x = - y = 1+2 z = -2+2 y s:

Transcripción

1 1. [ANDA] [EXT-A] Considera el plano de ecuación 2x+y+3z-6 = 0. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por el plano y los planos coordenados. 2. [ANDA] [EXT-B] Considera los puntos A(1,0,2), B(-1,3,1), C(2,1,2) y D(1,0,4). a) Halla la ecuación del plano que contiene a A, B y C. b) Halla el punto simétrico de D respecto del plano x-y-5z+9 = [ANDA] [JUN-A] Sea r la recta que pasa por el punto (1,0,0) y tiene como vector dirección (a,2a,1) y sea s la recta dada por -2x+y = -2 -ax+z = 0. a) Calcula los valores de a para los que r y s son paralelas. b) Calcula, para a = 1, la distancia entre r y s. 4. [ANDA] [JUN-B] Considera los puntos P(2,3,1) y Q(0,1,1). a) Halla la ecuación del plano respecto del cual P y Q son simétricos. b) Calcula la distancia de P a. x = + 5. [ARAG] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de los planos: : 2x+3y-z = 1 ; ': y = 1- z = b) Encuentre la recta que pasa por el punto P=(0,1,1) y es perpendicular al plano '. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. 6. [ARAG] [EXT-B] Dadas las rectas: r: x-1 k = y-2 2 = ẕ 1, con k 0 y s: x-y-z = 0 2x-y = 1 a) Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diversos valores de k. b) Existen valores de k para los que las rectas son perpendiculares? 7. [ARAG] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta. x+y+z = 0 b) Determine todos los posibles vectores u = (a,0,b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la recta r: x-y+z-2 = 0 8. [ARAG] [JUN-B] Dadas las rectas: r: x 2 = y 3 = z 1 y s: a) Determine su posición relativa. b) Calcule la distancia del punto P = (2,3,1) a la recta s. x = - y = 1+2 z = [ASTU] [EXT-A] Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo ABC son M(1,0,0), N(0,1,0) y P(0,0,1). a) Obtenga las coordenadas de los vértices A, B y C del triángulo. b) Halle el área del triángulo. 10. [ASTU] [EXT-B] Halle una ecuación del plano que pasa por el punto (1,1,1) y es paralelo a las rectas r: 3x+y = 0 4x+z = 0 y s: x-y = 2 y-z = [ASTU] [JUN-A] Sean el punto P(-1,2,0) y el plano : 2x-3y+z = 8. Calcule: a) Las ecuaciones de una recta que pase por el punto P y sea perpendicular al plano. b) La distancia d del punto P al plano. c) La ecuación de otro plano, paralelo a y distinto del él, que diste de P la misma distancia d. Página 1 de 5

2 12. [ASTU] [JUN-B] Se consideran los puntos en el espacio A(1,-1,1) y B(2,2,2). a) Halle el punto medio de A y B. b) Dé la ecuación del plano respecto al cual A y B son puntos simétricos. 13. [C-LE] [EXT-A] Sea el plano x+y+z = 0, la recta r x = y = z y el punto A(3,2,1). a) Hallar la recta que pasa por A, es paralela a y corta a r. b) Hallar los puntos de r que equidistan de A y de. 14. [C-LE] [EXT-B] Sean las rectas r x = -y = z-1 y s x-2 = y = z-m. a) Determinar m para que las rectas sean coplanarias. b) Para m = 2, calcular la distancia entre las rectas. 15. [C-LE] [JUN-A] Sean los puntos A(1,2,-1), P(0,0,5), Q(1,0,4) y R(0,1,6). a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A, es paralela al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y tal que la primera componente de su vector director es doble que la segunda. b) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por P, Q y R. x = [C-LE] [JUN-B] Sean los puntos P(1,4,-1), Q(0,3,-2) y la recta r y-z = 4. a) Hallar la ecuación del plano que pasa por P, por un punto R de la recta r y es perpendicular a la recta que pasa por Q y por R. b) Hallar el ángulo que forman la recta r y el plano x-y-3 = 0. x-2z = [C-MA] [EXT-A] a) Estudia la posición relativa de las rectas: r y-z = 2 y s x+y+z = 1 x-2y+2z = a b) Encuentra el punto de corte de las rectas en el caso en que sean secantes. en función del parámetro a. 18. [C-MA] [EXT-B] a) Dados los puntos P(4,2,3) y Q(2,0,-5), da la ecuación implicita del plano de modo que el punto simétrico de P respecto a es Q. b) Calcula el valor del parámetro para que el plano determinado por los puntos P, Q y R(,1,0) pase por el origen de coordenadas. 19. [C-MA] [JUN-A] a) Estudia la posición realtiva del plano x-y-z = a y la recta r a. b) Calcula la distancia entre y r para cada valor de a. 2x+y+az = 0 x-2y = 0 en función del parámetro 20. [C-MA] [JUN-B] a) Estudia la posición relativa de las rectas r b) Calcula la distancia entre las rectas r y s. x+y-z = 1 2x+y-2z = 1 y s x-z = 0 x+2y-z = 12 2x+y+z = [CANA] [EXT-A] Dados el punto P(2,2,-2) y la recta r: x+3y+z = 0 a) Hallar la ecuación del plano 1 que contiene a r y pasa por P. b) Hallar la ecuación del plano 2 que contiene a P y es perpendicular a r. 22. [CANA] [EXT-B] Dadas las rectas: r: x 5 = y+1 3 = z 4 s: x = 2+3 y = 2 z = -1 a) Determinar la ecuacion general del plano paralelo a las rectas r y s que pasa por el origen de coordenadas. b) Hallar el ángulo que forman r y s. Página 2 de 5

