Solución: pasando a restar el término de la derecha de la inecuación y sacando MCD:

Transcripción

1 . Resolver la inecuación: Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a, tenemos lo siguiente: Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos: Entonces obtenemos el primer conjunto solución: Cs ], [ [, [ Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: Cs ], [ La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: Cs Cs Cs [, [ T Resolver la siguiente inecuación: Solución: pasando a restar el término de la derecha de la inecuación sacando MCD: Nuevamente factorizando empleando el método de los puntos críticos para resolver la inecuación, obtenemos: El conjunto solución de la inecuación es: Cs ], [ [0, [ Nota: no tomamos en cuenta el factor 4 en el análisis de puntos críticos a que presente soluciones en los complejos.. Hallar el conjunto solución: 5 Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a, tenemos lo siguiente: Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos: /6 -

2 9 Entonces obtenemos el primer conjunto solución: Cs ], ] ], [ /4 Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: Cs ], [ [, [ 4 9 La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: CsT Cs Cs ], ] [, [ Resolver la siguiente inecuación: 5 Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a b a b, luego multiplicando dividiendo en cruzado, tenemos: Llevando los términos en valor absoluto a uno solo: Empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a, tenemos lo siguiente: Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos: Entonces obtenemos el primer conjunto solución: Cs ], ] ], [ Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: Cs ], [ [, [ /7 La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: CsT Cs Cs ], ] [, [ 7 5. Resolver la inecuación: 0 Solución: pasando a restar uno de los términos simplificando, tenemos lo siguiente: 0 Al simplificar aparece la condición de, empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a

3 Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos: 0 Entonces obtenemos el primer conjunto solución: Cs [, [ Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: Cs ], 4] La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: CsT Cs Cs [, 4] Hallar el conjunto solución de: 6 5 Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a, tenemos lo siguiente: Resolviendo por el método de puntos críticos, para cada caso tenemos: Entonces obtenemos el primer conjunto solución: Cs ], ] Entonces obtenemos el segundo conjunto solución: Cs ],[ [, [ 9 5 La solución total de la inecuación esta dada por la intersección de: CsT Cs Cs [, ] - 5/ - 9/ 7. Dada la función f( ) la composición f g f ( ), hallar g ( ). Solución: llevando la composición a la siguiente notación, modificaciones para llegar a la segunda composición, se tiene. Notemos que f( ) f g f ( ) f g ( f ( )) entonces haciendo algunas f g ( f ( )), reemplazando en la anterior ecuación, se tiene: f g ( f ( )) f ( )

4 Componiendo la anterior ecuación en en lugar de f( ), se tiene: f g( )... A g( ) Ahora componiendo la función f( ) en g ( ), como se ve: f ( ) f ( g( )) f g( )... B g ( ) Igualando A B, se tiene: g( ) Si f( ) f g f ( ) 4 4, hallar g ( ) f g f ( ) f g ( f ( )) 4 Solución: llevando la composición de funciones a su otra notación: Pero notemos que f( ), entonces reemplazando en la anterior ecuación: ( ( )) ( ) 4 f g f f Componiendo la última función ( en lugar de f( ) ), se tiene: f g( )... A Ahora componiendo la función f( ) en ( ) 4 g ( ) f ( g( )) f g ( )... B g ( ) 4 g, se tiene: Igualando ecuaciones A B, se tiene: g ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 g g g g( ) 4 9. Si f ( ) g ( ), hallar f g Solución: componiendo f en, se tiene: ( ) ( ) f f f ( ) Componiendo la última función en g ( ), se tiene: g ( ) g ( ) f ( g ( )) f g... A Hallamos la función inversa, para ello despejamos de la siguiente ecuación, g( ) g ( )... B Reemplazando ecuación B en A, se tiene: f g f g Hallando f g en la anterior función: f g f g 4

