9 Teorema de Pitágoras

Transcripción

1 Teorem de Pitágors Presentción de unidd Es probbe que todos os estudintes conozcn y e teorem de Pitágors y o hyn picdo obtención de uno de os dos de un triánguo rectánguo conociendo os otros dos. Aunque sí se, es muy desebe que en este curso vuevn hcer e recorrido competo que ev sentr os conceptos y reforzr s destrezs procedimentes. En primer ugr, e teorem de Pitágors es un reción entre áres. Esto debe quedr muy cro os estudintes. Un m preprción en este sentido puede evr siguiente disprte, fácimente repetibe en muchs us (incuso de cursos superiores, 3.º, 4.º e, incuso, chierto): se es d un triánguo rectánguo con cudrdos construidos en os tres dos. En e de hipotenus pone 40 cm ; en e de un cteto 3 cm, y en e de otro cteto, un interrogción. uá es superficie de tercer cudrdo?, se es pregunt. Y muchos estudintes proceden sí: c = 40 8 c = 40 = 6,3; = = 5,6 c = + b 8 b = c =, 63 56, = 833, =, 8 8 b =, = 8,41 cm E reconocimiento de si un triánguo cuyos dos son conocidos es o no rectánguo es otr picción de teorem de Pitágors con cr connotción conceptu. Se puede finr más en est ide enseñándoes precir si un triánguo no rectánguo es cutánguo u obtusánguo prtir de sus dos. L obtención de un do de un triánguo rectánguo conociendo os otros dos debe prcticrse en contetos vridos, sin ovidr figurs espcies, tnto con resutdos ectos (enteros o decimes) como proimdos. Es desebe que e estudinte conozc, menos, s terns pitgórics 3, 4, 5 y 5, 1, 13, y guns recionds con es, como, 6, 8, 10; 10, 4, 6; 30, 40, Y, muy importnte, e umndo debe reconocer oportunidd de picr e teorem de Pitágors en probems geométricos. onocimientos mínimos Dominio de reción entre s áres de os cudrdos construidos sobre os dos de un triánguo rectánguo. Esquem de unidd TEOREMA DE PITÁGORAS sirve pr csificr ccur TRIÁNGULOS EN: Rectánguos Acutánguos Obtusánguos E do de un triánguo rectánguo conociendo os otros dos E áre de un cudrdo construido sobre e do de un triánguo rectánguo dds s áres de os cudrdos construidos sobre os otros dos dos de triánguo que se puede picr en LONGITUDES EN POLÍGONOS LONGITUDES EN UERPOS GEOMÉTRIOS DISTANIA EN PROLEMAS ON ENUNIADO 134

2 Diucidr si un triánguo es rectánguo o no prtir de s ongitudes de sus dos. Apicción correct de teorem de Pitágors cácuo de ongitudes desconocids en figurs pns y espcies: con resutdo ecto, entero o decim ecto. con resutdo proimdo, diucidndo e número de decimes requeridos. Sotur picndo e teorem de Pitágors pr obtener un do (cteto o hipotenus) en un triánguo rectánguo de que se conocen os otros dos. ompementos importntes Reconocimiento de si un triánguo es cutánguo u obtusánguo prtir de s ongitudes de sus dos. Demostrción de teorem de Pitágors. Anticipción de tres sificr os triánguos según sus dos y según sus ánguos. cur s áres de s figurs pns más conocids. Reconocer gunos cuerpos geométricos y sus eementos. Adptción curricur En prte de Recursos fotocopibes se ofrece un dptción curricur de est unidd de ibro de umndo, pr cuy eborción se hn tenido en cuent os conocimientos mínimos que quí se proponen. L ectur inici servirá pr reforzr comprensión ector y pr ejercitr os dos spectos que justificn e estudio de s mtemátics: e práctico y e inteectu. Los contenidos, si se dptn esos mínimos eigibes, o bien no hn sufrido cmbio guno, o bien se hn modificdo igermente pr decuros posibe nive de os estudintes quienes v dirigido. Lo mismo cbe decir de os ejercicios prácticos que se proponen. Si gún contenido super os mínimos, o bien se h suprimido, o bien se h dptdo pr justro os requisitos eigidos. Finmente, os ejercicios y os probems con os que finiz unidd se hn reducido en cntidd y se hn modificdo o bjdo de nive hst dptrse o convenido. Lo mismo cbe decir de utoevución. En siguiente tb se recoge un reción de ctividdes pr tender y trbjr e prendizje coopertivo, e pensmiento comprensivo, e pensmiento crítico, interdiscipinriedd, e emprendimiento y resoución de probems. Uns están propuests en e ibro de umndo (L.A.), y quí se hce referenci es indicndo págin y ctividd, y otrs, como se indic, se sugieren en est Propuest Didáctic (P.D.). Un seección de ests sugerencis están mrcds en e ibro de umndo con un icono; quí se hn mrcdo con (*). APRENDIZAJE OOPERATIVO PENSAMIENTO OMPRENSIVO PENSAMIENTO RÍTIO INTERDISIPLINARIEDAD Pág Actividd sugerid en est P.D. Pág Ejercicio resueto (*) Pág. 17. Actividd sugerid en est P.D. Pág Actividd sugerid en est P.D. (*) Pág Actividd (*) Pág Actividd sugerid en est P.D. Pág Actividd sugerid en est P.D. Pág Piens y prctic (*) y ctividd sugerid en est P.D. Pág. 18. Actividd sugerid en est P.D. Pág Actividd 3 (*) Págs.185 y 186. Actividd sugerid en est P.D. Pág Actividd sugerid en est P.D. Pág. 18. Actividd 41 (*) Pág Actividd sugerid en est P.D. TI EMPRENDIMIENTO RESOLUIÓN DE PROLEMAS Pág Ldio (*) y ctividd sugerid en est P.D. Pág Actividd sugerid en est P.D. Todos os probems propuestos en e L.A. están encudrdos en este prtdo. Aquí se señn gunos que tienen especi interés. Pág. 10. Actividd ómo construir un Pág Actividd Aprende resover probems (*) cmpo de vóey py? (*) Págs. 188 y 18. Actividdes Resueve probems y Probems + Pág. 11. Actividd Entrénte resoviendo probems (*) 135

