Resumen de Geometría Diferencial de Curvas y Supercies

Transcripción

1 Resumen de Geometría Diferencial de Curvas y Supercies E: Espacio euclídeo de dimensión 2 ó 3 (R n, δ) con δ como producto escalar euclídeo Norma de un vector u E: u = u, u Curvas planas C o diferenciable: es una función f : (a, b) R tal que en todos los puntos existen derivadas de todos los órdenes Curva parametrizada: es una aplicación α : I E, con α C denida por componentes como α(t) = (x(t), y(t), z(t)) donde x, y, z C (I) Parámetro: es la variable t de una curva parametrizada Traza: Es el conjunto imagen α(i) = {α(t)/t (a, b) = I} Curva regular: Es una curva parametrizada plana α : I E con α (t) 0 para todot I, donde α (t) = (x (t), y (t), z (t)) Vector tangente o velocidad: Es el vector α (t) que es tangente a α en t Puntos singulares de una curva: son los puntos t I tales que α (t) = 0 Longitud de arco de una curva: s(t) = t to α (t) dt con t (t 0, ) que es derivable y su derivada es s = t α (t) Longitud de la curva α entre a y b: L α(a,b) = b a α (t) dt Reparametrización: si t : (c, d) (a, b) con t (s) 0 para todo s (c, d) siendo t difeomorsmo tal que β(s) = α(t(s)). Si t (s) > 0 se le llama reparametrización positiva, si t (s) < 0 se le llama reparametrización negativa Lema: si β es reparametrización de α ambas tienen la misma longitud Teorema: Si α : [a, b] E es diferenciable en [a, b] = I ε > 0, δ > 0/ si P < δ, entonces, L(α, P ) b a α (t) dt < ε donde L(α, P ) es la longitud de la poligonal inducida por una partición de I sobre la curva Curva parametrizada por el arco (ppa): Cuando β (s) = 1. Siempre se puede encontrar y no se pierde generalidad 1

2 Vector tangente: T (s) = α (s) Vector normal: N(s) = J(T (s)) donde J : (u 1, u 2 ) ( u 2, u 1 ) Diedro de Frenet: {T (s), N(s)} forman base ortonormal y det(t (s), N(s)) = 1 Lema: Cuando U(s) y V (s) son campos de vectores sobre la curva se tiene que: U(s), V (s) = U (s), V (s) + U(s), V (s) Curvatura: Es uuna función k : I R dada por k(s) = T (s), N(s) { T (s) = k(s)n(s) Ecuaciones de Frenet: N (s) = k(s)t (s) Movimiento rígido (o euclídeo): Es una isometría del espacio afín euclídeo que conserva la distancia (M(x) = Ax + b siendo A O 2 del grupo ortogonal) Indicatriz de tangentes: Es el vector tangente considerado como una curva en R 2, T : I R 2. Se obtiene que T (s) = (cos(θ(s)), sen(θ(s)). Además, k(s) = θ (s) Teorema fundamental de la teoría local de curvas planas: k : I R con k C α : I R 2 p.p.a. tal que su curvatura es k. Además, α es única salvo movimientos rígidos Teorema de la función implícita (1ª versión): Sea U abierto de R 2, f : U R, f C, (x 0, y 0 ) U/f(x 0, y 0 ) = 0 con f (x y 0, y 0 ) 0 V abierto con (x 0, y 0 ) V U/ f (x, y) 0 y para todo (x, y) V, un abierto I con x 0 I R y una única g : I R con g C tal que g(x 0 ) = y 0 y f(x, y) = 0 en V y = g(x) en I Circunferencia osculatriz: Es la circunferencia de centro β(s) y radio 1 [con α una curva k(s) p.p.a] Evoluta: Es la curva formada por los centros β(s); β(s) = α(s) + 1 N(s) [con α una curva k(s) p.p.a] Evolvente (que pasa por c): γ(s) = α(s) (s c)α (s) [con α una curva p.p.a] Lema: si α : I R 2 es regular, no necesariamente p.p.a. k α (t) = α (t),jα (t) α (t) 3 Evolvente: β(t) = α(t) (s(t) s(c)) α (t) α (s) Evoluta: γ(t) = α(t) + 1 Jα (t) k(t) α (s) 2. Curvas en el espacio Producto vectorial: Es la aplicación bilineal : R 3 R 3 R 3 denida por (x, y) = x y y determinada implícitamente por x y, z = det(x, y, z), y dada explícitamente como e 1 e 2 e 3 x y = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 2

