EJERCICIOS DE INTEGRAL DOBLE PROPUESTOS EN EXÁMENES

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1 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: º) Obtener el lor de l integrl doble I ( y)( x y) R x dxdy efectndo el sigiente cmbio de rible: x ; y, siendo R l región del plno limitd por ls ctro sigientes rects: x y ; x y ; x y ; x y (Septiembre, ex. or) Solción.- x y y x y, lego el recinto R está limitdo por, ;,. ( x, y) El jcobino I dd d d (, ) R 5 º) Clclr el olmen qe determin l fnción f (x, y) x y sobre el recinto A {(x, y) / x y, x,y } (Septiembre, ex. res.) Volmen xydxdy (cmbindo polres) A ρ cos θsenθdθ ρ cos θ 5. 8 R º) Dd l integrl doble A ( x y ) 5 ρ d dxdy donde R es l región comprendid entre x y y x y 9 Se pide º Resoler l menciond integrl doble efectndo necesrimente n cmbio de ribles coordends polres º Dibjr el recinto en qe se trnsform el recinto inicil R cndo se efectú l trnsformción coordends polres (Enero, ex. or.) Solción: º) x ρcosθ y ρsenθ ρ θ J ρ A dθ ρ dρ ρ dρ º) ρ En coordends crtesins En coordends polres θ /

2 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) x x y dxdy R º) Dd l integrl doble A ( ) e-mil: donde R es el primer cdrnte definido por l ección x y. Se pide º Resoler l menciond integrl doble efectndo necesrimente n cmbio de ribles coordends polres º Dibjr el recinto en qe se trnsform el recinto inicil R cndo se efectú l trnsformción coordends polres (Enero, ex. res) Solción: ρ º) x ρcosθ} J ρ A ρdρ cosθdθ yρsenθ θ ρ º) En coordends crtesins 5º) Obtener el lor de l integrl doble I R θ En coordends polres xy dxdy Siendo R l región del plno definid por los tres értices: A(,) ; B(,) ; C(,) (Septiembre, ex. res) Solción.- C A B - - x x I xdx y y dy x dx 5 x x x x x x dx dx º) Utilizndo necesrimente coordends polres, en todo el desrrollo, clclr cles serán tnto los límites de integrción, como l expresión de l fnción sbintegrl, en l sigiente integrl qe inicilmente prece en coordends crtesins: ( x, y) I dx f dy (Septiembre, ex. res) Solción.- El recinto de integrción es el cdrdo de értices (,), (,), (,) y (,). /

3 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: Consideremos los dos triánglos en qe es diidido por l digonl qe ne (,) y (,): senβ (,) (,) β α (,) (,) cosα En el primer triánglo, θ y ρ θ y ρ I / dθ. Lego l integrl qedrí: senθ / cos θ ρf ; en el segndo triánglo, cosθ / / senθ ( ρcosθ, ρsenθ) dρ dθ ρf ( ρcosθ, ρsenθ) 7º) Utilizndo necesrimente coordends cilíndrics, en todo el desrrollo, y siendo R el cilindro de bse el circlo de rdio (centrdo en el origen de coordends) y de ltr, clclr el lor de l sigiente integrl qe inicilmente prece en coordends crtesins: dxdydz R Not: Ls coordends cilíndrics de n pnto (x,y,z) son (r,α,z). Siendo (r,α) ls coordends polres de (x,y) (Enero 5) Solción.- L trnsformción de coordends crtesins cilíndrics iene dd por ls x r cos α ecciones: y rsenα cyo jcobino le r. El cilindro R iene determindo por r ; z z α ; z. Lego l integrl serí: r rdr dα dz 8º) Clclr el áre de l región del plno limitd por ls desiglddes: x y 6 x y 8 x y 6 x y 6 x y Pr ello h de efectr, necesrimente, el cmbio de ribles: x y Así mismo, dibje cl será el neo recinto R en ls nes ribles (,) (En 5-ª) Solción.- El recito R se trnsform en 6; 6; 6 ; 8. Despejndo x e y de ls x ecciones del cmbio de rible: cyo jcobino J y 6 6 / dρ 6 6. Lego el /

4 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: 6 8 áre pedid es: d d 6 6 El recinto R es n rectánglo:. 9º) (Sep 5- or) r α Solción.- ) El recinto en coordends polres serí qe se trt de n rectánglo en nos ejes (r, α): α r α o eqilentemente ( ) ) L integrl qed: α dα r d r senr dr (por prtes) [ ] r cosr cos r dr α d /

5 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: x y y º) Resoler l integrl doble A x e R dxdy efectndo el sigiente cmbio de rible: y x x y Asimismo R es l región del primer cdrnte limitd por l rect x y. (Sep 5. Res) Solción.- El dominio R cy representción gráfic podemos er l derech, pede expresrse: y x x Despejndo x e y del cmbio propesto: con lo qe el recinto R se conierte en: y cy representción es: El lor bsolto del jcobino es : bs A d e d d º) (Feb 6 ª) e (por prtes) [ ], de donde l integrl qed: e e d e e e. Solción.- El recinto, representdo en ls coordends (x, y) y en ls coordends (, ) 5/

