TEORÍA DE ESTRUCTURAS

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1 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEA 4: CÁCUO DE ESTRUCTURAS POR E ÉTODO DE A DEFORACIÓN ANGUAR DEPARTAENTO DE INGENIERÍA ECÁNICA - EKANIKA INGENIERITZA SAIA ESCUEA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DE BIBAO UNIVERSIDAD DE PAÍS VASCO EUSKA HERRIKO UNIBERTSITATEA UPV/EHU Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao

2 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Introduccón - En el análss de una estructura se han de tener en cuenta las sguentes condcones: - Equlbro - Compatbldad de deformacones - eyes de comportamento - En la resolucón de una estructura hperestátca se han de tener en cuenta las tres condcones smultáneamente. - En funcón del orden de utlzacón de tales condcones y de las ncógntas elegdas, se tenen los métodos de Flexbldad o Rgdez. - Pasos a segur en el método de la deformacón angular: Establecer las ncógntas del problema: los desplazamentos (traslacones y gros) de los nudos de la estructura. Aplcar las condcones de compatbldad: p.e.: os gros de los extremos que se unen en un nudo rígdo son guales. ey de comportamento: Relacón entre los esfuerzos y los desplazamentos en los extremos de las barras. Ecuacones de equlbro: Introducendo las relacones anterores se obtene un sstema de ecuacones en el que las ncógntas son los desplazamentos. TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

3 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón.. Nudos y grados de lbertad NUDO RIGIDO El ángulo entre las barras que forman el nudo permanece constante tras la deformacón. El nudo gra debdo a la deformacón de la estructura. NUDO ARTICUADO El ángulo entre las barras que forman el nudo no permanece constante tras la deformacón. El gro entre las barras está permtdo. El nudo no gra debdo a la deformacón de la estructura. GRADOS DE IBERTAD Cuando una estructura esta sometda a unas cargas exterores se deforma y sus nudos sufren unos desplazamentos debdos a esa deformacón. Estos desplazamentos son los grados de lbertad y su dentfcacón es muy mportante ya que son las ncógntas del problema. TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

4 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón NÚERO DE GRADOS DE IBERTAD EN ESTRUCTURAS DE NUDOS RIGIDOS: Estructuras D: ( traslacones rotacones) / por cada nudo Estructuras D: ( traslacones rotacón) / por cada nudo Estos desplazamentos pueden estar lmtados por las condcones de enlace o las hpótess realzadas en cuanto al comportamento de la estructura (consderar úncamente el efecto de la flexón hace que no exstan desplazamentos en la dreccón de la barra). EJEPOS: P A B Estructura con gdl, θ B θ B Al aplcar la carga P el únco grado de lbertad que aparece es θ B. Como A es un empotramento no puede desplazarse en vertcal n grar. B es un apoyo smple por lo que no puede desplazarse en vertcal. TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

5 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón δx 0 P B B θ B θ C C B S se despreca el efecto del esfuerzo axal en la deformacón de las barras, los nudos B y C, debdo a la carga P, expermentarán un desplazamento horzontal del msmo valor B C Smultáneamente los nudos B y C expermentarán gros θ B, θ C A Por lo tanto: gdl B, θ B, θ C P θ A D A B C θ B C Por lo tanto: 4 gdl θ A, θ B,, θ C, C, θ C TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

6 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón - El prmer paso será especfcar cuales son los grados de lbertad no mpeddos de la estructura - Estos serán las ncógntas del problema. - Número de ncógntas grado de ndetermnacón cnemátca - Cnematcamente determnado s el grado de ndetermnacón cnemátco es 0 - Para la aplcacón de este método úncamente se consderarán las deformacones debdas a flexón, la nfluenca en la deformacón de los esfuerzo axal y cortante se desprecará. - Se puede aplcar el prncpo de Superposcón. - Ecuacón fundamental del método: omento en uno de los extremos de la barra omento generado por las fuerzas exterores en el extremo cuando los desplazamentos de ambos extremos están mpeddos. omento generado por los desplazamentos reales en el extremo. TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

