TEMA 6 SEMEJANZA. APLICACIONES -

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1 TEMA 6 SEMEJANZA. APLICACIONES - 1. SEMEJANZA: ESCALAS LECCIÓN I ESCALA: es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo una escala 1:200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad. Ejemplo 1: En un mapa cuya escala es 1: , la distancia entre dos ciudades es de 2,5 cm. Cuál es la distancia real entre ellas? A cada centímetro en el mapa le corresponde cm en la realidad, es decir, 15 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 2,5 por 15 km, es decir, en realidad hay 37,5 km de distancia. Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km? En este caso, la operación a realizar es una división. Pero antes tenemos que pasar los 360 km a cm, que corresponde a cm. Dividimos entre y obtenemos 24 cm. Ejemplo 2: En un mapa cuya escala es 1:300000, la distancia entre dos ciudades es de 5 cm. Cuál es la distancia real entre ellas? A cada centímetro en el mapa le corresponde cm en la realidad, es decir, 3 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 3 km, es decir, en realidad hay 15 km de distancia. Ejemplo 3: En un mapa cuya escala es 1:800000, la distancia entre A y B es de 5 cm. En otro mapa de escala 1: , la distancia entre C y D es también de 5 cm Cuál es la distancia AB o CD es mayor en la realidad? A cada centímetro en el mapa le corresponde cm en la realidad, es decir, 18 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 18 km, es decir, en realidad hay 90 km de distancia. A cada centímetro en el mapa le corresponde cm en la realidad, es decir, 12 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 12 km, es decir, en realidad hay 60 km de distancia. Así que hay más distancia entre la ciudad A y B. 1

2 Ejemplo 4: La Estatua de la Libertad de Nueva York mide 30,6 m de los pies a la cabeza. Si con ella se reprodujo a una persona cuya estatura era de 170 cm, qué escala utilizaron para su construcción? Tenemos que realizar la división para saber lo que equivale en la maqueta, pero antes pasamos ambas medidas a la misma magnitud. 30,6 m 3060 cm : 170 cm 18 cm. La escala es 18:1; es decir, 18 cm en la escultura representan 1 cm en la realidad. LECCIÓN II 2. RELACIONES ENTRE LAS ÁREAS Y LOS VOLÚMENES Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k 2 y la razón entre sus volúmenes es k 3. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. Ejemplo 1: Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. Cuál es la razón de semejanza? Al tratarse de la semejanza de áreas, tenemos que hacer la raíz cuadrada para obtener la razón de semejanza: R Ejemplo 2: Los volúmenes de dos polígonos semejantes están en la razón 1:512. Cuál es la razón de semejanza? Al tratarse de la semejanza de áreas, tenemos que hacer la raíz cúbica para obtener la razón de semejanza: R Ejemplo 3: Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula: 1. Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro. 1 cm equivale a 250 cm 6 cm de altura equivale a 250 x cm, es decir, 15 m 4 cm de diámetro equivale a 250 x cm, es decir, 10 m 2

3 2. La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm 2. A área x escala 2 40 x cm m 2 3. El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm 3 de agua. V volumen x escala 3 20 x cm 3 312,5 m 3 Ejemplo 4: La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm cuál es el área del menor? El área del menor es A 150 x 150 x 24 cm Ejemplo 5: Dos depósitos cilíndricos semejantes tienen un volumen de 100 m 3 y 250 m 3, respectivamente. Si la altura del menor es 1,5 m, cuánto mide el radio del mayor? 2 Como los depósitos son semejantes, sabemos que V mayor k 3 V menor Sustituyendo en la formula, 250 k k 3 ; k 3 ; k V menor π r 2 h ; 100 π r 2 1,5 ; r 2 ; r 6,25m 1,5 1,5 3

4 Ejemplo 6: El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas: Polideportivo: deportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm. Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm. Carpa: diámetro 16 cm. Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de tela. En el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena. Hallar: a) La superficie ficie total del polideportivo. b) El volumen del depósito. c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad. DIMENSIONES EN REALIDAD: Polideportivo: Polideportivo Largo 30 cm x cm 150 m Ancho 18 cm x cm 90 m Depósito cilíndrico: Diámetro 6 cm radio 3 cm x cm 15 m Altura 10 cm x cm 50 m Carpa: Diámetro 16 cm radio 8 cm x cm 40 m a) La superficie total del polideportivo. A b h m2 b) El volumen del depósito. Vπ r2 h π ,9 m3 También se depósito: puede calcular mediante el volumen del Vdepósito real Vdepósito maqueta k3 Vdepósito real cm m3 4

5 c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad. A π r 2 2 π r 2 2 π ,1 m 2 También se puede calcular mediante el área de la carpa: A carpa real A carpa maqueta k 2 A depósito real cm m Respecto al volumen: V π r 3 π ,3 m 3 5

