Capítulo 8. Trigonometría del círculo. Contenido breve. Presentación. Módulo 20 Funciones circulares. Módulo 21 Identidades fundamentales

Transcripción

1 Cpítulo 8 Trigonometrí del círculo Contenido breve Módulo 20 Funciones circulres Módulo 21 Identiddes fundmentles En un mp del cielo están presentes lguns funciones trigonométrics. Presentción En este cpitulo se drá un informción más modern de ls funciones trigonométrics. Después se mostrrá cómo están relcionds ls definiciones nteriores, en términos de triángulos rectángulos. Con este enfoque se tendrá l situción que muestr l figur. Se trt de un círculo de rdio centrdo en el origen de coordends. Un círculo, como el descrito nteriormente, tiene como ecución 2. El ángulo está en su form estándr, es decir, con su ldo inicil coincidiendo con el eje positivo de ls. En el círculo 2, ls funciones trigonométrics del ángulo se drán en términos de ls coordends del punto P del ldo terminl del ángulo. El eje positivo de ls será el ldo inicil. Gráfic del círculo 2 2 = 2 P(,) Módulo 22 Gráfics de ls funciones trigonométrics Módulo 2 Fórmuls de dición de ángulo doble Módulo 2 Verificción de identiddes trigonométrics Ejercicios Cpítulo 8, módulos 20 l 2 Álgebr trigonometrí 21

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3 20 Funciones circulres Introducción En este módulo se definen ls funciones circulres de números reles. Est mner de definir ls funciones trigonométrics se prest plicciones que brcn procesos dinámicos como el movimiento rmónico simple, l descripción de onds sonors otros enfoques periódicos. Objetivo 1. Estudir funciones trigonométrics de números reles. Pregunts básics 1. En qué consiste el punto terminl de un ángulo en posición estándr? 2. Cómo es un ángulo en posición estándr?. Cómo se definen ls seis rzones circulres? Contenido 20.1 Funciones circulres 20.2 Signos de ls funciones circulres Pltón (28-7. C.) Pltón estudió primermente filosofí con su grn mestro Sócrtes. Después estudió mtemátics con Arquits de Trento con Teodoro de Cirene. Vijó por Egipto, Sicili e Itli en compñí del mtemático Eudoio su regreso fundó en Atens su fmos escuel filosófic L Acdemi. Sin lugr duds Pltón es mejor conocido por su obr filosófic. Sin embrgo, su influenci en ls mtemátics helénics es bstnte considerble. Creí que er imposible estudir l filosofí sin el conocimiento previo de ls mtemátics. Tl vez se éste el motivo por el cul hizo poner, l entrd de l Acdemi, su célebre significtiv frse: No entres quí si no eres geómetr. Est otrs proposiciones, como los números gobiernn l mundo, nos hcen ver que estb directmente influencido por ls teorís pitgórics. Primermente se deben Pltón lguns regls metodológics, dogmtizndo en l geometrí el uso eclusivo de l regl el compás, lo que se ceptó en tiempos posteriores un en nuestros dís. Pensb que los geómetrs se rebjbn cundo usbn otros instrumentos que no fuern los menciondos. Se deben tmbién este filósofo ls directivs que debín drse en l enseñnz de l geometrí; es decir, l orgnizción de l eposición geométric desde el punto de vist lógico, cómo debe enseñrse qué cmino debe seguirse. Según Pltón, el estudio de l geometrí debí hcerse en el orden siguiente: 1. Definiciones 2. Aioms. Postuldos. Teorems A est directiv de Pltón se dptron los mtemáticos posteriores él, principlmente Euclides. Ve el módulo 20 del progrm de televisión Álgebr trigonometrí Álgebr trigonometrí 2

4 Cpítulo 8: Trigonometrí del círculo 20.1 Funciones circulres Si en un sistem de coordends rectngulres es un ángulo en posición estándr, P(, ) es un punto que está situdo sobre el ldo terminl del ángulo en el círculo 2 ; se pueden definir, entonces, seis rzones que contienen ls coordends (, ) del punto P el rdio. Ls figurs ilustrn l situción descrit nteriormente. P (, ) P (, ) Figur Ángulo en el primer cudrnte Figur Ángulo en el segundo cudrnte En ls gráfics nteriores el ldo terminl del ángulo se encuentr en el primero segundo cudrntes, respectivmente. H que hcer notr que en el segundo cudrnte l bscis es negtiv. Análisis similres se hcen pr ángulos en el tercero curto cudrntes (figurs ). P (, ) P (, ) Figur 20.. Ángulo en el tercer cudrnte Figur 20.. Ángulo en el curto cudrnte 2

