Gravitación. Área Física. Planeta. Foco. Perihelio semi-eje mayor de la elipse. excentricidad de la elipse. Afelio

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1 Gravitación Área Física Resultados de aprendizaje Comprender las leyes de Kepler y la ley de gravitación universal, para su aplicación en problemas de órbitas planetarias. Contenidos Debo saber Antes de comenzar con los ejercicios resueltos: Leyes de Kepler Johannes Kepler, trabajando con datos cuidadosamente recogidos por Tycho Brahe y sin la ayuda de un telescopio, desarrolló tres leyes que describen la cinemática del movimiento de los planetas alrededor del Sol. Primera ley o Ley de las órbitas: Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos de la elipse. Planeta Foco Perihelio semi-eje mayor de la elipse excentricidad de la elipse Afelio Segunda ley o Ley de las áreas: La línea que une un planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales. La ley de las áreas es equivalente a la conservación del momento angular, es decir, cuando el planeta está más alejado del Sol (afelio) su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol (perihelio). Primera Edición

2 Tercera ley o Ley de los periodos: Para cualquier planeta, el cuadrado del periodo de revolución es proporcional al cubo de su distancia media al Sol, esto es: (1) Con una constante que está dada por, donde es la llamada constante de gravitación universal, cuyo valor en el sistema internacional de medida es * +. Así la expresión para la tercera ley de Kepler corresponde a (2) Ley de gravitación universal Considérese un cuerpo que se mueve alrededor del Sol con órbita circular de radio aceleración estará dada por, su Donde corresponde a la velocidad tangencial del cuerpo que describe una órbita circular y corresponde a Reemplazando en la expresión de la aceleración escrita más arriba, se obtiene la igualdad A partir de la ley de los periodos de Kepler se tiene una expresión para ecuación anterior se obtiene, reemplazando en la Se tiene entonces que la aceleración, y por tanto la fuerza, varía con el inverso del cuadrado de la distancia, Newton dedujo que las fuerzas gravitacionales entre los cuerpos deberían ser proporcionales a las masas de los cuerpos. Dado que un cuerpo de masa que experimenta una fuerza, acelera a razón de, una fuerza proporcional a sería consistente con las observaciones de Galileo de que todos los cuerpos, independientemente de su masa, aceleran bajo la gravedad con la misma magnitud. Así, la teoría gravitacional de Newton o ley de gravitación universal establece que Primera Edición

3 Donde es la magnitud de la fuerza gravitatoria que actúa entre los dos cuerpos de masas y separadas por una distancia, y es la constante de gravitación universal. Ejercicio 1 En el trayecto a la Luna los astronautas del Apolo alcanzaron un punto donde la atracción gravitacional de la Luna es más intensa que la de la tierra. Si se sabe que,, y. a) Determine la distancia de este punto desde el centro de la tierra. b) Cuál es la aceleración debido a la gravedad terrestre en este punto? R: En primer lugar se realiza un diagrama con la información dada por el ejercicio, donde corresponde al punto donde la atracción gravitacional de la Luna es más intensa que la de la Tierra: Tierra Luna A partir de la tercera ley de Kepler, se tiene: (1.1) Despejando de la ecuación (1.1) se obtiene la expresión (1.2) Evaluando se obtiene: (1.3) Primera Edición

4 En el punto, la atracción gravitacional de la Tierra debe ser igual a la de la Luna. Siendo la distancia desde el centro de la Tierra al punto, se tiene la relación: Despejando : (1.4) (1.5) De (1.5) se obtienen dos soluciones para : (1.6) (1.7) Luego la distancia entre el centro de la Tierra y el punto no puede ser mayor que la distancia entre la Tierra y la Luna, por lo que se descarta la solución. Así la aceleración debido a la gravedad terrestre en el punto corresponde a: * + (1.8) Primera Edición

5 Ejercicio 2 El sistema binario de Plaskett se compone de dos estrellas que giran en una órbita circular en torno de un centro de gravedad situado a la mitad de la distancia entre ellas. Esto significa que la masa de las dos estrellas es la misma. Si la velocidad orbital de cada estrella es de * + y el periodo orbital de cada una es de días, calcule la masa de cada estrella. R: Resulta conveniente trabajar los datos en el sistema internacional de medidas, por lo que se debe transformar el periodo orbital a segundos, y la velocidad de las estrellas a : * + Se tiene que la velocidad tangencial está dada por: (2.1) De (2.1) se despeja la expresión para el radio, obteniendo ( * +) (2.2) Primera Edición

6 Para encontrar una expresión para el sistema binario Plaskett, consideramos la tercera ley de Kepler: (2.3) De donde se obtiene (2.4) Evaluando (2.4) con los datos del problema (2.5) Luego, como se trata de un sistema binario, compuesto por dos estrellas de masas iguales, la masa de cada una de ellas está dada por: (2.6) Ejercicio 3 Se sabe que las masas de la Luna, la Tierra y el Sol, son aproximadamente ; y, respectivamente. La distancia promedio entre el centro de la Luna y la Tierra es ; además, la distancia promedio desde la Tierra al Sol es. Usando la tercera ley de Kepler, determinar los periodos orbitales de la Luna y la Tierra expresados en días y segundos. R: Primero se determinará el periodo para el caso de la Luna, para lo cual se considera a la Tierra en reposo, por lo que, al aplicar la tercera ley de Kepler, se tiene: (3.1) Donde, y * reemplazando: +. Por lo que Primera Edición