6 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO ESCALAS EJERCICIOS DE ESCALAS NOMBRE: APELLIDOS: 1. En un mapa cuya escala es 1:50000 la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es 7,2 cm. Cuál es la distancia real entre ellas? 2. En un mapa cuya escala es 1: Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es de 175 km? 3. En un mapa cuya escala es 1: , la distancia entre A y B es de 7 cm. En otro mapa cuya escala es 1: , la distancia entre C y D es de 9 cm. Qué distancia es mayor en realidad AB ó CD? 4. La estatua de un emperador romano mide 41,7 m de los pies a la cabeza. Sabiendo que ese emperador tenía en realidad una estatura de 139 cm. Qué escala utilizaron para su construcción? 5. La siguiente maqueta está hecha a una escala de 1:7000. Sabiendo que: ESTADIO DE FUTBOL ESFERA Largo 25 cm y ancho 13 cm Radio 4 cm PISCINA Largo 7 cm, ancho 3 cm y alto 4 cm CILINDRO Diámetro 10 cm y altura 12 cm Calcula: a) El área del campo de fútbol b) El volumen y el área de la esfera c) El área y el volumen de la piscina d) El volumen del cilindro 6

7 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO ESCALAS EJERCICIOS DE ESCALAS RESUELTOS 1. En un mapa cuya escala es 1:50000 la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es 7,2 cm. Cuál es la distancia real entre ellas? cm 5 hm 7,2 x 5 36 hm 3,6 km 2. En un mapa cuya escala es 1: Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es de 175 km? 175 km cm : cm 3. En un mapa cuya escala es 1: , la distancia entre A y B es de 7 cm. En otro mapa cuya escala es 1: , la distancia entre C y D es de 9 cm. Qué distancia es mayor en realidad AB ó CD? AB cm 95 km 95 x km CD cm 72 km 72 x km MAYOR AB 4. La estatua de un emperador romano mide 41,7 m de los pies a la cabeza. Sabiendo que ese emperador tenía en realidad una estatura de 139 cm. Qué escala utilizaron para su construcción? 41,7 m 4170 cm : cm 30:1 5. La siguiente maqueta está hecha a una escala de 1:7000. Sabiendo que: ESTADIO DE FUTBOL ESFERA Largo 25 cm y ancho 13 cm Radio 4 cm PISCINA Largo 7 cm, ancho 3 cm y alto 4 cm CILINDRO Diámetro 10 cm y altura 12 cm Calcula: a) El área del campo de fútbol b) El volumen y el área de la esfera c) El área y el volumen de la piscina 7

8 d) El volumen del cilindro ESTADIO DE FUTBOL ESFERA PISCINA Largo 25 cm x cm 1750 m Ancho 13 cm x cm 910 m Radio 4 cm x cm 280 m Largo 7 cm x cm 490 m Ancho 3 cm x cm 210 m Alto 4 cm x cm 280 m CILINDRO Diámetro 10 cm Radio 5 cm x cm 350 m Altura 12 cm x cm 840 m ESTADIO Área 1750 x m 2 DE FUTBOL ESFERA Área 4 π r 2 4 π ,4562 m 2 Volumen 3 4 π r π ,58 m 3 PISCINA A T A L +2 AB A L m 2 A B m 2 A T A L +2 AB m 2 Volumen m 3 CILINDRO Área π r 2 h π ,1 m 3 8

9 LECCIÓN III 3. SEMEJANZA I. SEMEJANZA DE FIGURAS Ejemplo 1: Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué: Solución: A y B sí son semejantes. B y C no son semejantes. Ejemplo 2: Solución: 12 7,5 A y B sí son semejantes B y C no son semejantes 12 7,5 9

10 Ejemplo 3: Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un rectángulo semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3: Solución: 1,5 3 4,5 cm cm Ejemplo 4: Construye un triángulo semejante de forma que la razón de semejanza sea 2, sabiendo que los lados de un triángulo mide 1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm. 1,5 2 3 cm cm 2,5 2 5 cm Ejemplo 5: Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta, tiene alrededor un marco de 2, 5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco? Fotografía: 9cm de ancha y 6cm de alta. Fotografía con marco: 9cm+2,5 +2,5 14 cm de ancha 6cm+2,5 +2,5 11 cm de alta. 10

11 II. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEOREMA DE TALES Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x. 11

12 Ejemplo 2: Sabiendo que las rectas a, b, c y d son paralelas calcula la longitud de x e y: Solución: 30 x y x 17, 5 cm y 7, 5 cm 12 Ejemplo 3: Calcula el valor de x e y en esta construcción: Solución: 8 x x 6 cm 6 4, 5 5, 25 y y 7 cm 6 8 Ejemplo 4: Calcula x en el siguiente dibujo si: 4 x x 2 x2 8 x 8 2,82 cm 12

