ESTUDIO DE UN NUEVO SISTEMA DE REFERENCIA BASADO EN COORDENADAS NODALES ABSOLUTAS

Transcripción

1 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARAMENO DE INGENIERÍA MECÁNICA ESUDIO DE UN NUEVO SISEMA DE REFERENCIA BASADO EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS Dirctor dl proycto: Danil García Valljo Prsntado por: Digo José García Martín

2

3 ÍNDICE. Introducción.... Introducción tórica d la formulación n coordnadas nodals absolutas..... Dscripción d las coordnadas..... Formulación d las furzas lásticas basada n la lasticidad linal Nuvo modlo d furzas lásticas..... Optimización d la nrgía d dformación..... Minimización d la nrgía..... Maximización d U f.... Rsolución d problmas státicos Viga mpotrada con carga vrtical n l xtrmo Discrtización n un lmnto Discrtización n n lmntos..... Viga mpotrada con furza horizontal aplicada n l xtrmo..... Viga mpotrada con momnto aplicado n l xtrmo..... Viga biapoyada con carga aplicada n l cntro Viga biapoyada con momnto aplicado n l xtrmo Conclusions Bibliografía... 77

4

5 INRODUCCIÓN. INRODUCCIÓN. En un sistma multicurpo, l moviminto absoluto d un sólido con rspcto a una rfrncia, la cual s dfin mdiant un sistma d coordnadas inrcial, pud considrars como la suprposición d grands rotacions y dformacions qu dpndn d la flxibilidad d ést. Dicho moviminto con rspcto al sistma inrcial s dfin matmáticamnt a partir d la volución tmporal d un conjunto d variabls. Si l sólido s rígido, xist un númro mínimo d variabls cuya volución tmporal dfin compltamnt l moviminto dl sólido. Est conjunto mínimo d variabls constituy l númro d grados d librtad dl sólido. Así, para un sólido rígido libr, s dcir, qu no stá sujto a rstriccions d moviminto, l númro d grados d librtad s trs, cuando su moviminto s plano, y sis, cuando su moviminto s spacial. No obstant, l moviminto d un sólido rígido pud dscribirs mdiant otro conjunto más numroso d variabls qu satisfacn cirtas rlacions ntr sí. En st caso dichas rlacions s traducn n cuacions d rstricción qu hay qu añadir al sistma d cuacions difrncials d moviminto. En l caso d sólidos flxibls l númro d grados d librtad s infinito. Así, pud pnsars qu l moviminto d cada punto matrial s indpndint dl d los dmás puntos aunqu sté sujto a la acción d las furzas intrnas dbidas a la flxibilidad dl sólido. Exist cirta librtad a la hora d lgir l tipo d variabls a usar, sindo dicha lcción, l aspcto qu mjor caractriza la formulación n custión. Dntro d la varidad d tipos d coordnadas usados para dscribir la dinámica d sistmas multicurpo flxibls: métodos d rfrncia flotants; métodos co-rotacionals; métodos inrcials, srá n uno inrcial n l qu s bas l studio plantado n st trabajo []. La formulación n coordnadas nodals absolutas, absolut nodal coordinat formulation, o ANCF n adlant [,, ], ha sido dsarrollada rcintmnt por Ahmd A. Shabana y sus colaboradors []. Su caractrística fundamntal s l uso d un conjunto d coordnadas dfinidas n un sistma d rfrncia inrcial, s dcir, un único sistma global d

6 INRODUCCIÓN rfrncia para dscribir la dinámica d los lmntos d un sólido cualquira. D sta forma, todas las variabls usadas n stos métodos stán dfinidas n l sistma global. Esta formulación s dsarrolló originalmnt hacindo uso d un sistma d rfrncia local para mdir las dformacions d los lmntos finitos []. Brzri t al. [5] studiaron algunas d las posibilidads para dfinir l sistma d rfrncia local dl lmnto. Sin mbargo, los postriors trabajos n torno a sta formulación s orintaron al uso dl sistma global como único sistma d rfrncia para mdir dformacions n los lmntos finitos [6, 7, 8, 9]. A partir d stos trabajos, la ANCF pud considrars un método totalmnt inrcial. La caractrística principal d sta formulación s l uso d las drivadas parcials dl vctor d posición dl nodo con rspcto a los parámtros locals dl lmnto, también llamadas pndints, como variabls nodals, n lugar d pquñas o grands rotacions []. Dbido a qu sólo s usan variabls globals, la matriz d masa s constant y no aparcn términos dbidos a furzas d inrcia cntrífugas o d Coriolis n las cuacions d moviminto. La ANCF, admás carc d algunos d los problmas asociados a las formulacions incrmntals d lmntos finitos como s la dscripción inxacta d la inrcia d sólido rígido d los lmntos finitos []. Actualmnt xistn difrnts lmntos finitos tipo viga basados n la ANCF []. Entr llos l lmnto finito d dos nodos qu utiliza la toría d Eulr-Brnoulli dsarrollado por Escalona t al. [] s ampliamnt utilizado. Sin mbargo, su ficincia no ha sido totalmnt dmostrada n la bibliografía. En dicho lmnto, l cálculo d las furzas lásticas rquir dl uso d un sistma d rfrncia local dl lmnto. D acurdo con la bibliografía xistnt, dos posibls sistmas d rfrncia han sido studiados [5]. Estos dos sistmas d rfrncia s dnominarán aquí sistma d rfrncia tangnt y sistma d rfrncia biapoyado. En l primro d llos, l vctor unitario qu dfin l j d abscisas tin la dircción tangnt a la lína mdia dl lmnto n l primr nodo. Por l contrario, n l sgundo, la dircción dl vctor unitario qu dfin l j d abscisas s la d una rcta qu pasa por los dos nodos dl lmnto. Ambos sistmas d rfrncia

7 INRODUCCIÓN pudn xprsars a través d una combinación linal d los vctors qu componn las coordnadas nodals absolutas dl lmnto. - Objtivo d st proycto. En st proycto s busca obtnr una nuva formulación d los vctors unitarios cuya orintación srvirá para rfrnciar l lmnto, aplicando para llo una combinación linal altrnativa qu mjor l comportaminto dl mismo. Para llo s utiliza un squma basado n la búsquda d configuracions qu optimicn la nrgía d dformación almacnada por l lmnto. D sta forma, s obtin una función d furzas lásticas dl lmnto qu rquir la búsquda d la dircción dl j d abscisas dl sistma para cada valuación d las mismas. - Rsumn dl proycto. En l apartado d st proycto s llva a cabo una brv dscripción tórica d la ANFC qu sirv d bas para la búsquda d un sistma d rfrncia qu optimic la nrgía d dformación almacnada por l lmnto, dsarrollándos st concpto n l apartado d st documnto. A continuación, n l punto, s xponn una sri d rsultados numéricos obtnidos como conscuncia d la aplicación d la toría dsarrollada n l apartado a una sri d problmas státicos cuyas solucions son conocidas y prmitn comparar la ficincia dl sistma dsarrollado rspcto a los rsultados obtnidos mdiant la aplicación d los sistmas d rfrncia tradicionals. En l apartado 5 s rlatan las conclusions prtinnts basadas n los rsultados obtnidos n l punto d st trabajo. Para finalizar, s n la scción 6 dond s numra la difrnt bibliografía usada para la rdacción dl proycto, como las difrnts rsñas plantadas a lo largo d st documnto.