3 x-2y+z = [CANA] [JUN-A] Dados la recta r: y el punto P(1,0,1) exterior a r, -x+2y+z = 2 a) Hallar la ecuación en forma general del plano que contiene a r y P. b) Hallar la ecuación (como intersección de dos planos) de la recta s que pasa por P y es paralela a la recta r. x-2y+z = [CANA] [JUN-B] Dada la recta r: y los puntos P(1,-2,0) y Q(0,1,3) x-z = 0 a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a PQ. b) Hallar la ecuación de la recta s perpendicular a r que pasa por Q e intersecta a r. 25. [CATA] [EXT] Dados el plano : x+2y-z = 3 y la recta r: x-1 2 = y = z+m 4, a) Compruebe que el vector característico (o normal) de y el vector director de r son perpendiculares. b) Estudie la posición relativa de y r en función del parámetro m. 26. [CATA] [EXT] Dados el plano : 2x-y+3z-8 = 0 y el punto P=(6,-3,7), a) Encuentre la ecuación continua de la recta que pasa por P y es perpendicular a. b) Encuentre el punto del plano que está más cerca del punto P. 27. [CATA] [JUN] Dados los puntos P=(1,0,-1) y Q=(-1,2,3), encuentre un punto R de la recta r: x+3 2 = y+4 3 = z-3-1 triángulo de vértices P, Q y R es isósceles, siendo PR y QR los lados iguales del triángulo. que cumpla que el 28. [EXTR] [EXT-A] En 3, calcule la distancia del punto P = (1,-1,2) a la recta r que pasa por los puntos A = (0,-1,1) y B = (1,0,1). 29. [EXTR] [EXT-B] Fijados los puntos A = (1,1,0) y B = (1,0,1), calcule todos los puntos de la forma X = (0,, ) para los que el triángulo ABX es rectángulo. 30. [EXTR] [JUN-B] a) Calcule las ecuaciones implícitas de la recta r que pasa por el punto P = (1,-1,0) y es paralela a los planos 1 x+y = 2 y 2 x-y+z = 1. b) Calcule también las ecuaciones parmétricas de r y un vector director de r. 31. [MADR] [EXT-A] Dados los puntos A(2,-2,1), B(0,1,-2), C(-2,0,-4), D(2,-6,2), se pide: a) Probar que el cuadrilátero ABCD es un trapecio (tiene dos lados paralelos) y hallar la distancia entre los dos lados paralelos. b) Hallar el área del triángulo ABC. 32. [MADR] [EXT-A] Dados el punto P(1,2,-1) y el plano x+2y-2z+2 = 0, sea S la esfera que es tangente al plano en el punto P' de modo que el segmento PP' es uno de sus diámetros. Se pide: a) Hallar el punto de tangencia P'. b) Hallar la ecuación de S. 33. [MADR] [EXT-B] Sea r A la recta con vector dirección (1,,2) que pasa por el punto A(1,2,1), r B la recta con vector dirección (1,1,1) que pasa por B(1,-2,3), y r C la recta con vector dirección (1,1,-2) que pasa por C(4,1-3). Se pide: a) Hallar para que las rectas r A y r B se cortan. b) Hallar para que la recta r A sea paralela al plano definido por r B y r C. c) Hallar el ángulo que forman r B y r C. Página 3 de 5

