Volúmenes de cubos. Descomponemos un tetraedro. Unidad 12. Medida del volumen. ESO Matemáticas 2. Página 241 A B C

Transcripción

1 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página 41 Volúmenes de cubos 1. Observa estas nuevas figuras que resultan de seccionar el cubo grande de diversas formas. A B C a) Cuál de ellas ocupa mayor volumen? b) Cuál es el volumen de cada una tomando como unidad el cubo grande? c) Supón que fueran de plástico hueco y las pudieras llenar de agua. Cuántos cubos pequeños podrías llenar con cada una? d) Cuál es el volumen de cada una si se toma como unidad el cubo pequeño? a) Todas ocupan el mismo volumen. b) El volumen de cada una de ellas es la mitad del volumen del cubo grande. c) Con cada una podría llenar 4 cubos pequeños. d) El volumen de cada una sería 4 veces el cubo pequeño. Descomponemos un tetraedro. El tetraedro original es 8 veces más grande que los pequeños. Tomando el volumen de cada tetraedro pequeño como unidad, determina el volumen de las siguientes figuras: La figura de la izquierda tiene un volumen igual a 7 veces un tetraedro pequeño, la figura del medio tiene un volumen igual a 4 veces un tetraedro pequeño y la de la derecha, igual a veces un tetraedro pequeño. 1

2 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 1 Unidades de volumen Página 4 1. Expresa en metros cúbicos: a) dam 1 m 5 dm b) cm c) (45 cm 45 mm ) d) 7 hm 1 dam 5 m 40 dm a) 1,05 m b) 9, m c) 6,715 m d) 7015,40 m. Pasa a forma compleja. a) cm b) (4 5 hm ) 000 c) 0, dm d) 4,58 hm a) 5 m 97 dm 85 cm b) (4 km 5 hm ) 000 = 8506 km c) 01,4 mm d) 4 hm 58 dam 00 m

3 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página 4. Copia en tu cuaderno y añade la unidad en la que se expresa cada uno de los siguientes volúmenes: a) Capacidad de un vaso: 1/4, o bien 50. b) Una cucharadita: 6. c) Consumo bimensual de agua en una casa: 6,84. d) Agua en un pantano: 680. a) Capacidad de un vaso: 1/4 l o bien 50 ml. b) Una cucharadita: 6 ml. c) Consumo bimensual de agua en una casa: 6,84 m. d) Agua en un pantano: 680 hm. 4. Si ayer cayeron 10 l por m, a cuántos mm de altura corresponden? Cuántos l por m habrán caído si se alcanzan 48 mm de altura? 10 l por m corresponden a 10 mm de altura. Para alcanzar los 48 mm de altura tienen que haber caído 48 l por m. 5. Expresa en litros. a) 45 dam 15 m 705 dm 500 cm b) mm c) 0,00017 dam d) 75 ml a) ,5 l b) 0,59 l c) 17 l d),75 l 6. Expresa en unidades de volumen (forma compleja). a) ( dal ) 0 b) ( cl ) 0,0 c) (4 75 ml ) 75 a) (4 57 m 100 dm ) 0 = 17 dam 16 m b) (18 m 45 dm 50 cm ) 0,0 = m 85 dm 570,5 cm c) (4 dm 75 cm ) 75 = m 06 dm 475 cm

4 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Principio de Cavalieri Página Verdadero o falso? Los volúmenes de estos cuerpos geométricos: a) Son iguales, porque tienen la misma altura. b) No son iguales, porque sus bases son polígonos distintos. c) Son iguales, porque sus bases tienen la misma área. d) Son iguales, porque tienen la misma altura y al cortarlos por planos paralelos a sus bases se obtienen figuras con la misma área. a) Falso. b) Falso. c) Falso. d) Verdadero. 4