8 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS. INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS... Dscripción d las coordnadas. La formulación mdiant coordnadas nodals absolutas s un procdiminto d lmntos finitos no incrmntal para l análisis d sólidos qu xprimntan grands dformacions y/o grands rotacions. En sta formulación s mplan coordnadas globals. Estas coordnadas s dfinn rspcto un sistma d rfrncia fijo o inrcial, dond la matriz d masas s constant y las furzas cntrifugas y d Coriolis son nulas. Para la ralización d st proycto s han utilizado lmntos bidimnsionals basados n la toría d vigas d Eulr-Brnoulli. En ANCF, la posición d cualquir punto d un lmnto pud dfinirs usando una función d forma global y unas coordnadas nodals absolutas. Así pus: r = S (.) dond S s la función d forma global y s l vctor d las coordnadas nodals dl lmnto. Movimintos dl lmnto como sólido rígido La posición global d cualquir punto d una viga indformada o rcta pud rprsntars como: r R x cosθ r = = r R xsnθ (.) dond R y R son las coordnadas dl orign O, x rprsnta la posición d cualquir punto a la largo d la viga n la configuración indformada, y θ s l ángulo qu dfin la orintación d la viga como s mustra n la figura. Las pndints s dfinn como: r = cosθ, x r x = snθ (.), (.) Para l caso qu nos incumb, la función d forma global s la siguint:

9 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS ξ ξ l( ξ ξ ξ) S= ξ ξ l( ξ ξ ξ) ξ ξ l( ξ ξ) ξ ξ l( ξ ξ) (.5) A X ' X ' X R O θ O X Fig.. y l vctor d coordnadas nodals vin dfinido como: = [ ] (.6) dond ξ = x / l, l s la longitud dl lmnto n la configuración indformada y,, 5 y 6 son rspctivamnt las coordnadas absolutas d los nodos O y A. Las dmás coordnadas qu forman l vctor s dfinn como: r = (, x = ) x r = (, x = ) x r x = l = ( ) x 7, 8 r = ( x = l) x como sigu: Con sta dfinición d las coordnadas, l vctor, pud scribirs = [ R R θ snθ R l cosθ R lsnθ cosθ snθ ] cos (.7) Usando st vctor y la función d forma, s pud vrificar qu: 5

10 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS R x cosθ r S = = = r R xsnθ r S dmustra pus, qu la función d forma y l vctor d coordnadas nodals dfinidos pudn dscribir l moviminto como sólido rígido d un lmnto finito tipo viga... Formulación d las furzas lásticas basada n la lasticidad linal. Podmos comnzar dfinindo l dsplazaminto dl lmnto rspcto una configuración d rfrncia dfinida por un vctor d coordnadas nodals. D st modo, l vctor d dsplazaminto global dfinido n un sistma d rfrncia inrcial, tndría la forma: u g = S ( ) (.8) Por simplicidad, considrarmos l caso d pquñas dformacions admás d la toría bidimnsional para barras. Para l caso d grands dformacions, sólo ncsitaríamos cambiar la forma d la matriz d rigidz. Slccionando un punto O sobr la viga como rfrncia, las componnts d un dsplazaminto rlativo d un punto arbitrario con rspcto a O pudn dfinirs n l sistma inrcial como: u (S u = = u (S S S O O ) ) (.9) dond S y S son las filas d la matriz d forma, y S y S corrspondn a las filas d la misma matriz pro particularizadas n l punto d rfrncia O. Llgados a st punto, dbmos dfinir un vctor unitario i cuya orintación nos srvirá para rfrnciar los dsplazamintos longitudinals y transvrsals por dformación. En la formulación clásica con coordnadas nodals absolutas, s han mplado dos sistmas d rfrncia para dfinir la orintación dl vctor unitario i : Sistma biapoyado ( Pinnd fram ) 6

11 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS 7 Para st sistma, la dircción dl vctor unitario qu dfin l j d abscisas s la d una rcta qu pasa por los dos nodos dl lmnto, así pus, tnmos: (.) (.) Sistma tangnt ( angnt fram ) El vctor unitario qu dfin l j d abscisas tin la dircción tangnt a la lína mdia dl lmnto n l primr nodo: (.) (.) En ambas configuracions j s prpndicular a i. Habindo dfinido las distintas configuracions, las dformacions longitudinals y transvrsals d la viga pudn dfinirs como: (.) La nrgía d dformación U s rprsnta por la siguint xprsión: (.5) dond E s l módulo d lasticidad, A s l ára d la scción transvrsal dl lmnto I corrspond al momnto d inrcia dl mismo. Las furzas lásticas s obtndrían drivando la xprsión d la dformación rspcto a las coordnadas nodals: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; = = j i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; = = j i = = = j u j u x i u i u x u u t l j u i u u d = l t l dx x u EI x u EA U

12 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS 8 (.6) El cálculo d las furzas lásticas dl lmnto qu aparc n la cuación (.6) rquir la valuación d las siguints intgrals []: = = = = =,,,,, ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ d EA d L EI d L EI d L EA d L EA S A S S B S S B S S A S S A = = = = = ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ d EA d L EI d L EI d L EA d L EA S A S S B S S B S S A S S A (.7) Usando dichas intgrals, la nrgía d dformación dl lmnto tndría la siguint forma: = ) ( ) ( ) ( ) ( { j i i i i U B A A A A (.8) con lo qu la xprsión (.6) podría scribirs como: (.9) F = U } ) ( ) ( EAL i i j j j A A B B B i i j j j j j j j j i i i i i i i i i i j j j j i i i i U = A A B B B B A A A A A A B B B B A A A A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

13 INRODUCCIÓN EÓRICA DE LA FORMULACIÓN EN COORDENADAS NODALES ABSOLUAS Hasta aquí s ha dtallado la obtnción d las furzas lásticas tal y como pud ncontrars n la bibliografía []. Otros aspctos como la obtnción d la matriz d masa, las furzas gnralizadas asociadas a las accions más comuns o la formulación d las rstriccions qu prmitn conctar lmntos mdiant pars cinmáticos no s rcogn aquí, pusto qu st proycto trata xclusivamnt d la formulación d un nuvo modlo d furzas lásticas. Esos mismos aspctos son igualmnt válidos para los lmntos formulados n st proycto y para su dsarrollo s rmit al lctor a la bibliografía rlacionada [, ]. 9

