Tema 6. Estadística descriptiva bivariable con variables numéricas

Transcripción

1 Clase 6 Tema 6. Estadístca descrptva bvarable con varables numércas Estadístca bvarable: tpos de relacón Relacón entre varables cuanttatvas Para dentfcar las característcas de una relacón entre dos varables cuanttatvas, lo más smple es representar esta relacón de manera gráfca. Tpo de gráfco más común: dagrama de dspersón. - Ejemplo: Relacón entre el PIB y el nvel de corrupcón. 1

2 Dagrama de dspersón: - Muestra la relacón entre dos varables cuanttatvas meddas en los msmos ndvduos. - Cada ndvduo aparece como un punto del dagrama - Un ndvduo puede ser: persona, Estado, cudad, escuela - Los valores de una varable aparecen en el eje horzontal (abscsas) y los de la otra en el eje vertcal (ordenadas). - Por ejemplo, en estos datos España tene un PIB de $ y un nvel de corrupcón de 2.9 (0=no corrupcón, 10=mucha corrupcón). - Cuando se construye un dagrama de dspersón, la convencón es stuar: o Varable ndependente (x): eje horzontal o Varable dependente (y): eje vertcal - Esta convencón se utlza sempre. Tambén s no hay una relacón de causaldad muy clara. - En este ejemplo, supongamos que el nvel de corrupcón (Eje Y) depende del nvel de desarrollo económco (Eje X). - Cuatro cosas se pueden ver en un dagrama de dspersón: o La forma de la relacón, o La dreccón de la relacón, o La fuerza de la relacón, o La presenca de observacones atípcas. Forma de relacón: - La forma de la relacón depende de cómo estas varables están relaconadas. - La forma más ntutva es una relacón lneal: los puntos del dagrama de dspersón se stúan aproxmadamente a lo largo de una recta. - Ejemplo de relacón lneal: Corrupcón y PIB. 2

3 Dreccón de la relacón: - Una relacón lneal puede ser postva o negatva. - La asocacón es postva cuando los valores altos de las dos varables tenden a ocurrr smultáneamente. - La asocacón es negatva cuando los valores altos de una varable tenden a concdr con los valores bajos de la otra. - PIB y corrupcón: asocacón negatva. Un valor más alto del Producto Interno Bruto tende a r acompañado de un valor más bajo del índce de corrupcón. - Ejemplo relacón postva: 3

4 - Ejemplo relacón negatva: Fuerza de la relacón: - La fuerza de una relacón lneal entre varables es determnada por la proxmdad de los puntos del dagrama a la recta que resume la relacón. - S la dspersón de los valores de la varable dependente para un valor dado de la varable ndependente es más grande, la relacón es más débl. 4

5 Relacones no lneales: Muchas otras formas de relacones son posbles: - Relacón curvlínea - Relacón exponencal - Relacón logarítmca - Etc. Medr relacones lneales: - Con dagramas de dspersón, se pueden dentfcar las característcas más mportantes de una relacón. - Para caracterzar de manera más exacta las propedades de la relacón (lneal) entre varables, es necesaro resumrlas con estadístcos. - El estadístco central para resumr la fuerza y la dreccón de una relacón: coefcente de correlacón. 5

6 De un gráfco a un estadístco: - Relacón lneal postva: Una relacón lneal es postva cuando valores altos de las dos varables tenden a ocurrr smultáneamente. - Relacón lneal negatva: Una relacón lneal es negatva cuando valores altos de una varable tenden a concdr con valores bajos de la otra. Cómo es posble caracterzar esta propedad de manera más exacta? - Una posbldad es comparar los valores de las dferentes observacones con el valor medo de la varable. Da un crtero más precso para determnar que valores de la varable son bajos o altos. - Entonces: una relacón es postva s los valores de una varable superores a su valor medo tenden a concdr con valores de la otra varable superores a su propa meda. - Las dferencas entre los valores de una varable y el valor medo se llaman desvacones (X " X ). - Entonces: Hay una asocacón postva cuando desvacones postvas de las dos varables tenden a ocurrr smultáneamente. - De esta manera, hemos reemplazado una defncón ntutva con una defncón más exacta, basada la en térmnos estadístcos. - Para ver s el valor postvo o negatvo de las desvacones de una varable tenden a concdr con desvacones del msmo sgno en la otra varable, podemos multplcar las desvacones de cada observacón: ( X X )( Y Y ) 6

7 o S o S ( X X )( Y Y ) ( X X )( Y Y ) = postu Dreccón de la relacón postva = negatu Dreccón de la relacón negatva Covaranza: - La covaranza es el valor medo de los productos de las desvacones: cov N 1 ( X, Y ) = ( X X )( Y Y ) N 1 - Una covaranza postva ndca una relacón postva. - Una covaranza negatva ndca una relacón negatva. - El sgno de la covaranza se puede nterpretar. Pero su valor no se puede nterpretar fuera de contexto. Este depende de las undades de medda de las varables. - Ejemplo 1: 7

8 - Ejemplo 2: Coefcente de correlacón: - El coefcente de correlacón es una transformacón de la covaranza. r xy cov = s ( X, Y ) - La correlacón es gual a la covaranza dvdda por el producto de las desvacones estándares. - Valor entre 0 y 1 o Cerca de 1 alta correlacón o Cerca de 0 baja correlacón - La correlacón es equvalente a la covaranza de las varables tpfcadas. X s Y 8

9 Interpretacón de la correlacón: - La correlacón exge que las dos varables sean cuanttatvas. - La correlacón entre X y Y es la msma que entre Y y X. - La correlacón no varía cuando cambamos las undades de medda de las varables (toma valores entre -1 y 1) - Una correlacón postva ndca una asocacón postva entre las varables. Una correlacón negatva ndca una asocacón negatva. - La correlacón mde la fuerza, pero no la forma de una relacón lneal entre dos varables. - La correlacón mde la dreccón (sgno) y la fuerza (valor). Pero una correlacón de 0.8 no ndca una relacón más postva que una correlacón de 0.4. Correlacón: muestra vs. poblacón - En una clase anteror, hemos vsto que la dspersón de una varable se puede medr de maneras dferentes. - Con datos de toda la poblacón, se calcula la Desvacón cuadrátca meda: 9

10 s 2 = 1 N ( X X ) N = 1 - Con datos de una muestra, la desvacón en la poblacón se puede aproxmar con la varanza: r xy 1 N 1 = 2 N ( X X ) = 1 - De manera semejante, la correlacón no se calcula de la msma manera s trabajamos con datos de la poblacón o con datos de una muestra. - La formula general sempre es la msma: cov s ( X, Y ) - Pero, las desvacones estándares y la covaranza se calculan de manera dferente a partr de una muestra. Observacones atípcas: - Las observacones atípcas son valores ndvduales que quedan fuera del aspecto general de la relacón. - Las observacones atípcas pueden tener una gran nfluenca sobre la correlacón u otros estadístcos que se pueden calcular para resumr las característcas de la relacón entre dos varables. X s Y 2 10

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