5 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Volumen del prisma y del cilindro Página Halla el volumen de estos cuerpos geométricos: a) b) 90 mm 5 cm 16 cm 11 cm 0 cm a) V = = cm = 11 dm = 11 l b) V = π 9 0 = 5 086,8 cm = 5,0868 dm = 5,0868 l. Calcula el volumen de un trozo de madera con la siguiente forma: 0 cm 7 cm 10 cm 16 cm 15 cm V = = = 480 cm =,48 l 5

6 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 4 Volumen de la pirámide y del tronco de pirámide Página La gran pirámide de Keops es cuadrangular regular. El lado de su base mide 0 m y su altura es de 146 m. Halla su volumen en hm. V = m,574 hm. Calcula el volumen de esta pirámide hexagonal regular. Ten en cuenta que la apotema de la base se puede obtener considerando que en un hexágono regular r = l. a = 80 cm l = 0 cm a l ap ap = 0 15 = cm A base = = 40 cm V = = cm = 6,4 dm = 6,4 l 6

7 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 5 Volumen del cono y del tronco de cono Página Cuántas copas como la siguiente podemos llenar hasta la mitad de su volumen con una botella de un litro? 10 cm 8 cm 14 cm V = 1 π 5 (14 8) = 157 cm V = 78,5 cm 1 l = cm : 78,5 = 1,74 Se pueden llenar 1 copas y sobraría un poco de vino.. Halla el volumen de tierra que cabe en esta maceta, sabiendo que los diámetros interiores de sus bases miden 0 cm y 16 cm, y su altura, cm. x + 10 = x x = 18 8 V = 1 π π ,4 cm = 8,174 l Caben 8,17 l de tierra en la maceta. 7

8 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 6 Volumen de la esfera Página Metemos en una caja ortoédrica de base 5 cm por 0 cm y una altura de 16 cm sesenta bolas de radio,5 cm. Cuántos litros de aceite caben todavía en la caja? V ort = = cm = 8 l V bola = 4 πr = 65,4 cm V bolas = 70 65,4 = 4 579,4 cm = 4,5794 l Caben todavía 8,000 4,5794 =,406 l de aceite.. Sabiendo que la densidad del acero es kg/m, calcula el peso de una esfera hueca de 0 cm de radio exterior y 1 cm de grosor. V = 4 π 0 4 π 19 = 4 776,99 cm kg x = 7,49 kg x , 99 La esfera hueca pesará 7,49 kg.. Cuántas bolas de 5 mm de diámetro podremos hacer fundiendo un cable cilíndrico de m de largo y 5 mm de diámetro? V 4 _ π,, mm BOLA = = b ` Se pueden hacer, aproximadamente, = 900 bolas. V = π 5, mmb 65, 4 CABLE a 4. Calcula el volumen de cada uno de los 10 gajos de una naranja cuyo diámetro es de 1 cm, sabiendo que su cáscara tiene 0,8 cm de grosor. El volumen de cada gajo es el de una cuña esférica de 6 correspondiente a una esfera de 1 : 0,8 = 5, cm de radio. V sector esférico = π 5, = 58,87 cm El volumen de cada gajo es 0,05887 l. 5. Tenemos un cajón cúbico de 40 cm de arista lleno en sus tres cuartas partes de serrín. Queremos ocultar en su interior un balón de cm de diámetro. Qué volumen de serrín sobra? V cajón = 40 = cm = 64 l V serrín = 48 l V cajón sin serrín = = 16 l V balón = 4 π 16 = ,6 cm = 17,1486 l Sobran 17, = 1,1486 l de serrín. 8

