PREPARADOR DE CALCULO 11

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1 3 PREPARADOR DE CALCULO

2 3 ÁREA: Matemáticas ASIGNATURA: Cálculo INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas TEMA: Conjuntos Definición: Intuitivamente, un conjunto es una colección o clase de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas y su representación gráfica se realiza a través de diagramas o encerrando sus elementos entre llaves. Ejemplo:, A,,3,4,5 A=a b, c, d DETERMINACION DE CONJUNTOS Para determinar o identificar un conjunto existen dos maneras: Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto. Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y común que tienen los elementos de un conjunto. Ejemplo: por extensión A B,,3, 4,5,6,7,8,9, 3,5,7,9,,3,... Por comprensión: DIAGRAMA DE VENN A los números dígitos B x / x n Ejercicios Determinar por extensión y por comprensión cada uno de los siguientes conjuntos. REPRESENTACION GEOMÉTRICA a. El conjunto de los números primos menores que 35 b. El conjunto de los cuadrados perfectos menores que c. El conjunto de los números impares menores que 3

3 3 ACTIVIDAD Determinar por extensión los siguientes conjuntos.. x / x 3. x / x6 3. x / x x / x es primo, y x 9 5. x / 3 x 6. x / x 7. x / x 8. x / x 3 Determinar por comprensión cada conjunto. 9. A, 4,6,8,,,.... B. C, 4,9,6,5,36,.... D 3. E,3,5,7,9, C,5,,7, 6,37, D,,,, El conjunto base es en este caso el conjunto de los números naturales, y hay varias operaciones, como por ejemplo la suma. Si operamos mediante la suma al y al 3, obtendremos el número +3=5. Estudiar un álgebra significa estudiar las *propiedades de las operaciones. Por ejemplo, para el caso anterior, sabemos que una propiedad fundamental de la suma es la conmutatividad: x, y x y y x Para todos. Intersección entre conjunto Se llama intersección entre dos conjunto A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen simultáneamente a A y B. se representa A B. A B x / x A x B Simbólicamente En el diagrama de Venn se tiene: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Intuitivamente un álgebra es una estructura en donde ciertos objetos de un conjunto base se combinan por medio de distintas operaciones para formar elementos del mismo conjunto base. Tome, por ejemplo, la estructura de los números naturales. si el conjunto A B es vacío, se dice que A y B son disyuntos. Se simboliza A B

4 3 Unión entre conjunto Se llama unión entre dos conjunto A y B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. se representa AUB. AUB x / x A x B Simbólicamente En el diagrama de Venn se tiene: Ejercicios. Sean los conjuntos / 4 5, / 6 A x x B x x C x / x, D x / 4 x, Hallar y representar en un diagrama de Venn. Luego, determinar la relación que existe entre ellos.. sea B x x /. hallar un conjunto A que cumpla la condición dada. a. A B=B con A B b. A B=A c. A B d. A B=A=B Ejemplo Dados los conjuntos A x / x esun multiplo de3 x 5 y B x / x esun multiplo de 5 x 36 Hallar AUB y hacer la representación en un diagrama de Venn. Solución Determinamos por extensión los conjuntos A y B A 3, 6,9, y B, 4,36 3, 6,9,, 4,36 luego AUB

5 Diferencia entre conjunto La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B se representa A B Simbólicamente A B x / x A xb En general A B B A ya que B A x / x B x A B A Diferencia simétrica La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a AUB y no pertenecen A B. Se representa A B Sean A x / x, x es un número par x 5 B x / x, x 6 Simbólicamente AUB A B A BU B A AB Hallar AB y B Ay representar cada operación en un diagrama de Venn. A B

6 x 4 por tan to x 6 Luego x=6 de esta forma se halla cada una de las preguntas. Ejemplo Ejemplo En una encuesta realizada a un grupo de 4 estudiantes a cerca de la asignatura de su preferencia se encontró que: 63 gustan de las matemáticas, 54 de la física y 48 de la química; 3 gustan de la matemática y la física, 5 de la física y la química, 6 de la matemática y la química;8 estudiantes no gustan de las tres asignatura. Cuántos ESTUDIANTES gustan de las tres asignaturas? 3x- x x+ 4x-4 Solución Se utiliza el diagrama de Venn para visualizar las ecuaciones. TALLER DE EJERCITACION Determinar por extensión cada conjunto. A partir del diagrama y teniendo en cuenta que nu 6. Hallar:. nb. n AUB 3. n A 4. n A B Como nu 6 y nu 3x x 4x 4 x entonces Considerar el ejercicio como conjunto universal.. U x / x, 3 x. A x / x,3 x 3. B x / x, x x 8 4. x / x, x 4 Teniendo en cuenta los conjuntos anteriores, escribir los elementos correspondientes en cada expresión.

