Cálculo Diferencial. Álgebra y Cálculo. Curso Propedéutico. Diplomado en Administración de Riesgos. Expositor: Juan Francisco Islas

Transcripción

1 Curso Propedéutio Álgebr y Cálulo Diplomdo en Administrión de Riesgos Cálulo Diferenil Epositor: Jun Frniso Isls Monterrey, N.L. Julio 0

2 X Sumtori Sen dos vribles y que tomn los vlores X X 5 X X 8 Y Y 8 Y 0 Y 6 Clulr Y i X i i Y i i X iy i i X i i Y i X i i i Y i i X iy i ( X i Yi )( X i Yi ) i ler input y end list, sum gen y*y gen * gen yy*y gen y*y gen bsbd(y)*(-y) list, sum i X i 7 Yi 5 X iy i 6 X i 09 Y i 09 i i i i i i X Yi ( 7)( 5) 5 X i Y i 90 i ( X Y )( X Y ) X Y i i i i i i i i i i Fuente de los dtos: Murry R. Spiegel y Lrry J. Stephen (009) Estdísti, ª. ed. p.70, Problem.

3 El ftoril de n es Ftoril ( n ) ( n ) n n! L ( n ) ( n ) n! n L 7 El ftoril de es Ftoriles de lgunos números... n n! ,00 8 0,0 9 6,880 0,68,800 9,96,800 79,00,600 disply ep(lnftoril(7)) for num 0/: disply %9.0f ep(lnftoril(x)) Fuente: Sánhez, Otvio (00) Probbilidd y estdísti MGrw Hill, Méio. Pág. 0

4 n n Binomio de Newton ( ) n n i i b b i 0 i i ( n i)! i! n n! Triángulo de Psl ( ) b b b ( ) b b b b ( ) b b 6 b b b for num 0/: disply omb(,x) Fuente: Sánhez, Otvio (00) Probbilidd y estdísti MGrw Hill, Méio. Pág. 56

5 Clsifiión de sistems de euiones lineles y m b y m b y Sin soluión r m b m b y m m Soluión úni - 0 y Número infinito de soluiones m m b b

6 Soluión de euiones de segundo grdo Ls soluiones de b 0 son b ± b

7 Soluión de euiones de segundo grdo 0 b 0 b b b b b b b Demostrión

8 Soluión de euiones de segundo grdo b b ± b b ± b b ± b ± b

9 Q Q o d Q* Equilibrio de Merdo. Modelo Linel. Generliddes Funión de Demnd Eeso Condiión de Equilibrio Q > d de Q Demnd o Preio de Equilibrio Q o Funión de Ofert Q d bp Q o Q d dp bp bp dp ( b d ) P P* b d dp d b Cntidd de Equilibrio Q* Q o Q d d b b d d Q o dp Eeso o de Q d Ofert Q > P *

10 Q Q o d Q* Equilibrio de Merdo. Ejemplo : Modelo Linel Funión de Demnd Eeso Condiión de Equilibrio de Q > d Q Demnd o Preio de Equilibrio Q o Funión de Ofert Q d P Q o Q d 5 7P P 7 P P 5 9 P 8 8 P* 9 5 7P Q* Q o Qd 9 Cntidd de Equilibrio 8 9 Q o 5 7P Eeso o de Q d Ofert Q > P *

11 Equilibrio de Merdo. Ejemplo : Modelo No Linel Funión de Ofert Q o P linel en P Q Q o d Funión de Demnd Q d P udráti en P Condiión de Equilibrio Q o Q d Hy un soluión eonómimente dmisible: l orrespondiente preios y ntiddes positivos. En eonomí, ls vribles dependiente e independiente sólo pueden tomr vlores dentro del primer udrnte rtesino.

12 Q * Equilibrio de Merdo. Ejemplo : Modelo No Linel Funión de Ofert Funión de Demnd Eeso de Demnd P ± P* Q o Q d P P Condiión de Equilibrio Q P () Q* 0 P Q o Q d Eeso P de 5 P P P 5 P 6 ( 5) ± 6 ± 6 Soluión eonómi ftible pr el preio Cntidd de equilibrio 0 Ofert ± ± P *

13 Equilibrio de Merdo. Ejemplo : Modelo No Linel Funión de Ofert S Funión de Demnd Condiión de Equilibrio ( ) p p p 70 D( p) 0 p ( p) D( p) S udráti linel S( p) D( p) Hy un soluión eonómimente dmisible, l que se enuentr en el primer udrnte y orrespondiente preio y ntidd positivos.

14 Q * Equilibrio de Merdo. Ejemplo : Modelo No Linel Funión de Ofert Funión de Demnd Eeso de Demnd P* 0 S ( p) ( ) p p p 70 D( p) 0 p Condiión de Equilibrio D D( p) * 90 ( p) D( p) S Eeso p p 70 de 0 p p 80Ofert 0 ( p )( p 0) 0 Soluión eonómi ftible pr el preio p P * udráti linel P 0 P 0 Cntidd de equilibrio 0 p

15 Funiones Compuests. Apliiones Funión de Ingreso R( ) p Funión de Costos C( ) C C ( ) F V El ingreso totl es funión de ls uniddes de produto vendids l preio unitrio ddo El osto totl de produión es un funión del osto fijo y del osto vrible Funión de Benefiio π ( ) R( ) C( ) El benefiio o utilidd net es un funión del ingreso totl y del osto totl

16 ) C C ( ) ( ) ( ) ( 0) 500, 500 ( ) ( ) ( ) ( 9) 500, 9 b) C ( 0 ) C( 9),500,9 7