3 Teorem de Pitágors E teorem de Pitágors y demostrción de Eucides E teorem de Pitágors firm que si e triánguo zu es rectánguo, s áres de os dos cudrdos E teorem de Pitágors es un importntísimo resutdo geométrico. omo sbes, recion os cudrdos de os dos de cuquier triánguo rectánguo. A pequeños sumn igu que e áre de cudrdo grnde. + = A Eucides, pr demostrro, trzó rect verde de figur. Es perpendicur do grnde de triánguo y, por tnto, prte cudrdo grnde en dos rectánguos. Y probó que = A 1 y = A. A 1 A omprueb en est figur propiedd nterior. Pr eo: A A ) uántos cudrditos tiene e cudrdo pequeño,? omprueb que son os mismos que os de rectánguo A 1. b) omprueb que e número de cudrditos de cudrdo coincide con e de A. c) Enunci propiedd. ce más de ños, tnto os egipcios como os b- sbín que ciertos triánguos ern rectánguos. Hbionios En concreto, queos cuyos dos miden 3, 4 y 5, y os de medids 5, 1 y 13. Se vín de est propiedd pr construir ánguos rectos. Pitágors conoció, indudbemente, estos resutdos. Su grn mérito fue que enunció e teorem de form gener, recionndo s áres de os cudrdos construidos sobre os dos de cuquier triánguo rectánguo. Sin embrgo, no fue é quien dio demostrción de este teorem, sino Eucides dos sigos después. 1 onstruye con reg y compás dos triánguos: uno de dos 3 cm, 4 cm y 5 cm, y otro de dos 5 cm, 1 cm y 13 cm. omprueb que mbos triánguos son rectánguos. Pr esto, puedes utiizr un esquin de un hoj de ppe. ucides de Aejndrí escribió sus Eementos en torno Eño Se trt de un conjunto de 13 ibros en os que se recopi, mpí y orgniz todo e sber mtemático de su époc, portándoe un sóid estructur ógic. En e ibro i demuestr e que hor mmos teorem de Pitágors. A inicir unidd L princip portción de Pitágors evoución de s mtemátics es eigenci de rigor ógico pr dr videz os resutdos. Además, en e estudio de s mtemátics buscó más e pcer inteectu que utiidd práctic. Los pitgóricos distinguín entre Aritmétic (estudio de os números y sus propieddes) y Logístic (técnics de cácuo). Eos cutivron primer y menospreciron segund, que considerbn un rte inferior que dejbn os escvos. L enorme portción de Eucides se concretó en su obr Los Eementos, de etrordinri infuenci científic y didáctic hst csi e sigo. uestiones pr detectr ides previs Reizr construcciones con reg y compás. sificr os cudriáteros y conocer sus propieddes. Recionr e rdio, potem y mitd de do en os poígonos regures. onocer s figurs espcies más importntes. Interdiscipinriedd Se sugiere siguiente ctividd: Ampir informción de págin retiv teorem de Pitágors. Emprendimiento Se sugieren s siguientes ctividdes: uscr en Internet guns comprobciones de teorem de Pitágors: con íquido, con ren, con pequeños cudrdos, etc. omprobr, con picción GeoGebr, que se cumpe e teorem de Pitágors en cuquier triánguo. E teorem de Pitágors y demostrción de Eucides Observe e docente que igudd de cd cudrdo con e rectánguo correspondiente es, en esenci, e teorem de cteto: e cudrdo de un cteto es igu producto de hipotenus por proyección de cteto sobre e. L demostrción de Eucides consiste en o siguiente: E triánguo rojo y e triánguo gris son igues. Si tommos como bse de triánguo rojo e do b, su tur es tmbién b. Su áre es, pues, b b/ = b /, mitd de cudrdo. Si tommos como bse de triánguo gris e do, su tur es 1. Su áre 1 / es mitd de rectánguo A 1. Por tnto, áre de = áre de A 1. Anáogmente se probrí que áre de = áre de A. Ni observción inici ni demostrción de teorem de Pitágors reizd por Eucides son decuds pr este nive, pero seguro que profesordo e interesrá pr su propio conocimiento. Souciones ) tiene = 5 cudrditos oinciden. A 1 tiene 5 = 5 cudrditos b) tiene 0 0 = 400 cudrditos y A, 16 5 = 400. oinciden. c) Ls áres de os cudrdos y sumn o mismo que e áre de cudrdo grnde: Áre de + Áre de = Áre de A 1 + Áre de A = Áre de A Souciones de s ctividdes 1 Actividd mniputiv. b b A 1 1 A 136