14 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS. NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS. El objtivo dl prsnt proycto s l d dsarrollar un nuvo sistma d rfrncia basándonos n la optimización d la nrgía d dformación. Esto s db a qu los sistmas mplados n la actualidad, sistmas d rfrncia biapoyado y tangnt, no ofrcn una ficincia total. Dichos sistmas pudn xprsars a través d una combinación linal d los vctors qu componn las coordnadas nodals absolutas dl lmnto. Como s sabido, l vctor d coordnadas nodals dl lmnto s l siguint: = A A B B [ r r r ], x r, x (.) dond los nodos dl lmnto s han dsignado por A y B. D acurdo con la xprsión antrior dl vctor d coordnadas, l vctor no unitario ~ i dl sistma d rfrncia local pud xprsars como la siguint combinación linal: ~ A A B B i = α r β r γ r δ r (.), x, x dond α =, β =, γ = y δ = para l sistma d rfrncia tangnt y α =, β =, γ = y δ = para l sistma d rfrncia biapoyado. A partir d la cuación antrior l vctor unitario i pud obtnrs dividindo ~ i por su módulo: ~ i = i ~ i (.) La xprsión d la cuación (.) nos prmit pnsar n la lcción d otra combinación d los parámtros α, β, γ y δ qu dira lugar a un lmnto con un mjor comportaminto... Optimización d la nrgía d dformación. En su studio d los sistmas d rfrncia tangnt y biapoyado, Brzri t al. [5] concluyn qu l biapoyado da mjors rsultados dbido a qu, n la mayoría d los casos, las dformacions mdidas n st sistma son mnors qu si s midn n l sistma tangnt. Esto sugir la búsquda d un conjunto d coficints d la cuación (.) basada n considracions nrgéticas qu mjor l funcionaminto dl lmnto. En la figura s

15 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS mustran los dos sistmas mncionados antriormnt junto con l nuvo sistma d rfrncia basado n la nrgía d dformación. Los dsplazamintos por dformación n l nuvo sistma s calculan con la cuación (.) dond falta por dfinir la dircción d los vctors i y j. Dbido a qu ambos vctors son prpndiculars, sus componnts son las siguints: [ i ] = [ i i ] i = j. (.) i, Fig.. En la figura pudn obsrvars los js x d los sistmas d rfrncia tangnt, x, y biapoyado, x t b. En principio, l nuvo j pud tnr una orintación qu no tin porqué coincidir con los dos antriors. D acurdo con las cuacions (.) y (.), los dsplazamintos por dformación pudn calculars como sigu: u l i u iu x, ut = iu iu =, (.5) dond las componnts dl vctor u pudn obtnrs como aparc n la xprsión (.9). A continuación, las drivadas d los dsplazamintos s obtinn como sigu: ul x ' ' ut '' '' = i S is, = is is, (.6) x dond S s la drivada d la fila α ( α =,. ) d S con rspcto a la ' α coordnada x. Por tanto, tal y como la hmos calculado, la nrgía d

16 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS dformación s función dl vctor d coordnadas nodals y d las componnts d i : U dond U f ( i, i, ) y ( i,i, ) ( i, i ) U ( i i,) U f, a, =, (.7) U a son las componnts d la nrgía dbidas a las dformacions d flxión y axial, rspctivamnt. Las componnts dl vctor unitario i pudn obtnrs optimizando la función d la nrgía antrior. Sin mbargo, la optimización d U stá sujta a la rstricción d módulo unidad dl vctor unitario. Por sta razón, s ha d optimizar la siguint función []: ( i, i ) ( i ) f = U λ i (.8), Los valors d i i qu optimizan la función f son los qu s obtinn al rsolvr l siguint sistma d cuacions para i, i y λ : f i =, f i =, i i = (.9) Una vz obtnidas i i, pudn calculars los parámtros qu habrían dbido scogrs para xprsar i como combinación linal d las coordnadas nodals. Pusto qu dos vctors linalmnt indpndints son suficints para llo, s usarán sólo las pndints n los nodos A y B... Minimización d la nrgía. Introducindo n la cuación d la nrgía d dformación (.5) las xprsions dsarrolladas n (.6), pud obtnrs la siguint xprsión para la nrgía: U = l ' ' " " ( EA( is is ) EI ( is is ) ) dx (.) La cuación antrior s una función cuadrática d las componnts i i dl vctor unitario i. Dicha cuación pud scribirs también, d forma simplificada, como sigu: U = ai ai bii ci ci EAL (.)

17 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS o bin U EAL = i Ai C i (.) dond la matriz A y l vctor C tinn las siguints componnts: a A = b c C = c b a (.) Nóts qu los coficints a, a, b, c y c dpndn dl vctor d coordnadas nodals dl lmnto y tinn la siguint structura: a a b = = = A A B c c = C = C (.) A continuación s mustran las xprsions qu prmitn calcular las matrics A, A y B y los vctors C y C : A A B C C = = l l = = = EIS EIS l l l " " EIS " EAS EAS S dx ' ' " S dx " " dx dx l l S dx EAS EAS l ' ' EAS ' S dx S ' ' S dx ' dx (.5) Mrc la pna prstar atnción a la structura d la función nrgía d dformación qu s mustra n la cuación (.). Analizando la dfinición d la matriz simétrica A s pudn xtrar conclusions sobr los puntos singulars d la función nrgía d dformación (.5). A continuación s dsarrolla l sistma d la cuación (.9).

18 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS a i b i b i a i i c c i λi λi = = = (.6) Est sistma tin cuatro solucions. Esto pud vrs si d las dos primras s dspjan i i n función d λ y stas xprsions s sustituyn n la trcra. Así, i i s xprsan como sigu: i i λc ac bc = ( a λ)( a λ) b λc ac bc = ( a λ)( a λ) b (.7) Sustituyndo la cuación antrior n la rstricción d modulo unidad, pud obtnrs l siguint polinomio d cuarto grado: (λc (( a a c λ)( a b c ) (λc λ) b ) a c = b c ) (.8) Los cuatro valors d λ qu hacn cro la cuación antrior pudn usars para obtnr los valors d i i qu stamos buscando mdiant las cuacions (.7). Así, l vctor i qu hac mínima la nrgía pud slccionars comparando los valors d la nrgía d dformación qu arrojan cada uno d los cuatro vctors unitarios obtnidos. Para llo s utilizará la cuación (.)... Maximización d U f. Dbido a la gran difrncia n ordn d magnitud ntr la rigidz axial y d flxión y, a los problmas numéricos surgidos a la hora d rsolvr d forma complta la minimización d la nrgía lástica, s ha dcidido optimizar únicamnt la nrgía d dformación por flxión. ( i, i ) ( i ) f = U f λ i, (.9) Est sistma ha d rsolvrs n cada valuación d la función d furzas lásticas. Para una configuración cualquira, l sistma d la cuación (.9) pos dos máximos y dos mínimos. S ha comprobado qu l máximo coincid