7 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón.. Conveno de sgnos p c) δ -δ Traslacón relatva de los extremos en dreccón perpendcular a la dreccón ncal de la barra δ θ ϕ δ d) a traslacón relatva de los extremos en la dreccón axal de la barra es nula. Es decr, x -x 0, x x. x θ x x Se supone que la longtud de la barra no varía y que las deformacones debdas a la flexón son pequeñas. a) omentos en los extremos. Postvos en contra de las aguas del relo. b) θ Gro de la tangente a la elástca en un extremo respecto a la poscón ncal de la barra. e) ϕ Gro de la cuerda (segmento ) Postvo a favor de las aguas del relo. ϕ / Postvo en contra de las aguas del relo. TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

8 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón.. Defncones adconales f) Para expresar los momentos en los extremos se utlzarán dos subíndces momento en el extremo de la barra momento en el extremo de la barra g) Para expresar los gros en los extremos se utlzarán dos subíndces θ gro del nudo θ gro del nudo h) ϕ /, el gro de la cuerda con dos subíndces ) K rgdez a la rotacón del extremo omento orgnado en correspondente a un valor undad de la rotacón en cuando el desplazamento en está mpeddo, es decr, en hay un empotramento. k t ) K rgdez a la rotacón del extremo Desplazamento en está mpeddo (en hay un empotramento) t k omento orgnado en correspondente a un valor undad de la rotacón en TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

9 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón k) t omento de transmsón omento producdo en el extremo empotrado por una rotacón undad del extremo. t momento producdo en el extremo fo orgnado por una rotacón undad del extremo. edante el teorema de recprocdad se demuestra que: t t t k t t k K 0 t t K 0 l) β Coefcente de transmsón de a β t t t β K K K m) β Coefcente de transmsón de a n) omentos de empotramento perfecto (µ µ ) omentos producdos en los nudos como consecuenca de la accón de las cargas exterores cuando los desplazamentos en dchos nudos (gros y traslacones) están totalmente mpeddos. β t t t β K K µ TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular Sgno K En contra de las aguas del relo µ

10 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón.4. Evaluacón de coefcentes omentos de empotramento perfecto (µ ) Extremo µ P / / µ θ 0 Superposcón y θ 0 Se supone EI CTE P µ δ µ δ δ z P 4 µ z z µ θ θ ( P) ( µ ) ( µ ) δ δ δ θ θ θ EI P EI 6 P 4 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular µ µ 6 µ 0 µ ( a)

11 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón P θ EI µ µ 4 P µ µ 0 EI 6 6 Hacendo lo msmo para el nudo : P θ EI µ µ 4 P µ µ 0 EI 6 6 ( a) ( b) µ µ P 8 Estos coefcentes suelen ser un dato que se recoge en tablas. DIAGRAA DE OENTOS Aplcando superposcón con los valores obtendos P z P 8 P 4 z P 4 z µ P/8 z µ -P/8 P 8 P 8 TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

12 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. Defncones y notacón Rgdeces a rotacón (K ) y momentos de transmsón (t ) Gro omento Gro omento Tenendo en cuenta las sguentes suposcones de deformacón y utlzando los conocmentos de Resstenca de aterales: Nudo θ K θ 0 t Nudo θ 0 t θ K k β t k K t α 6EI EI 0 t k α α 0 θ θ t K Aplcando superposcón K t K K K θ K EI 6EI EI EI 4EI EI t t 4EI t β K k θ TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular θ α α De manera smlar se resuelve el caso K K β β 4EI K t β K t

13 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. étodo de la deformacón angular Se va a obtener la ecuacón fundamental del método. Recordando: p δ θ elástca de una barra. ϕ δ Una parte del desplazamento es el movmento de sóldo rígdo de la cuerda desde la poscón a la poscón θ x x x Aplcando el prncpo de superposcón el momento del extremo se puede expresar de la sguente manera: µ momento debdo al gro (θ ϕ) momento debdo al gro (θ ϕ) (suponendo fo) (suponendo fo) omento que generan las cargas exterores cuando los extremos están empotrados Es decr : ( θ ϕ ) t ( θ ϕ ) µ K TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

