Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas)

Transcripción

1 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas).6.. Ecuación característica (raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces coplejas conjugadas) En ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes coo ay + by + cy () Coo en las Ecuaciones Diferenciales Lineales de prier orden de la fora y + ay, donde nuestra solución era una función del tipo eponencial, aquí podeos suponer que las soluciones tabién serán del tipo eponencial, y en realidad, tabién lo son. Para la ecuación (), si utilizaos Coo una solución y e () Su priera derivada y e (3) Segunda derivada y e (4) Y sustituios (), (3) y (4) en la ecuación diferencial de orden dos, (), teneos a e + be + ce (5) y ý y Coo la solución e o sea nunca es cero. Factorizando, obteneos ( ) a + b + c e (6) a + b + c y O sea ( ) La ecuación se satisface si se aneja coo una ecuación cuadrática a b c + + (7) Tabién llaada ecuación característica o auiliar, cuyas raíces serían Aalia C. Aguirre Parres

2 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 3, b b 4a ± a c De tal anera que los valores de al valor del discriinante,, pueden clasificarse en tres categorías, de acuerdo b 4ac > donde, son raíces reales distintas b 4ac donde, son raíces reales e iguales b 4ac < donde, son raíces iaginarias (coplejas conjugadas) La solución de una ecuación diferencial lineal hoogénea de segundo orden sería y cy + cy (8) Donde las soluciones y y y estarían basadas en Caso I. Raíces reales distintas Las soluciones serían y ce y y c e Y la solución general y ce c e + (9) Caso II. Raíces reales repetidas Las soluciones serían y ce y y c e La solución general y ce + c e () Observar que se agrega un factor de ultiplicación ( ), si teneos ecuaciones de orden superior, ese factor depende de cuantas raíces sean las repetidas. Si sólo eiste y e, ya que de acuerdo a la función cuadrática Aalia C. Aguirre Parres

3 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 4, ± 4 c a b b a, Para tener raíces repetidas el térino coo b 4ac, entonces, b. a b Y la segunda solución [3] se obtendría por reducción de orden, siendo p ( ). a O bien b p( ), entonces con el factor de integración a e e ( ) p d a d Obteneos que p( ) d e y y d, o sea ( y ) e y e d, y e d e De tal anera que y ce () Caso III. Raíces coplejas conjugadas Los valores de α βi y α + βi La solución sería y ( ) ce α+ βi ( ) y y ce α βi, donde α y β son ayores de cero y reales. iθ Ya que e cos( θ ) isen( θ ) + donde θ es un núero real α α Entonces la fora trigonoétrica sería y ce cos( β ) y y c e sen( β ) Y la solución general tendría la fora ( β ) cos( β ) α cos () y e c + c Caso IV. Raíces coplejas conjugadas y repetidas Aalia C. Aguirre Parres

4 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 5 Si teneos ecuaciones de orden superior, y si resultaran raíces coplejas y repetidas. Entonces anejaos un factor de repetición igual que en el caso II y las soluciones serían α α y ce cos( β ) y y c e sen( β ) (3) α α y3 c3e cos( β ) y y4 c4 e sen( β ) (4) La solución general α [ cos( β ) ( β )] [ cos( β ) ( )] α y e c + csen + e c3 + c4sen β (5) En ecuaciones de orden superior, coo vereos as adelante, si las raíces son reales y diferentes, tendríaos una solución del tipo y ce + c e + + c e (6) n... n Suponiendo que 3, raíces reales iguales la solución sería y ce + c e + c e (7) 3 Ejeplo.6... Resolver y + y 6y Escribiríaos la ecuación coo ( 6) indicado en la sección.6.. D + D y, utilizando el operador diferencial D ( )( ) Factorizando D D+ 3 y. indicando la ecuación característica tendríaos + 6, por lo que y 3, son raíces reales diferentes y la solución y ce + c e 3 Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y + 5 y 6 y Deterinando la ecuación característica coo Aalia C. Aguirre Parres