5 sin 0. Si f g( ), g ( ) cos sec hallar f ( ). Solución: si g( ) cos realizando un cambio de variable aplicando identidades trigonométricas: sec sin arccos t cos t arccos t f g( t) cos arccos t De acuerdo con el cambio de variable, tenemos el siguiente triangulo rectángulo: t t t sin sin arccos sin arccos t t f g () t t cosarccos t t cos cosarccos f g () t t t. Si f ( ) m, determinar el valor de m de tal manera que f m f m ( ) ( ) Solución: hallando f( m), se tiene: Hallando la función inversa de f( ), se tiene: Componiendo la última función en Reemplazando A B en la condición: f ( ) m f ( m) m m f ( m) m... A m m f ( ) m m f ( ) m, se tiene: m m m f ( ) f ( m )... B m m m f ( m) f ( m ) m m m 4 0 m 4. Calcular la función inversa de f( ) Solución: para resolver el problema lo conveniente es hacer un cambio de variable, como se ve: f ( ) f ( ) De la última epresión despejando para hallar la función inversa, se tiene: 5

6 Elevando al cubo ambos lados de la ecuación por ultimo despejando, se tiene: f ( ). Calcular el siguiente límite: L lim h0 a h a h Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0, para levantar la indeterminación, debemos racionalizar 0 el numerador, para ello recurrimos al siguiente artifició matemático. h a h a h a a a h a a h a h a a a h a L lim lim h a h a h a a h a h a h a a h0 0 h a h a h L lim lim h a h a h a a h a h a h a a L lim h0 0 h0 De la última epresión, evaluando el límite: L L a a a a a 4. Calcular el siguiente límite: lim p p L : p, q 0 0 q q Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0, para levantar la indeterminación, debemos racionalizar 0 el numerador: p p p p p p L lim lim lim q q p p q q p p q q p p

7 De la última epresión ordenando luego racionalizando el denominador: L lim L lim lim 0 0 q q Por ultimo evaluando el límite, tenemos: L lim 0 p p lim 0 0 q q q q p p q q q q p p q q q q q q p p p p q L p 5. Calcular el siguiente límite: L 8 lim 8 Solución: si evaluamos el límite obtenemos una indeterminación del tipo 0, para levantar la indeterminación, debemos racionalizar 0 el denominador dos veces: L lim lim lim L lim 8 Ordenando la última epresión volviendo a racionalizar, se tiene:, se tiene: L lim 8 8 L lim 8 lim actorizando en el denominador sacando MCD, se tiene: 7

8 8 L lim 8 lim L lim L Evaluando el límite, obtenemos el resultado: 6. Hallar la constantes a b de la condición: lim a b 0 Solución: dividiendo los polinomios por propiedades de límites repartimos el límite de la siguiente manera: lim a b 0 lim a b 0 lim lim a b 0 De la última epresión despejando el segundo límite: lim a b lim lim lim a b De la última igualdad, este se si el coeficiente de es cero: Si a=, entonces el límite será: b lim b lim a b a 0 a 7. Hallar las constantes k b de la ecuación: limk b 0 Solución: dividiendo los polinomios repartiendo los límites, se tiene: lim k b 0 lim k b 0 lim k b lim 0 De la última igualdad el segundo límite se hace cero, entonces se tiene: k Para que el límite eista, el coeficiente de debe ser cero: lim b 0 lim k b 0 k 0 k Si k=-, entonces el anterior límite será: lim b 0 b 0 k 8. Calcular el límite: lim a a a a Solución: racionalizando el numerador, pero antes debemos agrupar en dos términos, como se ve: lim a a a a a a a a lim a a a a a a 8

9 De la última epresión sumando restando términos semejantes, volviendo a racionalizar: lim a a lim a a a a a a a lim a a a a a a a a a a a a a a lim a a a a a a a a a a Simplificando aún más la última epresión para levantar la indeterminación, se tiene: a a a a lim lim a a a a a a a a a a a a a a a a lim a a lim a a a a lim a a a a a a a a a a a a a a a a a lim a a a a a a a a a a a a a a Por último evaluando el límite se tiene: lim a a a a a a a a a aa a a a a lim a a a a a 9. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: 9 0 Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación (no eiste raíz cuadrada de un número negativo): (, ) Df ],9] 9 El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación., (no presenta ninguna restricción): If Intersecciones, con el eje ( (,0) ): Intersecciones, con el eje ( (0, ) ): Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: (, ) (, ) no tiene intersecciones en los reales. 9 solo presenta una asíntota vertical es: 0 9 no presenta ninguna asíntota. 9