14 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. étodo de la deformacón angular ( ) ( ) θ ϕ t θ ϕ µ K µ t µ k k t Cuando el gro es Cuando el gro es x K x.k TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

15 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao. étodo de la deformacón angular Operando con la expresón anteror: ( θ ϕ ) t ( θ ϕ ) µ K ϕ / t t β K µ K µ K µ K θ t θ ϕ θ β K θ β θ ( K t ) θ K ( β ) ( β ) Para el nudo : ( K ) µ K θ t θ ϕ t µ K θ β K θ K ( β ) Para pezas de EI constante K K β β K β 4EI t K Fnalmente: gros y momentos ϕ µ K θ β θ 4EI µ 4EI µ ( β ) θ θ TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular θ θ

16 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao 4. Desplazabldad de las estructuras En este método las ncógntas son los grados de lbertad de la estructura. os grados de lbertad pueden ser: - θ gros en los nudos lbres - en cada barra Resulta sencllo dentfcar los nudos que pueden grar. No es tan sencllo dentfcar las barras con 0. Desplazamento relatvo entre los nudos en dreccón perpendcular a la dreccón ncal de la barra. as barras con desplazamentos ndependentes en sus nudos tendrán 0. Estructura traslaconal: Estructuras con 0 Intraslaconal q Traslaconal Q Estructura ntraslaconal: Estructuras sn 0 P TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

17 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao 4. Desplazabldad de las estructuras Para una estructura se defne m grado de desplazabldad (o grado de traslaconaldad ) Número de traslacones ndependentes de los nudos. Es decr, número de desplazamentos ndependentes. Número de desplazamentos Número Número mpeddos por los apoyos de nudos de barras m n - b - r r r r Por cada nudo hay dos desplazamentos Cada barra que conecta dos nudos mpde el desplazamento relatvo de dchos nudos en la dreccón axal (ε x 0) TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

18 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao 4. Desplazabldad de las estructuras m n-b-r m n-b-r m n-b-r.-- 4 m n-b-r TEORÍA DE ESTRUCTURAS: Tema 6: étodo de la deformacón angular

19 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao 5. Aplcacón del método Número de ncógntas: n m Desplazamentos ndependentes Número de ecuacones:, por cada barra b n m Un gro por cada nudo θ Pasos: ) Hallar m, número de desplazamentos ndependentes ) Elegr los desplazamentos ndependentes y poner los desplazamentos de las demás barras en funcón de estos f( ndep ) ) Escrbr las b ecuacones 4) Escrbr las n ecuacones 4 EI µ θ θ 4EI µ θ θ Equlbro en los nudos 0 5) Plantear m ecuacones de equlbro nt ext o Condcones de enlace Se realzan m cortes en la estructura y se aplca en cada uno condcones de equlbro. El obetvo es obtener unas ecuacones en las que aparezcan, y las cargas exterores. Estarán en funcón de los desplazamentos ndependentes

20 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao 5. Aplcacón del método ) Elegr los desplazamentos ndependentes y poner los desplazamentos de las demás barras en funcón de estos f( ndep ) PROCEDIIENTO GENERA -Se elgen m nudos de la estructura y se coloca en cada uno de ellos un apoyo deslzante elmnando el grado de desplazabldad correspondente. Se pueden plantear dferentes opcones - PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN: Para hallar la relacón f( ndep ) Se calculan los desplazamentos transversales,, al elmnar cada uno de los apoyos deslzante mantenendo los demás. Fnalmente m k k...

21 TEORÍA DE ESTRUCTURAS TEA 4: CÁCUO DE ESTRUCTURAS POR E ÉTODO DE A DEFORACIÓN ANGUAR DEPARTAENTO DE INGENIERÍA ECÁNICA - EKANIKA INGENIERITZA SAIA ESCUEA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DE BIBAO UNIVERSIDAD DE PAÍS VASCO EUSKA HERRIKO UNIBERTSITATEA UPV/EHU Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería Blbao