4 1 Teorem de Pitágors b Sorprendente! Est demostrción construyeron os chinos 400 ños ntes de que ncier Pitágors. En web Demostrción gráfic de teorem de Pitágors. c Ejercicio resueto uáes son s áres de os cudrdos desconocidos en s siguientes figurs? En un triánguo rectánguo, os dos menores son os que formn e ánguo recto. Se mn ctetos. E do myor se m hipotenus. En gener, mremos hipotenus y b y c os ctetos. E teorem de Pitágors firm o siguiente: = b + c Esto quiere decir que e áre de un cudrdo construido sobre hipotenus es igu sum de s áres de os cudrdos construidos sobre os ctetos. Est reción es ciert, somente si e triánguo es rectánguo. Observ siguiente demostrción: Los dos cudrdos igues tienen por dos b + c. omprndo s c dos descomposiciones, es cro que = b + c. b 183 m 47 dm 10 m S dm b c c b b c c c c b b b c b c b S Justificción Si en un triánguo rectánguo brimos e ánguo que formn os dos ctetos, e do opuesto ument y, por tnto, su cudrdo tmbién ument. Si cerrmos dicho ánguo (o hcemos gudo), e do opuesto es menor de o que er hipotenus. Ejercicio resueto Indicr si cd uno de os siguientes triánguos es rectánguo, obtusánguo o cutánguo. ) 70 cm, 40 cm, 45 cm b) 15 dm, 36 dm, 3 dm c) 18 m, 80 m, 83 m Los dos determinn e tipo de triánguo Si conocemos os dos de un triánguo, podemos verigur si es o no rectánguo, comprndo e cudrdo de do myor con sum de os cudrdos de os otros dos. es igu que b + c? Si = b + c, e triánguo es rectánguo. Si > b + c, e triánguo es obtusánguo. Si < b + c, e triánguo es cutánguo. RETÁNGULO OTUSÁNGULO AUTÁNGULO 5 es igu es myor que ,5 es menor que ) = = 6500; 45 = es menor que , por tnto, e triánguo es cutánguo. b) = 151; 3 = 151 omo son igues, e triánguo es rectánguo. c) = 674; 83 = es myor que , por tnto, e triánguo es obtusánguo. Piens y prctic 1. Dibuj en tu cuderno ests figurs. ompéts construyendo e cudrdo que ft en cd un y di cuá es su áre. ) b) c) 57 cm omo mbos triánguos son rectánguos, en os dos csos e áre de cudrdo myor es igu sum de s áres de os cudrdos menores. Por tnto: S 1 = 183 m + 10 m = 85 m S = 386 dm 47 dm = 33 dm 3 dm 57 cm 87 m 14 dm 31 m Piens y prctic. omprueb que s nueve terns de rrib son, efectivmente, pitgórics. Por ejempo, 3, 4 y 5 es pitgóric, y que = 5. Terns pitgórics Si tres números ntures, c, b,, cumpen c + b =, es decir, si pueden ser s medids de os dos de un triánguo rectánguo, entonces decimos que formn un tern pitgóric. Aquí tienes guns: 3, 4, 5 8, 15, 17 1, 35, 37 5, 1, 13, 40, 41 13, 84, 85 7, 4, 5 11, 60, 61 16, 63, 65 Fíjte que si c, b, es un tern pitgóric, tmbién o es kc, kb y k. Por ejempo, 6, 8, 10 (obtenids mutipicr por cd uno de os componentes de tern 3, 4, 5) es un tern pitgóric. 3. sific según sus ánguos estos triánguos: ) 17 m, 6 m, 14 m b) 64 cm, 84 cm, 57 cm c) 45 dm, 8 dm, 53 dm d) 5 mm, 5 mm, 8 mm 178 En web Actividd mniputiv pr rzonr sobre demostrción de teorem de Pitágors. 17 Sugerencis Aunque este contenido es específico de.º curso, probbemente os estudintes o hbrán trbjdo y en e curso nterior. No obstnte, conviene insistir en é, pues e dominio de teorem de Pitágors y de sus picciones es básico tnto pr s siguientes uniddes (áres y voúmenes de cuerpos geométricos) como pr tod geometrí de cursos posteriores. En est dobe págin se visuiz e teorem como igudd entre áres de cudrdos y se epic e reconocimiento de tipo de triánguo en función de sus dos. E umndo debe ir fmiirizándose con guns terns de números pitgóricos: 3, 4, 5; 5, 1, 13; 8, 15, 17. Y s que se derivn de es: 6, 8, 10; 0,5; 1,; 1,3 Refuerzo y Ampición Se recomiendn: De cuderno n.º 4 de EJERIIOS DE MATEMÁTIAS: Refuerzo: Ejercicio 1 de pág. 3. Ejercicio 1, prtdos ), b), c) y d), de pág. 4. Ampición: Ejercicio 1, prtdos desde e e) hst e m), de pág. 4. De fotocopibe TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejercicios 1 de fich A. TI Hcer construcciones, comprobciones y demostrciones utiizndo como herrmient e progrm GeoGebr o con otros progrms informáticos. Pensmiento crítico Se sugiere siguiente ctividd: Justificr en cd cso csificción hech en ctividd 3. Souciones de Piens y prctic 1 E áre de cd cudrdo que ft es: ) = 114 cm b) 14 3 = 11 dm c) = 118 m = = 16 = = = 65 = = = 8 = = = 1681 = = = 371 = = = 136 = = = 75 = = = 45 = 65 3 ) Obtusánguo b) Acutánguo c) Rectánguo d) Obtusánguo 137

5 ácuo de un do conociendo os otros dos 48 km? b 14 dm 56 km 11 dm c Si sbemos que un triánguo es rectánguo, y conocemos ongitud de dos de sus dos, e teorem de Pitágors nos permite ccur ongitud de tercero. ácuo de hipotenus conociendo os dos ctetos = b + c = b+ c Piens y prctic 1. H ongitud de do desconocido en estos triánguos rectánguos, donde es hipotenus, proimndo cundo hg ft hst dos cifrs decimes: ) c = 70 mm = 74 mm b) b = 15 cm = 5 cm c) b = 14 m c = 48 m d) b = 13 pugds c = 84 pugds e) b = 5,5 cm = 30,5 cm f ) c = 4 km = 6 km g) b = 65 m = 45 m c Ejempos En un triánguo rectánguo, sus ctetos miden 88 m y 105 m. cu ongitud de hipotenus. = = = = 137 L hipotenus mide 137 m. H hipotenus de triánguo de mrgen. = = = 317 = 17,8 L hipotenus mide 17,8 dm proimdmente. ácuo de un cteto conociendo e otro y hipotenus = b + c b = c