x θ es conocida pero se desconoce θ total o ˆθ ) debe ser función de los datos de la muestra

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1 Estmacó putual de parámetros. Parámetro( : Característca de la poblacó. E estadístca la forma fucoal de f ( ; es coocda pero se descooce total o parcalmete. La estmacó del parámetro ( debe ser fucó de los datos de la muestra,,...,, es decr f (,,...,, pero los datos so catdades aleatoras por lo tato es aleatoro, etoces debe teer setdo pregutarse por la dstrbucó de y esta dstrbucó debe descrbr por completo las propedades del estmador. Las propedades más deseables de los estmadores so: Nos gustaría que la dstrbucó de u estmador esté cetrada e el parámetro que se desea estmar. S la meda de la dstrbucó de u estmador es gual al parámetro estmado, se dce que el estmador está sesgado. S o es así, se dce que el estmador está sesgado. Además os gustaría que la dstrbucó de u estmador tuvera varaza míma; es decr, que la dspersó de la dstrbucó fuera lo más pequeña posble, de modo que las estmacoes teda a ser cercaas a. Defcó: U estmador estmador está sesgado. de u parámetro es sesgado s ( B E ( El sesgo B de u estmador es gual a: E. S ( E, se dce que el U estmador sesgado que tee la varaza más pequeña de todos los estmadores sesgados se deoma: estmador sesgado de varaza míma (MVUE. Hay ocasoes e las que o podemos lograr la falta de sesgo y també la varaza míma e el msmo estmador. E u caso así, prefermos el estmador que mmza el error cuadrado medo (ECM: ECM E ( V ( + B Por lo tato, s o está sesgado, es decr, s 0 B, etoces ECM V (. S y so estmadores de se dce que es más efcete que ECM ECM, s so sesgados: V V ( s y sólo s Cossteca. Se dce que (estmador de es cosstete s lm P <ε La dstaca etre el estmador y el parámetro debe ser pequeña; para muy grade. Salvador Ivá Márquez Flores

2 Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de observacoes. Se descooce la dstrbucó de la poblacó muestreada. Demuestre que la varaza de la muestra, s, es u estmador sesgado de la varaza de la poblacó, σ. Por la defcó de la varaza de la muestra teemos que: s ( E s E E E ( E( E( Coocemos que: ( V X E X E X σ E µ E σ + µ Como cada (,,..., se escogó al azar de ua poblacó co meda µ y varaza σ ( E σ +µ, por lo que:. Además Cetral del Límte, sabemos que: σ N µ, σ σ + µ +µ Etoces: E( E σ + µ, pero por el Teorema σ E( s E( E( ( σ +µ +µ {( } ( ( E s σ σ + µ σ µ σ σ σ σ Por lo tato s es u estmador sesgado de σ. Salvador Ivá Márquez Flores

3 Ejemplo: Sea,,..., varables aleatoras, N ( µ, σ. Queremos estmar µ. Sea y y y y µ µ + + µ y, cuál dará la mejor estmacó. 3 3,, so sesgados? y E( µ E ( 3 ( 3 E y µ µ µ E µ µ ( ( 3 3 µ µ µ ( 3 y y y3 E y E y E y3 + + µ E( µ E µ E( µ µ E µ E y µ E µ µ Los tres estmadores so sesgados Cuál tee la meor varaza? y V ( µ V ( ( 3 3 V y σ σ σ V ( ( y y 9 4 y3 σ σ σ 7 µ V σ V µ V y σ σ El de meor varaza es 3 y µ µ es el mejor estmador. 3 Cómo estmar? No este ua úca maera de estmar u parámetro. No este u úco estmador de u parámetro u mejor estmador. Las prcpales téccas de estmacó so: por mometos por máma verosmltud Salvador Ivá Márquez Flores 3