5 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 6 ( )( ) Factorizando + 6, raíces reales diferentes dado que y 6 Por lo tanto la solución sería y ce + c e o sea y ce + c e 6 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y 5 y 3y Deterinando la ecuación característica coo 5 6 Factorizando + 3, raíces reales diferentes dado que y 3 ( )( ) Por lo tanto la solución sería y ce + c e o sea 3 y ce + c e Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial y + y y Deterinando la ecuación característica coo +, utilizando la fórula general de una función cuadrática para obtener las raíces, ( ) ( )( ) (), ± 4, dado que + y diferentes, la solución sería ( + ) ( ) y ce + c e ± b b 4a a c, o bien son raíces reales Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial y y y Deterinando la ecuación característica coo Utilizando la fórula general, ( ) ( ) 4( )( ) () ±,, ± 45 Aalia C. Aguirre Parres

6 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 7 Dado que y 3 5 son raíces reales diferentes, la solución sería y ce + c e Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y + 5 y + 6 y Deterinando la ecuación característica coo ( )( ) Factorizando + 3 +, raíces reales diferentes dado que y 3 Por lo tanto la solución sería y ce + c e o sea y ce + c e 3 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y + 5 y + 6 y Deterinando la ecuación característica coo , factorizando ( + 3)( + ), raíces reales diferentes dado que 3. Por lo tanto la solución sería y ce + c e o sea y ce + c e 3 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial z + z z Deterinando la ecuación característica coo + Aalia C. Aguirre Parres

7 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 8 Utilizando la fórula general de una función cuadrática para obtener las raíces, ± b b 4a a c ± () 4()( ), o bien, () 5,, ± 5 Dado que + 5 raíces reales diferentes, por lo tanto la solución y ce + c e Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial 7 4 u + u u Deterinando la ecuación característica coo Utilizando la fórula o bien, ( ) ( )( ) ( ) 7± 7 4 4,, 7± Resultando y 4 son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución sería y ce + c e 4 Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y + y 5y Deterinando la ecuación característica coo + 5 ( )( ) Factorizando 3 + 5, raíces reales diferentes dado que 3 5 Por lo tanto la solución sería y ce + c e 3 5 Con Condiciones iniciales Aalia C. Aguirre Parres

8 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 9 Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación diferencial condiciones iniciales y ( ) 3 y y ( ) y + y 8y con La ecuación característica sería 8 +, factorizando ( 4)( ) +, por lo que y son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución general sería 4 y ce + c e 4 (8) Derivándola nos queda y 4ce c e 4 (9) Sustituyendo las condiciones iniciales y ( ) 3 y ( ) ( ) ( ) 3 ce + ce 4, teneos y, en (8) (la solución) 3 c + c () O bien c 3 c Sustituyendo las condiciones iniciales en la priera derivada (9) ( ) ( ) 4ce + ce 4 Teneos 4c + c o bien dividiéndola entre nos queda 6 c + c () Sustituyendo c en (), obteneos 6 ( 3 c ) + c 3 c Obteneos c + c o c, resulta que c 3, por lo tanto la solución es y 3 ( 4) e Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación diferencial condiciones iniciales y ( ) y y ( ) y + y y con Aalia C. Aguirre Parres

9 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) Deterinando la ecuación característica coo + Utilizando la fórula general de una función cuadrática para obtener las raíces, ( ) ( )( ) () ± 4 ± resultando, 8, dado que + son raíces reales diferentes, por lo tanto la solución general sería y ( + ) ( ) y ce + c e () Obteniendo la priera derivada de () ( + ) ( ) ( ) ( ) y + ce + c e (3) Sustituyendo las condiciones iniciales (), teneos ( + ) ( ) ce + ce o bien c + c (4) de tal anera que c c Sustituyendo las condiciones iniciales en la priera derivada (3), ( ) ( ) Teneos ( ) ( ) + ce + ce o bien ( ) c ( ) + + c Sustituyendo c c en (5), resulta ( + ) c + ( ) c (5) Finalente c o c de tal anera que c 4 4, por lo tanto ( + ) ( ) y e + e 4 4 Aalia C. Aguirre Parres