b = c Ejempos En un triánguo rectánguo, hipotenus mide 130 cm, y uno de os ctetos, 3 cm. H ongitud de otro cteto. b = = = = 16 E otro cteto mide 16 cm. H ongitud de do desconocido en e triánguo de mrgen. c = = = 83 = 8,84 E do desconocido mide 8,84 km proimdmente. h) 15 cm i) 36 cm 37 cm 1 cm j) Los ctetos de triánguo rectánguo miden 3 dm y 5 dm respectivmente. k) L hipotenus de triánguo rectánguo mide 10,7 m, y uno de os ctetos, 7,6 m. Ejercicios resuetos 1. Queremos svr un escón de 1 m de tur pr psr con crreti. Disponemos de un tbón de,6 m. A qué distnci de escón empiez rmp?. Hy que hcer un tiroin entre dos árboes seprdos 1 m. E cbe estrá tdo 10 m de tur de un árbo y 1 m de tur en e otro. uá es ongitud de cbe en tensión? 3. Un escer cuyo pie está 4 m de pred se poy en est, cnzndo un tur de 7,5 m. A qué distnci de pred debe coocrse e pie pr que egue un tur de 8 m? 4. Ávro h tomdo ests medids pr hr tur,, de pred de su buhrdi. cur d y, uego,. 4 m 5 m 15 m d 18 m En este triánguo rectánguo, conocemos hipotenus y un cteto. Hemos de ccur e otro cteto. d =,6 1 = 6,76 1 = 5,76 d = 576, =,4 m E pie de tbón estrá situdo,4 m de escón, o go menos pr que pued poyrse d rrib. 1 m,6 m onociendo os ctetos, hmos hipotenus. = + 1 = = 5 = 5 = 15 m L ongitud de cbe tenso es de 15 m. Además, hbrá que tener en cuent ongitud 1 m 1 m necesri pr tro cd árbo. 10 m cumos primero ongitud de escer. = 4 + 7,5 = 7,5 = 7, 5 = 8,5 m 7,5 m 4 m 8 m d 8,5 m Ahor ccumos distnci que debe estr pr cnzr 8 m de tur: d = 8,5 8 = 7,5 64 = 8,5 d = 85, =,87 m E pie de escer debe siturse,87 m de pred. cumos distnci d. d = 5 4 = 5 16 = d = = 3 m Ahor ccumos tur,, sbiendo que es e cteto de un triánguo rectánguo cuy hipotenus mide = 0 m y e otro cteto 3 + = 1 m: = 0 1 = = 56 = 56 = 16 m L tur de buhrdi es de 16 m. Piens y prctic. Pr coocr un másti, se hn utiizdo 64 m de cbe. Se sujet con cutro cbes y se necesit 1 m de ongitud por cd mrre. Si todos os cbes están tdos etremo de rrib y un tornio ncdo en e sueo 10,5 m de su pie, qué tur cnz e másti? 10,5 m 0 m 1 m Sugerencis L picción más utiizd de teorem de Pitágors es obtención de do de un triánguo rectánguo conociendo os otros dos. En est dobe págin se trt de mner más direct y eement. Es importnte que e umndo se fmiirice con e y utomtice su utiizción. Que ccue e do desconocido de form ect, si s medids de os dos son números pitgóricos, o proimdmente con un redondeo rzonbe. Refuerzo y Ampición Se recomiendn: De cuderno n.º 4 de EJERIIOS DE MATEMÁTIAS: Refuerzo: Ejercicios 1 y de pág. 5. De fotocopibe TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejercicios y 3 de fich A. Ampición: Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de fich. Souciones de Piens y prctic 1 ) b = 4 mm b) c = 0 cm c) = 50 m d) = 85 pugds e) c = 30 cm f ) b = 10 km g) c = 40 m h) = 3 cm i ) c = 35 cm j ) = 5,83 dm k) b = 7,53 m L tur de másti es 10,71 m. ANOTAIONES Aprendizje coopertivo Ests ctividdes y, en gener, tods s que tienen por objetivo fijción de os contenidos recién prendidos, se pueden resover individumente y después corregir en pequeño grupo, contrstndo s souciones y resoviendo entre os estudintes s discrepncis. Soo en cso de boqueo recurrirán profesor o profesor. Pensmiento comprensivo Se puede pedir os estudintes que, en un primer momento, borden os ejercicios, con sus propios recursos, pr después nizr y describir os procesos y souciones que se ofrecen. Se trt de identificr dificutd, si hy, y después, en e náisis de os modeos, dquirir recursos pr superr os boqueos. 138

6 3 Apicciones de teorem de Pitágors Ejercicios resuetos 1. L digon de un rectánguo mide 8 cm, y uno de os dos, 80 cm. cu su áre.. Ls digones de un rombo miden 10 cm y 4 cm. Hr su perímetro. 3. E do de un rombo mide 6,5 m y un de sus digones, 5 m. Hr su áre. 4. Ls bses de un trpecio rectánguo miden 5 cm y 38 cm, y tur, 1 cm. Hr su perímetro. 5. Hr e áre de un trpecio isóscees cuys bses miden 30 cm y 48 cm, y e do obicuo, 41 cm. Hy mutitud de poígonos en os que gunos de sus eementos son dos de un triánguo rectánguo. Eso permite recionros medinte e teorem de Pitágors y ccur ongitud de uno de eos conociendo os otros dos. E áre de un rectánguo de dos y b es: A = b Empezmos por ccur e otro do: b = 8 80 = 151 = 3 8 cm 80 cm b E do corto mide 3 cm. E áre es: A = 80 3 = 310 cm omenzmos por ccur ongitud de un do: = 1+ 5= 16 = 13 5 cm d do mide 13 cm. 1 cm E perímetro es: P = 4 13 = 5 cm E áre de un rombo cuys digones son d y d' es: A = d d' onocemos un digon. E teorem de Pitágors,5 m nos permite ccur otr: d'/ d' = 65, 5, = 6 m L segund digon mide, pues, 6 = 1 m. Por tnto, A = 5 1 = 30 m. Empezmos ccundo ongitud de do obicuo: 5 cm = 13+ 1= 530 3,0 E do obicuo mide 3 cm proimdmente. 