Lección 5: Porcentajes

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1 Lección 5: Porcentajes En las lecciones anteriores estudiamos relaciones de proporcionalidad directa e inversa. En esta lección estudiaremos una relación de proporcionalidad directa especial: los porcentajes. Encontramos los porcentajes en muchas facetas de nuestra vida, como los descuentos, los impuestos, los intereses del banco, las estadísticas en general y otras muchas situaciones. En esta lección estudiaremos cómo usar y resolver problemas en los que intervienen porcentajes. Para ello, veremos algunos ejemplos. Muchas veces, en los productos que se venden en las tiendas podemos leer sus contenidos en porcentajes. Por ejemplo algunas mermeladas tienen leyendas como 30% de fruta natural, o 25% de fruta. Qué significa esto? El porcentaje es una proporción. El número 25%, que se lee "veinticinco por ciento", significa 25 de cada. Pero, de cuáles? En general, en los productos alimenticios, el se refiere a gramos: si una mermelada tiene 25% de fruta eso significa que de cada gramos de mermelada, 25 gramos son de fruta y lo demás son agua, azúcar y otros ingredientes. En lugar de 25% 60

2 LECCIÓN 5 de fruta, el envase podría decir 25 gramos de fruta por cada gramos de mermelada. Si otra mermelada tiene el 30% de nuevo significa que de cada gramos, 30 corresponden a fruta. Pero, por qué no poner simplemente 30 gramos de fruta, en lugar de decir 30% de fruta? En parte esto se debe a que en casos como éste, los porcentajes son usados como una medida de la calidad: la mermelada que más fruta contiene proporcionalmente, será de mayor calidad y al hablar en porcentajes, no importa el tamaño del envase y es más fácil comparar calidades. Supongamos que queremos decidir entre una mermelada que tiene 30% de fruta, como la del ejemplo anterior, y una mermelada en envase de 200 gramos que dice tener gramos de fruta. En un primer momento podríamos pensar que ésta es de mejor calidad que la primera que vimos porque tiene más fruta, sin embargo también tiene más agua y azúcar, porque son 200 gramos. Para hacer la comparación necesitamos considerar cantidades iguales, por ejemplo gramos de mermelada. Tomaremos entonces sólo la mitad del envase de la segunda mermelada, es decir gramos, por lo tanto tenemos la mitad de fruta, es decir 20 gramos de fruta. En realidad esta mermelada tiene 20% de fruta, o sea que es de menor calidad que la que contiene 30% de fruta. 61

3 Veamos otro ejemplo: Una tienda departamental anuncia que todos sus productos lácteos están con un % de descuento. Esto significa que de cada pesos de compra de estos productos, se van a descontar $. Como sabemos que el porcentaje es una relación directamente proporcional, si gastamos el doble, la cantidad de dinero descontada es el doble, si gastamos $200, el monto del descuento se duplica: $80. Si se compra sólo $50, la mitad de, el monto del descuento será de la mitad, es decir, $20. Vamos a presentar estos resultados en una tabla: Precio % de descuento Podemos observar que 50 x 0. = 20; x 0. = ; 200 x 0. = 80. Lo que vemos es que para obtener el % de descuentos de una cantidad, debemos multiplicar ésta por 0. o, lo que es lo mismo, por. El valor 0. también puede obtenerse al dividir cada descuento entre la cantidad original correspondiente: = = = 0.. Ya habíamos visto en la lección de proporcionalidad directa, que este resultado, que siempre es el mismo, es el valor unitario o constante de proporcionalidad. Así, para obtener el % de 10, podemos realizar la multiplicación 0. x 10 = 4. Esto es, el % de 10 es Otra manera de resolver este tipo de problemas es mediante una regla de tres, puesto que tenemos una proporcionalidad directa. Así, por ejemplo, para obtener el % de 10, podemos decir " es a como x es a 10":

4 LECCIÓN 5 Descuento: x Precio: 10 y entonces tenemos que: x 10 x = = = 4 0 Lo que acabamos de ver es que hay dos maneras de calcular el "tanto por ciento" de un número: o bien se multiplica ese número por el tanto por ciento dividido entre cien, o bien se razona mediante una regla de tres. Veamos con las dos maneras cómo calcular el % de 28, cantidad a la que llamaremos t: t = 0. x 28 Descuento: t t = Precio x t = = También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que el % de 1 es 56. Otra clase de problemas que se presentan cuando se trabaja con porcentajes, es cuando se conoce el resultado de aplicar el porcentaje pero no la cantidad inicial. Tenemos esa situación cuando conocemos la cantidad descontada correspondiente al % de una cantidad original pero esa cantidad original es desconocida. Por ejemplo en la tabla vemos que 6 es el % de descuento pero no sabemos de qué cantidad. Veamos dos maneras distintas de resolver este problema. 63

5 Podemos plantear una ecuación, como se hizo en grados anteriores. Si llamamos x a la cantidad desconocida, lo que tenemos es que el % de x es 6, es decir: 0. x x = 6 Para resolver la ecuación necesitamos despejar la incógnita, x. Para ello hay que dejarla "sola" de un lado de la ecuación, lo que se logra "deshaciendo" el efecto de las operaciones que la están afectando. Aquí aparece multiplicada por 0., así que para "deshacer" este efecto dividimos entre 0., y aplicamos esta operación en ambos lados de la igualdad para que no se altere: 0. x x 0. = 6 0. y de ahí obtenemos x = 15. La otra manera de resolver el problema es nuevamente usando una regla de tres: ahora el razonamiento es " es a como 6 es a x": Descuento: 6 Precio: x Y entonces podemos resolver la regla de tres: x 6 x = = = Hemos entonces resuelto de dos maneras distintas que 6 es el % de 15. Veamos en paralelo cómo se resuelve con las dos maneras el siguiente problema: de cuánto es % la cantidad de 36? Llamemos y a esa cantidad. 64