9 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Ejercicios y problemas Página 50 Unidades de volumen. Operaciones 1. Transforma en metros cúbicos las siguientes cantidades: a) 0,05 hm b) 459 hm c) dm d) 0,015 km e) dam f ) l a) 5000 m b) m c) 45,14 m d) m e) 000 m f) 58 m. Transforma en litros. a) hm b) 0, hm c) 6 dam 18 m d) 8 56 m cm e) dl f ) 0, hl a) litros b) litros c) litros d) ,749 litros e) 145 litros f) litros. Copia y completa en tu cuaderno las igualdades siguientes: a) 0,007 km = m b) 0,6 hm = dm c) 1,84 dam = m = dm d) 0,0007 m = dm = cm e) 15 hm 1 dam 4 m = m f) 15 hm 1 dam 4 m = l a) m b) dm c) 184, m = dm d) 0,7 dm = 700 cm e) m f) litros 4. Expresa estas cantidades en forma compleja: a) dm b) 0, km c) 451,1451 dm d) dam e) m f ) cm a) 45 dam 15 m 145 dm b) 451 hm 45 dam 680 m c) 451 dm 145 cm 10 mm d) 18 hm e) 57 hm dam 45 m f) 18 dam 70 m 69 dm cm 5. Copia y completa en tu cuaderno las siguientes igualdades: a) 1 hm = hl b) 1 dam = dal c) 1 m = l d) 1 dm = dl e) 1 cm = cl f ) 1 mm = ml a) 10 7 hl b) 10 5 dal c) 10 l d) 10 dl e) 10 1 cl f) 10 ml 9

10 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 6. Efectúa las operaciones siguientes y expresa el resultado en hectolitros. Para ello, pasa a forma incompleja, expresa todas las cantidades en las mismas unidades y realiza los cálculos. a) 0,4 dam + 84 m m b) 0,0005 km + 0,45 hm + 65 dam c) 0,541 dam 41 m 00 dm d) m : 5 e) 4 hm 1 dam 18 m : 40 f ) 568 kl 0,508 dam a) = m hl b) = 865 dam hl c) , = 119,7 m hl d) 180 m hl e) , m hl f) l 600 hl Cálculo de volúmenes 7. Calcula el volumen de cada uno de estos poliedros. Expresa todos los volúmenes en litros. a) b) c) 80 dm 10 cm 16 m cm 70 cm 1 m 8 m 40 dm 4,6 dm d) e) f) 15 cm 0 cm 0 cm 0 cm 0 cm a) V = = cm = 77, l b) V = = 768 m = l c) V = 45 m m , 80 = 160 dm = 160 l m d) V = = = cm = 10,5 l 4 dm 40 dm 16,5 dm e) V = 1 45 = 760 m = l f) V = , 40 = 100 dm = 100 l 10

11 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 8. Calcula, y expresa en litros, el volumen de los siguientes cuerpos de revolución: a) b) 4 hm 40 m 4 hm 10 m c) d) 50 km 8 cm 4 cm 1 cm 10 cm a) V = π = m = l b) V = 1 π 4 4 = ,44 hm = l c) V = 1 4 π 5 708, km = l d) V = 1 π π 4 8 = 1 959,6 cm = 1,9596 l 11

12 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página Calcula el volumen de un ortoedro cuyas dimensiones son 9 dm 15 dm 8 dm. V = dm = 1,08 m 10. Cuál es el volumen de un cubo de 15 cm de arista? V = 75 cm =,75 dm =,75 l 11. La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm y 15 cm. La altura del prisma es de dm. Halla su volumen. V = = 1800 cm = 1,8 dm = 1,8 l 1. Un prisma tiene sus bases en forma de rombo cuyas diagonales miden 40 dm y 8 dm. Su altura es 1, m. Halla su volumen. V = = 670 dm = 6,70 m 1. Halla el volumen de un cilindro de 10 cm de radio y 0 cm de altura. V = π 10 0 = 6 80 cm = 6,80 dm = 6,8 l 14. Halla el volumen de una esfera de 1 cm de diámetro. V = 4 π 1 = 904, cm 15. Halla el volumen de un cono de 6 dm de radio de la base y 15 cm de altura. V = 1 π 6 1,5 = 56,5 dm 16. Calcula el volumen, en litros, de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) 1 cm 0 cm 0 cm 1 cm c) d) 0 cm 18 cm 0 40 cm a) V = 4 π 1 + π 1 0 = 0 799,6 cm = 0,7996 l 1