19 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS prácticamnt con l mínimo d la nrgía lástica d dformación. Admás, dicha lcción dl sistma d rfrncia conduc a una mdida d las dformacions n la qu la flxión y la dformación axial stán dsacopladas. Pusto qu s ha dcidido optimizar únicamnt U f dbido a la gran difrncia n ordn d magnitud ntr la rigidz axial y d flxión, las xprsions qu aparcn n (.5) pudn simplificars d forma qu: A A B ' ' ' = = l l = EIS EIS l " " EIS S S " " " S dx dx " dx (.) D sta manra, las xprsions d (.) tndrían la siguint forma: a a b = = = A A B ' ' ' c c = = (.) El sistma d cuacions (.6) pasa a sr como sigu: a i b i i b i a i i λi λi = = = (.) El siguint paso s llvar a cabo un cambio d variabls. Así pus: i = cosθ i = sinθ (.) Introducindo l cambio (.) n l sistma d cuacions (.) s llga a la siguint rlación: a cosθ b sinθ b cosθ a sinθ = cosθ sinθ (.) 5

20 NUEVO MODELO DE FUERZAS ELÁSICAS Mdiant rlacions trigonométricas, la cuación (.) pud simplificars obtniéndos l valor d θ n función d a, a y b. D sta manra: tg(θ ) = b a a (.5) Rsolvindo la cuación (.5) s obtinn cuatro solucions para l valor d θ, lo qu implica la obtnción d cuatro solucions dl vctor unitario i. i = cosθ = ± i = sinθ = ± cos θ cos θ (.6) Estos cuatro valors dl vctor unitario obtnidos, dbn sustituirs, uno por uno, n la xprsión d la nrgía d dformación lástica (.) ligiéndos l vctor i qu conllv a una U mnor. En st capítulo s ha studiado l funcionaminto d lmntos viga con la nuva función qu dfin las furzas lásticas. Para llo, s ha plantado optimizar la nrgía d dformación buscando un nuvo vctor unitario i qu mjor los rsultados obtnidos mdiant los sistmas d rfrncia biapoyado y tangnt. A continuación s dfin un método para llvar a cabo sta optimización d la nrgía d dformación y como s pud obtnr dicha optimización cntrándonos n la nrgía a flxión dl lmnto, obviando la nrgía axial, dbido a la difrncia d magnitud xistnt ntr uno y otro, simplificando los cálculos numéricos ncsarios para la obtnción dl nuvo sistma d rfrncia qu dfinn las nuvas furzas lásticas. En l siguint capítulo, s rsolvrán algunos problmas státicos utilizando trs funcions d furzas lásticas: una qu utiliza l sistma d rfrncia biapoyado, otra qu us l tangnt y otra qu us l sistma d rfrncia qu optimic la nrgía d dformación. 6

21 . RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESÁICOS. S aplicará la toría dsarrollada a problmas státicos concrtos, mplando para cada uno d llos los dos sistmas clásicos d rfrncia, sistma biapoyado y sistma tangncial, comparando los rsultados obtnidos al aplicar una u otra rfrncia. Dichos problmas státicos son: viga mpotrada con carga n l xtrmo, viga mpotrada con momnto n l xtrmo, viga biapoyada con carga aplicada n l cntro y viga biapoyada con momnto aplicado n l xtrmo. Para la rsolución gnérica d problmas aplicamos las cuacions d Lagrang, dpndindo dl problma qu vayamos a rsolvr habría qu aplicar unas u otras condicions d contorno para particularizar la rsolución dl sistma n concrto. Las cuacions d Lagrang s plantan d la forma siguint: d dt L L C q& q q L = U λ = Q (.) dond y U rprsntan rspctivamnt la nrgía cinética y potncial dl sólido, C q s la matriz jacobiana traspusta d las rstriccions dl problma, λ son los multiplicadors d Lagrang y Q son las furzas gnralizadas. Sustituyndo la sgunda cuación rprsntada antriormnt n la primra obnmos: d dt q& q U q C q λ = Q (.) d para problmas státicos, = = dt q& q xprsión antrior d la forma: con lo qu s simplifica la C q λ = Q U q (.) sindo U q = F la dfinición d las furzas lásticas, lugo: 7

22 C λ = Q F q (.) A continuación s mustra una tabla dond s rprsntan las propidads físicas d la viga a studiar. Longitud, L (m) 8 Dnsidad, ρ ( kg / m ) Ára d scción transvrsal, A ( m ),767 7,99 Momnto d inrcia, I ( m ) 8, Masa, m (kg), 65 Módulo d Young, (Pa) 6, E abla. Estas propidads s han usado n divrsos studios dond s ha aplicado ANCF, por llo la lcción d las mismas para la rsolución d los distintos problmas qu s plantan a lo largo d st trabajo... Viga mpotrada con carga vrtical n l xtrmo. F O Fig.. Basándonos n la rsolución gnérica dl problma, programamos una subrutina mplando l programa Mathmática por l cual rsolvmos la posición dl lmnto. Dbido a la no linalidad dl sistma d cuacions a rsolvr, utilizamos un método numérico (Nwton-Raphson) para obtnr la posición d la viga como conscuncia d la aplicación d la carga. Mdiant la formulación n coordnadas nodals absolutas s irá discrtizando progrsivamnt la viga, analizando y comparando los rsultados obtnidos sgún discrticmos n uno, dos, trs ó n lmntos. 8

23 9 Para l cálculo dl problma para más d un lmnto hay qu introducir las dnominadas matrics d conctividad (B) para asgurar la continuidad n toda la viga cuando discrtizamos ésta n más d un lmnto.... Discrtización n un lmnto.. Fig. Para un lmnto, la longitud dl mismo y d la viga complta coincidn. Las rstriccions dl problma son = = =. La matriz Jacobiana particularizada para la viga mpotrada tin la forma: (.5) Si l vctor d multiplicadors d Lagrang s ( ),, λ λ λ = λ, obtnmos: (.6) F = C = λ λ λ λ C

