Deducción de las reglas de derivación. Partiendo de las derivadas de la función potencial, la función exponencial y la función seno, ( ) ( ) 1
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- Diego Campos Aguilar
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1 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz Dducción d ls rgls d drivción Prtindo d ls drivds d l función potncil, l función ponncil l función sno, = R = f = =, f = sn = cos, f,, d ls rgls d drivción pr l sum, producto, cocint composición d funcions, dducirmos ls drivds d ls funcions lmntls más comuns. Drivd d l función cosno f = cos = sn. Qurmos dmostrr qu Emplrmos n l dmostrción ls drivds d ls funcions sno potncil, l iguldd fundmntl d l trigonomtrí, sn cos = R. S f = cos. En virtud d l iguldd fundmntl, podmos scribir sn f =. Est s un composición d funcions sno compust con un polinómic con un potnci-. Clculmos su drivd plicndo l rgl d l cdn. Así, ( = sn sn cos = sn sn cos sn cos = sn como qurímos dmostrr. = sn, Drivd d l función tngnt f = tg =. cos Qurmos dmostrr qu Emplrmos n l dmostrción ls drivds d ls funcions sno cosno, l rgl d drivción dl cocint d funcions, d nuvo, l iguldd fundmntl d l trigonomtrí. sn f = tg =. Drivndo st prsión como un cocint tnmos qu cos S
2 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz f ' cos cos sn sn cos sn = = =. cos cos cos Tmbién podmos scribir cos sn sn f cos cos ' = = = tg, qu s otr prsión quivlnt d l drivd d l función tngnt. Drivd d l función rcotngnt f = rctg =. Qurmos dmostrr qu Emplrmos n l dmostrción l dfinición dl rcotngnt, l drivd d l función tngnt l iguldd fundmntl d l trigonomtrí. S f = rctg. Entoncs f tg ( f =. Pusto qu ls funcions ( s l ángulo cu tngnt s. Es dcir, tg f son iguls, sus drivds tmbién lo son. Pr drivr l primr utilizmos l rgl d l cdn, qu s l composición d f con l función tngnt. En l sgundo mimbro, l drivd d s. Así, dónd Dspjndo cos ( f s l drivd d l función rcotngnt qu qurmos dducir. n l iguldd ntrior, ( = cos f = cos rctg. Pr simplificr l prsión n l sgundo mimbro d st iguldd dbmos tnr n cunt qu Por tnto, Dspjndo or ( ( f ( f sn f = rctg tg ( f = cos =. cos ( = sn ( f f ( ( ( cos = sn = cos. f f f cos f, ( ( cos cos f f ( ( f cos
3 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz ( f cos =. Sustitundo st rsultdo n l prsión d función rcotngnt s = cos ( f como qurímos dmostrr. tnmos qu l drivd d l Drivd d l función logritmo nprino = =. Qurmos dmostrr qu f ln Emplrmos n l dmostrción l dfinición d logritmo nprino l drivd d l función ponncil. S f = ln. Esto signific qu f obtnr. En otrs plbrs, Como ls funcions f =. s l númro l qu dbmos lvr pr f son iguls, tinn l mism drivd. Pr drivr l primr plicmos l rgl d l cdn sobr l función ponncil. Así, l drivd d ', dond f f f s s l drivd d l función logrítmic qu qurmos dducir. L drivd d, n l sgundo mimbro d l iguldd, s. Así, Pro f = =. f ln = =. Por tnto, l drivd d l función logritmo nprino s f como qurímos dmostrr. Drivd d ls funcions logrítmics log = log, R ' =. Qurmos dmostrr qu f f Emplrmos n l dmostrción ls rlcions ntr l logritmo n bs l logritmo nprino, l drivd d st últim función. f = log. L función logrítmic dl sgundo mimbro pud scribirs como S 3
4 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz En fcto, si log ntoncs ln f = log =. ln mimbros d st prsión, ln = ln = ln. Por tnto, Drivndo st prsión como l producto d l constnt =. Tomndo logritmos nprinos n los dos ln = log =. ln ln nprino d tnmos qu ln log dond = pr culquir vlor d. En concrto, pr ln ln log = = log. ln ln Sustitundo st n l prsión d (, como qurímos dmostrr. log = = ln, por l logritmo Drivd d l función ponncil, R Qurmos dmostrr qu f =, R = ln. Emplrmos n l dmostrción ls propidds dl logritmo nprino su drivd. f S =. Tomndo logritmos nprinos n mbos mimbros d l iguldd tnmos qu ln f = ln = ln. Drivndo or n st iguldd, dond f s l drivd d l función términos n l prsión ntrior, como qurímos dmostrr. = ln, = ln f = ln, qu qurmos dducir. Ordnndo los 4
5 dmttmtics.wordprss.com Btriz d Otto Lópz Drivd d l función potncil-ponncil Qurmos dmostrr qu ( ( ' ' ln ( ' f = g f = g g g g. Emplrmos n l dmostrción ls propidds dl logritmo nprino ls drivds d ls funcions logritmo nprino dl producto d funcions. S f = g. Tomndo logritmos nprinos n mbos mimbros d l iguldd Drivndo n st iguldd tnmos qu dond ln f = ln g = ln g. ' ' f = ' ln g g, f g s l drivd d l función potncil-ponncil qu qurmos dducir. Dspjndo ( n l prsión ntrior, tnindo n cunt qu f g tnmos qu como qurímos dmostrr. ' g = f ' ln g f g ' ( ' ln ( g = g g g g ( ( = ln g g ' g g ', 5
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