13 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas b) V = 1 π c) V = d) V = π 15 4 π 9 4 π 1 = 818,88 cm = 8,1888 l = 11077, 9 = 558,96 cm = 5,5896 l 4 π 0 = 070, cm = 0,70 l 17. Calcula el volumen de los dos cuerpos geométricos que se generan al cortar un cono por un plano como se muestra en el dibujo. 5 cm cm 40 cm 40 = 15 x = 6 16 x V cono pequeño = 1 π , cm V tronco de cono = 1 π π ,67 cm 18. Halla el volumen de este tronco de cono: 6 cm 1 cm 16 cm 16 1 x x = 6 x = 4, V tronco = 1 π π 4,5 1 = 48,54 cm 6 1

14 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 19. Halla el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) b) 6 cm 10 cm cm 8 cm c) d) 1 cm 1 cm 6 dm dm BASES 16 cm 1 cm 1 cm 1 dm 1 m e) 10 cm f) 4 m 15 cm 8 cm m 5 m 15 cm 4 m 0 cm 7 m a) 10 + x = x x = x V = 1 π π 0 6 = 1 549,1 cm b) V = 1 c) A base = 1 5 = 0 cm 144 ( ) = cm V = 0 = cm 14

15 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas d) x + 1 = x x = x V = 4 1 π π π 6 18 = 4555 dm e) V cilindro = π 5 15 = 1 177,5 cm 5 x 8 x + 8 = x x = V tronco = 1 π ( ) = 1 465, cm 10 V cono = 1 π = cm V total = 4 1,8 cm f) V pirámide = 1 4 = 1 m 7 x 4 V paralelepípedo = 5 = 45 m x = x + 4 x = 7 V tronco = = 105, m V total = 16, m 15

16 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página 5 Piensa, calcula, estima 0. Para cada uno de estos recipientes que se citan a continuación, se dan tres volúmenes. Solo uno de ellos es razonable. Di, en cada caso, cuál es: a) Volumen de un pantano: 71 hm l cm b) Un depósito de agua en una vivienda: dam 0,8 m l c) Un vaso normal: dm 0, dm 0,0 dm d) Una cucharada de café: dl cm mm a) 71 hm b) 0,8 m c) 0, dm d) cm 16

17 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página 5 Resuelve problemas 1. Cuántas botellas de /4 l se pueden llenar con 0,4 dam? 0,4 dam = dm = l : 0,75 = 5, Se podrán llenar 5 botellas de /4 l.. Un pantano tiene una capacidad de 0,19 km. Si ahora está al 8 % de su capacidad, cuántos litros de agua contiene? 8 % de 0,19 km = 0,05 km = l Contiene l de agua.. La cuenca fluvial cuyas aguas llegan a un pantano es de 6 km. En las últimas lluvias han caído 7 l por metro cuadrado. Del agua caída, se recoge en el pantano un 4 %. Cuántos hectómetros cúbicos se han recogido en el pantano como consecuencia de las lluvias? m 1, l = 1, dm 1, m en total, calculamos el 4 %: 1, ,4 = m Han recogido 0,7198 hm. 4. Un depósito vacío pesa 7 kg, y lleno de aceite, 65,5 kg. Cuántos litros de aceite contiene? La densidad de ese aceite es 0,95 kg/dm. 65, 5 7 = 60 dm 095, = 60 l Contiene 60 l de aceite. 5. Halla el volumen de una habitación de,8 m de altura, cuya planta tiene esta forma y dimensiones: 10 m m m 4 m V V V V PARALELOGRAMO GRANDE SEMICÍRCULO PARALELOGRAMO PEQUEÑO 1/ CIRCUNFERENCIA 4 10, 8 11 m _ = = b 1 b = π,, 8 = 96 m b b ` = 6 8, =, 6 m = 1 π,, 8 = 176 m b b b a V total = 0,8 m 17