1 cm E perímetro es: 38 cm 13 cm P = = 105 cm 6,5 m Recordemos que e áre de un trpecio es: A = ( + b' ) Hemos de empezr ccundo su tur,. b = 30 cm En e triánguo verde, e do pequeño mide 41 cm cm (48 30) : = cm. = 41 = 1600 = 40 L tur de trpecio mide 40 cm. b' = 48 cm A = ( ) 40 = 1560 cm 6. cur e áre de un triánguo equiátero de do 8 cm. 7. cur e áre y e perímetro de un pentágono regur cuy potem mide 16, cm, y e rdio, 0 cm. 8. Hr e perímetro de un circunferenci en que se h trzdo un cuerd de 6,6 cm un distnci de 5,6 cm de centro. cur e áre de círcuo correspondiente.. Un circunferenci de 8 cm de rdio es cortd por un rect en dos puntos A y que distn 8 cm entre sí. cur e áre de segmento circur % determindo por cuerd A. Empezmos ccundo tur: = 8 4 = 48 6, L tur mide 6, cm proimdmente. 8 cm E áre es: A = 8 6, = 7,6 cm 4 cm 16, cm / 0 cm Primero ccumos e do: = 0 16, = 137, 56 11,7 E do de pentágono mide: = 11,7 = 3,4 cm Por tnto, su perímetro es: P = 3,4 5 = 117 cm Finmente, ccumos e áre. Perímetro potem A = = , = 47,7 cm omenzmos ccundo e rdio. En e triánguo rectánguo cooredo, e do pequeño mide 6,6 : = 3,3 cm. O 8 cm 5,6 cm r A 8 cm 8 cm 3,3 cm r = 33, + 56, = 4, 5 = 6,5 E rdio mide 6,5 cm. P = πr = 3,14 6,5 40,8 cm A = πr = 3,14 6,5 13,7 cm E segmento circur, en rojo, es % diferenci entre e sector circur de rco A y e triánguo OA. E triánguo OA, equiátero, es e mismo cuy áre hemos obtenido en e ejercicio 6 de est págin (A triánguo = 7,6 cm ). % omo e triánguo es equiátero, AO = 60. Por tnto, e áre de sector es set prte de áre de todo e círcuo: A sector = (π 8 ) : 6 = 33,5 cm Por tnto: A segmento circur = 33,5 7,6 = 5, cm Sugerencis Reconocer un triánguo rectánguo en un figur geométric, identificr sus dos conocidos y e do desconocido es un destrez que e umndo irá dquiriendo medinte resoución de muchos ejercicios de os que e triánguo rectánguo forme prte. En est dobe págin se nizn figurs pns. Aguns espcies se verán en siguiente págin. Es recomendbe que e umndo resuev minuciosmente os ejercicios que y vienen resuetos y pique técnic prendid (representción de figur, señr e triánguo rectánguo correspondiente, mrcr e vor de os dos conocidos y nombrr e do desconocido, y proceder sistemáticmente os cácuos oportunos) en os ejercicios propuestos. ANOTAIONES Refuerzo y Ampición Se recomiendn: De cuderno n.º 4 de EJERIIOS DE MATEMÁTIAS: Refuerzo: Todos os ejercicios de pág. 6. Ejercicios 6 y 10 de pág. 7. Ampición: Ejercicios 7, 8 y de pág. 7. Todos os ejercicios de pág.. Todos os ejercicios de pág. 10. Todos os ejercicios de pág. 11. De fotocopibe TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejercicios 4, 5, 6 y 7 de fich A. Pensmiento comprensivo Se puede pedir os estudintes que, en un primer momento, borden os ejercicios, con sus propios recursos, pr después nizr y describir os procesos y souciones que se ofrecen. Se trt de identificr dificutd, si hy, y después, en e náisis de os modeos, dquirir recursos pr superr os boqueos. 13

7 Souciones de Piens y prctic 10. L distnci de un punto P centro O de un circunferenci es OP = 3 cm. Trzmos un tngente desde P circunferenci. E segmento tngente PT mide 18 cm. Hr e áre de círcuo. 11. Hr digon de un ortoedro de dimensiones 1, m; 1,6 m y 4,8 m. r O D A T 18 cm 3 cm 1, m D 4,8 m P L rect tngente es perpendicur rdio. Por tnto, e triánguo PTO es rectánguo en T : r = OP PT = 3 18 = 05 A círcuo = πr = π ,7 cm 1,6 m m d A A A = 1, + 16, = m d = + 4, 8 = 5, m L digon de ortoedro mide 5, m. Observ que se puede hr directmente: d = 1, + 16, + 48, = 5, m En gener, en un ortoedro de dimensiones b c digon es d = + b+ c. 1 A = 55,44 m A = 140,31 cm 3 A = 5705,88 dm 4 P =,6 m A = 30,4 m 5 A = 84,4 cm 6 Se encuentr 7, m. 1. cur tur,, de un pirámide cudrngur regur cuy bse es un cudrdo de 30 m de do y cuy cr ter tiene un áre de 55 m. 30 m Piens y prctic 1. E do de un rombo mide 8,5 m, y un de sus digones, 15,4 m. cu su áre.. H e áre de un triánguo equiátero de 54 cm de perímetro. 3. cu e áre de un trpecio rectánguo cuys bses miden 70 dm y 134 dm, y e do obicuo, 85 dm. 4. H e áre y e perímetro de un trpecio isóscees cuys bses miden 3, m y 6,4 m, y su tur, 6,3 m. 5. cu e áre de un heágono regur de 18 cm de do. (Recuerd que en un heágono regur, e do mide igu que e rdio). 