Lección 5: Multiplicación y división de números racionales

Transcripción

1 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Multiplicación y división de números racionales En esta lección se verá cómo multiplicar y dividir números racionales. Usted ya sabe realizar estas operaciones con números enteros y decimales, esto fue visto en las lecciones y 0 del curso pasado y en la lección de este curso. Aquí las repasaremos y veremos también cómo multiplicar y dividir fracciones. En el primer año, se estudiaron los procedimientos para la multiplicación y división de decimales. Realizaremos un breve repaso de estos algoritmos antes de pasar a estas mismas operaciones con fracciones. 8 Multiplicación de números decimales Para multiplicar dos números decimales, se multiplican como si fueran enteros y se cuentan las cifras decimales en ambos factores; al resultado del producto se le ponen tantos decimales como la suma de los que tienen los factores.

2 LECCIÓN Ejemplo: 6. 8 cifras decimales. 6 cifras decimales cifras decimales Resuelva las siguientes operaciones: a) 6.9 e) b)..6 f) c). 0. g) d) División de números decimales En la división de números decimales se van a ver distintas situaciones. Para empezar recordemos el significado de una división de enteros. 9

3 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Por ejemplo, si pensamos que tenemos bolillos y se han repartido entre dos personas, el cociente o resultado de la división nos dice que a cada persona le tocaron dos bolillos y el residuo nos dice que en esa repartición sobró uno Usando decimales podemos continuar la división para obtener un cociente más exacto. Para ello hay que considerar el, que es una unidad, como 0 décimos. Se dividen 0 décimos entre y el resultado es décimos. Esto se escribe como se muestra a la derecha: Lo que vemos en el cociente es unidades con décimos. Si pensamos nuevamente en los bolillos, se tiene que al repartir bolillos entre dos personas, a cada una le tocan. bolillos, o bien, bolillos y cinco décimos de bolillo, o bien, de bolillo. Pero como es igual a, 0 0 el resultado indica que a cada persona le tocan dos bolillos y medio. Como el residuo es cero, ya no queda nada que dividir, es decir, ya no hay nada de bolillos que repartir. Veamos otro ejemplo de división con enteros. Si se divide entre, como es más chico que el cociente es cero y sobran. Al relacionar esta operación con un problema cotidiano, podemos imaginar ahora que queremos repartir 0 0

4 LECCIÓN dos sillas entre personas. Como no se pueden partir las sillas, entonces no podemos repartirlas equitativamente y por eso el resultado es 0, y en este caso no tiene sentido seguir la división. Pero si no se trata de sillas sino, por ejemplo, de chocolates, sí podemos partirlos, y entonces hay algo que hacer con ellos y tiene sentido continuar la operación. Al que aparece en el residuo, lo podemos convertir en 0 décimos y pensar: cuánto es 0 décimos entre? La respuesta es 6 y décimos sobran décimos. Si escribimos con símbolos lo que acabamos de decir obtenemos lo que se muestra a la derecha. Se puede decir que a cada persona le tocarán 6 décimos de chocolate y sobran décimos Como todavía hay residuo, podemos mejorar el resultado, dividiendo los décimos que sobran entre ; para ello necesitamos transformarlos en centésimos. Resulta que décimos, ó, es 0 equivalente a veinte centésimos, 0. Podemos 00 pensar ahora, 0 centésimos entre es igual a 6 centésimos y sobran centésimos. Usando la simbología de la casita esto queda escrito como se muestra a la izquierda. En este ejemplo, la división no va a terminar nunca, porque vemos que cada vez que convertimos el residuo a la unidad decimal que sigue, el cociente es 6 y el residuo es. Cuando en un número decimal aparece una cifra, o varias, que se repiten y se repiten, a la cifra o grupo de cifras que se repiten, le llamamos p e r í o d o. Y como no podemos escribirlo todo, pues nunca acabaríamos, lo que se acostumbra es poner una curvita encima de la cifra o cifras que abarcan

5 GUÍA DE MATEMÁTICAS II el período, o repetir varias veces el período y escribir puntos suspensivos. En nuestro ejemplo, esto se escribe así: Ahora veremos qué hacer cuando el dividendo tiene cifras decimales y el divisor es un entero. En este caso, se realiza la división como si se tratara de dos enteros y el punto decimal se pone exactamente arriba del lugar en el que aparece dentro de la casita Por ejemplo, si se quiere dividir.8 entre, realizamos la división como si fueran dos números enteros, sin tomar en consideración el punto decimal, como se muestra a la izquierda. Después, para encontrar el resultado de dividir.8 escribimos la división anterior, sólo que ahora colocamos el punto decimal del dividendo, y el del cociente lo ubicamos exactamente arriba, como se muestra a la derecha En este ejemplo, vemos que el residuo no es cero. Podríamos entonces seguir aumentando cifras decimales hasta obtener residuo cero o una aproximación que nos resulte útil, o bien encontrar el período. En nuestro ejemplo, la división queda como se muestra a la derecha, el residuo ya siempre es, en el cociente se empieza a repetir el. Podemos entonces escribir este resultado así:

6 LECCIÓN Por último, recordaremos cómo hacer la división cuando el divisor es un número decimal. Por ejemplo, pensemos en la división 6.6.: aquí el divisor,., tiene dos cifras decimales. Buscaremos convertir esta operación en una división como las anteriores, es decir una en la que el divisor sea un número entero. La división se puede escribir también así: 6.6, y podemos multiplicar el numerador. y el denominador por 00: Con esta transformación tenemos una nueva división, cuyo resultado es igual al de la primera, pero en la que el divisor,, es un número entero. Para hacer la transformación hemos recorrido el punto decimal dos lugares a la derecha en el divisor,., y en el dividendo, 6.6. El divisor queda como y el dividendo como 6.6. La transformación también se puede hacer directamente en la casita : dos cifras d e c i m a l e s dos cifras d e c i m a l e s El procedimiento se puede expresar como sigue: cuando el divisor es un número decimal, se cuentan sus cifras decimales y se tacha el punto decimal; en el dividendo, se corre el punto decimal tantos lugares como cifras decimales había en el divisor. Así, la división 6.6. de nuestro ejemplo queda como se ilustra a la derecha:

7 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Como en los caso anteriores podemos seguir obteniendo más cifras decimales hasta que el residuo sea cero, hasta encontrar una aproximación útil o hasta encontrar un período. Este procedimiento también se puede realizar cuando el dividendo es un número entero o cuando es un número decimal con menos cifras decimales que el divisor. En estos casos se debe completar con ceros los lugares que quedan a la izquierda de la nueva posición del punto decimal. Por ejemplo, veamos cómo hacer la división 6.0: tres cifras d e c i m a l e s tres cifras d e c i m a l e s Así, la división 6.0 queda como se muestra a la derecha. Aquí hemos elegido continuar la división hasta los centésimos, aunque hubiéramos podido quedarnos en un cociente de con un residuo de 89; también podríamos seguir obteniendo más cifras decimales Resuelva las siguientes operaciones: a) 8 9 d). 6 g) 9 8. b) 6 e) h) 6.. c) f) 6.98.

8 LECCIÓN Multiplicación de fracciones En esta lección se están estudiando los algoritmos para multiplicar y dividir racionales. Ya vimos que los racionales se pueden representar con fracciones o con decimales. En los apartados anteriores tratamos los casos en que los números se representan con decimales. Ahora vamos a presentar la manera en que se multiplican dos fracciones. Al multiplicar dos fracciones se obtiene una fracción. Entonces, para efectuar la multiplicación necesitamos saber cuál es el numerador y cuál el denominador del resultado. La regla es la siguiente: El numerador del producto de dos fracciones es el producto de los numeradores, y el denominador es el producto de los denominadores, de las fracciones que se están multiplicando. Veamos un ejemplo: multipliquemos las fracciones y. Obtenemos el resultado. Pero como y 0 tienen 0 divisores comunes, podemos simplificar el resultado, encontrando una fracción equivalente que tenga un denominador más pequeño: dividiendo arriba y abajo entre se obtiene Ya se ha dicho que los enteros son racionales que se pueden expresar como fracciones poniéndoles como denominador el. Así podemos realizar multiplicaciones como la que se muestra a la derecha.

9 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Resuelva las siguientes multiplicaciones y si es posible simplifique el resultado: a) 8 b) 9 c) d) e) f) División de fracciones Para dividir dos fracciones es conveniente hablar de algunas propiedades de la multiplicación de números racionales, que son importantes para la división de fracciones. La primera de ellas es la propiedad del neutro multiplicativo, propiedad que ya conocíamos para los naturales y para los enteros: Al multiplicar por cualquier número racional, el resultado es ese mismo número. Por ejemplo: ; - - ; ; La segunda propiedad es la del inverso multiplicativo: Para todo número racional distinto de cero, se puede encontrar otro número racional que multiplicado por el primero dé como resultado. El número encontrado es el inverso multiplicativo del primero. 6

10 LECCIÓN Por ejemplo, el inverso multiplicativo de es porque el inverso multiplicativo de es porque el inverso multiplicativo de es porque el inverso multiplicativo de - es - porque - - También podemos decir que el inverso multiplicativo de es, el inverso multiplicativo de es, el inverso multiplicativo de es y el inverso multiplicativo de - es -. En general, para fracciones podemos decir que el inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción que tiene por numerador el denominador de la primera, y por denominador el numerador de la primera. Si estos números son a y b, el inverso multiplicativo de la fracción a es la fracción b, ya b a que al multiplicar las dos, siempre se obtiene una fracción que tiene como numerador y denominador el mismo número, por lo que es una fracción equivalente al entero. a b b a b b a a b a a b