3 Propiedades inmediatas: (1) Anticonmutatividad: x y = y x (2) Bilinealidad: (x + y) z = x z + y z (3) x e y son linealmente dependientes x y = 0 (4) x y, x = 0 = x y, y (el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ambos) Lema: x y, u v = x, u y, u x, v y, v Corolario: Si {x, y} forman una sistema ortonormal de R 3, entonces {x, y, x y} es una base ortonormal orientada positivamente Lema: (x y) z = x, z y y, z x Curvatura: k(s) = α (s) si α es curva p.p.a. Vector normal: s I/k(s) 0 α (s) 0 y dene un vector unitario N(s) en la dirección de α (s) determinado por α (s) = k(s)n(s) Plano osculador: Es el plano generado por {T (s), N(s)} que pasa por α(s) Vector binormal: B(s) = T (s) N(s) Triedo de Frenet: Es la base ortonormal orientada positivamente dada por {T (s), N(s), B(s)} Lema: α una curva p.p.a. con k > 0 B (s) = τ(s)n(s) para alguna función diferenciable τ Torsión: Es la aplicación τ dada por B (s) = τ(s)n(s) T (s) = k(s)n(s) Ecuaciones de Frenet: N (s) = k(s)t (s) τ(s)b(s) B (s) = τ(s)n(s) Movimiento euclídeo directo: Es una aplicación M : R 3 R 3 con M(x) = Ax + B siendo B R 3 jo y A SO(3) matriz del grupo especial ortogonal donde A es un giro en el espacio y B una traslación Proposición: Si M es un movimiento euclídeo directo y α una curva p.p.a. β = Mα es p.p.a. y tiene misma k y τ Teorema: Sea el sistema de ecuaciones diferenciales dado por X (s) = A(S)X(s) + B(s) siendo A, B continuas en I!X : I R n solución dada la condición inicial X(s 0 ) = X 0. Además, si A, B son diferenciables, entonces, X también lo es Teorema fundamental de la teoría de curvas: k, τ : I R diferenciables con k(s) > 0 para todo s I α : I R 3 una curva p.p.a. cuya curvatura y torsión son k, τ. Además α es única salvo movimientos euclídeos directos Plano normal: Es el determinado por {N(s), B(s)} Plano recticante: Es el determinado por {T (s), B(s)} 3

4 Lema: α : I R 3 una curva regular con parámetro arbitrario tal que α (t) α (t) 0 para todo t I, entonces: (1) T (t) = α (t) α (t) (2) B(t) = α (t) α (t) α (t) α (t) (3) N(t) = B(t) T (t) (4) k(t) = α (t) α (t) α (t) 3 (5) τ(t) = det(α (t),α (t),α (t)) α (t) α (t) 2 Lema: Si α es una curva p.p.a. τ(s) = det(α (t),α (t),α (t)) k(s) 2 3. Supercies regulares Teorema de la función inversa: U abierto de R n, p U y f : U R n, f C k con k 1. Si det(df p ) 0 V entorno de p y otro W de f(p) tal que f : V W tiene inversa f 1 : W V con f 1 C k Supercie regular: Es un espacio topológico S R 3 tal que para cada p S, existen abiertos U R 2 y V S con p V y una aplicación ϕ : U R 3 con ϕ C que verica: (1) ϕ : U V es un homeomorsmo (biyección con continuidad propia y de la inversa) (2) d ϕp : R 2 R 3 es inyectiva para cada q U Carta o sistema local de coordenadas: Es la aplicación ϕ del teorema, o bien, el par (ϕ, U) Dominio de la carta: Se le denomina así al abierto U del teorema Enrorno coordenado: Se le denomina así a Im(ϕ(U)) Construcción de ejemplos: (1) Mediante la gráca de una función: Si U es abierto de R 2 y f : U R, con f C, entonces gr(f) = {(u, v, f(u, v)/(u, v) U} es una supercie regular con la topología de subespacio. Observación: Se esta haciendo uso del teorema de la función implícita. (2) Imagen inversa de un valor regular: Sea U R n un abierto y f : U R m con f C Punto regular de f: Es un punto p U tal que df p R n R m es sobreyectiva. Es decir, en R 3, df p 0 Punto crítico de f: Es un punto p U tal que df p R n R m no es sobreyectiva. Es decir, en R 3, df p = 0 Valor regular de f: Es la imagen por f de un punto regular 4