4 Máma verosmltud. S seleccoamos al azar ua muestra de observacoes depedetes e détcamete dstrbudas,,..., de ua v.a., y s la fucó de desdad f ( ; es fucó de u sólo parámetro etoces la fucó de desdad cojuta de los valores,,..., es: (,,..., ; f f f f L verosmltud ( ; L f Fsher sugró que se debería escoger como estmacó de el valor que mamza L, es decr, debemos ecotrar el valor de que mamce la observacó de la muestra cojuta,,...,. S la verosmltud L de la muestra es fucó de dos parámetros y etoces las estmacoes de máma verosmltud de y so los valores que mamza L. Supoedo que L es fucó de u sólo parámetro, etoces el valor de que mamza la dl verosmltud es el valor para el cual 0 d, esta dervada e ocasoes puede ser dfícl de obteer, ya que L es el producto de varas catdades que depede de ; por lo tato se usa el hecho de que la fucó logartmo es ua fucó moótoamete crecete, etoces: L será máma co el msmo valor de que mamza su logartmo. Por lo que el valor de dlog L que mamza la verosmltud será el valor para el cual 0 d Ojo. L será fucó sólo de, los valores de se fja y lo que mporta es el recorrdo del parámetro ; por lo que o mporta que s so v.a. dscretas, podemos dervar lbremete. Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de observacoes de la varable aleatora co fucó de desdad epoecal: f e β s 0 < β β 0 e los demás putos ( ; Determe el estmador de máma verosmltud (MLE del parámetro β. Salvador Ivá Márquez Flores 4

5 β β β e e e e L f ( ; f ( f ( f ( β β β β β log L log e logβ logβ β β β β dlog L β β d es mámo? dβ β β β β d log L < 0 ( mámo β es el MLE de β ( ( ( β Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de observacoes de la varable aleatora co fucó de desdad ormal co meda µ y varaza σ, obtega los MLEs de µ y σ : f ; µσ, ep ( ( ; L f f f f ( µ ( µ σ πσ ( µ ( µ ( µ ep ep ep σ σ πσ πσ πσ ep ( σ µ σ π ep σ ( π σ ( log L log ( σ log π σ ( µ σ Salvador Ivá Márquez Flores 5

6 dlog L µ 0 ( 0 0 µ µ µ µ dµ σ ( ( µ µ ( ( σ dlog L 0 d σ σ σ σ, ( ( σ µ σ so los MLEs de µ y σ σ ( sesgado Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de observacoes de la varable aleatora co fucó de probabldad Beroull: f ; p p p 0, Determe el estmador de máma verosmltud (MLE del parámetro p. ( ; ( ( ( L f p p p p p p ( log L log p+ log p ( ( ( 0 dlog L p dp p p p p p p proporcó p la proporcó p es el MLE de p. Problema: cómo garatzar que detro de los estmadores { } de ua característca de la poblacó se tee el mejor e algú setdo? Cota feror de Cramér- Rao. Sea,,..., m.a. co f (,. Sea τ T t(,,..., u estmador sesgado de τ. Etoces s se cumple los sguetes supuestos, llamados codcoes de regulardad Salvador Ivá Márquez Flores 6

7 log f ; y f dd d f dd d ( ; ( ; t f d d d t f d d d (,,..., ( ; (,,..., ( ; 0< E log f ; v < τ teemos que: V T t(,,..., E log f ( ; cota feror para la varaza de u estmador sesgado de ua característca. Proporcoa el valor mímo que puede tomar la varaza de u estmador sesgado. S teemos varos estmadores sesgados, etoces el que tega la varaza más cercaa a esta cota será el mejor de ellos. S teemos u estmador cuya varaza alcaza la cota: este es el mejor estmador de todos. Demostracó: ( ; log log ( ; L f L f log L log f ( ; U fucó score ( de putajes f ( ; E log f ( ; log f ( ; f ( ; d f ( ; d f ( ; d f codcó ( ; f ( ; d ( 0 E log f ( ; 0 E( U E log f ( ; E log f ( ; 0 EU 0 Salvador Ivá Márquez Flores 7