10 Simetrías con el eje ( (, ) (, ) Simetrías con el eje ( (, ) (, ) En conclusión no eiste simetría con el origen. ): ): 9 9 si eiste simetría 9 9 no eiste simetría. 0. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: f ( ) Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación (no eiste raíz cuadrada de un número negativo): (, ) f ( ) 0 0 Df [0,[ El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación., (no presenta ninguna restricción): If Intersecciones, con el eje ( (,0) ): (, ) 0 0 Intersecciones, con el eje ( (0, ) ): (, ) 0 0 Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: solo presenta una asíntota es: 0 Simetrías con el eje ( (, ) (, ) Simetrías con el eje ( (, ) (, ) ): no presenta ninguna asíntota. ): no eiste simetría no eiste simetría. 0

11 En conclusión no eiste simetría con el origen.. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: f( ) log Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación (no eiste logaritmo de un número negativo, ni del cero): f ( ) log (, ) log 0 f ( ) log log 0 Df ], [ ], [ - El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación., (no eiste división entre cero): e log e e e 0 If 0 e Intersecciones, con el eje ( (,0) ): (, ) log 0 log 0 no eiste intersecciones. Intersecciones, con el eje ( (0, ) Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: ): log e e Simetrías con el eje ( (, ) (, ) Simetrías con el eje ( (, ) (, ) ): (, ) log 0 log 0 no eiste intersecciones. presenta dos asíntotas en: 0 0 solo presenta una asíntota horizontal en 0 log no eiste simetría ): log log log no eiste simetría.

12 En conclusión no eiste simetría con el origen.. Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: f ( ) log 9 Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación (no eiste logaritmo de un número negativo, ni del cero): f (, ) log 9 (, ) log 9 0 f (, ) log 9 log Df ], [ ], [ El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación., (no eiste restricción): log 9 log If Intersecciones, con el eje ( (,0) Intersecciones, con el eje ( (0, ) intersecciones. Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: ): ): (, ) log 9 0 log (, ) log 9 0 log 9 0 no eiste log 9 presenta dos asíntotas en: Simetrías con el eje ( (, ) (, ) Simetrías con el eje ( (, ) (, ) 0 9 no presenta asíntotas. En conclusión no eiste simetría con el origen. ): 9 0 log 9 log 9 no eiste simetría ): - log 9 log 9 si eiste simetría.

13 . Analizar la continuidad de la función Solución: analizando la continuidad por la izquierda por la derecha para los puntos,. Para f ( ) ( ) 0 lim ( ) 0 f lim 4 Para ( ) es discontinua en f () 4 lim 4 f ( ) es discontinua en lim Determinar el valor de A B para que la función sea continua: A B, f ( ) A B,, Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda derecha en los puntos,, se tiene: lim A B A B Para f() lim A B A B Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. A B A B A B... lim A B 4A B Para f() lim A B 4A B Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. 4A B 4A B B 0...

14 AB Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: A, B B 0 5. Determinar para que valores de la función es discontinua construir su gráfica: ; si f ( ) ; si 7; si Solución: analizando la continuidad por la izquierda por la derecha para los puntos,. Para f ( ) lim f ( ) es discontinua en lim 4 Para f () lim f ( ) es discontinua en lim Determinar el valor de C K para que la función sea continua en todos su dominio: C, f ( ) C K, - K, Solución: analizando la continuidad de los puntos por izquierda derecha en los puntos,, se tiene: lim C C Para f( ) lim C K 6C K Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. C 6C K 8C K... lim C K C K Para f() lim K K Para que sea continua los límites laterales deben ser iguales. C K K C K C K... 8CK Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: C, B C K 0 4