10 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) Raíces reales repetidas Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación y y + 5y Deterinando la ecuación característica coo + 5, factorizando 5 5, raíces reales idénticas dado que, 5, por lo tanto la solución ( )( ) sería de la fora y ce + c e, o sea y ce + c e 5 5 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación lineal diferencial hoogénea y + 8 y + 6 y Deterinando la ecuación característica coo , factorizando , raíces reales repetidas dado que, por lo tanto la solución ( )( ) sería y ce + c e o sea, 4 y ce + c e 4 4 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación 4 w + w + 5w Deterinando la ecuación característica coo dividiendo entre y factorizando teneos , O bien utilizando la ecuación cuadrática general, ( ) ( )( ) ( 4) ± ± 4 4 5, resultando tabién que,, raíces reales idénticas por lo 8 tanto la solución sería Aalia C. Aguirre Parres

11 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 5 5 y ce + c e Con condiciones iniciales Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación y + y + y con las condiciones iniciales y ( ) y y ( ) 3 Deterinando la ecuación característica coo + +, factorizando ( + )( + ), raíces reales idénticas dado que,, por lo tanto la solución sería y ce + c e (6) Derivándola y ce c e c e + (7) Sustituyendo condiciones iniciales en la (6) y (7) (la solución y su derivada) ( ) ( ) ce + c e ( ) Obteneos c (8) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ce + ce c e Resultando 3 c + c (9) Sustituyendo el valor obtenido c en (9), nos queda 3 + c por lo que c De tal anera que la solución particular sería y e e Raíces iaginarias Ejeplo Resolver y 9y Aalia C. Aguirre Parres

12 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 3 Aplicando el operador diferencial D, obteneos ( D 9) y, donde las raíces son coplejas,, ± 3i por lo que la solución tendría la fora α α y ce cos( β ) + c e sen( β ), o sea ( ) ( ) y e ccos 3 + ccos 3 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial y + 4 y + 7 y Deterinando la ecuación característica coo Utilizando, ( ) ( )( ) () 4± entonces, ± 3, dado que + ( ) i y ( 3) 3 i son raíces iaginarias donde α y β 3 α α Por lo tanto la solución sería y ce cos( β ) + ce sen( β ), o bien ( ) ( ) y e ccos 3 + csen 3 Ejeplo Deterinar la solución de la ecuación diferencial y y + y Deterinando la ecuación característica coo + Utilizando, ( ) ( )( ) () ± 4 3, ± i raíces iaginarias donde α y 3 α α β, por lo tanto la solución sería de la fora y ce cos( β ) + ce sen( β ) O bien ( ) ( ) y e ccos 3 + csen 3 Aalia C. Aguirre Parres

13 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 4 Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación diferencial y 4 y + 3y Deterinando la ecuación característica coo 4+ 3 Utilizando, ( ) ( )( 3) () 4± 4 4 o bien, ± 9 Dado que + 3i y 3i raíces iaginarias donde α y β 3, la solución sería ( ) ( ) cos 3 3 y e c + csen Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación diferencial y + 5y Deterinando la ecuación característica coo 5 + Utilizando, ± 5 o bien, ± 5i, raíces iaginarias donde α y β 5 La solución sería y e ccos( 5) + csen( 5), o bien ( ) ( Con condiciones iniciales y c cos 5 + c sen 5) Ejeplo.6... Deterinar la solución de la ecuación diferencial con condiciones iniciales y ( ) y y ( ) 4 y + 4 y + 7y Deterinando la ecuación característica coo Utilizando, ( ) ( )( ) ( 4) 4± ,, 4± 7, o, 8 ± i Dado que + i y i son raíces iaginarias donde α y β Por lo tanto la solución sería Aalia C. Aguirre Parres

14 .6.. Ecuación característica (raíces reales distintas, raíces reales iguales, raíces coplejas conjugadas) 5 ( ) ( ) cos (3) y e c + c sen Sustituyendo las condiciones iniciales y ( ) y ( ) y en (3) ( ) ( ( )) ( ( ) e ccos + csen ) o bien c dado que sen () y cos() Derivando (3) ( ) ( ) y e csen + c cos + e ccos( ) + csen( ) (3) Sustituyendo las condiciones iniciales en (3) ( ) ( ) e { csen ( ) + c cos ( ) } + e ccos + csen { ( ) ( ) } Quedando c c (3) coo c entonces sustituyendo en (3), teneos que c + de tal anera que 3 c 4 3 Y por consiguiente la solución particular sería y e cos( ) + sen( ) 4 Aalia C. Aguirre Parres