8 como las so v.a...d. EU E log f( ; E log f( ; EU E log f ; Pero V ( X E( X ( E( X V ( U E( U E( U EU V ( U E( U E log f ( ;...(* formacó de Fsher τ,,..., : Ahora por sesgameto de T t( ( ( ; ( ; ( ; τ E τ τ f f f dd d ( ; (, τ f dd d τ L dd d ( E τ ( τ( L(, dd d τ( L(, dd d codcó τ ( ( log L(, L(, dd d ( ; τ U f dd d E τ U ( U τ τ U Ahora be Cov( X, Y E ( X Y E ( X E ( Y S X τ (, Y U, teemos: Cov( τ, U E ( τ U E ( τ E ( U Cov (, U E ( U ( τ τ τ...(** Por otra parte, sabemos que para v.a.: Cov ( X, Y V ( X V ( Y Cov ( τ, U Cov ( τ, U V ( τ V ( U V ( τ V ( U Salvador Ivá Márquez Flores 8

9 etoces, susttuyedo (* y (**, obteemos la Cota feror de Cramér- Rao (CICR: V Cov τ V U ( ( τ, U τ V T t(,,..., E log f ; ( Q. E. D Resultado útl: E log f ( ; E log f ( ; Ejemplo: Este u estmador p de p (dstrbucó Beroull, que alcace la cota feror de Cramér-Rao? ( p p ( p ( ; ( f ( p p+ ( ( p τ τ f p p p log ; log log log f ( ; p p p p ( p log f ; ( p p p ( ( ( ( p E E p p E f p E ( p p p log ( ; p p p p p p p E log f ( ; p p p p ( τ p τ p p p V[ p ] E log f ( ; p E log f ( ; p( p ( p p V [ p ] ( CICR Salvador Ivá Márquez Flores 9

10 Ya sabemos que la proporcó p es el MLE de p, alcaza la CICR? Prmero veamos s es sesgado: ( p E p E E( p p p es sesgado Ahora ( ( p p V p V V ( p ( p p ( p es la cota palcazalacicr p es el estmador de meor varaza y es el mejor estmador de todos. Ejemplo: Normal µσ,, co µ descoocda y τµ µ τ µ f ( ( ; µσ, ep ( µ σ πσ ( µ log f ( ; µσ, log ( πσ σ ( µ log f ( ; µσ, µ σ log f ( ; µσ, µ σ E log f ( ; µ, σ E µ σ σ E log f ( ; µ, σ µ σ σ coocda. τ µ τ µ σ V [ µ ] E log f ( ; µσ, E log f ( ; µ, σ σ σ V µ ICR [ ] ( C Salvador Ivá Márquez Flores 0

11 σ coocemos u estmador sesgado de µ cuya varaza sea? S, ya que por el Teorema Cetral del Límte, sabemos que: σ N µ, es decr σ V µ alcazalacicr es MVUE. Qué pasa para σ descoocda? τσ σ τ σ f ; µσ, ep ( Sea f σ ( ( µ σ πσ ( µ ; µ, ep π ( µ ( µ log f ( ; µ, log ( π ( µ ( µ π log f ( ; µ, + + π log f ( ; µ, + 3 ( µ E log f ( ; µ, E + E 3 + µ 3 { } { } { } ( E µ E µ+µ E µ E +µ E µ +µ E µ ( ( { } Pero V X E X E X E V + E σ +µ E µ E µ σ +µ µ σ Salvador Ivá Márquez Flores

12 E log f ( ; µ, E log f ( ; µ, τ τ σ V E log f ( ; µ, E log f ( ; µ, 4 4 σ V σ ICR ( C S µ es coocda ( µ 4 σ σ V( σ alcazalacicr 4 σ S µ es descoocda σ s V ( s Sólo s se alcaza la CICR Ejemplo: Uforme ( 0, f ( ; ( 0, Bajo las codcoes de regulardad ya demostramos que se debe cumplr E log f ( ; 0 Pero para la fucó Uforme (0, teemos que: log f ( ; log log f ( ; E log f ( ; f ( ; d d La fucó Uforme( 0, o cumple las codcoes de regulardad CICR (No este la cota feror de Cramér-Rao. Salvador Ivá Márquez Flores

13 Estmemos el parámetro, para la Uforme( 0,, usado la técca de mometos y la de máma verosmltud: m E m Mometos E( M m Máma verosmltud L log L log log L 0!!! o podemos mamzar l og L, pero s L, obsérvese que es ua fucó decrecete de. Pero debe ocurrr que, e partcular ( (mámo de la muestra. MV ( MLE cuál de los dos estmadores es el mejor so sesgados? ( E M E( E E( es sesgado. Ahora para determar la esperaza del estmador mámo verosíml, prmero ecesto coocer la fucó de desdad de : Etoces, ( MV ( f(,0 E E f d d d d d 0 0 MV es sesgado M 0 Salvador Ivá Márquez Flores 3