6. En un circunferenci de rdio,7 m, se trz un cuerd de 13 m. A qué distnci de cuerd se encuentr e centro de circunferenci? h 30 m h 15 m Primero hmos tur de cr ter. A = bse tur 55 = 30 h h = 17 m A prtir de tur de cr ter, ccumos tur de pirámide: = = 8 m L pirámide tiene 8 m de tur. 7. L distnci de un punto P centro O de un circunferenci es de 8 cm. Trzmos un tngente desde P circunferenci. E segmento tngente PT tiene un ongitud de 80 cm. H e perímetro de circunferenci y e áre de círcuo. O r T 80 cm 8 cm P 8. Un pentágono regur está inscrito en un circunferenci de rdio 1 m. Su perímetro es 5,85 m. cu su áre.. H ongitud de digon de un ortoedro cuys dimensiones son 8 dm, 6 dm y 14 dm. 7 P = 45 cm A = 4778,36 cm 8 A =,37 m L digon de ortoedro mide 17, dm. ANOTAIONES 184 En web Prctic picción de teorem de Pitágors pr resover probems. Sugerencis En est págin hy ejempos de picción de teorem de Pitágors en dos figurs espcies muy comunes. En e ortoedro hy que picr dos veces e teorem pr ccur digon princip. Un vez resueto se recurre fórmu gener de digon de un ortoedro de dimensiones b c. Refuerzo y Ampición Se recomiendn: De cuderno n.º 4 de EJERIIOS DE MATEMÁTIAS: Refuerzo: Ejercicio 13 de pág. 8. Ampición: Ejercicios 11 y 1 de pág. 8. De fotocopibe TRATAMIENTO DE LA DIVERSIDAD: Ampición: Ejercicios 1, y 3 de fich. Aprendizje coopertivo Ests ctividdes y, en gener, tods s que tienen por objetivo fijción de os contenidos recién prendidos, se pueden resover individumente y después corregir en pequeño grupo, contrstndo s souciones y resoviendo entre os estudintes s discrepncis. Soo en cso de boqueo recurrirán profesor o profesor. Pensmiento crítico Se sugiere siguiente ctividd: Los umnos y s umns pueden resover previmente os probems y, después, contrstr sus procesos con os que se hn ofrecido en págin. 140

8 13 p = 17,3 cm Ejercicios y probems 14 p = 8,1 cm Teorem de Pitágors 1. cu e áre de cudrdo verde en cd uno de os siguientes csos: ) b) 30 cm 14 cm 45 m 60 m. cu e áre de os siguientes cudrdos: ) b) 17 cm 4 cm 1 dm 1 dm 3. Di si cd uno de os siguientes triánguos es rectánguo, cutánguo u obtusánguo. ) 15 cm, 10 cm, 11 cm b) 35 m, 1 m, 37 m c) 3 dm, 30 dm, 1 dm d) 15 km, 0 km, 5 km e) 17 mis, 10 mis, 5 mis f ) 1 mm, 4 mm, 1 mm g) 18 cm, 80 cm 8 cm 4. cu e do desconocido en cd triánguo rectánguo: ) b) 15 m 0 m 65 mm 16 mm 5. cu e do desconocido en cd triánguo proimndo hst s décims: ) b) c) 1 cm 1 cm 16 m 17 m 3 mm 8 mm 6. H e perímetro de siguiente figur: 1 cm 7. cu e perímetro de un rectánguo cuy digon mide 5,8 cm, y uno de os dos, 4 cm. 8. H digon de un cudrdo cuyo perímetro mide 8 dm.. Los dos preos de un trpecio rectánguo miden 13 dm y 1 dm, y e do obicuo mide 10 dm. cu tur. 10. cu os dos igues de un triánguo isóscees sbiendo que e do desigu mide 5 m y tur correspondiente, 6 m. 11. cu medid de do de un rombo cuys digones miden 1 dm y,4 dm. 1. H tur de un triánguo equiátero de 40 cm de do. Aproim hst os miímetros. 13. H potem de un heágono regur de 0 cm de do. (Recuerd que en e heágono regur e do mide o mismo que e rdio). 14. Un pentágono regur de 11,7 cm de do está inscrito en un circunferenci de 10 cm de rdio. cu su potem. 15. Un rect ps 10 cm de centro de un circunferenci de 15 cm de rdio. H, proimndo hst s décims, ongitud de cuerd que se gener. 16. A qué distnci de centro de un circunferenci de 8 cm de rdio debe psr un rect pr que cuerd mid 8 cm? 17. cu digon de un cubo de 0 cm de rist. Aproim hst os miímetros. 18. H digon de un ortoedro cuys dimensiones son 3 cm, 4 cm y 1 cm. 1. Desde un punto P eterior un circunferenci de rdio 10 m se trz un segmento tngente de 4 m. A qué distnci está P de centro de circunferenci? 15 =,4 cm 16 d = 7 cm 17 d = 34,6 cm 18 d = 13 cm 1 P está 6 cm. ANOTAIONES 185 Aprendizje coopertivo Si e docente o consider oportuno se sugiere, pr enfocr e trbjo hci e prendizje coopertivo, que os estudintes, en pequeño grupo, comenten y resuevn s ctividdes. Después, en grn grupo, que contrsten opiniones y cuerden concusiones. E docente, o un estudinte por é designdo, pueden hcer de moderdor. Souciones de Ejercicios y probems 1 ) A = = 44 cm b) A = = 15 m ) A = 73 cm b) A = 585 dm 3 ) Obtusánguo b) Rectánguo c) Acutánguo d) Rectánguo e) Acutánguo f ) Obtusánguo g) Rectánguo 4 ) = 5 m b) = 63 mm 5 ) = 17 cm b) = 5,7 m c) = 15,5 mm 6 P = u 7 E perímetro es de 16,4 cm. 8 L digon mide, dm. E trpecio tiene un tur de 8 dm. 10 = 6,5 m 11 d do mide 1,3 dm. 1 L tur mide 34,6 cm. 141

9 Ejercicios y probems 0. cu, con un cifr decim, ongitud de en cd uno de os siguientes cuerpos geométricos: ) b) 15 m 10 m 5 m c) d) 0 cm 4 cm 0 m Áres y perímetros utiizndo e teorem de Pitágors 0 cm 1 m 36 m 6 cm 8 m 0 cm 1. H e áre y e perímetro en cd un de s siguientes figurs: ),4 dm b) 3 dm 5,6 dm c) d) km cm,6 cm 10 m. H e áre y e perímetro de s figurs descrits en ) e ejercicio. b) e ejercicio 10. c) e ejercicio 11. d) e ejercicio 1. e) e ejercicio 13. f ) e ejercicio 14. En cd un de ests figurs cooreds, h su áre y su perímetro. Pr eo, tendrás que ccur medid de gún eemento (do, digon, potem, ánguo ). Si no es ect, há con un cifr decim. 3. ) b) 5 mm, cm 5 mm 0 cm 18 cm 4. 