HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS-COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MUESTRAS: ANOVA (PARTE I)

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1 HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS-COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MUESTRAS: Módulo 13 APUNTES DE CLASE Profesor: Arturo Ruz-Falcó Rojas Madrd, Mayo 009 Pág. 1 Módulo 13. HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS-COMPARACIÓN DE MÁS DE DOS MUESTRAS:. Apuntes

2 ÍNDICE 1. COMPARACIÓN DE MEDIAS...3. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA Modelo Hpótess requerdas Contraste ANOVA TABLA ANOVA ANÁLISIS DE LA DIFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN EJERCICIOS Estudo de durabldad de alfombras... Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - -

3 1. COMPARACIÓN DE MEDIAS Supongamos que se están evaluando las característcas de caldad de los productos de tres proveedores. Para ello se han realzado los ensayos cuyos resultados se recogen en la Tabla 1. S la escala de medda de la caldad es tal que cuanto mayor sea su valor, mejor es su caldad qué proveedor sumnstra productos con mayor caldad? Prov. A Prov. B Prov. C Muestra 1 104,04 99,81 111,65 Muestra 98,18 94,15 110,04 Muestra 3 105,84 99,53 108,9 Muestra 4 105,11 100,69 108,00 Muestra 5 99,73 96,73 106,59 Meda prov. 10,58 98,18 108,91 Meda total 103,3 Tabla 1: Comparacón de proveedores S se representan estos valores en la Fgura 1, podría conclurse que los productos fabrcados por el proveedor C tenen mejor caldad que los de A y B. Sn embargo, la comparacón entre A y B no es tan concluyente aunque parece que los productos de A son algo mejores que los de B. Resulta pues necesaro objetvar este análss. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 3 -

4 Qué proveedor es mejor? B A C A B C Fgura 1 Qué proveedor es mejor? Qué razonamento se ha segudo para sacar esta conclusón sobre la caldad de los productos de los proveedores A, B y C? En el caso de C se ha vsto que cualquera de sus muestras es superor a cualquera de las de A ó B, de modo que la conclusón es nmedata. Sn embargo, en el caso de la comparacón entre A y B, los resultados están mezclados, es decr que la varabldad de los elementos de la msma muestra A ó B no es mucho menor que la varabldad global de las muestras A ó B consderadas como un conjunto. Utlzando los conocmentos estadístcos adqurdos en capítulos anterores, podrían compararse las muestras dos a dos con el contraste de la t de Student, pero esto no resulta muy práctco en problemas reales. La herramenta estadístca que srve para resolver el problema de comparar más de dos medas es el ANÁLISIS DE LA VARIANZA, que se llama así precsamente porque compara la varabldad de las medas muestrales (a través de la varanza muestral) con la varabldad de los elementos dentro de la muestra. El ANÁLISIS DE LA VARIANZA permte tambén descomponer la varabldad total en componentes ndependentes que puedan asgnarse a causas dstntas (ver Tabla. Volvendo al caso de los proveedores, s realzando un ANÁLISIS DE LA VARIANZA se puede conclur que las dferencas entre las medas de alguno de ellos es estadístcamente sgnfcatva, entonces se puede afrmar que el proveedor Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 4 -

5 en cuestón sumnstra una caldad dstnta ; por el contraro, s las dferencas no son estadístcamente sgnfcatvas, no se puede conclur lo anteror, sendo las fluctuacones de los datos muestrales entre proveedores úncamente debdas al azar. FACTOR VARIABILIDAD DEBIDA A LA MÁQUINA 40% VARIABILIDAD DEBIDA A LA MATERIA PRIMA 5% VARIABILIDAD DEBIDA A LOS TURNOS 0% VARIABILIDAD CAUSAS COMUNES 15% TOTAL 100% Tabla : Ejemplo de Descomposcón de la varabldad. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA.1. Modelo Los valores de las característcas de caldad de las pezas de cada proveedor tendrán una varabldad entorno a un valor medo. S representamos como y j al valor de la muestra j del proveedor : y = µ + u j El problema a resolver cuál de las dos stuacones sguentes es la que explcan mejor los datos: j Todos los proveedores son guales, es decr tenen la msma meda µ 1 = µ =µ 3 La meda de alguno de los proveedores es dferente a la de los demás. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 5 -