15 7. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 5 7 Solución: empleando la siguiente propiedad de valor absoluto a a a, tenemos lo siguiente: Resolviendo cada una de las inecuaciones: Primero para : Cs Segundo para ; 0 6 Cs [ 0,6] La solución total de la inecuación está dada por la intersección de: Cs Cs Cs [ 0,6] T Si f ( ) a, determinar los valores de a de modo que: f a f a ( ) ( ) Solución: Determinando cada una de las funciones evaluadas tenemos: Para: f( a ) Para: f f ( ) a f ( a ) a a ( a ) primero determinamos la función inversa luego la evaluamos. a a f ( ) a f ( ) a a a Evaluando: f ( a ) f ( a ) Igualando funciones determinado los valores de a: 5 9. Calcular: L lim 4 a f a f a a a a a a ( ) ( ) a Solución: se puede observar que es un límite algebraico, por lo tanto racionalicemos el numerador el denominador L lim lim lim lim lim lim L lim L lim

16 Se puede observar el factor que causaba la indeterminación, simplificando evaluando el límite tenemos: 5 8 L lim L Determinando Dominio, Conjunto imagen, Intersecciones, Asíntotas Simetrías, construir la gráfica de la ecuación: f( ) Solución: El Dominio de la función está por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación (no eiste división entre cero): f ( ) (, ) 0 f ( ) 0 Df El Conjunto imagen de la función está dado por la restricción que presenta la función cuando se despeja de la ecuación, (no eiste raíz cuadrada de un número negativo): If ], ] ], [ 9 Intersecciones, con el eje ( (,0) ): Intersecciones, con el eje ( (0, ) ): Asíntotas verticales: Asíntotas horizontales: f ( ) (, ) presenta dos asíntotas en: 9 4 Simetrías con el eje ( (, ) (, ) ): (, ) 0 0, presenta una asíntota en: no eiste simetría. Simetrías con el eje ( (, ) (, ) ): si eiste simetría En conclusión no eiste simetría con el origen. 4/9 0, 6

17 . Dada f ( ) a a, demostrar que f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Solución: hallando la función para cada una de las funciones compuestas: Para f ( ) : f ( ) a a f ( ) a a Para f ( ) : f ( ) a a f ( ) a a Sumando las funciones compuestas, luego utilizando propiedades de eponentes: ( ) ( ) f f a a a a a a a a a a a a actorizando términos semejantes: f ( ) f ( ) a a a a a a a a a a Ordenando de manera conveniente: a a a a f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ORMULARIO PROPIEDADES DE ALOR ABSOLUTO: Propiedades más útiles: a Definición: a a0 a a a 0 a a b a b a b Si b 0, b b b Si b 0, b b b b b b b b b LIMITES CONOCIDOS: lim e 0 lim e a sin lim ln a lim 0 0 cos lim 0 0 7

18 PRACTICA:. Hallar el conjunto solución de:. Hallar el conjunto solución de:. Hallar el conjunto solución de: 69 7 Sol.: Cs ], ] 0 Sol.: Cs ], ] [, [ 5 4. Hallar el conjunto solución de: 5 5. Construir la gráfica de la función f ( ) log, realizando un análisis completo. 6. Construir la gráfica de la función f( ), realizando un análisis completo Construir la gráfica de la función 8. Si 9. Si 4 0, realizando un análisis completo. 9 sin f g ( ) g ( ) cos sec, hallar f ( ) f ( ), g ( ), hallar: f g f ( ) 0. Hallar la constante a, si. Calcular el límite:. Calcular: L lim. Calcular el límite: L lim 9 Sol.: Cs ], ] [, [ 6 4 Sol: Cs ], 9] [, [ 5 5 Sol.: f( ) f g ( a) g f ( a), donde f ( ), g( ) L lim 4 n... n Sol.: Sol.: a 4 4 L 7 Sol.: L 6 Sol.: 4. Determinar las constantes a b para que f( ) sea continua, luego graficar: L n! ; si f ( ) a b; si Sol: a, b 0 ; si 5. Determinar las constantes A B para que f( ) sea continua en todo su dominio. A; si 0 f ( ) A B; si 0 5; si Sol: A B 8