3 cm 13 cm 1 cm 0 cm 5. Observ que en ests figurs e perímetro es periferi interior y eterior ) b) 5 cm 0 m 16 m 4 mm 30 cm 3 m 13 m 10 m. 8 dm 10 dm 4 dm Aprende resover probems 3 dm Qué dtos conocemos? Qué es o que nos piden? Qué eementos nos ftn pr resover e probem? Piens e cmino que vs seguir pr resover e probem. Qué necesits sber? Por dónde vs empezr? Pues, si supier ongitud de os tres dos comprobrí si cumpen e teorem de Pitágors. ierto. Y entonces, qué te ft? Sí pero, ntes de nd, pr entendernos, por qué no ds nombre os eementos de triánguo? Pero si te fijs podrís superr es dificutd (verigur ) mirndo otro triánguo. Y conociendo Y finmente, voviendo triánguo origin Es rectánguo e triánguo de derech? sifíco justificndo tu respuest. omprueb que hs entendido e enuncido. Me ft conocer un trozo de bse ( ). 13 cm 5 m 5 m 5 cm 5 m ro! E triánguo AM es rectánguo. Y entonces: = 13 5 = 1 3 m Y conociendo, me voy triánguo AM y ccuo : = 0 = 0 1 = 16 Y entonces, y tengo bse! = = 1 5 m 0 cm Eso es fáci. A Necesito verigur. 0 Podrí hcero con e teorem de 13 Pitágors, en e triánguo AM, pero no conozco e cteto. 5 M Ahor puedo sber cómo es ese triánguo: = 56 1 = > 1 L sum de os cudrdos de os dos dos menores super cudrdo de do myor: e triánguo es cutánguo Aprendizje coopertivo Ests ctividdes y, en gener, tods s que tienen por objetivo fijción de os contenidos recién prendidos, se pueden resover individumente y después corregir en pequeño grupo, contrstndo s souciones y resoviendo entre os estudintes s discrepncis. Soo en cso de boqueo recurrirán profesor o profesor. Pensmiento comprensivo Se puede pedir os estudintes que, en un primer momento, borden os ejercicios, con sus propios recursos, pr después nizr y describir os procesos y souciones que se ofrecen. Se trt de identificr dificutd, si hy, y después, en e náisis de os modeos, dquirir recursos pr superr os boqueos. Souciones de Ejercicios y probems 0 ) = 30,8 m b) = 4 cm c) = 6 cm d) = 16 cm 1 ) A = 1 dm b) A = 11, cm P = 14,8 dm P = 58,4 cm c) A = 10, km d) A = 43,5 m P = 1 km P = 30 m ) A = 18 dm b) A = 15 m P = 5 dm P = 18 m c) A = 1, dm d) A = 6 cm 3 ) A = 3, cm b) A = 31,5 mm P = 43 cm P = 85,36 mm 4 A = 318 cm P = 86 cm 5 ) A = 8,55 cm b) A = 50,0 m P = 5,7 cm P = 68,8 m 6 A = 4 mm P =,66 mm 7 A = 13 m P = 56 m 8 A =,5 cm P = 75 cm A = 66 dm P = 37,1 dm 30 A = 4 m P = 34 m ANOTAIONES P = 5, dm P = 10 cm e) A = cm f) A = 36, cm P = 10 cm P = 58,5 cm 14

10 Ejercicios y probems Resueve probems 31. cu s medids que sen necesris pr csificr e siguiente triánguo según sus ánguos: 0 mm 15 mm 36. E tronco de un árbo seco de 0 m está en e centro de un prque circur. Debemos cortro pr poner coumpios, pero no queremos que prtirse se sg de recinto de prque. Pr eo o hemos cortdo un curto de su tur y sí ce justo en e borde de recinto. uántos metros mide e diámetro de prque? 40. Un tiroin de 6 m de ongitud está td dos postes que distn 4 m. Si Mnue se desde e primer poste un tur de 50 m, qué tur egrá en e segundo poste? 6 m Probems Hemos cortdo cutro cubos de poiespán como se muestr en s siguientes figurs. H e áre y e perímetro de estos poígonos. 6 m 6 m mm 3. sific e siguiente triánguo en rectánguo, cutánguo u obtusánguo. Pr eo, ccu medid de guno de sus eementos: 3 m 17 m 8 m 33. Un poste de 14,5 m de to se quiebr por su bse y ce sobre un edificio que se encuentr 10 m de é. uá es tur que gope? 37. Un operrio de compñí eéctric poy su escer de 6,5 m de rgo en un pred un tur de 6 m. Después de rregr verí, sin mover bse de escer, poy est en pred de enfrente un tur de 5, m. A qué distnci se encuentrn s predes? 38. En un torre con form de prism de 36 m de tur cuy bse es un rectánguo de 40 m de rgo y 1 m de ncho, hy un escer por e eterior. Hy cutro trmos de escer, uno por cd cr ter de torre. En todos eos se sciende mism tur. Sbiendo que cd metro de escer tiene 3 escones, cuántos hy pr subir torre? d 50 m 4 m 41. Este bote de pintur está eno en sus tres curts prtes. En su interior se h cído un pince de 40 cm de rgo. rees que e pince se hbrá sumergido competmente en pintur? 3 cm 6 cm 6 cm 45. E edificio E Pentágono, en Wshington (Estdos Unidos), es un pentágono regur de 300 m de do y potem de su ptio interior, tmbién pentgon regur, mide 86 m. L ongitud de do de pentágono eterior es,4 veces de interior y distnci entre os vértices A y (observ e gráfico) es de 148,51 m. Qué superficie tiene su pnt? 30 cm 34. En s fiests de un puebo, cuegn un estre de 1 m de tur en medio de un cuerd de 34 m que está td os etremos de dos postes de 1 m seprdos 30 m entre sí. A qué distnci de sueo qued estre? 1 m 1 m 40 m h h 1 m 3. Juián quiere gurdr un pnch metáic de 0 cm 6 cm en un cj como siguiente. omprueb si puede hcero. 