24 nindo F l valor d Nwton, l vctor d furzas gnralizadas particularizado para st problma s l siguint: Q = (.7) A continuación obtndrmos las xprsions qu dfinn las furzas lásticas dl lmnto. Para l cálculo d las mismas usamos la función d forma global dfinida n (.5). Slccionando l punto O (orign d la viga) como rfrncia, las componnts d un dsplazaminto rlativo d un punto arbitrario con rspcto a O pud dfinirs sgún (.9). Dfinimos ahora un vctor unitario i cuya orintación nos srvirá para valuar los dsplazamintos longitudinals y transvrsals qu obtndrmos durant l dsarrollo d st trabajo. Dpndindo dl sistma d rfrncia dond dfinamos dicho vctor unitario podríamos obtnr rsultados difrnts, ya qu cada problma pud ajustars mjor a un sistma u otro. Para l problma d la viga mpotrada con carga vrtical n l xtrmo, la rsistncia d matrials dictamina un dsplazaminto d. mtros n l punto d aplicación d la carga. Sistma biapoyado. Para st sistma, la dircción dl vctor unitario qu dfin l j d abscisas s la d una rcta qu pasa por los dos nodos dl lmnto, sindo l otro vctor prpndicular al antrior. El primro quda dfinido sgún las xprsions (.) y (.). Las dformacions longitudinals y transvrsals d la viga aparcn n (.). La nrgía potncial U quda rfljada sgún (.5), con lo qu las furzas lásticas s obtndrían drivando la xprsión d la nrgía potncial rspcto las coordnadas nodals, qudando rfljado st procdiminto n la cuación (.6).

25 Sistma tangnt. La difrncia rspcto al sistma biapoyado radica n la dfinición dl vctor i. Para st sistma concrto d coordnadas las componnts dl vctor unitario d orintación aparcn rfljadas n las xprsions (.) y (.). Sistma basado n la nrgía. Como s xplicó n l apartado d st trabajo, l vctor unitario i db d optimizar la nrgía d dformación dl sistma. Una vz obtnido dicho vctor unitario s procdría a la obtnción d las furzas lásticas sgún la xprsión (.6).... Discrtización n n lmntos. F Fig.. ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) Para más d un lmnto hay qu introducir l concpto d conctividad ntr los mismos para obtnr continuidad n la viga. Mdiant unas matrics dnominadas matrics d conctividad podmos dsarrollar prfctamnt l problma para más d un lmnto sin más qu modificar lvmnt las cuacions qu dfinn l sistma. Las matrics d conctividad las dnominarmos B n, corrspondindo l subíndic al lmnto n concrto al qu s rfir, así pus para l jmplo d dos lmntos n podrá tomar los valors y, s dcir, tndrmos dos matrics; B y B. Dichas matrics tinn una dimnsión 8 v, sindo v l númro d variabls dl problma, l cual dpnd d los lmntos n los qu hayamos dividido l mismo. Así pus, v = ( n ) sindo n l númro d

26 lmntos n los qu discrticmos la viga. La construcción d las matrics d continuidad s muy simpl siguindo un patrón qu dsarrollarmos a continuación. Dichas matrics stán compustas por una submatriz idntidad d dimnsión 8 8 y l rsto d la matriz s rllna d cros, dpndindo d la posición d la submatriz idntidad dntro d la matriz global, tndrmos la matriz d continuidad corrspondint a un lmnto concrto. Si cada columna d la matriz B n s asocia a una variabl dl problma, la submatriz idntidad qudaría ncajonada n las columnas d variabls qu conformarían l lmnto n. B n corrspondints a las Con las matrics d continuidad rdfinimos las cuacions d moviminto qu modlan l problma. D sta forma: C q λ = B n Q n j= ( B F ( )) j j (.8) Rsolución d los modlos. Sistma d rfrncia biapoyado Rprsntamos n l siguint gráfico l dsplazaminto vrtical n l xtrmo d la viga n voladizo para cada discrtización. Fig..

27 A continuación s rprsntará gráficamnt las itracions dl método d Nwton-Raphson ncsarias para la rsolución dl problma aplicado a las n discrtizacions mpladas, así como l timpo d jcución dl algoritmo. Fig..5 Fig..6

28 Los valors xactos dl dsplazaminto vrtical n l xtrmo d la viga para cada discrtización n los lmntos dscritos n la gráfica s visualizan n la siguint tabla d valors, junto con l númro d itracions y timpo d jcución dl sistma d cuacions rsulto mdiant l programa Matlab. Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla anto n la gráfica como n la tabla pud obsrvars l salto significativo ocurrido n l momnto qu valuamos l dsplazaminto vrtical para dos lmntos tras obtnrs una solución muy aproximada a la xacta al valuar l problma con uno sólo. A partir d la valuación para dos lmntos, las distintas solucions tindn a la solución xacta a mdida qu s aumnta l númro d lmntos qu componn l problma. Llgados a la discrtización n ocho lmntos, la solución dl dsplazaminto prmanc constant. Pud obsrvars la variación dl númro d itracions dl método d Nwton-Raphson qu también ocurr cuando discrtizamos n dos lmntos, ncsitándos, junto al cálculo con trs lmntos, hasta dos itracions más qu las ncsarias para llgar a la solución xacta.

29 Sistma d rfrncia tangnt Al igual qu n l caso biapoyado, s rprsntará a continuación la volución qu sufr l dsplazaminto n l xtrmo d la viga rspcto al númro d lmntos n l s discrtiza la misma (Fig..7)..7 Fig. Junto a sta gráfica, s incluyn dos más qu nos indican las itracions dl método d Nwton-Raphson rspcto a los lmntos n los qu s divid la viga (Fig..8) y, l timpo d jcución dl algoritmo para cada discrtización (Fig..9). 5

30 Fig..8 Fig..9 En la siguint tabla s xponn los difrnts rsultados xpustos n los gráficos antriors. 6

31 Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. Al igual qu para l sistma biapoyado, para dos lmntos s produc un salto significativo n la solución dl problma. A difrncia qu n l sistma antrior, para l sistma d rfrncia tangnt obtnmos la solución xacta dl problma para un solo lmnto, sin mbargo, para n = Κ s obtinn pors solucions qu n l sistma d rfrncia biapoyado, dond son ncsarias mnos itracions para llgar a una solución stabl qu n l caso dl sistma d rfrncia tangnt. La variación n l númro d itracions qu s obtinn para dos lmntos s más significativa n l caso dl sistma tangnt qu n l biapoyado. Admás los timpos d jcución totals dl algoritmo son snsiblmnt mayors para l sistma tangnt qu para l sistma d rfrncia biapoyado. 7

32 Sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión La figura. rprsnta l dsplazaminto n l xtrmo d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu s divid la misma aplicando para llo l nuvo sistma d rfrncia dsarrollado. Fig.. La siguint figura rflja la volución d las itracions dl método d cálculo mplado n cada problma, s dcir, para los distintos lmntos n los qu progrsivamnt s va dividindo la viga (Fig..) 8

