Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias Básicas Física para ciencias de la vida y la salud

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1 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud AÁLISIS GRÁFICO DE DATOS EXPERIMETALES OBJETIVO: Representar gráfcamente datos expermentales. Ajustar curvas a datos expermentales. Establecer un crtero para el análss de grafcas de datos expermentales de acuerdo a la curva obtenda. METODOLOGIA Resuelve el taller en casa y en la próxma sesón se aclararan las dudas correspondentes con la respectva evaluacón. ITRODUCCIÓ En el estudo de fenómenos físcos, muchas veces se desea medr una cantdad físca de un sstema bajo certas condcones. Es decr, encontrar la expresón matemátca que relacona dos o más varables dentro de un sstema. Para resolver esta stuacón se puede proceder de la sguente forma: Se acondcona el montaje, de tal forma que se puedan varar dos cantdades escogdas mentras las demás permanecen constantes. Mentras se varía la una, se observa como camba la otra y se regstra cada par de datos. Se realza una grafca. Se encuentra la ecuacón que mejor se ajusta a los datos expermentales. Se analzan las constantes que aparecen en la ecuacón para determnar las característcas físcas del sstema estudado. Se escrbe la expresón general que relacona las dos varables físcas estudadas. Se prueba la ecuacón mdendo a través de ella algunos valores y se comprueba expermentalmente su concordanca. Para el análss de las constantes que aparecen, se debe tener en cuenta que unas tenen relacón con lo que permanecó constante en nuestro expermento y otras con las condcones ncales. Tambén es necesaro realzar un análss dmensonal de las constantes para saber su sgnfcado físco. AJUSTE DE CURVAS A DATOS EXPERIMETALES Ajustar una curva, es aproxmar una funcón f(x) a un conjunto de datos expermentales dado (x,y),... La funcón f(x) elegda para ajustarse a los datos debe tener certo número de coefcentes que hay que determnar. Escrto por: Alberto Patño Vanegas

2 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud MÉTODO DE MÍIMOS CUADRADOS Este método para determnar los coefcentes, se basa en la mnmzacón de las dscrepancas entre f(x) y los puntos de datos (x,y). r = y f x ) : Desvacón de la funcón elegda respecto a cada uno de los datos. R = r ( : Suma del cuadrado de las desvacones. R = 0 : Condcón de mnmzacón de las dscrepancas para encontrar los coefcentes C j. c j Aplcaremos el método de mínmos cuadrados para ajustar datos expermentales a stuacones que más se presentan en el estudo de fenómenos físcos: CASO : DATOS QUE SE AJUSTA A UA LIEA RECTA DE LA FORMA y = mx +b S la funcón que ajusta el conjunto de datos (x, y) es lneal, es decr, de la forma y = mx +b, entonces, la condcón de mnmzacón de las dscrepancas permte encontrar los coefcentes m (pendente) y b (corte con el eje y) por las sguentes formulas: D AB CB AD m = y b = () E E A = x = y Donde es el número de datos,,, C,, B = x D = x y E = C A Ejemplo : Los sguentes datos se regstraron del movmento de un objeto con velocdad constante: Al aplcar las formulas () se obtene: t(s) x (cm.) =, A = t = 0.5, B = x = 30. 4, C = t =. 75, D = t x =. 35, E =. 5 Para calcular fnalmente: m =.09cm/ s b =.4cm Escrto por: Alberto Patño Vanegas

3 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 3 Fgura. La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los datos expermentales queda (ver fgura ): x =.09t +.4 (x en cm y t en s) Ésta expresón permte encontrar la dstanca recorrda (x) del objeto estudado para cualquer tempo (t). Para saber por ejemplo la dstanca recorrda al cabo de 0s, se remplaza t =0s y se obtene x =.3cm. Por las undades (cm./s), la pendente representa la velocdad constante del objeto (v =.09cm/s) y el corte con el eje vertcal las condcones ncales (t = 0, x =.4cm), es decr, cuando se comenzó a contar el tempo el objeto ya había recorrdo.4cm. Entonces, la expresón general para calcular la dstanca recorrda (x) al cabo de un tempo (t) de un objeto que se mueve con velocdad constante (v) y parte de la poscón ncal (x o ), se puede escrbr: x = vt + x o CASO : DATOS QUE SE AJUSTA A UA LIEA RECTA DE LA FORMA y = mx. Para este caso, la expresón para calcular la pendente se reduce a: m = x x y () Ejemplo : Los sguentes datos se regstraron de la deformacón de un resorte desde su poscón de equlbro al someterse a una fuerza. x(cm) F() Al aplcar la formula () se obtene: m = x F x = 0.5 / cm Escrto por: Alberto Patño Vanegas