4. cu ongitud de myor istón que cbe en cd un de ests cjs: 4 m 4 m 5 cm 5 cm 5 cm 43. cu e rdio de circunferenci que se obtiene cortr un esfer de 40 cm de diámetro por un pno que ps 10 cm de centro. A 46. Si vues en un vión m de tur, qué distnci se encuentr e punto más ejdo que puedes ver en e horizonte? Rdio de Tierr: km 30 m dm r r 10 cm 35. Indic si un vri de 65 cm de ongitud cbe en un ciindro de 63 cm de tur y 8 cm de rdio de bse. 0,6 m 15 cm 40 cm Aprendizje coopertivo Si entre os objetivos de momento entr tención prendizje coopertivo, resoución de probems ofrece un buen oportunidd pr hcero. Los umnos y s umns pueden bordr pequeñs tnds de probems por prejs o en grupos pequeños, y resoveros individumente sumiendo por turno e protgonismo, uno pr cd probem, y ctundo os demás de form crític-constructiv, sumiendo o rebtiendo s decisiones que tom quien o protgoniz. Souciones de Ejercicios y probems 31 L tur mide 1 mm y e do que ft, 16 mm. E triánguo es rectánguo. 43 r = 17,3 cm 44 Triánguo: A = 31,45 m ; P = 5,5 m Rectánguo: A = 51 m ; P = m Rombo: A = 44, cm ; P = 6,8 cm Trpecio: A = 40 cm ; P = 6,1 cm 45 L pnt tiene un superficie de 1765 m. 46 E punto más ejdo se encuentr 017 km. ANOTAIONES 3 L tur mide 15 m y e do que ft, 36 m. E triánguo es obtusánguo. 33 Gope e edificio un tur de 10,5 m. 34 L estre está 3 m de sueo. 35 be justo. 36 E diámetro de prque mide 8,3 m. 37 Hy 6,4 m de distnci entre mbs predes. 38 Hy 336 escones pr subir torre. 3 L pnch metáic no cbe en cj. 40 L tur que eg Mnue en e segundo poste es de 40 metros. 41 E pince no se hbrá sumergido competmente. 4 En cj ciíndric, ongitud de myor istón que cbe es 5,6 m. En cj cúbic medid es 8,6 cm. 143

11 Ter de mtemátics Lee y refeion Pitágors De Pitágors (sigo v..) se sbe que fue mtemático y fiósofo. Pero no son muy conocids sus contribuciones stronomí: Fue e primer griego que reconoció que e ucero de b y e de nochecer ern mism estre. Ahor sbemos que es un pnet, Venus. Tmbién fue e primero en estbecer que órbit de Lun no está en e pno de ecudor terrestre sino formndo un cierto ánguo con ese pno. Y tmbién se dentó os suyos describir que vris estres, s que se mó estres errntes, no prticipbn de movimiento uniforme de s demás. Precismente errnte, en griego, se pronunci pnet. Y sí, pnet, se cbó mndo esos objetos ceestes que se mueven en e firmmento de form errátic. Actumente sbemos que os pnets no tienen nd que ver con s estres. De hí su nómo movimiento prente. Entrénte resoviendo probems cu superficie de un cudrdo cuy digon coincide con e do de otro cudrdo de 10 m de superficie. cu e áre de prte coored de cd un de s siguientes figurs: ) b) cm 10 cm 5 cm 4 cm Moviendo un único pio es posibe conseguir que jirf mire en otr dirección. Sbrís hcero? Medio en brom, medio en serio! Moviendo soo un pio, form un cudrdo. Sbrís hcero? ómo construir un cmpo de vóey py? Queremos dibujr un cmpo de vóey py. ómo trzmos s ínes rects? Nd mejor que un cuerd tens. Y cómo se consigue e ánguo recto de s esquins? oge un cuerd y, medinte nudos, señ 1 trmos igues. on uns estcs, tens cuerd, de modo que se forme un triánguo de dos 3, 4 y 5 trmos. Es un triánguo rectánguo. E ánguo recto está en e vértice donde confuyen os dos de ongitudes 3 y 4. Un poco de histori Hce más de ños, os egipcios utiizbn este procedimiento pr trzr ánguos rectos. d ño, después de s inundciones de Nio, debín construir s indes entre os cmpos negdos. Los técnicos encrgdos de hcero se vín de método descrito izquierd. prenderemprender Autoevución En web Resouciones de estos ejercicios. 1. sific os siguientes triánguos en rectánguo, cutánguo u obtusánguo. ) 0 cm, 4 cm, 30 cm b) 5 m, 6 m, 10 m c) 10 mm, 4 mm, 6 mm d) 7 dm, 7 dm, 7 dm. cu e segmento desconocido en cd un de ests figurs: ) b) y 16 m 30 m c) d) 31 m 6 m e) f) 8,66 m z 1 mm d 4 cm 6 cm 40 cm 7 mm 4 cm 6 m 5 cm 3. cu s áres y os perímetros de ests figurs: ) b) 10 mm c) d) 40 dm 3,4 dm 34 cm 8 m 30 m 40 cm 4 cm 4. L pz de un puebo tiene form y s dimensiones que precen en e dibujo. Los ánguos señdos son todos eos de 45. cu e áre y e perímetro de pz. 1 m 10 m 6 m 4 m Lee y refeion Pitágors Es conveniente que e umndo prend guns contribuciones ienci y Astronomí de grn Pitágors y no soo se e conozc por e teorem que ev su nombre. ómo construir un cmpo de vóey py? Tmbién podrí construirse, con un cordón o un cuerd, est escudr egipci y utiizr pr construir, sobre un ppe, gunos ánguos rectos. Entrénte resoviendo probems Souciones L superficie es 5 m. ) E áre es 14 cm. b) E áre es 37,5 cm. ANOTAIONES Es e cudrdo de. Souciones de utoevución 1 ) Acutánguo b) Obtusánguo c) Rectánguo d) Acutánguo ) = 34 m b) y = 75 mm c) z = 16,88 m d) = 4 cm e) = 10 m f) d = 8,5 cm 3 ) A = 57,5 mm b) A = 40 m P = 34,5 mm P = 68 m c) A = 47,7 dm d) A = 1 0 cm P = 117 dm P = 18 cm 4 A = 445,1 m P = 85,6 m 144

12 ANOTAIONES 145