14 Auque el estmador MV es sesgado observamos que fáclmete podemos obteer el estmador sesgado: + MV ( es sesgado Por lo que ya teemos dos estmadores sesgados M y + MV ( Cuál tee la meor varaza? ( M ( V V V V 3 ( MV ( ( ( ( ( ( V V V E E Pero ya determamos E Y además: ( + E f d d d d ( + + V MV E( E( ( + ( + + ( + ( + ( + Etoces teemos que: ( V M y V MV 3 + por lo que el de meor varaza es el estmador mámo verosíml MV + MV ( es mejor estmador para la fucó Uforme( 0,, auque o este la cota feror de Cramér-Rao. Salvador Ivá Márquez Flores 4

15 Estadístcas sufcetes. Habíamos defdo ua estadístca T t(,,...,, como ua medda descrptva umérca calculada a partr de datos de la muestra. Ua estadístca codesa o reduce las v.a. e ua v.a., por lo que debemos pregutaros s lo msmo que decía v.a. sobre, lo dce ahora T t(,,...,? habremos perddo formacó e esta reduccó? Estadístca sufcete. Sea,,..., ( ua m.a. de ua desdad f ( ;. Ua estadístca T t,,..., es sufcete para s y sólo s, la dstrbucó codcoal de,,..., dado T t o depede de para gú valor t de T. Basta coocer los valores de la estadístca sufcete T para coocer. Lo demás que o sea T o aporta formacó sobre. T (ua estadístca sufcete codesa o reduce el rago de valores de ua maera que o haya perdda de formacó sobre. Ejemplo: Sea,, 3 tres esayos Beroull f ; p p p 0, y (,, T t ua estadístca. Sea ω el rago de valores de la trpleta (,, : 3 ω ( 0,0,0,( 0,0,,( 0,,0 (,,0,0 (,,,0,,,,0,,,,0 { } ( 3 0,, 0,0,0,,0,0, 0,,0 T t,, 0,,,, 0, 0, 0,, 0,,,, 0,,, La dstrbucó codcoal de,, 3 dado T t, será: (,, 3 3 P X X X T t (,, 3 3 PT ( t P X X X Para T 0: tomado la trpleta ( 0,0,0 Salvador Ivá Márquez Flores 5

16 ( 0, 0, PT ( p PT P X 0, X 0, X 0 P X 0 P X 0 P X P X X X T depede de p, por lo tato (,, 0 0 ( p p + p p + p p p + p p p + T t + o es ua estadístca sufcete para 3 3 p, lo que dca que se ha perddo formacó. ( p Ejemplo: Para,,..., ua m.a. de observacoes de la varable aleatora co fucó de probabldad Beroull: f ; p p p 0, Sabemos que el estmador de máma verosmltud del parámetro p, es p, será ua estadístca sufcete para p? T t Teemos que: Beroull( p t Bomal(, p, por lo tato, la dstrbucó codcoal de,, 3 dado T t, será ( p p P( X, X,..., X P( X, X,..., X T t PT ( t t t p ( p t t t p ( p p ( p o depede de p T es sufcete para p t t t t p ( p p ( p t t t p es ua fucó a de la estadístca sufcete, o hay perdda de formacó sobre p. Estadístcas cojutamete sufcetes. Sea,,..., ua m.a. de desdad f ( ;. Las estadístcas S, S,..., Sk so cojutamete sufcetes, s la dstrbucó codcoal de,,..., dado S s, S s,..., Sk s k o depede de. Habrá ua forma más ecoómca de decdr s ua estadístca es sufcete para u parámetro? Crtero de factorzacó. Salvador Ivá Márquez Flores 6

