (11, 1). Constru su gráfic. 4) Constru l gráfic de l ecución: = 0. 5) Constru l gráfic de l ecución: = 0 34

35 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Unidd 4. 1) En ls circunferencis concéntrics, los focos estrán en el centro de cd serie. L distnci focl mide 8 uniddes. Eje mor pr e = 0.8 es de 10. Eje mor pr e = 0.4 es de 0. Nótese, entre menor se l ecentricidd, l elipse es más redond. ) i) e = 0.5 ii) Distnci focl = km Eje mor = km Eje menor = km El foco imginrio está fuer del Sol. 5) Los puntos cumplen con l relción geométric, ecución (4.1), en donde = 10. 7) i) 4 c, l. r. 6, ii) 5, 3, e 0. 6, iii) 10, 8, l. r. 1.8, iv) 6, 4, e 3, v) 7, c 5, 48 l.r., vi) 1, 16, e, vii) 3,, e 5, viii) 3,, e 5, i) 3, c 3, e , 18 0 ) 4, 8, e,

36 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 8) i) C ( 01, ), 5, 4, ii) C (7,6), 5, 4, iii) C (5, ), 4,, iv) C ( 0, 6 ), 10, 8, v) C ( 1, ), 3,, vi) C (, ), 5, 14, vii) C ( 0, 0 ), 5, 8, viii) C ( 3, 1), 3, 1, i) C (, 4 ), 8, 1, ) C (,1), 10, 3, ) i) C. 4, 6,, elipsehorizontl ii) C0, 0, 4, 8, elipsehorizontl iii) C 1,0, 3,, elipse verticl. iv) C. 1, 0, 0, esunpunto. v) C3. 1, 5 i, i, elipseimginri. vi) C 8, 9, 0, 0, esunpunto. vii) C0,0, i, 3 i, elipseimginri. viii) C 1,1, 3,, elipse verticl. i) C 1, 1, 3,, elipsehorizontl ) C1, 1,, 3, elipseverticl. 10) i) ii) ) Aproimdmente: i) medio metro. Ii) 7.81 metros. 36

37 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins 1) Ls ecuciones generles son: i ii iii iv v vi vii viii i ) El centro el rdio son: i. C(, 3), r 1. ii. C( 0, 0 ), r 3. iii. C ( 0, 5 ), 3 r. iv. C ( 1,0), 4 r 3. 4 v. C ( 3,), r. vi. C (, 3), r 0. vii. C ( 1, 3 ), r viii. C ( 3,1), r i. C( 3, 1 ), r i C 0, 7, r ) Tienen el mismo centro, C (1, 3). 15) Longitud 4. 16) i) ii) ) L circunferenci está inscrit l elipse. Puntos comunes (-1, 1) (-1, 5). 18) i) ii) iii)

38 Unidd 4 Elipse circunferenci, sus ecuciones crtesins Respuest del emen. 1) Escri l definición de: ) Elipse, es el lugr geométrico de todos los puntos cu sum de distncis dos puntos fijos es igul un constnte. ) Ldo recto, es l cuerd en un elipse que ps por un foco es perpendiculr l eje mor. c) Eje mor, es l cuerd de mor tmño en un elipse. d) Ecentricidd, es l rzón de l distnci focl l eje mor. ) Escri l ecución de l circunferenci en su form estándr e indique lo que signific cd prte. h k r Donde: (, ) son ls coordends de cd punto de l circunferenci. (h, k) son ls coordends del centro de l circunferenci. r es el rdio de l circunferenci. 3) Determine l ecución de l elipse con centro en (6,1), un foco el punto (9, 1) vértice el punto (11, 1). Constru su gráfic. Ecución: c CF CV Elipse con eje mor horizontl ) Constru l gráfic de l ecución: = Es circunferenci: C (, -) r = ) Constru l gráfic de l ecución: = Es elipse verticl: C (, -), = =