17 ) U U ( ) p CF ( ) 75,500 funión de utiliddes ingresos - ostos U 5 En equilibrio, no hy gnnis ni pérdids, es deir, ls utiliddes son ero, por lo tnto los ingresos son igules los ostos ( ) 75, ,500 5, b) U ( ) 75,500 5, ,500,

18 ( ),500 C 5 pérdid Funión de Costos punto de equilibrio Funión de Ingreso R ( ) R 75 ( ) C( ) utilidd,000 75,500 5,000 50,500,

19 ) C' C' dc dq 0.() ( q) 0.q q 500 () () b) C C ( ) 0.( ) 0.5( ) 500( ) 00,98. () 0.( ) 0.5( ) 500( ) 00,698. C q C() C() C() C(),98.,

20 C ( q ) 5 ( 5 ) C Funión de Costo Totl CMg derivndo por regl de l den C' ( q) 5 dc dq ( 5 ) Funión de Costo Mrginl CMg El osto mrginl disminuye on el umento de l produión

21 p R ( ) ( 0 ) funión de preio ( ) p( ) ( 0 ) R 00 '( ) p( ) p' ( ) ( 0 ) 6( 0 ) R' R' ' 60 8 ( ) ± 7 ( 0) ( 7)( 00) 0 ± 60 0 ± ( 7) ( ) '' > '' < '' R. R. ( ) 0 0 R I ingreso mrginl riterio de l primer derivd igul ero pr determinr puntos rítios es un mínimo es un máimo es un punto de infleión funión de ingreso riterio de l segund derivd pr rterizr los puntos rítios

22 R Funión de Ingreso Mrginl 0 9,000 8 (, ), (.,9.8) y Funión de Ingreso Ingreso Máimo

23 Q Q o d Q* Equilibrio de Merdo. Modelo Linel. Generliddes Funión de Demnd Eeso Condiión de Equilibrio Q > de d Q o Demnd Funión de Ofert Q d Q f o Q d ( P) Q o ( P*,Q *) Preio de Equilibrio Cntidd de Equilibrio f ( P) Eeso de o Q d Ofert Q > P *

24 Regl de los psos pr lulr l derivd de un funión Se l funión f ( ) 5 0 Obtener l derivd medinte l regl de los utro psos. y f () ) Inrementndo en ( ) ( ) 5( ) 0 y y ) Restndo l funión originl y ( ) ( ) 5( ) 0 ( 5 0) y y y y

25 Regl de los psos pr lulr l derivd de un funión ) Dividiendo entre y 5 5 y ) Tomndo el límite undo 0 5 lim lim 0 0 y 5 d dy Regl de los psos pr lulr l derivd de un funión

26 Gráfi de un funión medinte el álulo diferenil f ( ) 5 0 Considerndo Regl los l funión psos pr lulr l derivd de un funión Criterio de l primer derivd (pr obtener puntos rítios) f '( ) 0 f ( ) Al resolver se obtienen los puntos rítios de dy A prtir de 5 d se resuelve 5 0 medinte b ± b ± ( )( 5) ± () 6 ±

27 Si Gráfi de un funión medinte el álulo diferenil Criterio de l segund derivd (pr determinr si un punto rítio es máimo o mínimo) ( ) 0 ( ) 0 f '' < f '' > máimo entones es un de mínimo Al resolver f ''( ) 0 se obtienen los puntos de infleión de f ( ) A prtir de se resuelve d y d d d 0 I 6 ( 5) 6 f ( )

28 Gráfi de un funión medinte el álulo diferenil Evlundo en l funión originl ls orrespondientes bsiss de los puntos rítios y del punto de infleión se obtienen los puntos respetivos que filitrán el trzdo de l gráfi de l funión f ( ) Pr f ( ) f I I 5 Pr f ( ) f P 5 90, P Pr f ( ) f ( ) ( ) ( ) 5( ) 0 6 (.67,.8) I P, 5 7 ( ) P,6 P I ( 0.67, 9.)

29 y Análisis gráfio de un funión medinte el álulo diferenil f ( ) 5 0 f '( ) 5 f ''( ) 6 Los puntos de interseión de f ( ) on el eje se obtienen l resolver f ( ) 0 Los puntos de interseión de f ( ) on el eje y se obtienen l resolver f ( 0) f '( ) 0 f ''( ) < 0 ónv f '( ) > 0 f ''( ) < 0 ( ) f ' < 0 f ''( ) < 0 I ( ) f ' < 0 I f ''( ) 0 ( ) f ' < 0 f ''( ) > 0 f ' > 0 onve f ''( ) > 0 ( ) f ' 0 f ''( ) > 0 ( )

30 Análisis gráfio de funión úbi medinte álulo diferenil f '( ) > 0 f '( ) < 0 f '( ) 0 Criterio de l primer derivd f ( ) 0 ( ) 6 f ' ( ) 0 f ' ( ) Criterio de l segund derivd f '' ( ) '( ) 0 ( ) 0 0 f ' 0 ( ) 0 '( ) 0 f ' < f ' I ( ) (0) 0 f '' < ( ) () 0 f '' > f '( ) < 0 punto de infleión es máimo es mínimo f '( ) 0 f '( ) > Fuente: Dowling, Edwrd T. (99) Teorí y Problems de Cálulo pr l Administrión, Eonomí y Cienis Soiles, MGrw Hill. Seión 6.5, Ejemplo, pág. 6-6

31 Serie geométri (onvergente y divergente) 0.5 S S Se S n multiplindo por n L n S n L n ( ) S n S n S n 0 < < S restndo l segund epresión l primer despejndo n n S Si y n, onverge Si >, S n diverge. S n lim S S n lim n n n Fuente: Sydseter, Knut, Arne Strom y Peter Berk (005) Eonomists Mthemtil Mnul, ª. ed. Springer, pág. 9,