4 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 4 Fgura 3. La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los datos expermentales queda (ver fgura 3): F = 0. 5 x (x en cm y F en ) Ésta expresón permte encontrar la fuerza (F) que se ejerce sobre el resorte estudado para cualquer deformacón (x) que sufre. Para saber por ejemplo la fuerza que deforma el resorte 8cm, se remplaza x =8cm y se obtene F = 4.. Por las undades (/cm), la pendente representa la constante de elastcdad del resorte (K= 0.5/cm). Entonces, la expresón general para calcular la Fuerza (F) que deforma a un resorte de constante de elastcdad (K) una cantdad (x) desde su poscón de equlbro se puede escrbr: F = Kx CASO 3: DATOS QUE SE AJUSTA A UA CURVA DE FORMA COOCIDA. Las fórmulas () y () sólo funconan cuando los datos se ajustan a una línea recta. Cuando al grafcar los datos no resulta una línea recta, pero por el fenómeno se sabe cual es su forma, en este caso, es necesaro realzar un cambo de varables (alguna operacón matemátca con los datos), de tal forma que al grafcar los nuevos datos estos se ajusten a una línea recta (lnealzacón) y así poder aplcar el método de mínmos cuadrados. Algunos de las stuacones que más se presentan son: CASO 3.: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = kx (cuadrátca) Para este caso se observa drectamente que se lnealza con el sguente cambo de varables: X = x (3) y al grafcar y X se obtene una recta de la forma: y = kx (4) Donde el valor de k se calcula con la formula (). Ejemplo 3: Los sguentes datos corresponden al movmento de un objeto en caída lbre cerca de la superfce terrestre: Al grafcar se obtene: t (s) h (cm.) Escrto por: Alberto Patño Vanegas

5 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 5 Fgura 4. Observamos que la ecuacón de la grafca es de la forma h = kt. Al realzar el cambo de varable (T = t ) se obtene la nueva tabla de datos: T = t (s ) h (cm.) Los cuales se ajustan a una línea recta de la forma h = kt como lo muestra la fgura 5. Fgura 5. Aplcando el método de mínmos cuadrados (formula ) a la nueva tabla se obtene: k = T h T = 4.89m / s La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los nuevos datos expermentales queda (ver fgura 5): h = 4. 89T Escrto por: Alberto Patño Vanegas

6 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud Fgura. Luego, la ecuacón de la curva que mejor se ajusta a los datos expermentales orgnales es (ver fgura ): h = 4.89t (h en m y t en s) Ésta expresón permte encontrar la altura de caída (h) del objeto estudado para cualquer tempo (t) que tarde en caer. Para saber por ejemplo la altura de la cual cayó s se tardó 0s, se remplaza t =0s y se obtene h = m. CASO 3.: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = y o e λx (exponencal) Al aplcar logartmo natural obtenemos: Lny = λ x + ln y o (5) Observamos que al realzar el cambo de varables Y = Lny la grafca de Y x es una línea recta de la forma: Y = mx + b () Donde los valores de m y b se calculan con ayuda de las expresones (). Para el cálculo de las constantes λ y y o, se comparan las expresones (5) y () así: λ = m (7) b y o = e Ejemplo 4: En una muestra con trazadores, la radactvdad total de una muestra vegetal varaba con el tempo como lo ndca la sguente tabla: t (h) I (número/mn.) Al grafcar se obtene: Escrto por: Alberto Patño Vanegas