17 Crtero de factorzacó. Sea,,..., ( ua m.a. de desdad f ( ;. Ua estadístca S s,,..., es sufcete s y sólo s la desdad cojuta de,,..., se puede factorzar como: f,,..., g s,,..., ; h,,..., g S; h,,..., ( ( ( ( ( Equvaletemete, para estadístcas cojutamete sufcetes: f (,,..., g s (,,...,, s (,,...,,..., sk (,,..., ; h,,..., (,,..., ; (,,..., g S S S h k h es ua fucó o egatva que o depede de g es o egatva y depede de,,..., sólo a través de ( s,,...,,..., s,,..., k Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de observacoes de la varable aleatora co fucó de probabldad Beroull: ( (,,..., { 0,} f ; p p p 0, ( (,,..., ( { 0,} ( { 0,} ( ; (,,..., f p p p p g S p h h S g( S; p p ( p es la estadstca sufcete para p. Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. Normal( µ, σ f ; µσ, ep ( ( µ σ πσ (,,..., ( ;, ep ( π σ f f µ σ σ µ ep 0, ( σ ep µ + µ π σ ( { } σ ep ( π µ + µ σ σ g S, S ; µσ, Salvador Ivá Márquez Flores 7

18 ( h(,,..., { 0,} π S ; S g( S, S; µσ, σ ep ep ( µ + µ σ σ (, so cojutamete sufcetes para (, µ σ y por lo tato: ( so fucoes a de la estadístca sufcete. µ y σ s U método para deducr u estadístco sufcete y mmal es el de Lehma y Scheffé, que emplea la razó de verosmltudes evaluadas e dos putos (,,..., y ( y, y,..., y : (,,..., ; (,,..., ; L L y y y Muchas veces es posble ecotrar ua fucó g(,,..., de s y sólo s g( g etoces tal que esta razó o depede,,..., y, y,..., y. s es posble ecotrar dcha fucó g( X, X,..., X es u estadístco sufcete mmal para. Ejemplo: Sea,,..., ua m.a. de ua fucó de probabldad Beroull: f ; p p p 0, (,,..., ; p p y y y y L( p ( p p L( y, y,..., y ; p ( p p p ( p Para que esta razó o depeda de p, la úca posbldad es que y 0 y Pero g(,,..., g,,..., y g( y y y,,..., es ua estadístca sufcete y mmal para p. Salvador Ivá Márquez Flores 8

19 Famla epoecal. Defcó. Famla epoecal de k parámetros. Ua famla de desdades f ( ;,,..., k que puede epresarse como: k f a b c ( ;,,..., (,,..., ep (,,..., k k j k j se dce que perteece a la famla epoecal. d j ( Ejemplo: Beroull( 0, ( ; ( ( log( log log( log( ( log( log log log f e e e e e e e Etoces, defmos: ( e ( { 0,} e ( log log e log a b la Beroull es de la famla epoecal c ( log d ( Ejemplo: Posso ( f ( ;!! log e e e Etoces, defmos: a e b(! la Posso es de la famla epoecal c ( log d ( Salvador Ivá Márquez Flores 9

20 Ejemplo: Normal µσ, f ( µ µ+µ ; µσ, ep ep πσ σ πσ σ µ µ ep ep σ σ σ πσ Etoces, defmos: ( {, } µ a ( µσ, ep σ πσ b µ c µσ, σ la Normal ( µ, σ es de la famla epoecal d( c ( µσ, σ d Famla epoecal: Bomal, Epoecal, Beta, Gamma, Normal, χ. Resultado mportate: S f ( ; ua estadístca sufcete para. es de la famla epoecal etoces d es Alguas cosas sobre el estmador mámo verosíml: Prcpo de varaza. Sea (,,..., k ( S etoces el estmador mámo verosíml de τ( es: el estmador mámo verosíml de. τ τ, τ,..., τk k es ua trasformacó del espaco parametral, ( (, (,..., ( k k τ τ τ τ Salvador Ivá Márquez Flores 0

21 Ejemplo. Posso: estmador mámo verosíml ( trasformacó : τ P 0 e e e estmador mámo verosíml de la trasformacó τ Bajo codcoes de regulardad. U estmador mámo verosíml, que depede de, se dstrbuye astótcamete como: a N, E log f ; MV ( Salvador Ivá Márquez Flores

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