6 .. Hpótess requerdas Para que se pueda aplcar el ANÁLISIS DE LA VARIANZA es precso que se cumplan estas tres hpótess: Los datos han de ser ndependentes. Para asegurar esto, las muestras cuyas medas se desea comparar han de extraerse de manera aleatora. Las poblacones base de donde proceden las muestras han de ser normales. Las poblacones base de donde proceden las muestras han de tener la msma varanza (heterocedstcdad). Estas hpótess mplcan que las perturbacones se dstrbuyan según una N(0, σ )..3. Contraste ANOVA Podremos estmar la varanza de la poblacón σ estmadores: a través de los sguentes Estmar la varanza de la poblacón σ a través de la varanza de cada una de las muestras. Esta estmacón se hace ponderando las varanzas muestrales. S k es el número de muestras (en adelante denomnaremos a cada muestra tratamento, n es el tamaño de la muestra correspondente a tratamento -ésmo y N es el número total de datos dsponble en las dstntas muestras, el estmador denomnado varanza resdual se defne: ˆ σ = s R = k k ( n 1) s ( n 1) = k ( n 1) N k s Estmar la varanza de la poblacón σ suponendo que los tratamentos no tenen nngún efecto (es decr que todos tenen la msma meda). En Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 6 -

7 estas condcones podremos estmar σ a través de la varanza de las medas muestrales: $ σ s T = = k ( y) n y k 1 De este modo, s se verfcan la hpótess de que los tratamentos no tenen nngún efecto, ambas estmacones no podrán dferr mucho. En efecto, s la hpótess es certa, el estadístco cocente de ambas varanzas muestrales se dstrbuye según una F. Es decr: st Fk 1 n k s, R La metodología para realzar el ANÁLISIS DE LA VARIANZA puede resumrse como sgue: Fjar el nvel de sgnfcacón para el contraste, por ejemplo α=95%. Establecer el contraste de hpótess: H 0 : Los tratamentos son todos guales: µ 1 =µ =µ 3 = =µ k. H 1 : Alguno de los tratamentos es dferente. Calcular los estmadores s R y s T. Calcular el valor del estadístco s s T R Calcular el valor de F k-1, n -k para el nvel de sgnfcacón prefjado. S: s s T 1 R > Fk, n k La dferenca entre los tratamentos es estadístcamente sgnfcatva con un nvel de sgnfcacón α. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 7 -

8 s s T 1 R < Fk, n k La dferenca entre los tratamentos no es estadístcamente sgnfcatva con un nvel de sgnfcacón α. 3. TABLA ANOVA Denomnando S a la suma de los cuadrados, se tene: S s R R = N k s T = ST k 1 S S D es la suma de los cuadrados con respecto a la meda global, el estadístco s D es tambén un estmado de σ s se cumplen las hpótess de gualdad de medas: s D = k n j ( yj y) SD = N 1 N 1 Es fácl comprobar que se verfca la sguente gualdad: SD = SR + ST En cuanto a los grados de lbertad: ν ν ν ( ) ( ) D = R + T, es decr N 1 = N k + k 1 S D se denomna tambén suma corregda de cuadrados y se calcula fáclmente medante la sguente ecuacón: S = y Ny D k n j = 1 j= 1 Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 8 -

9 En general lo más cómodo es calcular S D y S T, calculando S R por dferenca. Es costumbre presentar el ANÁLISIS DE LA VARIANZA en forma de tabla: FUENTE DE SUMA DE GRADOS DE CUADRADO CONTRA VARIACIÓN CUADRADOS LIBERTAD MEDIO STE ENTRE TRATAMIENT T t ( ) k ν T = k 1 S = n y y s T ST = k 1 s s T R OS (VE) DENTRO DE TRATAMIENT k n ( ) S = y y R j j ν R = N k s R = SR N k OS (VNE) TOTAL EN RELACIÓN A S = y Ny D k n j = 1 j= 1 ν D = N 1 s D = SD N 1 LA MEDIA GENERAL (VT) Tabla 3 ANÁLISIS DE LA VARIANZA DE 1 FACTOR A esta tabla se le suele denomnar tabla ANOVA, (del nglés Analyss of Varance). De amera análoga al análss de regresón, al cocente de la varabldad explcada por los tratamentos respectos de la varabldad total, se denomna coefcente de determnacón: VE S R = = VT S T D Construyendo la tabla ANOVA correspondente al caso de los proveedores, resulta: Suma de g. de l. Cuadrado Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 9 -