18 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 6. Calcula el volumen de hormigón que se ha necesitado para hacer este túnel: 8 m 10 m 0 m V = π 5 0 π 4 0 = 8,6 m 7. Halla el volumen de una habitación con forma de ortoedro de dimensiones 6 m,8 m,6 m. Cuántas duchas podrías darte con el agua que cabe en la habitación suponiendo que gastas 80 l de agua en cada ducha? V = 6,8,6 = 59,8 m = l : 80 = 741 Podrías darte 741 duchas. 8. Un sótano cuya superficie es de 08 m se ha inundado. El agua llega a 1,65 m de altura. Se extrae el agua con una bomba que saca 6 hl por minuto. Cuánto tiempo tardará en vaciarlo? 08 1,65 = 4, m hay en el sótano. 4 hl 6 hl/ min = 57 min = 9,5! horas = 9 h min Se tardará en vaciarlo 9 horas y minutos. 9. Con una barra cilíndrica de oro de 15 cm de larga y 5 mm de diámetro se fabrica un hilo de 1/4 mm de diámetro. Cuál es la longitud del hilo? V barra = π,5 150 = 94,75 mm Dividiéndolo entre la superficie de una circunferencia de 0,5 mm de diámetro nos dará la longitud del hilo: 94,75 : (π 0,15 ) = mm = 60 m La longitud del hilo es 60 m. 0. Queremos construir una pared de 7,5 m por 5,6 m y un grosor de 0 cm. Cuántos ladrillos de 15 cm 10 cm 6 cm se necesitarán si el cemento ocupa un 15 % del volumen? V pared = 1,6 m el 15 % es 1,89 m Tenemos que rellenar de ladrillo 10,71 m V ladrillo = 900 cm = 0,9 dm = 0,0009 m Necesitaremos 10, 71 = ladrillos. 0,

19 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 1. Una columna de basalto tiene forma de prisma hexagonal regular. El lado de la base mide 15 cm. La altura de la columna es de,95 m. Halla su peso sabiendo que 1 m de basalto pesa 845 kg. x 1 V columna = = 17,575 cm x 7, m kg 4 0, m x = 491 kg 8 x kg La columna pesará 491 kg.. Para medir el volumen de una piedra pequeña, procedemos del siguiente modo: en un vaso cilíndrico echamos agua hasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel mm. Cuál es el volumen de la piedra? datos del vaso: Diámetro exterior: 9 cm Diámetro interior: 8,4 cm Altura: 15 cm (Usa solo los datos que necesites). V = c 84, m π, = 11,86 cm es el volumen de la piedra. Problemas +. Una copa cónica de 8 cm de diámetro de la base y 6 cm de altura se llena hasta la mitad de su volumen. Qué altura alcanza el líquido? V copa = 1 π 4 6 = 100,48 cm La mitad de su volumen es 50,4 cm. 6 cm h 4 cm r Por semejanza de triángulos: 4 6 = r 8 h = 6r = r h 4 V en la copa = 50,4 = 1 π r r =,17 cm r r = 50, 4 r = π h = r 4,76 cm 19

20 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 4. Veamos otro método, distinto del visto en el ejercicio, para medir el volumen de una piedra. Depositamos el mismo vaso lleno de agua dentro de un recipiente cilíndrico vacío. Echamos una piedra dentro del vaso y el agua que se desborda alcanza, dentro del recipiente, una altura de, cm. Halla el volumen de esta piedra sabiendo que el diámetro interior del recipiente es de 4 cm. El volumen de esta piedra es el volumen del agua derramada y recogida en la vasija exterior, que es la diferencia de dos cilindros. Cilindro exterior: r 1 = 1 cm; altura =, cm Cilindro interior: r = 4,5 cm; altura =, cm V = π, (1 4,5 ) = 89,7 cm 5. Calcula el volumen de esta zona esférica: 0 cm 5 10 Ayúdate de la relación entre los volúmenes del cono, la semiesfera y el cilindro que has estudiado en la unidad. V zona esférica = V cilindro V tronco de cono = π π (15 10 ) 794,17 cm 0