7 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 7 Fgura 7. λt Observamos que la ecuacón de la grafca es de la forma I = I o e Al realzar el cambo de varable (Y = LnI ) se obtene la nueva tabla de datos: t Y = LnI Los cuales se ajustan a una línea recta como lo muestra la fgura 8. Fgura 8. Aplcando el método de mínmos cuadrados (formula ) a la nueva tabla se obtene: m = b = 4.7 La ecuacón de la recta que mejor se ajusta a los nuevos datos expermentales queda (ver fgura 8): LnI = 0.05t Los valores de las constantes son: λ = m = 0.05 I o = e b = 08 Escrto por: Alberto Patño Vanegas

8 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 8 Fgura 9. Luego, la ecuacón de la curva que mejor se ajusta a los datos expermentales orgnales es (ver fgura 9): t I = 08e 0.05 (I en numero/mn. y t en horas) Ésta expresón permte encontrar en cuanto ha decaído la radactvdad total (I) de la muestra vegetal en estudo para cualquer tempo (t). Para saber por ejemplo la radactvdad total al cabo de 50h, se remplaza t =50h y se obtene I = 0 numero/mn. n CASO 3.3: Datos que se ajustan a una curva de la forma y = kx Al aplcar logartmo natural obtenemos: Lny = nlnx + ln k (8) Observamos que al realzar el cambo de varables Y = Lny y X = Lnx la grafca de Y X es una línea recta de la forma: Y = mx + b (9) Donde los valores de m y b se calculan con ayuda de las expresones (). Para el cálculo de las constantes n y k, se comparan las expresones (8) y (9) así: n = m (0) b k = e En general sempre es posble encontrar el cambo de varables adecuado sempre y cuando se conozca la forma de la expresón que relacona las varables. Por ejemplo, la fuerza entre cargas electrostátcas está descrta por: qq F = 4πε o r Donde F y r son varables meddas para q y q fjas y conocdas. Cómo encontrar la constante ε o? Para ello, se realza una gráfca de F contra /r para lnealzar los datos y la pendente (m) de la gráfca corresponde a qq m = 4πε De la cual se obtene ε o. o Escrto por: Alberto Patño Vanegas

9 Unversdad de Pamplona Facultad de Cencas Báscas Físca para cencas de la vda y la salud 9 TALLER. En certo movmento de un cuerpo bajo la accón de una fuerza, el desplazamento x y el tempo t se dan en la sguente tabla. t (seg) x (m) 4, 0,0 7,9 8, 40,0 53,8 3.. Dbujar la gráfca de x en funcón de t. 3.. Se sabe que la ecuacón de este movmento se da por x = / a.t + y 0. Deducr gráfcamente las constantes a y y Encuentre cuanto habrá recorrdo el objeto al cabo de un mnuto. 4. Se aplca una fuerza constante F a un carrto de masa m y se mde su aceleracón a del movmento producdo. Se repte el procedmento para otros valores de masa mantenendo sempre la msma fuerza. Los resultados se consgnan en la sguente tabla. m (Kg) a (m/seg ) 4,30 3,7 8,5,30 4,90 4,5 4.. Dbujar la gráfca a en funcón de m. 4.. Se sabe que F = m.a. Deducr gráfcamente la constante F Encuentre la aceleracón cuando la masa del carrto es de 00Kg. 5. El rtmo al cual las moléculas de agua pasan por osmoss a través de una membrana sempermeable desde un recpente de agua pura a otro con una dsolucón de azúcar puede medrse utlzando el marcado radactvo de algunas de las moléculas de agua. El rtmo (r) a que se mueven las moléculas de agua a través de la membrana vene dado en funcón del tempo (t) en la sguente tabla: r(undades arbtraras) t (h) Represéntese los resultados en una gráfca. λt 5.. Admtendo que la curva sgue una relacón de la forma r = r o e, determínese por el método de mínmos cuadrados los valores de λ y ro A qué rtmo se moverían las moléculas de agua por la membrana en estudo al cabo de 0h.. Las sguentes medcones se efectuaron durante una nvestgacón de fenómenos para los cuales no hay modelos dsponbles. En cada caso:.. Grafque los datos... Identfque una funcón adecuada de acuerdo a la forma de la gráfca y calcule sus constantes por el método de mínmos cuadrados. v x y Escrto por: Alberto Patño Vanegas