5 Valor crítico de f: Es la imagen por f de un punto crítico Aplicación regular: Es una aplicación denida en U tal que todos los puntos de U son regulares Teorema: Si U abierto de R 3,f : U R es C y a f(u) es un valor regular f 1 (a) es una supercie regular Lema: Si S es una supercie regular con p S, existe un abierto W de S que contiene a p tal que W es la gráca de una función diferenciable de alguno de los siguientes tipos z = f(x, y); y = g(x, z); x = h(y, z) Lema: Por cada punto de una supercie regular, pasan al menos dos planos paralelos a los planos coordenados que intersean a la supercie en la gráca de una función diferenciable cuya variable es una de las funciones coordenadas Lema: Sean (U, ϕ), (V, ψ) dos cartas de una supercie regular S, y sea un punto p S tal que p ϕ(u) ψ(v ). Entonces el cambio de coordenadas ϕ 1 ψ : ψ 1 (W ) ϕ(w ) donde W = ϕ(u) ψ(v ), es un difeomorsmo, es decir, es biyectiva, C, y con inversa C Representación coordenada de f: Es la aplicación f ϕ : U R dada la función f : S R y una carta (U, ϕ) de S Diferenciable o C en p S: (Cuando f es una función denida sobre una supercie regular S) cuando existe una carta (U, ϕ) tal que p U y la representación coordenada de f de dicha carta es C en ϕ 1 (p) Diferenciable en W abierto de S: Es una aplicación f : W S tal que dadas dos cartas (U, ϕ) y (V, ψ) tales que p ϕ(u) W y f(ϕ(u)) ψ(v ), la aplicación ψ 1 f ϕ : U V es diferenciable en q = ϕ 1 (p) Representación coordenada de f en las cartas dadas: Es la aplicación ψ 1 f ϕ : U V Difeomorsmo: Es una aplicación entre supercies regulares f : S S que es biyectiva, y tanto f como f 1 son diferenciables Supercies difeomorfas: Son dos supercies regulares tales que existe un difeomorsmo entre ellas Lema: Sean S 1 y S 2 dos supercies regulares y f : V R 3 una aplicación diferenciable en un abierto de R 3 tal que S 1 V y f(s 1 ) S 2. la restricción f que cierra el diagrama es diferenciable: V f R 3 S 1 f S 2 Curva sobre S: Es una aplicación α : I S continua y denida en un abierto I R con S una supercie regular 5

6 Curva sobre S diferenciable: en t 0 I cuando existe una carta (U, ϕ) de S con α(t 0 ) ϕ(u) tal que la representación coordenada ϕ 1 α : (t 0 ε, t 0 + ε) U es C en t 0 Lema: Si α : I R 3 es una curva C en el espacio con α(i) contenida en una supercie regular S la restricción α : I S es una curva diferenciable sobre S Vector tangente a S en p: Es el vector α (0) dada una curva diferenciable α : I S con α(0) = p Plano tangente a S en p: T p S es el conjunto de todos los vectores tangentes a S en p Lema: Sea (U, ϕ) una carta de una supercie regular S y q U. El subespacio vectorial de dimensión 2 dϕ q (R 2 ) = T ϕ(q) S Base coordenada: Es la formada por los vectores dϕ q (e 1 ) = ϕ u (q) y dϕ q (e 2 ) = ϕ v (q) Proposición: Sea f : R 3 R una función C, si S es la imagen inversa de un valor regular de f, entonces para cada p S, se tiene que T p S = Ker(df p ) Diferencial de f en p: Sea f : S 1 S 2 una aplicación diferenciable entre supercies regulares. Si w T p S 1 y αes una curva en S 1 que lo representa, entoncesβ(t) = f α(t) es una curva en S 2 que representa a β (0) T f(p) S 2. La aplcación es df p : T p S 1 T f(p) S 2 dada por df p (w) = β (0) Observación: La aplicación diferencial está bien denida y, además, es lineal Regla de la cadena: Sea S 1, S 2, S 3 tres supercies regulares y f : S 1 S 2, g : S 2 S 3 dos aplicaciones diferenciables entre supercies la composición g f : S 1 S 3 es diferenciable y se verica: d(g f) p = dg f(p) df p Métrica o primera forma fundamental de S en p: Es la aplicación, p : T p S T p S R dada por v, w p := v, w donde v, w es el producto escalar en R 3 Coecientes de la métrica en la base coordenada asociada a la carta (U, ϕ): Son las aplicaciones g ij (p) = g ji (p) = ϕ ui, ϕ uj denidas en U 6