5 En ls gráfics nteriores, culquier se el cudrnte donde se encuentre P(, ), se definen ls siguientes funciones: sen, cos, Módulo 20: Funciones circulres tn, cot, sec, csc. En ls nteriores funciones, los dominios serán los conjuntos de todos los ángulos posibles pr los cules ls funciones están definids. Los rngos son subconjuntos de los números reles. Ejemplo 1 Encuentre el vlor de cd uno de ls seis funciones trigonométrics, si el punto P(, ) pertenece l ldo terminl del ángulo ilustrdo continución (figur 20.). Q O P (, ) Fígur 20. En l gráfic nterior, el triángulo rectángulo formdo por l perpendiculr trzd desde P (, ) l eje horizontl, el eje horizontl el rdio, se llm triángulo de referenci socido l ángulo. Este tipo de triángulos se citrá menudo cundo se trte de hllr funciones trigonométrics de ángulos situdos en culquier cudrnte. En generl, el triángulo rectángulo formdo por l perpendiculr de P(, ) l eje horizontl, el eje horizontl el rdio, se llm triángulo de referenci socido con el ángulo. En el triángulo OQP, que es de referenci, l hipotenus es ( ) ( ). Visite el sitio AlgebrTrigonometri/ Escuche Histori de Pltón en su multimedi de Àlgebr trigonometrí Álgebr trigonometrí 2

6 Cpítulo 8: Trigonometrí del círculo Por tnto: sen, tn, sec, cos, cot, csc. H que hcer notr que el rdio siempre se tomrá como positivo Signos de ls funciones circulres Ls funciones definids en un sección nterior permiten estblecer el signo de ls funciones trigonométrics, de cuerdo con l posición del ldo terminl del ángulo, que este signo depende de los signos de ls coordends del punto elegido sobre el ldo terminl. L tbl 20.1 nos d el signo de ls funciones, de cuerdo con el criterio nterior: Tbl Signos de ls funciones Funciones sen cos tn cot sec csc 1. er cudrnte 2. cudrnte. er cudrnte. cudrnte Ejemplo 2 Si cos / tiene el ldo terminl en el curto cudrnte, encuentre ls restntes funciones trigonométrics. Como ls funciones trigonométrics no dependen del rdio del círculo en el cul fueron definids, como cos /, se puede tomr. 2, o se que. Como el ldo terminl del ángulo está en el curto cudrnte, l ordend del punto sobre el ldo terminl es negtiv, o se. De ls nteriores considerciones, se tiene que: sen, cos, 26

7 Ejemplo tn, sec, cot, csc. Módulo 20: Funciones circulres Si csc 2 tn 0, encuentre el vlor de sen tn. Como csc 2, el ldo terminl de está en el tercero o en el curto cudrnte. Como tn 0, entonces debe estr en el primero o tercer cudrnte. Pr que se cumpln simultánemente mbs condiciones, debe tener su ldo terminl en el tercer cudrnte. Por consiguiente: csc Puesto que los vlores de ls funciones trigonométrics no dependen del rdio del círculo, se puede tomr 2, 1. En el círculo se tiene que 1, se debe tomr porque l bcis de un punto situdo en el tercer cudrnte es negtiv. 1 Por tnto: sen 2 ; tn. Ejemplo Pr cd uno de los puntos siguientes, hlle el vlor de ls seis funciones trigonométrics si el punto pertenece l ldo terminl del ángulo en su posición estándr.. P (, 12 ). El rdio de l circunferenci es ( ) ( 12) 1. Utilizndo ls epresiones pr ls funciones circulres tenemos: 12 sen cos tn, cot, 12,, 1 1 sec csc 12,. Álgebr trigonometrí 27

8 Cpítulo 8: Trigonometrí del círculo b. P (6, 10). El rdio de l circunferenci es Utilizndo ls epresiones pr ls funciones circulres, tenemos: sen cos tn 2 2 6,,, cot sec csc ,,. Ejemplo 2 Si sen está en el segundo cudrnte, hlle ls restntes funciones trigonométrics. 2 Como sen, podemos sumir que es el rdio de l circunferenci que = 2. Entonces,. Como es un ángulo del segundo cudrnte, entonces l bscis es negtiv; por tnto,. Aplicndo hor ls fórmuls pr ls restntes funciones circulres, tenemos: cos, tn, cot, sec, csc. Ejemplo 6 Si tn cos < 0, hlle ls restntes funciones trigonométrics. 28

9 Módulo 20: Funciones circulres Como cos < 0, entonces el ángulo está en el segundo o en el tercer cudrnte. Como tn > 0, entonces l bscis l ordend tienen el mismo signo, por tnto el ángulo está en el tercer cudrnte tnto como son negtivos. Podemos sumir entonces que = que = 1, de donde 10. Aplicndo ls fórmuls de ls funciones circulres, obtenemos: sen, cos, cot, sec 10, csc. Álgebr trigonometrí 29