6 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: En coordends (x, y) En coordends (, ) es n recinto ilimitdo, comprendido entre dos prlels. L integrl es infinito. Pede ser qe hy n error en el enncido y qe donde pone y, deb poner x. En ese cso los recintos respectimente son: En coordends (x, y) En coordends (, ) Del cmbio propesto se dedce : x y el jcobino: J ; demás x y, de donde l integrl: y d ( ) d d d 8 º) (Sep 6. Or) Solción.- Efectdo el cmbio de ribles, ls crs se conierten respectimente en:,,,, con lo qe los recintos A y A son: 6/

7 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: Recinto A Recinto A El áre pedid pede clclrse medinte l integrl doble de l fnción f(x, y) en el recinto A. Efectndo el cmbio de rible, será: ( x, y) ( x, y) Áre dxdy dd d d ( ) A A', (,) Pr clclr el jcobino, despejmos x e y del cmbio de ribles, qedndo x y, de donde º) (Sep 6 Res) ( x, y) (, ). Lego el áre es d d 6 Solción.- Efectdo el cmbio de ribles, ls crs se conierten respectimente en:,,,, con lo qe los recintos A y A son: Recinto A Recinto A El áre pedid pede clclrse medinte l integrl doble de l fnción f(x, y) en el recinto A. Efectndo el cmbio de rible, será: 7/

8 x y UNED. ELCHE. TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) ( x, y) (,) ( x, y) (,) e-mil: Áre dxdy dd d A A' d Pr clclr el jcobino, despejmos x e y del cmbio de ribles, qedndo ( x, y), de donde. (, ) Lego el áre es ln d d º) Ls coordends esférics de n pnto (x, y, z) son (ρ, α, ψ). se pide: ) Expresr ls relciones de ls coordends crtesins (x, y, z) en fnción de ls esférics ) Clclr el Jcobino de l trnsformción de ls coordends crtesins en fnción de ls esférics ) Clclr el olmen de n esfer de rdio r, medinte el cmbio de ribles coordends esférics. (En 7 or) Solción.- ) ) ( x, y,z) ( ρ, α, ϕ) cosαcosψ senα cosψ senψ x ρcosψ cosα y ρcosψsenα z ρsenψ ρsenα cosψ ρcosαcosψ ρcosαsenψ ρsenαsenψ ρ cosψ ρcosψ ) V 8 R dxdydz, donde R es el recinto {(x, y, z) / x y z r, x, y, z }. Efectndo el cmbio coordends esférics, serí: r V 8 [ ] [ ] ρ dρ dα cosψdψ 8 α senψ r ρ r Solción.- En coordends polres, x ρcosα, y ρsenα, y sbemos qe el lor del jcobino es ρ. Pr determinr el recinto de integrción en coordends polres, obseremos qe x y 9 y x y 9 son ls circnferencis de rdios 7 y respectimente, mientrs qe ls 8/

9 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: rects y x e y x tienen por pendientes y, con lo qe ss inclinciones son rc tg y rc tg, respectimente. Así pes, el recinto de integrción es: ρ 7 ; θ L integrl qedrá: ο 7 7 ρ ρ dρ cos xsenxdx [ sen x] 5 Solción.- x Efectdo el cmbio de ribles, siendo y ls desiglddes ; ; ; el recinto estrí determindo por Recinto R El jcobino de l trnsformción: ( x, y ) (, ). L integrl serí: dd ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) Recinto S. L expresión z () ( ) ( ) d (simplificndo) 9/

10 UNED. ELCHE. e-mil: TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) d Solción.- Efectdo el cmbio de ribles, ls rects se conierten respectimente en:, e,,, con lo qe los recintos R y R son: Recinto R Recinto R x Despejmos x e y del cmbio de ribles, qedndo, de donde y. Lego I e e dd e dd e d d ( e ) e R ' R ' ( x, y) (,) /

11 TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) e-mil: Solción.- x r cos α Efectmos el cmbio con lo qe el recinto de integrción se conierte en y rsenα b ( x, y) el círclo r. El jcobino de l trnsformción: cos α rsenα br. Lego l r, α) bsenα br cos α integrl qed: ( cos α brsenα ) brdrdα b r r r r cos α b senα dα b b cos bsen d 6 6 ( α α ) α [ senα b cos α α] b 9º) (9 En.- or) Solción.- ) Ls ecciones x y y x y 9 son de ls circnferencis de centro (, ) y rdios y respectimente. Ls ecciones x y y x y son de ls hipérbols eqiláters de centro (, ), síntots y ±x y értices respectios (, ) y (, ) (pr x > ). Efectdo el cmbio de ribles, el recinto está limitdo por ls ecciones:, 9,, Gráficmente: /

12 e-mil: TUTORÍA DE MATEMÁTICAS III (º A.D.E.) / ) De ls ecciones del cmbio y x y x despejmos x e y: y x de donde el lor bsolto del jcobino de l trnsformción: ( ) ( ).bs., y x, Así pes, l integrl serí: I ( )( ) dd 8 dd 9 9

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