10 S T /S R = 19,16 Cuadrados Medo Entre trat Dentro trat Suma corregda Tabla 4: Tabla ANOVA de los proveedores F,1 (0,95)= 3,8853 Como 19,16 > 3,88 se rechaza la hpótess de que todos los proveedores son guales. No obstante, para poder dar por bueno el resultado es precso comprobar que se satsfacen las hpótess de partda. Para ello se realza un análss de los resduos (ver Fgura ) sn que se aprece en él nngún aspecto que haga dudar de la normaldad de sus dstrbucón. GRÁFICO DE RESIDUOS RESIDUO PRO VEEDO R Fgura : Análss de los resduos Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

11 4. ANÁLISIS DE LA DIFERENCIA ENTRE LAS MEDIAS El análss de la varanza nos ndca s alguno de los proveedores es dstnto, pero no ndca cual es. Para resolver esto se puede hacer lo sguente: 1. Construr una dstrbucón de referenca con la t de Student para cada uno de los proveedores para ver s solapa o no a los otros.. Contrastar las dferencas de las medas de todos los pares posbles de medas utlzando la dstrbucón de Student. Esto presenta el nconvenente de que s cuantos más nveles se analcen (proveedores dstntos, en este caso) la probabldad de cometer un error de tpo I aumenta. En efecto, s el nvel de confanza es 0,95 y tenemos 3 proveedores, el número de comparacones es 3; entonces la probabldad de conclur que un grupo es dferente sn que lo sea es = 0, Método de Bonferron. Es útl cuando el número de grupos es grande porque corrge en parte el efecto anteror. 4. Realzar comparacones múltples. Proporcona ntervalos de confanza para las dferencas de las medas de todos los pares de grupos. Los más utlzados son: a. Dunnet. Se utlza cuando se toma uno de los grupos como referenca. b. MCB (Multple Comparaton wth the Best) de Hsu. Compara con el grupo bueno (el más alto o el más bajo. c. Fsher LSD (least sgnfcant dfference) d. Tukey. 5. PROCEDIMIENTO DE APLICACIÓN En general, el procedmento de aplcacón del análss de la varanza consta de los sguentes pasos (ver esquema en Fgura 3). Representacón de los datos Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

12 Como en la mayor parte de los procedmentos estadístcos debe comenzarse por representar gráfcamente los datos. S el número de datos por grupo es menor que 10, se recomenda emplear el dagrama de puntos; s es superor a 10 se recomendan hstogramas o dagramas de caja. En esta representacón deben buscarse valores atípcos. S estos valores atípcos no se deben a un error o una causa subsanable (por ejemplo, error de transcrpcón de datos) debe pensarse en la necesdad de transformar los datos para que cumplan las hpótess de normaldad. En la Tabla 5 se dan algunas ndcacones de transformacones recomendadas. De manera general se pueden emplear las transformacones de Box Cox. Relacón medavaranza σ η -1 Inversa λ Transformacón establzadora de la varanza Ejemplos típcos de aplcacón 1,5 σ η - 1/ Inversa de la raíz cuadrada σ η 0 Logartmo Análss de varanzas muestrales, s 0,5 σ η ½ Raíz cuadrada Datos procedentes de una dstrbucón de Posson σ const 1 No se transforma Tabla 5: Transformacones de datos para elmnar la heterocedastcdad S los datos proceden de un fenómeno de tpo bnomal, por ejemplo porcentaje de undades rechazadas, la transformacón adecuada es y = arcsn(p). S proceden de un fenómeno de tpo Posson, por ejemplo número de defectos, la transformacón adecuada es y = c. Construccón de la tabla ANOVA y realzacón del contraste Esto puede completarse con la construccón de ntervalos de confanza para las medas de cada grupo y los contraste múltples. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 1 -