33 Fig.. La siguint gráfica xpon l timpo ncsario qu ncsita l algoritmo d cálculo para rsolvr cada problma. Fig.. 9

34 En la siguint tabla s listan los difrnts valors mplados n la construcción d los difrnts gráficos antriors. Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. S pud comprobar como con l sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación por flxión s obtinn rsultados más xactos qu con los sistmas tradicionals. No sólo s alcanza con xactitud la solución analítica dl problma, sino qu s cumpl para n = Κ lmntos. Admás s consigu un númro d itracions y un timpo d jcución dl algoritmo más rápido y ficint qu con los sistmas tradicionals d rfrncia... Viga mpotrada con furza horizontal aplicada n l xtrmo. F Fig.. S aplicarán los sistmas d rfrncia dfinidos para l problma d la viga mpotrada con una furza horizontal aplicada n l xtrmo. Las

35 condicions d contorno d st problma son las mismas qu para la viga con carga vrtical n l xtrmo, pro cambian las furzas gnralizadas qu s aplican al problma. D sta manra, dichas furzas qudan dscritas como: Q = (.9) En st caso F tin un valor d N para podr aprciar dformación a lo largo d la viga dbido a la gran rigidz qu pos la misma n sntido axial. Aplicando la rsistncia d matrials a st problma aparcrá una dformación axial d.59 mtros a lo largo d la viga. A continuación s rsolvrá l problma aplicando los distintos sistmas d rfrncia dscritos n st proycto. Sistma d rfrncia biapoyado Aplicando l sistma d rfrncia biapoyado obtndrmos un gráfico dond s rflja l dsplazaminto axial qu sufr la viga rspcto a las difrnts discrtizacions n las qu s divid l problma.

36 Fig.. La figura.5 rprsnta las itracions ncsarias ralizadas por l método d Nwton-Raphson para la obtnción d la solución más aproximada a la xacta ó, lla misma, para cada númro d itracions n los qu s ha plantado l problma.

37 Fig..5 A continuación s mustra l timpo d jcución dl algoritmo a mdida qu la viga s va discrtizando progrsivamnt. Fig..6

38 La tabla qu s mustra a continuación rún los datos con los qu s han construido los gráficos antriors. Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.5 Para l problma d la viga mpotrada con carga horizontal aplicada n l xtrmo, la lcción d un sistma d rfrncia biapoyado tin un bun comportaminto ya qu, como s pud obsrvar, tomando la viga complta como un único lmnto, s alcanza l valor xacto qu nos dfin la rsistncia d matrials, con un númro d itracions pquño para cada discrtización y unos timpos d jcución dl algoritmo ínfimos. Sistma d rfrncia tangnt S aplicará l sistma d rfrncia tangnt al problma d la viga mpotrada, con carga axial n l xtrmo libr d la misma. La figura.7 rprsnta la dformación horizontal qu sufr la viga rspcto a las divrsas discrtizacions con los qu s rsulv l problma.

39 Fig..7 La gráfica qu s mustra a continuación rprsnta las itracions dl algoritmo d Nwton-Raphson ncsarias para la rsolución dl problma d la viga mpotrada, para cada una d las difrnts itracions plantadas. 5

40 Fig..8 El timpo ncsario qu mpla l algoritmo d Nwton-Raphson n cada rsolución, s ncuntra rfljado n la gráfica d la figura.9. Fig..9 6

41 La tabla d valors qu s prsnta a continuación mustra los datos usado n las rprsntacions gráficas antriors. Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.6 Como pud obsrvars, al comparar tanto las divrsas gráficas obtnidas mdiant l sistma d rfrncia biapoyado junto con las obtnidas aplicando l sistma d rfrncia tangnt, así como las tablas.5 y.6, s llga a la conclusión d qu s indifrnt aplicar cualquira d los dos sistmas d rfrncia mncionados antriormnt ya qu s llgan a las misma solucions, tanto n lo rfrnt al dsplazaminto n l xtrmo d la viga, como n l númro d itracions dl algoritmo d cálculo como n l timpo d jcución dl mismo. S aplicará a continuación l sistma d rfrncia d optimización d la nrgía para d sta manra comparar todos los datos obtnidos. Sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión S rprsnta a continuación l dsplazaminto n l xtrmo d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu s va discrtizando la viga dl problma, aplicando para llo l sistma qu optimiza la nrgía d dformación. 7

42 Fig.. La siguint figura rprsnta las itracions ncsarias qu ha d ralizar l algoritmo d Nwton-Raphson para obtnr las distintas solucions para cada númro d lmntos n los qu s discrtiza la viga dl problma. Fig.. 8

43 A continuación, s mustra l timpo mplado por l algoritmo d cálculo para la rsolución dl problma, aplicado a cada una d las discrtizacions ralizadas. Fig.. Los datos usados n la construcción d los gráficos antriors s mustran n la tabla.7. Al comparar dicha tabla con las obtnidas al aplicar los sistmas d rfrncia biapoyado y tangnt s obsrva como para l problma d la viga mpotrada con furza horizontal aplicada n l xtrmo libr s indifrnt l uso d cualquir sistma d rfrncia, ya qu con cualquira s obtinn xclnts rsultados. Esto s dbido a qu n l problma dscrito no xist dformación a flxión n la viga, lo qu no condiciona los rsultados finals dpndindo dl sistma d rfrncia mplado. 9

44 Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.7.. Viga mpotrada con momnto aplicado n l xtrmo. M Fig.. S analiza l problma d la viga n voladizo aplicando un momnto n l xtrmo libr d la misma. Las condicions inicials dl problma son las mismas para sta configuración qu las dscritas n l apartado., salvo la dfinición d las furzas gnralizadas dl problma, qu para ést qudan dscritas como: M Q = 7 8 (.) 8 7

45 dond M = N.m. Para discrtizar l problma n n lmntos no hay más qu aplicar la xprsión (.8). Si s aplica la rsistncia d matrials a st problma aparcrá una dformación d.565 mtros n l xtrmo d la viga. A continuación s rsolvrá l problma aplicando los distintos sistmas d rfrncia dscritos n st proycto. Sistma d rfrncia biapoyado La siguint gráfica compara los rsultados obtnidos usando l sistma d rfrncia biapoyado con la solución xacta dl problma aplicando la rsistncia d matrials. Fig.. Las gráficas.5 y.6 rprsntan rspctivamnt las itracions ncsarias dl método d Nwton-Raphson para la rsolución dl problma n cada una d las distintas discrtizacions n la qu s ha rsulto la viga con momnto aplicado n l xtrmo; así como l timpo mplado por l algoritmo n la rsolución d dicho problma.