4 34. [MADR] [JUN-A] Dados el punto P(-1,0,2) y las rectas: r x-z = 1 y-z = -1, s a) Determinar la posición relativa de r y s. b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta a r y s. c) Determinar la ecuación de la recta perpendicular común a r y s. x = 1+ y = z = 3 se pide: 35. [MADR] [JUN-B] a) Hallar los puntos de corte de la recta de dirección (2,1,1) y que pasa por el punto P(4,6,2), con la superficie esférica de centro C(1,2,-1) y radio 26. b) Hallar la distancia del punto Q(-2,1,0) a la recta r x-1 z-3 = y+2 = x+y-1 = [MADR] [JUN-B] Dados el punto P(1,0,-1), el plano 2x-y+z+1 = 0, y la recta r, se pide: 3x-z-3 = 0 a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P, es paralelo a la recta r y perpendicular al plano. b) Hallar el ángulo entre r y. 37. [MURC] [EXT-A] Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A=(3,4,0), B=(2,1,0) y C=(5,1,0). El cuarto vértice D está en la recta r que pasa por los puntos (1,2,3) y (-1,4,5). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas. Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. 38. [MURC] [EXT-B] a) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A=(2,3,0) y B=(-1,8,1). b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular a la recta r. 39. [MURC] [JUN-A] Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (1,3,-4), B = (2,6,7) y C = (5,-1,2). a) Calcule el área del paralelogramo. b) Determine el cuarto vértice, D. 40. [MURC] [JUN-B] a) Determine la ecuación del plano que contiene a los puntos A=(3,2,0), B=(5,1,1) y C=(2,0,-1). b) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos D=(1,2,1) y E=(2,-6,0). c) Estudie la posición relativa de r y. 41. [RIOJ] [EXT] Calcula el valor de m para que la recta de ecuación x = y = z y el plano de ecuación x-y+mz = 4 formen un ángulo 2 de 30º. 42. [RIOJ] [EXT-B] Sean A(2,-1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2) tres vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. i) Determina el vértice D. ii) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro (punto de corte de sus diagonales) del paralelogramo ABCD y que es perpendicular al plano que lo contiene. x+y-5z = [RIOJ] [JUN-A] Encuentra un valor de a 0 para que las rectas -2x+z = 1 que has encontrado, calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. y x+1 = y-3 a = z 2 sean paralelas. Para el valor de a Página 4 de 5

5 44. [VALE] [EXT-A] Se dan las rectas r 1 : x = 1+2 y = z = 2- y r 2 : x = -1 y = 1+, siendo y parámetros reales. z = -1-2 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Unas ecuaciones implícitas de r 1. b) La justificación de que las rectas r 1 y r 2 están incluidas en un plano, y la ecuación de ese palno. c) El área del triángulo de vértices P, Q y R, siendo P=(-1,0,1), Q=(0,1,2) y R el punto de intersección de r 1 y r [VALE] [EXT-B] Se dan las rectas r: x-y+z = 0 2x+y+z = 1 y s: x-1 = y-2 = z. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Un punto y un vector director de cada una de las dos rectas. b) Las distancia entre las rectas r y s, justificando que las rectas r y s se cruzan c) Obtener unas ecuaciones de la recta t que pasa por el punto,-,0 y es perpendicular a las rectas r y s [VALE] [JUN-A] Sean O(0,0,0), A(1,0,1), B(2,1,0) y C(0,2,3). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El área del triángulo de vértices O, A y B, y el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C. b) La distancia del vértice C al plano que contiene al triángulo OAB. c) La distancia del punto C' al plano que contiene al triángulo OAB, siendo C' el punto medio del segmento de extremos O y C. 47. [VALE] [JUN-B] Dados los puntos A=(1,0,1), B=(2,-1,0), C=(0,1,1) y P=(0,-3,2), se pide calcular razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La distancia del punto P al punto A. b) La distancia del punto P a la recta que pasa por los puntos A y B. c) La distancia del punto P al plano que pasa por los puntos A, B y C. Página 5 de 5