6 LECCIÓN 5 0. x y = 36 Descuento: 36 Precio y 0. x y 36 = x y = 90 y = =90 También se puede utilizar cualquiera de las dos maneras para encontrar que 48 es el % de 120. Aquí tenemos la tabla del % de descuento completa: Precio % de descuento Como hemos visto en el ejemplo, para obtener el % podemos multiplicar por 0., o lo que es lo mismo,, esto es centésimos. Para obtener el 50% debemos 50 multiplicar por 0.50 ó, para obtener el 24% por 24 centésimos, 0.24, para obtener el 4% se debe multiplicar por 4 centésimos, esto es por Así, por ejemplo, El 65% de 35 es igual a 0.65 x 35 = El 3% de 284 es igual a 0.03 x 284 = 8.82 Veamos por último otra clase de problemas que se presentan con frecuencia con respecto a los porcentajes. En este caso nos interesa saber qué porcentaje es una cantidad de otra. Consideremos un ejemplo: 65

7 En una comunidad tienen 0 hectáreas, de las que 60 son de bosque y 150 de pastizal. Qué porcentaje del terreno ocupa el bosque? Qué porcentaje del terreno ocupa el pastizal? Como en los casos anteriores, resolveremos el problema del bosque de dos maneras. De acuerdo con la primera, plantearemos una ecuación: supongamos que w es el porcentaje del terreno que ocupa el bosque. Entonces, tenemos que 60 es el w % de 0, lo que se puede expresar de la manera siguiente: w x 0 = 60 Para despejar esta ecuación debemos "deshacer" las operaciones que afectan a w, que son una multiplicación por 66

8 LECCIÓN 5 0 y una división entre, y debemos aplicar las operaciones inversas de ambos lados de la igualdad para que ésta se conserve: W x 0 0 = 60 0 W = 60 0 W = 0.15 W x = 0.15 x w = 15 Encontramos entonces que las 60 hectáreas de bosque son el 15% del total de las 0 hectáreas que tiene la comunidad. La segunda manera en que podemos resolver este problema es utilizando una regla de tres. Como ahora queremos saber 60 de 0 qué porcentaje es, nuestro razonamiento es "60 es a 0 como w es a ": Bosque: 60 w Terreno: 0 Y entonces resolvemos la regla de tres: 60 x w = = = Con lo que obtenemos el mismo resultado que con el otro método. Veamos con los dos procedimientos cómo resolver el problema del pastizal: ahora diremos que las 150 hectáreas de pastizal son el z% de las 0 hectáreas del terreno. 67

9 z z z x 0 = 150 Pastizal 150 z x 0 0 = Terreno X = z = = = z X = x z = 37.5 Es decir, el pastizal constituye el 37.5% del terreno de la comunidad. Ejercicio 1 Haga una tabla para encontrar el 26% de 10, 20, 30, hasta. Ejercicio 2 Haga una tabla para encontrar el 4% de 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150. Ejercicio 3 Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) el 21% de 143 c) el 15% de 620 e) el 95% de 52 b) el 5% de 218 d) el 8% de f) el 1% de

10 LECCIÓN 5 Ejercicio 4 Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) De qué cantidad es 56 el 7%. b) De qué cantidad es 328 el 42%. c) De qué cantidad es 0.5 el 20%. d) De qué cantidad es 3.2 el 87%. e) De qué cantidad es 42.7 el 2%. f) De qué cantidad es 12 el 12%. Ejercicio 5 Utilice el procedimiento que prefiera para encontrar: a) Qué porcentaje es 60 de b) Qué porcentaje es de c) Qué porcentaje es 75 de 560. d) Qué porcentaje es 12 de 12. e) Qué porcentaje es 15 de f) Qué porcentaje es 260 de 130. Ejercicio 6 En una tienda ofrecen el 35% de descuento en todas las lámparas. Complete las celdas vacías de la siguiente tabla. 69

11 Precio del artículo en pesos % de descuento Cantidad a pagar Ejercicio 7 En una tienda de abarrotes venden jalea de frutas. La marca "Frutita" ofrece la misma calidad en todas sus presentaciones. En el frasco de 500 g la etiqueta dice: "contiene 45% de fruta". a) Qué porcentaje de fruta tendrá el frasco de 250 g? b) Qué cantidad de fruta tendrá el frasco de 250 g? Ejercicio 8 Como usted sabe, el Impuesto al Valor Agregado (IVA) es de 15%. a) Cuánto se debe pagar de IVA por un artículo que cuesta $56? b) Si por un artículo se pagó $4.50 de IVA, cuánto cuesta el artículo sin IVA y cuánto cuesta con IVA? c) Por un artículo se pagó $ con todo e IVA. Cuánto costó el artículo sin IVA y cuánto se pagó de IVA? (Sugerencia: el precio del artículo con todo e IVA es el 115% del precio sin IVA.) Ejercicio 9 En qué porcentaje aumentaron el precio de un producto si antes valía $26.50 y ahora vale $29.90?

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