11 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Otra propiedad que debemos recordar es que la división y la multiplicación son operaciones inversas, esto es, que el efecto de una queda anulado por el de la otra. Por ejemplo: El efecto de multiplicar por se deshace al dividir entre. El efecto de dividir entre 9 se deshace al multiplicar por 9. Usted puede convencerse de este hecho, usando una calculadora. Pruebe con varios ejemplos y varios números, sólo asegúrese de que multiplica y divide siempre por el mismo número. Al relacionar estos hechos con el inverso multiplicativo podemos notar que: También Con esto lo que se quiere decir es que es lo mismo dividir entre 8 que multiplicar por. Y que es lo mismo dividir 8 entre 9 que multiplicar por. En general: 9 Es lo mismo dividir un número entre una fracción que multiplicarlo por el inverso multiplicativo del divisor. Estas ideas nos permiten efectuar una división de fracciones, una vez que se sabe cómo multiplicarlas. Porque se puede transformar una división en multiplicación, usando el inverso multiplicativo. 8

12 LECCIÓN Por ejemplo, si queremos hacer la división, en lugar de dividir entre se multiplica por su inverso multiplicativo, o sea, por : 0 Podemos simplificar todo esto con el siguiente procedimiento para dividir fracciones:. Se multiplica el numerador de la primera, por el denominador de la segunda. El resultado es el numerador del cociente.. Se multiplica el denominador del primero por el numerador del segundo. El resultado es el denominador del cociente. Ejemplos: 0 8 Con este mismo procedimiento podemos dividir una fracción entre un entero, o un entero entre una fracción, ya que podemos expresar el entero como una fracción con denominador igual a. Por ejemplo: 9

13 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Encuentre el inverso multiplicativo de los siguientes números: a) b) -9 c) d) 8 e) 6 f) g) - 9 Resuelva las siguientes divisiones y si es posible simplifique el resultado: a) 6 8 b) c) 0 9 d) 6 e) f) 8 6 Multiplicación y división con números racionales negativos En esta lección se vieron todos los casos para multiplicar y dividir racionales pero no se ha hablado de racionales negativos. Para estos números los algoritmos se realizan considerando los valores positivos de los racionales con los que se está operando, el único cuidado extra que hay que tener es colocar el signo al resultado de acuerdo a la regla de los signos que es la misma que para los números enteros: 0 al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo, el resultado es positivo; al multiplicar o dividir dos números con signos distintos, el resultado es negativo.

14 LECCIÓN Veamos unos ejemplos: (-.6) Resuelva las siguientes operaciones: a). (-.) b) - c) (-.8) (-.) d) 6-8 e) -.. f) g) -0. (-.) h) - Simplificación de fracciones Frecuentemente tenemos fracciones que se pueden simplificar para obtener otras con un denominador más chico. Estas fracciones pueden presentarse o bien solas o bien como resultado de operaciones realizadas con otras fracciones. Por ejemplo, la fracción 0 puede expresar que una unidad 6 se parte en 6 porciones de las que se toman 0, o puede ser el resultado de una operación, como alguna de las siguientes:

15 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Hemos mencionado que en esos casos conviene encontrar una fracción equivalente más sencilla. Cómo hacer eso? Ahora veremos cómo: Lo primero que se hace es descomponer el numerador y el denominador de la fracción en factores primos, como usted vio en la lección del curso anterior. En nuestro ejemplo, tenemos: Después expresamos la fracción poniendo en el numerador y en el denominador esta descomposición en factores primos: 0 6 Esto significa, en nuestro ejemplo, que si dividimos tanto el numerador como el denominador entre ó entre, seguiremos encontrando números enteros en cada parte: 0 6 6

16 LECCIÓN Esto lo podemos hacer porque el y son factores comunes a 0 y a 6. No podríamos dividir entre, porque aunque es factor de 0 no lo es de 6, ni podríamos dividir entre, o sea entre 9, porque 9 no es factor de 0 aunque sí lo sea de 6. Una manera usual de hacer estas divisiones de los factores comunes es tachando, en la descomposición en factores primos del numerador y del numerador, los factores comunes a los dos, y luego multiplicando los números restantes, así: La fracción resultante, que en este caso es, es una 6 fracción equivalente a la primera, y lo más simplificada que es posible, ya no se puede dividir el numerador y el denominador entre otro número. Veamos otro ejemplo: simplifiquemos la fracción descomponemos en factores primos el y el 90: Después expresamos la fracción utilizando estas descomposiciones: 90. Primero 90

17 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Después tachamos arriba y abajo los factores comunes: 90 Y finalmente multiplicamos los factores que quedan: 90 6 Observe que en este caso quedaron tachados todos los factores del numerador, y que lo que queda es : esto es porque la expresión tachada es equivalente a ( ) ( ) Simplifique las siguientes fracciones: a) b) c) 0 d) e) - f) - 0 g) a) Por cada peso que se queda a deber en una tarjeta de crédito, el banco cobra $0.06 de intereses. Si Olivia quedó a deber $8.0 en su tarjeta de crédito; cuánto debe pagar de intereses?

18 LECCIÓN b) Cuántos metros cuadrados mide el área de un terreno rectangular que tiene. m de ancho y. m de largo? c) Cuántos vasos de de litro se pueden llenar con una botella de refresco de de litro? d) Una jarra llena de agua se reparte en vasos de 6 de litro. Se logran llenar vasos. Cuánto le cabía a la jarra? (Sugerencia: transforme la fracción mixta en una fracción impropia).