13 TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Ejemplo 1: Hallar las medidas de los segmentos a y b. Ejemplo 2: Calculaa x en el siguiente dibujo si a 3 cm, b 4 cm, c 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional). Solución: a b c x x 8 cm x 3 13

14 Ejemplo 3: Calcula el valor de x en esta ilustración. 3 x 55 3 Solución: x 33m Ejemplo 4: En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h 1,65 m; d 2 m; H 14,85 m Solución: h d H D D H d h 14, m 1,65 Ejemplo 5: Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de alto da una sombra de 1,8 m de largo. Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y podemos considerar que los lados formados en ambos triángulos por los rayos del Sol también son paralelos. En consecuencia, AB CD BC DE 1 1,8 h CD 8,33m 1,8 14

15 Ejemplo 6: Halla x e y en la siguiente figura: Solución: Aplicando el Teorema de Tales: 4,5 7 6,5 y y x 4,5 7 6,5 4, ,5 x 6,75cm ,11cm Ejemplo 7: Calcula x (todas las medidas están en centímetros). Solución: 3 2 x 3 5 x 7,5cm 5 2 Ejemplo 8: Calcula x (las unidades son metros): Solución: 3 1, ,5 x 3m x 3 15

16 Ejemplo 9: Calcula x e y (las unidades son metros): 6 8 Solución: 1,5 8 1,5 y y 6 2m ,5 x x 10 1,5 6 2,5 m Ejemplo 10: Calcula x (las unidades son metros): Solución: 6 x y 8 z x cm y 4 cm 6 z cm 6 16

17 LECCIÓN IV 4. TEOREMA DEL CATETO En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. a hipotenusa b y c catetos m proyección del cateto b sobre la hipotenusa n proyección del cateto c sobre la hipotenusa Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto. 17

18 5. TEOREMA DE LA ALTURA En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta. Ejemplo: En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa. 18

19 MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA RESUELTOS 1. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta con longitudes de 5 cm y 14 cm. Hallar la longitud de dicha altura y dibujar el triángulo correspondiente. Aplicamos el teorema de la altura: 2. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y la proyección del cateto b sobre el mide 3,6 cm. Hallar: a. La longitud del cateto b. b. La longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa. c. La longitud del cateto c. d. La longitud de la altura relativa a la hipotenusa h. 19

20 e. Dibuja el triangulo rectángulo. 3. Calcula el valor de x en cada caso. 20

21 n17,46 cm h8,9 cm 4. Determina la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo. Por el teorema de la altura tenemos que: Por el teorema del cateto tenemos que: 21

22 5. Calcula el lado que falta y la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo. En primer lugar, por el teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa que es el lado que falta: a20 cm Por el teorema de la altura tenemos que: Por el teorema del cateto tenemos que: 22

23 LECCIÓN V 6. APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Para resolver estos problemas se tiene que hacer el teorema de Pitágoras de cada triángulo y resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos triángulos. Se puede hacer también mediante un trapecio u otras figuras geométricas. Ejemplo 1: Hallar el área, el perímetro y la altura sobre el lado mayor en un triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm. x 2 +h (10-x) 2 +h x 2 +h x+x 2 +h 2 64 Resolviendo este sistema obtenemos x3,6 cm y h 4,8 cm Área24 cm 2 P24 cm 23

24 Ejemplo 2: Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm. Ejemplo 3: Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo. a) Explicar por qué los triángulos ABC y ADE son semejantes. b) Calcular ED y la altura del edificio. 24

25 7. TEOREMA DE PITÁGORAS LECCIÓN VI PITÁGORAS 8. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUSS ÁNGULOS RECTÁNGULO a 2 b 2 + c 2 OBTUSÁNGULO a 2 > b 2 + c 2 ACUTÁNGULO a 2 < b 2 + c 2 Ejemplo 1: Conociendo sus ángulos: a. a 13 cm los diferentes lados de un triángulo, clasifícalo según b 5 cm c 7 cm TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO b. a 13 cm b 12 cm c 5 cm TRIÁNGULO RECTÁNGULO c. a 12 cm b 9 cm c 8 cm TRIÁNGULO ACUTÁNGULO 25

26 9. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN FIGURAS 1. Diagonal del cuadrado 2. Diagonal del rectángulo 3. Lado oblicuo del trapecio rectángulo 4. Altura del trapecio isósceles 5. Altura del triángulo equilátero 26

27 6. Apotema de un polígono regular 7. Apotema del hexágono inscrito 8. Lado de un triángulo equilátero inscrito 9. Lado de un cuadrado inscrito 27

28 Ejemplo 1: Calcula x, el perímetro y el área coloreada en cada figura:

29 A46,9 cm 2 P33,6 cm X8,4 cm Y11,1 cm H6,7 cm 11 A25,9 cm 2 12 P27,7 cm X18,4 cm Y11,04 cm H4,32 cm A145,5 cm 2 P108,1 cm X17 cm Y22,6 cm Z17,5 cm 29