13 Valdacón de las hpótess Es muy mportante tener en cuenta en todo momento que la valdez de las conclusones está supedtada a que las hpótess realzadas sean certas. Estas comprobacones pueden hacerse analzando los resduos, es decr las dferencas que exsten entre lo explcado por el modelo y los valores obtendos. y = y + e Por lo tanto es precso realzar las sguentes comprobacones: j j Independenca de los datos. En caso de que los datos se hayan producdo según patrones temporales, etc. se deben representar los resduos en la secuenca que se obtuveron y no deben observarse tendencas, rachas, etc. Normaldad de las perturbacones. Los resduos deben dstrburse normalmente. Debe representarse en un papel probablístco. Heterocedastcdad. Se representan los resduos por grupos tener una dspersón parecda. Ver por ejemplo la Fgura. S el número de datos es al msmo para todos los grupos, el ANOVA es bastante robusto frente a esta hpótess. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

14 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS DIAGRAMA DE PUNTOS <10 PUNTOS POR GRUPO >10 HISTOGRAMA ATÍPICOS? Sí SE PUEDEN ELIM.? No TRANSF. DATOS No Sí CONSTRUIR TABLA Y CONSTRASTE IC PARA LA MEDIA Sí MEDIAS IGUALES? No CONTRASTES MÚLTIPLES VALIDACIÓN: ANÁLISIS DE RESIDUOS OK? Sí No TRANSFORMAR? INCLUIR MÁS VARIABLES? FIN Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

15 EJEMPLO 1. Fgura 3: Esquema de los pasos de aplcacón del ANOVA COMPARACIÓN DE TERMÓMETROS Se está realzando una comparacón de cuatro termómetros. Con cada uno de ellos se ha realzado tres ensayos de medda del punto de fusón de un compuesto químco. Los datos obtendos son los de la tabla sguente: TERMÓMETRO A TERMÓMETRO B TERMÓMETRO C TERMÓMETRO D 174,0 173,0 171,5 173,5 173,0 17,0 171,0 171,0 173,5 173,0 173,0 17,5 Representacón de los datos Tabla 6: Comparacón de termómetros Como solo se dspone de 3 datos por termómetro, se representará un dagrama de puntos. APLICACIÓN MINITAB Mntab dspone de la opcón Graf->DotPlot. Se obtene: Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

16 COMPARACIÓN DE TERMÓMETRO DIAGRAMA DE PUNTOS 171,0 171,5 17,0 17,5 Temp. 173,0 173,5 174,0 TERMÓMETRO TERMÓMETRO A TERMÓMETRO B TERMÓMETRO C TERMÓMETRO D Fgura 4: Dagrama de puntos de los datos de los termómetros En este dagrama no se observan dferencas entre termómetros. S se calculan los estadístcos, los datos anterores podrían encajar en una normal de meda 17,58 o C y desvacón 0,996 o C. Varable N N* Mean SE Mean StDev Mnmum Q1 Medan Q3 Temp ,58 0,88 0, ,00 171,63 173,00 173,38 Varable Maxmum Temp. 174,00 Construccón de la tabla ANOVA y realzacón del contraste APLICACIÓN MINITAB Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

17 Mntab dspone de la opcón Stat->ANOVA->One Way. Se obtene la salda sguente (ver comentaros de nterprectacón en mayúsculas: One-way ANOVA: Temp. versus TERMÓMETRO Source DF SS MS F P TERMÓMETRO 3 4,417 1,47 1,81 0,3 Error 8 6,500 0,81 Total 11 10,917 S = 0,9014 R-Sq = 40,46% R-Sq(adj) = 18,13% P= 0,3 LUEGO NO SE PUEDE RECHAZAR LA IGUALDAD DE NINGÚN TERMÓMETRO Indvdual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev TERMÓMETRO A 3 173,500 0,500 ( * ) TERMÓMETRO B 3 17,667 0,577 ( * ) TERMÓMETRO C 3 171,833 1,041 ( * ) TERMÓMETRO D 3 17,333 1,58 ( * ) ,6 17,8 174,0 175, Pooled StDev = 0,901 LOS INTERVALOS DE CONFIANZA ESTÁN TODOS SOLAPADOS. ES COHERENTE CON LO ANTERIOR Tukey 95% Smultaneous Confdence Intervals All Parwse Comparsons among Levels of TERMÓMETRO Indvdual confdence level = 98,74% TERMÓMETRO = TERMÓMETRO A subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO B -3,1908-0,8333 1,54 TERMÓMETRO C -4,04-1,6667 0,6908 TERMÓMETRO D -3,54-1,1667 1,1908 TERMÓMETRO TERMÓMETRO B ( * ) TERMÓMETRO C ( * ) TERMÓMETRO D ( * ) ,0 -,0 0,0,0 Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

