Cálculos de Regresión Logística en R, Caso de una covariable.

Transcripción

1 Cálculos de Regresión Logística en R, Caso de una covariable. Carga de datos (Tabla 1.1, Hosmer-Lemeshow): CH=read.table( CHDAGE.txt,header = T) attach(ch) Gráfico de Dispersión: plot(age,chd,xlab= Edad, ylab= Presencia Enfermedad ) Presencia Enfermedad Definición de variable codificada: Edad library(car) AGED=recode(AGE,"20:29=1; 30:34=2; 35:39=3; 40:44=4; 45:49=5; 50:54=6; 55:59=7; 60:69=8") CH$AGED=AGED Cálculo de la proporción de afectación por grupos de edad: prop=rep(0,8) prop[1]=sum(ch$chd[aged==1])/length(ch$chd[aged==1]) prop[2]=sum(ch$chd[aged==2])/length(ch$chd[aged==2]) prop[3]=sum(ch$chd[aged==3])/length(ch$chd[aged==3]) prop[4]=sum(ch$chd[aged==4])/length(ch$chd[aged==4]) prop[5]=sum(ch$chd[aged==5])/length(ch$chd[aged==5]) prop[6]=sum(ch$chd[aged==6])/length(ch$chd[aged==6]) prop[7]=sum(ch$chd[aged==7])/length(ch$chd[aged==7]) prop[8]=sum(ch$chd[aged==8])/length(ch$chd[aged==8]) 1

2 Edad media por grupo de edad: edadprom=rep(0,8) edadprom[1]=(20+29)/2 edadprom[2]=(30+34)/2 edadprom[3]=(35+39)/2 edadprom[4]=(40+44)/2 edadprom[5]=(45+49)/2 edadprom[6]=(50+54)/2 edadprom[7]=(55+59)/2 edadprom[8]=(60+69)/2 Gráfico de edad media vs proporción de afectación: plot(edadprom,prop,type= b ) prop Definición del modelo logístico: edadprom π(x) := E[Y x] = donde x es la covariable EDAD y Y Bernoulli(π(x)). Ajuste usando la función glm: (algoritmo IRLS) modelo1=glm(chd~age,data=ch,family= binomial ) eβ0+β1x 1 + e β0+β1x Resumen del ajuste: 2

3 resumen1=summary(modelo1) Call: glm(formula = CHD ~ AGE, family = "binomial", data = CH) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) e-06 *** AGE e-06 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: on 99 degrees of freedom Residual deviance: on 98 degrees of freedom AIC: Number of Fisher Scoring iterations: 4 Predicciones vs proporciones: predicciones=modelo1$fitted.values plot(age,predicciones,type= l,lwd=1.5,xlab= Edad,ylab= ) lines(edadprom,prop,col=2,lwd=1.5) legend( topleft,legend=c( predicciones, proporciones ),lwd=c(1.5,1.5),col=c(1,2)) predicciones proporciones Edad 3

4 Note que las predicciones son calculadas de la siguiente forma: e ˆβ 0+ ˆβ 1x ˆπ(x) = 1 + e ˆβ 0+ ˆβ 1x donde ˆβ 0, ˆβ 1 son los estimadores usando el algoritmo IRLS. La matriz de varianza-covarianza es la inversa de la matriz de información de Fisher, y la podemos calcular en R usando: resumen1$cov.unscaled (Intercept) AGE (Intercept) AGE La devianza está definida por: la cual se calcula en R así: resumen1$deviance [ ] L(modelo completo) D = 2 log L(modelo saturado n = 2 y i log(π i ) + (1 y i ) log(1 π i ) i=1 [1] La devianza puede escribirse (de manera análoga a como se suele hacer en regresión lineal) como una suma de residuos al cuadrado: D = n i=1 donde d i = s i 2[yi log(π i ) + (1 y i ) log(1 π i )] donde s i = 1 si y i = 1 o s i = 1 si y i = 0. A d i se le llama residuos de devianza. Los podemos calcular usando la instrucción: resumen1$deviance.resid d 2 i

5 sum(resumen1$deviance.resid^2) [1] Pruebas de Hipótesis La devianza entre un modelo completo y uno reducido es: G = D(modelo reducido) D(modelo completo) En el ejemplo anterior solamente podemos comparar un modelos con/sin la covariable AGE: G=resumen1$null.deviance-resumen1$deviance show(g) [1] La hipótesis H 0 : β 1 = 0 se puede verificar con la prueba de cociente de verosimilitud (LRT): anova(modelo1,test= LRT ) Analysis of Deviance Table Model: binomial, link: logit Response: CHD Terms added sequentially (first to last) Df Deviance Resid. Df Resid. Dev Pr(>Chi) NULL AGE e-08 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

6 donde claramente se concluye que la asociación logística entre la covariable y la variable dependiente es significativa. La función anterior nos permite calcular la prueba de score también: anova(modelo1,test= Rao ) Analysis of Deviance Table Model: binomial, link: logit Response: CHD Terms added sequentially (first to last) Df Deviance Resid. Df Resid. Dev Rao Pr(>Chi) NULL AGE e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * con la misma conclusión anterior. La prueba de Wald se obtiene a partir de los resultados de la función summary: resumen1$coefficients Estimate Std. Error z value Pr(> z ) (Intercept) e-06 AGE e-06 Inferencia en predicciones: Si queremos predecir la probabilidad de que un sujeto de edad 50 padezca la enfermedad, entonces estimamos la log-cuota del individuo: gtecho=resumen1$coefficients[1,1]+resumen1$coefficients[2,1]*50 y la predicción sería: prediccion50=exp(gtecho)/(1+exp(gtecho)) show(prediccion50) [1] Un intervalo de confianza al 95% usando la prueba de dos colas de Wald es: xi=c(1,50) varg=xi%*%resumen1$cov.unscaled%*%xi gtecho2=gtecho+qnorm(0.975)*sqrt(varg) gtecho1=gtecho-qnorm(0.975)*sqrt(varg) prediccion50izq=exp(gtecho1)/(1+exp(gtecho1)) prediccion50der=exp(gtecho2)/(1+exp(gtecho2)) show(c(prediccion50izq,prediccion50der)) [1]

7 Interpretación de los coeficientes Definamos la variable dicotómica AGEbin de la siguiente forma: AGEbin=recode(AGE,"20:54=0; 55:69=1") con tabla de frecuencias: addmargins(table(chd,agebin),margin=c(1,2)) AGEbin CHD 0 1 Sum Sum