7 3 5. AUB 6. BUC 7. B C 8. C A 9. A B. B A.. 3. A B BUC 4. A C 5. CUA 6. A B 7. B C 8. A B 8. B C Determinar cuáles afirmaciones son verdaderas. Justificar cada respuesta. 9.. si a A A B si A B A B A.. si A B B A si A B A B A 3. si A B A B B 4. si A B A B 5. si B C y x B x C 6. si A B A B A los conjuntos anteriores es que para cada uno de ellos se puede encontrar una expresión decimal. A partir de la solución de la ecuación a se encuentran los valores a, para los cuales no existe un cociente de números enteros de la forma a. Así, se dice b que, entre otros, para no se encuentra una expresión decimal finita o infinita periódica. Los números que poseen la anterior característica conforman el conjunto de los números irracionales, denotado con la letra I. algunos números irracionales son: NÚMEROS REALES Los conjuntos numéricos son los elementos iniciales con los cuales a lo largo de la historia se ha hecho matemáticas. El primer conjunto numérico generado, a partir de la necesidad de hacer conteo, fue N (en su notación actual) N N A medida que evolucionó el pensamiento humano, se fueron concibiendo otros conjuntos numéricos como los siguientes:,,3,4,5, , 3,,,... 4, 3,,,,,,,3,4,5,6,... N a / a, b, b b Una característica común de los elementos de, ,45... El conjunto de los números reales se forma a partir de la unión de los números racionales y los irracionales. Simbólicamente se tiene: Algunas características de los números reales son: A cada punto sobre la recta le corresponde un número real y viceversa Entre dos números reales siempre es posible encontrar otro número real (densidad)

8 3 es un conjunto ordenado Es importante aclarar que el intervalo, es equivalente al conjunto de los números DESIGUALDAD EN Infinitos Una desigualdad es una expresión de la forma a b, a b, a b, a bdonde a, b Intervalo Un intervalo es un subconjunto (no vacío) de los números reales. A continuación se muestran las clases de intervalos. DESIGUALDAD EN Operaciones entre intervalos: Dado dos intervalos A Y B es posible considerar las operaciones A B A B A B A B y A,,,. El conjunto universal será el conjunto de los números reales.

9 3 Ejemplos Dado los intervalos 3,3, 3,3,4 4,5 A B C D Hallar: a. AC b. B C c. B d. B C Solución: En primer lugar, se dibuja cada uno de los intervalos dados en la recta real, para luego efectuar de una manera más sencilla las operaciones propuestas. Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad en la cual intervienen una o más variables. Resolver una inecuación es hallar los valores de las variables que hacen verdadera la desigualdad. Al conjunto de las soluciones se le llama conjunto solución. Para hallar la solución de una inecuación es necesario tener en cuenta ciertas propiedades las cuales se presentan a continuación: En nuestro caso abordaremos las inecuaciones lineales, cuadráticas y racionales Sean a, b y c. Si a b y b c a c. Si a b a c b c y a c b c a b 3. Si a b y C a. c b. c y c c a b 4. Si a b y C a. c b. c y c c Inecuaciones lineales. Se procede aplicando las propiedades vistas y mediante la solución de ecuaciones lineales Como la intersección de dos conjuntos, corresponde al conjunto de elementos comunes, se deduce de las gráficas que: A C, 3 { x / x 3} Ejemplo. Hallar el conjunto solución de la inecuación x 3 7 Solución Usando las propiedades vistas se tiene que:

10 3 x 3 7 x x 4 x 4 x 4 x luego el conjunto solución es : /, S x x es decir Ejemplo. Hallar el conjunto solución de la inecuación x3 8 3x Solución Usando las propiedades vistas se tiene que: x3 8 3x x x x 5 3x x 3x 5 3x 3x 5x 5 5x 5 x 5 5 Luego la solución es: S x / x es decir, Ejemplo. Hallar el conjunto solución de la inecuación x3 83x 5 Solución Usando las propiedades vistas se tiene que: x 3 8 3x5 se trabaja dividiendo la inecuación en dos partes : x3 83x 5 Por tanto tenemos que solucionar dos inecuaciones parecidas a los ejemplos anteriores utilizando el conectivo lógico así: x 3 83x 83x 5 utilizando las propiedades se tiene : 5x 5 3x 7 7 x x 3 luego calculamos la operacion 7,, 3 Luego el conjunto solución es: 7 7 S x / x, 3 3 Inecuaciones cuadráticas Para la solución de este tipo de ecuaciones Se debe tener en cuenta los casos de factorización, la ecuación general y la ley de los signos en la multiplicación a. b a b a b a. b a b a b Ejemplo Hallar el conjunto solución de