18 TERMÓMETRO = TERMÓMETRO B subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO C -3,1908-0,8333 1,54 TERMÓMETRO D -,6908-0,3333,04 TERMÓMETRO TERMÓMETRO C ( * ) TERMÓMETRO D ( * ) ,0 -,0 0,0,0 TERMÓMETRO = TERMÓMETRO C subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO D -1,8575 0,5000,8575 TERMÓMETRO TERMÓMETRO D ( * ) ,0 -,0 0,0,0 EN EL TEST DE TUKEY LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE TERMÓMETROS ESTÁN TODOS SOLAPADOS. ES COHERENTE CON LO ANTERIOR Fsher 95% Indvdual Confdence Intervals All Parwse Comparsons among Levels of TERMÓMETRO Smultaneous confdence level = 8,43% TERMÓMETRO = TERMÓMETRO A subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO B -,5305-0,8333 0,8638 TERMÓMETRO C -3,3638-1,6667 0,0305 TERMÓMETRO D -,8638-1,1667 0,5305 TERMÓMETRO TERMÓMETRO B ( * ) TERMÓMETRO C ( * ) TERMÓMETRO D ( * ) ,0-1,5 0,0 1,5 TERMÓMETRO = TERMÓMETRO B subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO C -,5305-0,8333 0,8638 TERMÓMETRO D -,0305-0,3333 1,3638 Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

19 TERMÓMETRO TERMÓMETRO C ( * ) TERMÓMETRO D ( * ) ,0-1,5 0,0 1,5 TERMÓMETRO = TERMÓMETRO C subtracted from: TERMÓMETRO Lower Center Upper TERMÓMETRO D -1,197 0,5000,197 TERMÓMETRO TERMÓMETRO D ( * ) ,0-1,5 0,0 1,5 EN EL TEST DE FISHER LOS INTERVALOS DE CONFIANZA DE LAS DIFERENCIAS ENTRE TERMÓMETROS ESTÁN TODOS SOLAPADOS. ES COHERENTE CON LO ANTERIOR Valdacón de las hpótess Independenca de los datos No se conoce en el orden en el que se han tomado los datos, por lo que no se puede estudar esta tendenca. En la Fgura 5 se ha representado el resduo en funcón de la temperatura, sn que se aprecen tendencas. Normaldad de las perturbacones En la Fgura 6 puede verse la normaldad de los resduos. Heterocedastcdad En la Fgura 7 se apreca que en los termómetros C Y D los datos están algo más dspersos. No obstante solo son tres datos y además al tener el msmo número de datos por termómetro, no se consdera mportante esta ndcacón. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna

20 COMPARACIÓN DE TERMÓMETROS ANÁLISIS DE LOS RESIDUOS 1,0 0,5 RESI1 0,0-0,5-1,0-1,5 17,0 17,4 17,8 FITS1 173, 173,6 Fgura 5: Análss de tendencas de los resduos en funcón de la temperatura Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 0 -

21 COMPARACIÓN DE LOS TERMÓMETROS Normal - 95% CI ANÁLISIS DE RESIDUOS Percent Mean -,36848E-15 StDev 0,7687 N 1 AD 0,186 P-Value 0, RESI1 1 3 Fgura 6: Comprobacón de la normaldad de los resduos Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - 1 -

22 174,0 Indvdual Value Plot of Temp. vs TERMÓMETRO 173,5 173,0 Temp. 17,5 17,0 171,5 171,0 TERMÓMETRO A TERMÓMETRO B TERMÓMETRO C TERMÓMETRO TERMÓMETRO D Fgura 7: Varabldad de los datos en cada termómetro Tras este análss de resduos quedan valdadas las hpótess y las conclusones del estudo. 6. EJERCICIOS 6.1. Estudo de durabldad de alfombras Con los datos del fchero Exh_aov.MTW, estude s alguno de los cuatro tpos de alfombras tene mayor durabldad. Módulo 4.Versón Septembre 005 Págna - -

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