46 Fig..5 Fig..6 La tabla.8 agrupa los datos con los qu s han rprsntado las gráficas d las figuras.,.5 y.6.

47 Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.8 Pud obsrvars como l sistma d rfrncia biapoyado proporciona una solución xacta a la analítica, lo qu implica una buna lcción d sistma d rfrncia para la rsolución dl problma. Sistma d rfrncia tangnt A continuación, como s ha hcho n los apartados prvios, s analizará l problma d la viga con momnto aplicado n l xtrmo aplicando l sistma d rfrncia tangnt. La figura.7 rprsnta la volución qu sufr l dsplazaminto n l xtrmo d la viga rspcto al númro d lmntos n l s discrtiza la misma.

48 Fig..7 Junto a la gráfica antrior, s incluyn dos más qu nos indican las itracions dl método d Nwton-Raphson rspcto a los lmntos n los qu s divid la viga (Fig..8) y, l timpo d jcución dl algoritmo para cada discrtización (Fig..9).

49 Fig..8 Fig..9 La tabla.9 rún los datos con los qu s han construido los gráficos antriors. 5

50 Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.9 Si s obsrva la gráfica dond qudan rprsntadas las distintas solucions, dicha rprsntación sigu una volución muy parcida a la obtnida n l problma d la viga n voladizo con carga n l xtrmo, s dcir, d partir d una solución xacta para un lmnto, salta a una solución no xacta con una discrtización suprior y, progrsivamnt, a mdida qu aumnta l númro d lmntos n los qu dividimos la viga la solución va tndindo a la analítica. Dstacar sin mbargo qu sta variación rspcto la solución xacta s muy pquña como s mustra n la tabla d valors. anto l númro d itracions dl algoritmo como los timpos d jcución dl mismo son muy parcidos para ambos casos, rsaltar la altración n la columna dond aparc l númro d itracions n los primros cuatro valors, qu ngloba l momnto n l qu l algoritmo vulv a tndr a la solución xacta una vz alcanzada ésta tras valuar l problma para un lmnto. 6

51 Sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión La gráfica siguint nos mustra l dsplazaminto n l xtrmo d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu discrtizamos l problma usando l sistma d rfrncia qu optimiza la nrgía. Fig.. La siguint figura mustra l númro d itracions ncsarias dl algoritmo d Nwton-Raphson para la rsolución dl problma sgún l númro d lmntos n los qu discrtizamos l mismo. 7

52 Fig.. La figura. rprsnta l timpo d jcución dl algoritmo para cada rsolución dl problma, s dcir, para cada númro d lmntos n los qu s discrtiza l mismo. Fig.. 8

53 La tabla d valors qu s adjunta a continuación ngloba los difrnts datos usados n las rprsntacions gráficas antriors, nglobadas dntro d la rsolución dl problma mdiant l sistma d rfrncia d optimización d la nrgía. Númro d lmntos Dsplazaminto n l xtrmo Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. Como pud obsrvars n las gráficas y n la tabla d valors adjuntas, l método d cálculo por l cual s maximiza la nrgía d dformación a flxión proporciona valors xactos a los obtnidos aplicando la rsistncia d matrials, n cuanto a dsplazaminto n l xtrmo d la viga s rfir, al igual qu cuando s aplica l sistma d rfrncia biapoyado. Sin mbargo, s n l númro d itracions dl método d Nwton-Raphson, dond l sistma qu optimiza la nrgía d dformación mjora los rsultados obtnidos rspcto a cuando s aplica l sistma d rfrncia biapoyado. Los rsultados obtnidos mdiant l sistma d rfrncia tangnt son pors qu los qu s obtinn mdiant los sistmas d rfrncia rstants, ya qu n éstos últimos las dformacions mdidas son mnors qu si s midn n l sistma tangnt. 9

54 .. Viga biapoyada con carga aplicada n l cntro. F Fig.. La rsolución dl problma d la viga biapoyada con carga cntrada s nfoca d la misma manra qu para l problma d la viga mpotrada, dbiéndos tnr n cunta las condicions particulars qu dmanda l primro. Así pus, para l problma d la viga biapoyada con carga n l cntro s tndría n l caso d qu s discrtic la viga usando un solo lmnto: C = (.9) obtnmos: Si l vctor d multiplicadors d Lagrang s = ( λ, λ λ ) λ,, C λ λ λ = λ (.) nindo F l valor d Nwton, l vctor d furzas gnralizadas particularizado para st problma s l siguint: 5

55 Q = (.) Dfinidas las condicions inicials dl problma, db rsolvrs l mismo aplicando los distintos sistmas d rfrncia dsarrollados. Para l caso d discrtizar l problma n n lmntos no hay más qu aplicar la xprsión (.8). Si s aplica la rsistncia d matrials a st problma aparcrá una dformación d.889 mtros n l cntro d la viga. A continuación s rsolvrá st problma aplicando los distintos sistmas d rfrncia dscritos. Sistma d rfrncia biapoyado Aplicando l sistma d rfrncia biapoyado, s rprsnta l dsplazaminto n l cntro d la viga rspcto l númro d lmntos n los qu dividimos la misma, obtniéndos los rsultados visibls n la figura.. 5

56 Fig.. Las dos gráficas qu s mustran a continuación rprsntan, rspctivamnt, las itracions dl método d cálculo utilizado rspcto al númro d lmntos n los qu s divid l problma (Fig..5) y, l timpo d jcución dl algoritmo d cálculo para cada situación n l qu s discrtiza la viga (Fig..6). 5

57 Fig..5 Fig..6 Los datos qu s numran n la siguint tabla rcogn con xactitud los valors obtnidos durant la rsolución d la viga biapoyada con carga aplicada n l xtrmo, usándos l sistma d rfrncia biapoyado. 5

58 Númro d lmntos Dsplazaminto n l cntro d la viga Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. anto n la gráfica, como n la tabla d rsultados para los distintos númros d lmntos, s obsrva una volución d la solución final partindo d un valor inxacto para n = lmnto hasta igualar la solución analítica dl problma a mdida qu aumntamos l númro d lmntos n los qu discrtizamos la viga. Cuando n = xist una pquña variación d la solución qu s corrig a mdida qu s va incrmntando l valor d n. No obstant, si s obsrva con atnción la tabla d valors, la variación d la solución s prácticamnt dsprciabl aunqu n la rprsntación gráfica parc más important dbido a los márgns tan strchos d valors n los qu s rprsnta la solución dl problma para los distintos númros d lmntos n los qu s discrtiza la viga n custión. Sistma d rfrncia tangnt Emplándos l sistma d rfrncia tangnt, s rsulv l problma d la viga biapoyada con carga aplicada n l cntro d la misma. La figura.7 rprsnta l dsplazaminto qu sufr la viga rspcto a las difrnts discrtizacions qu s aplican al problma. 5

