Experimento Aleatorio o ensayo

Transcripción

1 Clase 5 1 Experimento Aleatorio o ensayo Es un proceso o acción cuyo resultado es incierto, es decir no es predecible. Es factible de ser repetido infinitas veces, sin modificar las condiciones. Repetición es cada una de las veces que se realiza el experimento En cada repetición sabemos o podemos conocer TODOS los resultados posibles, pero un resultado en particular no es PREDECIBLE. Cuando el experimento se repite los resultados puntuales (ensayos) parecen sucederse en forma caprichosa (aleatoria). Sin embargo al aumentar el número de repeticiones aparece un modelo definido con algún patrón de regularidad (distribución) 2 1

2 Ejemplos Espacio muestral EA1: Tirar una moneda EA2: Arrojar un dado EA3: Obtener petróleo en una perforación. EA4: Medir el diámetro de una valva EA5: tratar a un paciente con una nueva droga. Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se puede definir con letras S o E {cara, seca} Si los resultados son conjuntos de datos constituyen el dominio de la variable a<x<b 3 Suceso o evento Es un subconjunto de resultados posibles dentro del espacio muestral: puede ser simple o compuesto A y Ᾱ 4 2

3 1 2 E 1 E 2 Cuál es el dominio de la variable tirar un dado? EVENTOS COMPUESTOS A: un número par { } B: Un número > 2 3 E 3 A 6 4 E E 5 S 1 B 5 6 E 6 5 Diagramas de Venn 6 3

4 Probabilidad Tiramos una moneda 10 veces y las 10 veces sale cara Pensaríamos que la moneda está cargada? Respuesta: SI Justificación: si se tratase de una moneda equilibrada la probabilidad de obtener 10 caras en 10 tiros sería menor al 0.1 % (según la teoría de las probabilidades). Las probabilidades constituyen la herramienta fundamental para evaluar la CONFIABILIDAD de conclusiones estadísticas (hacemos inferencias!) 7 Enfoque clásico o de Laplace Las probabilidades se calculan a través de un razonamiento abstracto pues no es necesario arrojar el dado o la moneda o extraer una carta para calcular las probabilidades anteriores es decir son a priori Si un experimento aleatorio admite cierta cantidad de resultados posibles todos igualmente probables, la probabilidad de ocurrencia de un suceso A es el cociente entre la cantidad de casos favorables a A y el total de casos posibles P (A) = CF CP 8 4

5 1 2 E 1 E 2 Cuál es el dominio de la variable tirar un dado? EVENTOS COMPUESTOS A: un número par { } B: Un número > 2 3 E 3 A 6 4 E E 5 S 1 B 5 6 E 6 9 Probabilidad: es la certidumbre que se tiene sobre la ocurrencia de cierto evento o suceso Las probabilidades se calculan sobre los sucesos La probabilidad de un suceso A indica cuan a menudo ocurre A y se denota P (A) que siempre debe estar entre 0 y 1 donde 0 = suceso imposible 1 = suceso cierto. Si un determinado suceso NUNCA puede ocurrir, P (A) = 0 y si siempre ocurre P (A) =

6 Volviendo a los ejemplos planteados: tener en cuenta si los eventos son equiprobables EA 1: tirar una moneda P (cara) EA 2: arrojar un dado P (3), P (impar), P (> 2) EA: 3 encontrar petróleo P (seco) discutir EA: 4 medir el diámetro de una valva P (>3 cm) EA: 5 tratar un paciente con una nueva droga P (mejora) discutir 11 Enfoque frecuencista Las probabilidades se calculan LUEGO de la realización de gran cantidad de repeticiones del experimento aleatorio (son a posteriori) i Si un experimento aleatorio es repetido un cierto número de veces (n) y si algún evento resultante A, ocurre x veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia de A, x/n es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de A siempre y cuando la cantidad de repeticiones sea lo suficientemente grande. P (A) = relativa. lim n f n (donde f es la frecuencia absoluta) y la P la f 12 6

7 Enfoque subjetivo La probabilidad subjetiva mide la confianza que un individuo tiene en la certeza de una proposición determinada Este concepto no depende de la repetitividad de proceso alguno (el suceso ocurre una sola vez). Convergencia estocástica: cuantas veces (n) debo producir el evento aleatorio hasta alcanzar la frecuencia relativa= probabilidad predicha por la TP. Ej. Lanzamiento de una moneda. A los 100 lanzamientos es Cuando a cada elemento del espacio muestral S= { s 1,., s n } correspondiente a un evento aleatorio E se le asigna un número p 1 = P (s 1 ) tal que p 1 = 1 se obtiene el espacio de probabilidades asociado a E que se indica P = {p 1,, p n }. Es decir es la sumatoria de la pp o probabilidad puntual de cada p. 14 7