21 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Página 55 Entrénate resolviendo problemas Calcula, en centímetros cuadrados, la superficie de estas figuras: A B 1 cm Fijándonos en estas figuras, es claro que: Área de A = 8 = 4 cm Área de B = 4 4 = 16 cm A B 1 cm Calcula, en centímetros cúbicos, el volumen de estas figuras: C 1 cm D cm 8 cm 4cm 6 cm Volumen de C = 4 4 = 96 cm Volumen de D = 16 6 = 96 cm Observa la siguiente imagen: a) Desplaza dos palillos para formar cuatro cuadrados y que la moneda quede dentro de uno de ellos. b) Desplaza dos palillos para formar cuatro cuadrados, pero esta vez la moneda queda dentro de dos de ellos. a) b) 1

22 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas Autoevaluación 1. Transforma en metros cúbicos estas cantidades: a) 450 dam b) 1, dam 1 5 dm c) 0,11 km d) dm e) 500 hl f) l a) m b) 01,5 m c) m d) 5,84 m e) l = dm = 50 m f) 0000 dm = 0 m. Expresa en forma compleja. a) m b),1496 dm c) 0, km d) dam a) 75 hm 47 dam 8 m b) dm 149 cm 60 mm c) 8 dam 400 m d) 8 hm. Halla el volumen de estos cuerpos geométricos: a) 6 cm b) 15 cm 4 cm 1 cm 4 cm 8 cm c) cm d) 5 cm 5 cm 9 cm 9 cm 1 cm a) V = 6 5, 15 = 1404 cm b) V pirámide grande = = 576 cm V pirámide pequeña = c1 m V pirámide grande = 7 cm V tronco de pirámide = = 504 cm c) h = 5 = 4 V = = 16 cm d) V = V cilindro V semiesfera = π π 5 = 94 61,6 = 680, cm

23 Unidad 1. Medida del volumen Matemáticas 4. La cubeta de una piscina tiene esta forma: 1 m,5 m 1, m 6 m 5 m a) Cuál es su capacidad? b) Se empieza a llenar con un grifo que vierte 10 litros por minuto. Al cabo de 9 horas, se cierra. A qué distancia del borde quedará el agua? a) V = 6 5 1, + 5, + 1, 6 5 = ,5 = 106,5 m = l b) = l ha vertido el grifo durante las horas que ha estado abierto. 6 (, 5 1, ) 5 V parte honda = = 4,5 m = 4500 l Con el agua que queda, que son = 0 00 l = 0, m llegará el agua hasta: 0, = 1 5 x x = 0,505 Por lo que el agua queda a 1, 0,505 = 0,695 m del borde. 5. El interior de este vaso mide 8 cm de diámetro y 1 cm de altura. Está medio lleno de agua. Se echan dentro 0 canicas de cm de diámetro. a) Se derramará el agua? Si no, a qué altura llegará? b) Y si echamos canicas? 1 cm 8 cm a) Volumen de las 0 canicas: V = 0 4 π 1,5 8,6 cm Volumen que ocupa el agua: V = π ,44 cm Volumen del vaso sin agua: V = π ,88 cm Restamos al volumen del vaso el que ocupa el agua y las canicas: 60,88 01,44 8,6 = 18,84 cm El agua no se derramará porque al introducir las canicas quedan todavía por llenar 18,84 cm. Calculamos ahora qué altura alcanzará el agua: 584,04 = π 4 a a = 584, 04 = 11,65 cm π 4 Una vez las canicas estén dentro, el agua subirá hasta 11,65 cm. b) Volumen de las canicas: V = 4 π 1,5 10,86 cm El volumen del agua y de las canicas sería de 01, ,86 = 61, cm, por lo que se derramaría el agua.