59 Fig..7 La gráfica qu s mustra a continuación, mustra las itracions dl método d Nwton-Raphson ncsarias para la rsolución dl problma n cada una d las difrnts discrtizacions mpladas. Fig..8 55

60 En la siguint figura, s mustra l timpo ncsario d jcución dl algoritmo d rsolución para cada discrtización mplada n l problma. Fig..9 La tabla. rflja los difrnts rsultados obtnidos n la rsolución d la viga biapoyada con carga aplicada n l cntro d la misma. Númro d lmntos Dsplazaminto n l cntro d la viga abla. Númro d itracions método d Nwton- Raphson 5 5 impo d jcución dl algoritmo

61 Con l sistma d rfrncia tangnt, al igual qu con l sistma biapoyado, xist una volución d la solución aproximándos ésta a la solución analítica a mdida qu incrmntamos l númro d lmntos n los qu discrtizamos la viga dl problma. Sin mbargo, pud obsrvars como s ncsaria una mayor discrtización d la viga para alcanzar la solución xacta rspcto a la solución qu aparc cuando s aplica l sistma d rfrncia biapoyado. Admás, tanto l númro d itracions ralizadas por l algoritmo d cálculo como los timpos d jcución dl mismo son mayors aplicando l sistma d rfrncia tangnt qu cuando s aplica l sistma biapoyado. Sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión S aplicará finalmnt l método d optimización d la nrgía, rprsntándos a continuación los difrnts rsultados obtnidos. En primr lugar, s mustra la volución dl dsplazaminto n l cntro d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu s discrtiza l problma. Fig.. 57

62 En sgundo lugar, la figura. rprsnta las itracions dl método d Nwton-Raphson ncsarias para obtnr la solución n cada una d las difrnts discrtizacions n las qu s divid l problma. Fig.. En último lugar, s rprsnta l timpo ncsario d jcución dl algoritmo para la rsolución dl problma d la viga biapoyada para cada una d las discrtizacions qu conforman l mismo. 58

63 Fig.. La tabla qu s adjunta incorpora los datos mplados n las difrnts gráficas xpustas con antrioridad. En dicha tabla pud aprciars con xactitud los valors obtnidos para la rsolución dl problma d la viga biapoyada con carga aplicada n l cntro d la barra, usándos l sistma d rfrncia d optimización d la nrgía. 59

64 Númro d lmntos Dsplazaminto n l cntro d la viga Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. Los rsultados obtnidos para l sistma d rfrncia qu optimiza la nrgía son prácticamnt xactos a los qu s obtinn al aplicar l sistma biapoyado. En st caso, l vctor unitario i qu maximiza la nrgía d dformación a flxión coincid con l obtnido n l sistma d rfrncia biapoyado. No obstant, si s compara l númro d itracions dl algoritmo y los timpos d jcución dl mismo, s obsrva qu son mnors para la configuración qu optimiza la nrgía d dformación rspcto a si s toma l sistma d rfrncia biapoyado. Para l problma d la viga biapoyada con carga aplicada n l cntro s obtin un rsultado parcido al dsarrollado n l apartado. n lo rfrnt a la ficincia dl método utilizado. Con l sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión s obtinn mjors rsultados rspcto a los sistmas d rfrncia tradicionals. 6

65 .5. Viga biapoyada con momnto aplicado n l xtrmo. M Fig.. Para st problma concrto, las condicions inicials y d contorno coincidn con los dsarrollados para la viga biapoyada con carga cntrada. Es l vctor qu dfin las furzas gnralizadas dl problma lo qu cambia rspcto al problma dscrito n l apartado.. En st caso, l vctor Q s dfin igual qu l qu aparc n la xprsión (.), dond también s considra qu M = N.m. Evaluando la dformación n l cntro d la viga, la rsistncia d matrials dictamina un dsplazaminto d.76 mtros. A continuación s rsolvrá l problma aplicando los distintos sistmas d rfrncia dscritos n st proycto. Sistma d rfrncia biapoyado S rprsntará a continuación la volución qu sufr l dsplazaminto n l cntro d la viga rspcto al númro d lmntos n l s discrtiza la misma (Fig..). 6

66 Fig.. Junto a la gráfica antrior, s incluyn dos gráficas más qu rprsntan las itracions dl método d Nwton-Raphson rspcto a los lmntos n los qu s divid la viga (Fig..5) y, l timpo d jcución dl algoritmo para cada discrtización (Fig..6). Fig..5 6

67 Fig..6 La tabla. agrupa los datos obtnidos n la rsolución d la viga biapoyada con momnto aplicado n l xtrmo cuando s usa l sistma d rfrncia biapoyado. Númro d lmntos Dsplazaminto n l cntro d la viga Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla. 6

68 Pud obsrvars como l sistma d rfrncia biapoyado proporciona una solución xacta a la analítica, lo qu implica una buna lcción d sistma d rfrncia para la rsolución dl problma. A mdida qu s dsarrolln las dmás solucions s podrán comparar dichos rsultados con la proporcionada aplicando l sistma biapoyado d rfrncia n custión d itracions dl algoritmo y timpos d jcución dl mismo, ya qu como pud obsrvars, s obtinn unos rsultados n términos d dsplazaminto xactos a la solución analítica. Sistma d rfrncia tangnt A continuación s rprsnta, para l sistma d rfrncia tangnt, l dsplazaminto n l cntro d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu s discrtiza l problma. Fig..7 Las dos gráficas qu s mustran a continuación rprsntan, rspctivamnt, las itracions dl método d cálculo utilizado rspcto al númro d lmntos n los qu s divid l problma (Fig..8) y, l timpo d jcución dl algoritmo d cálculo para cada situación n l qu s discrtiza la viga (Fig..9). 6

69 Fig..8 Fig..9 65

70 Para finalizar, s rprsnta la tabla con los datos xactos xpustos n las gráficas antriors, dntro d la rsolución dl problma aplicando l sistma d rfrncia tangnt. Númro d lmntos Dsplazaminto n l cntro d la viga Númro d itracions método d Nwton- Raphson impo d jcución dl algoritmo abla.5 La aplicación dl sistma d rfrncia tangnt aporta unas solucions muy parcidas a las logradas con la rfrncia biapoyada, s n l númro d itracions dl algoritmo y n los timpos d jcución dl mismo dond s pud obsrvar difrncia pro casi dsprciabl como s ha ido obtnindo durant la rsolución d los dmás problmas plantados. Sistma d rfrncia d máxima nrgía d dformación a flxión La gráfica siguint nos mustra l dsplazaminto n l cntro d la viga rspcto al númro d lmntos n los qu discrtizamos l problma usando l sistma d rfrncia qu optimiza la nrgía. 66