11 3 x 5x3 Solucion Resolveremos por el método analítico Primero factorizamos: x 5x 3 x 5x3 x x 5 6 x6x x3x x 3 x luego setieneque x 5x 3 x 3 x x x x x a 3 x x caso caso a. b a b a b caso 3 x 3 x es decir :, 3, luego la solucion es : S b consideramos los dos casos caso 3 x 3 x es decir :,3, luego la solucion es : S,3 la solución general es : S S S,3,3 S,3

12 3 Método gráfico. Se traza una recta real por cada factor y una recta real adicional para el resultado. Se calculan las raíces contenidas en cada factor 3. Se ubican en cada recta real las respectivas raíces calculadas en el paso anterior 4. Se trazan rectas verticales por cada puntoraíz 5. A la izquierda de cada raíz ubicada en su respectiva recta, se señala con un signo menos y a la derecha con un signo más 6. Aplicando la "Ley de los signos" se halla el resultado de multiplicar los signos de cada columna, dicho resultado se escribe en el lugar correspondiente de la recta real de resultados 7. Si el sentido de la inecuación es >, la solución estará constituida por todos los intervalos, en la recta resultado, señalados con el signo más; en cambio si el sentido de la inecuación es <, la solución será la unión de los intervalos señalados con el signo menos Inecuaciones racionales Las inecuaciones racionales se resuelven teniendo en cuenta propiedades vistas en el caso anterior, teniendo además la restricción que tienen las ecuaciones de este tipo en el denominador: h x que g x f x gx, con la condición En nuestro caso se considera dos casos:. gx ( ). gx ( ) Que es lo mismo tener la restricción gx ( ) Ejemplo. Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación x x Solución x seconsideran dos casos x caso si x x x luego x x es decir :,, S caso si x x x luego x x es decir :,, S

13 3 Luego la solución es:,, S S S Ejemplo Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación x x Solución Se procede de la misma forma que el caso anterior considerando los dos casos caso si x Multiplicamos por este valor en ambos lados de la desigualdad x x x x x x luego se tiene : x x x x x x x x por el caso la solución es :,, caso si x En este caso también multiplicamos por este valor en ambos miembros de la desigualdad teniendo en cuenta que este número es negativo lo que deja dicho que la desigualdad cambia por propiedad vista anteriormente x x x x x x luego se tiene : x x x x x x x x,,, por el caso la solución es : luego la la solución es :,,, S S S S

14 3 PROBLEMAS DE APLICACIÓN. Un estudiante debe mantener un promedio numérico final en cinco exámenes de 8% a 89%, para obtener una nota final de B en el curso de cálculo. Si en los primeros cuatro exámenes obtuvo calificaciones de 96%, 7%, 8% y 95%, qué calificación deberá obtener en el examen final para obtener una nota de B? Solución: Dejemos que x x sea la calificación que debe obtener el estudiante en el examen final. Un promedio se busca sumando las notas y dividiendo entre el número de notas. Así, el promedio del estudiante se calculará de la siguiente manera: x Queremos que el 5 promedio final quede entre 8% y 9%, inclusive el 8. Luego, al simplificar la expresión anterior, tenemos: x x 8 9 luego se tiene : 5 34 x 5(8) 5 5(9) x x x 8 El resultado anterior significa que, el estudiante no puede sacar menos de 58% en el examen final si desea una calificación de B en dicho curso. Otras consecuencias del resultado anterior son que si obtiene una calificación menor de 58% en dicho examen final, su nota final será menos de B y que no hay modo de que el estudiante obtenga una nota final de A, pues x y el resultado obtenido implica que tendría que obtener una calificación mayor o igual a 8 para obtenerla.. La temperatura en escala Fahrenheit y Celsius (centígrados) están relacionados con la formula 5 C F 3 9 A qué temperatura Fahrenheit corresponderá una temperatura en escala centígrada que se encuentra 4 C 5 Solución: remplazando se tiene: F Resolviendo se tiene: F F F F F F F VALOR ABSOLUTO Se define de la siguiente forma: X x si x x si x

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