8 Axiomas de la probabilidad (Kolmogorov) Se define el número P (A), llamado probabilidad de a, tal que: 1. (0 P (A) 1 para todo A 2. P (S) = 1 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes: P( A B) = P( A) + P( B) 15 Relaciones entre eventos aleatorios UNIÓN La unión de dos eventos A y B implica que, cuando se lleva a cabo el experimento, pueden ocurrir O A o B, o ambos. Se denota A B ( A o B) menos la intersección. A U B Ojo! Es distinto de intersección En este caso me viene bien cualquier alternativa A B o ambas, tengo POCAS restricciones 16 8

9 Eventos Complementarios El complemento de un evento consiste en todos los resultados que NO resultan en el evento A se denota Ᾱ (no A) S Ᾱ Ᾱ 17 Ya que: A S Ᾱ P( A Acomplemento) = 1 se deduce P( Acomplemento) = 1 P( A) 18 9

10 Intersección La intersección de dos eventos A y B implica que, cuando se lleva a cabo el experimento, ocurren TANTO A como B Se denota A B (A y B) Aumento las condiciones Deben ocurrir ambos eventos La probabilidad es menor. 19 Regla de la suma Sucesos mutuamente excluyentes o incompatibles: Dos sucesos A y B en un espacio muestral S son incompatibles cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir en LA MISMA repetición del experimento aleatorio En términos de conjuntos significa que su intersección es vacía A B = 20 10

11 A qué tipos de sucesos corresponden estos casos? Cómo serían sus diagramas de Venn? PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) P( A B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 21 Timbeando con las cartas Se tiene un mazo con 40 cartas españolas. Si se extrae una carta al azar, calcular las probabilidades que Sea de oro 10 1 Sea un 7 Poro ( ) = = = Sea el 7 de oro Sea de oro O de espada 4 1 Sea oro O sea un 7 P(7) = = = P(7 de) = P( orooesp) = = P( oro) + P( esp) = = = P( oroo7) = + = P( oro 7) = =

12 Seguimos timbeando.. se extraen 2 cartas al azar a) con reposición b) sin reposición Calcular las siguientes probabilidades 1.- las dos sean de oro P (1 oro y 2 oro) = 16 = = = 52 = 2.- primera oro y segunda espada = = = = = Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia del suceso A no me da información ni me condiciona al suceso B Por lo tanto la ocurrencia del suceso A no modifica la probabilidad de ocurrencia de B

13 25 Regla del producto Si los sucesos son independientes P( A B) = P( A) P( B) Si los sucesos son dependientes P( A B) = P( A) P( B/ A) condicionante 26 13

14 Probabilidad Condicional Basta!!!!!!! Es la probabilidad de que ocurra un suceso dado A DADO QUE ya ocurrió un suceso B, o sea la probabilidad de A condicional a B. Se denota P (A/B) PA ( B ) Se deduce que: P (A/B)= B 0 PB ( ) 27 Redefinición de independencia Se redefine independencia en términos de las probabilidades condicionales: Dos eventos A y B son independientes si y solo si P (A B)= P (A) o P (B A) = P (B) Caso contrario se trata de sucesos dependientes 28 14

15 Ejemplo 5 empleados de una empresa deben elegir a uno que los represente y se tienen los perfiles de dichas personas Pregunta: Cuál es la probabilidad de que el representante sea Ing. en minas o tenga mas de 35 años Profesión Edad Geólogo 30 Geólogo 32 Paleontólogo 45 Ing. en Minas 20 Ing. en minas 40 P( Ing. omayorde35) = = P( Ing.) + P( mayorde35) = = + = Otro ejemplo diferente Se arrojan dos dados equilibrados. Hallar la probabilidad de la suma sea mayor o igual a 10, si aparece un 5 en el primer dado A: aparece un 5 en el primer dado B: la suma de ambas caras es mayor o igual a 10 A: { (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} B:{(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} AB: {(55) {(5,5), (56)} (5,6)} Espacio Muestral A: 6/36 P(A) = 6/36 y P(AB) P(B/A)= =

16 Se complica Una caja tiene 7 bolitas veteadas y 3 amarillas. Se eligen sucesivamente y sin reemplazar, 3 bolitas. Hallar la probabilidad de obtener la secuencia vetada, veteada, amarilla 31 16