7 (3.2) Luego, realizando la conversión de unidades para expresarlo en días, se tiene: (3.3) Sin embargo, es relevante destacar que tanto la Luna como la Tierra describen órbitas aproximadamente circulares en torno al centro de masa de ambos cuerpos, por lo tanto, estaría comprendida por la suma de la masa de la Luna,, y la masa de la tierra,, es decir, en base a lo mencionado se tiene que: Por lo que, a partir de la tercera ley de Kepler: (3.4) ( ) (3.5) (3.6) Cabe destacar que ninguno de los dos cálculos puede ser considerado exacto, ya que el movimiento de la Luna es mucho más complejo que una órbita circular. En el caso de la Tierra, tenemos que ; (3.7) Luego realizando la conversión de unidades para expresarlo en días, se tiene: (3.8) Primera Edición

8 Es posible corroborar este resultado, debido a que la Tierra demora un año, es decir 365 días, en darle vuelta al Sol. Ejercicio 4 Durante un eclipse solar la Luna, la Tierra y el Sol se encuentran en la misma línea, con el satélite terrestre entre la Tierra y el Sol. Si se sabe que ; ; ; y. a) Qué fuerza ejerce el Sol sobre la Luna? b) Qué fuerza ejerce la Tierra sobre la Luna? c) Qué fuerza ejerce el Sol sobre la Tierra? R: En primer lugar, se realiza un diagrama para ayudar a ordenar la información provista por el enunciado. Luna Tierra Sol Se tiene que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos está dada por la expresión descrita en la introducción, por lo que es necesario determinar la distancia entre los cuerpos. Para ello consideramos la tercera ley de Kepler, donde se tienen las siguientes expresiones para el periodo de la Luna y de la Tierra, respectivamente: (4.1) (4.2) Donde corresponde a la distancia entre el Sol y la Tierra, y es la distancia entre la Luna y la Tierra. Primera Edición

9 Despejando y de ambas expresiones, se consiguen las expresiones (4.3) y (4.4) que nos ayudan a encontrar las distancias desconocidas (4.3) (4.4) Al evaluar los valores conocidos, y resultan Conociendo las distancias, se pueden calcular las fuerzas entre los cuerpos: a) Fuerza ejercida por el Sol sobre la Luna (4.5) ( ) (4.6) b) Fuerza ejercida por la Tierra sobre la Luna ( [ ]) (4.7) (4.8) c) Fuerza ejercida por el Sol sobre la Tierra ( [ ]) (4.9) (4.10) Primera Edición

10 Ejercicio 5 Los satélites geo síncronos orbitan la Tierra a desde el centro de esta. Su velocidad angular en esta altura es la misma que la velocidad rotacional de la Tierra, razón por la cual parecen estacionarios en el cielo. Cuál es la fuerza que actúa sobre un satélite de a esta altura? R: A partir de la fórmula de Ley de Gravitación, se tiene: (5.1) ( [ ]) (5.2) La fuerza que actúa sobre un satélite de a esta altura es. Ejercicio 6 Ío, un pequeña Luna de Júpiter, tiene un periodo orbital de y un radio orbital de. De acuerdo con estos datos, determine la masa de Júpiter. R: Se realiza la transformación de unidades al periodo orbital que es entregado en días. Luego, convertido en segundos se tiene: (6.1) Por otra parte, a partir de la tercera ley de Kepler, se tiene que: (6.2) Se despeja de (6.2) y se tiene la expresión (6.3) Así, evaluando en (6.3) se determina que la masa de Júpiter es: Primera Edición

11 (6.4) Ejercicio 7 Marte es el cuarto planeta del Sistema Solar, su masa es una décima parte de la masa de la Tierra, y forma parte de los llamados planetas telúricos. El planeta rojo posee dos satélites: Deimos y Fóbos. Este último posee un periodo de 7 horas y 39 minutos, con una órbita de de radio. Determine la masa de marte, la velocidad orbital del satélite y el número de vueltas que da Fobos a Marte por cada día terrestre (24 horas). R: Se sabe que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: (7.1) (7.2) De (7.2) se despeja : (7.3) Además, se tiene (7.4) Luego, igualando (7.3) y (7.4) (7.5) Despejando (7.6) El periodo expresado en segundos corresponde a datos dados en el enunciado y el periodo recién calculado. Evaluando (7.6) con los Primera Edición

12 (7.7) Enseguida de (7.4) * + (7.8) Mediante proporciones se establece que De esta forma se tiene que Fóbos da vueltas a Marte por cada día terrestre. Ejercicio 8 Una partícula de masa se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad constante en la dirección una distancia de dicho eje (ver figura). Demuestre que la segunda ley de Kepler se satisface mostrando que los dos triángulos sombreados en la figura tienen la misma área cuando. R: Se determinan las áreas, donde la corresponde al área de la izquierda de la figura, y por ende el área de la derecha, luego como son triángulos, se calcula como el semi producto de la base por la altura, lo que es posible observar a continuación: (8.1) Primera Edición

13 (8.2) Por lo que, igualando las áreas, se tiene: (8.3) Finalmente, como, se demuestra que, cumpliendo efectivamente la segunda ley de Kepler que establece que la línea que une un planeta con el Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales. Ejercicio 9 La tierra en su perihelio está a una distancia de 147 millones de kilómetros del Sol y lleva una velocidad de * +. Cuál es la velocidad en * + de la Tierra en su afelio, si dista 152 millones de kilómetros del Sol? R: A partir de la segunda ley de Kepler, se sabe que el momento angular de la Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria, es decir, este será igual en el perihelio y en el afelio, lo que se muestra a continuación: (9.1) Al reemplazar (9.2) (9.3) ( * +) (9.4) Porque se pide la expresión de la velocidad en kilómetros por hora, se realiza la conversión: * + (9.5) Primera Edición

14 Ejercicio 10 Se sabe que el radio de la Tierra es de y, por otra parte, se tiene que la estación espacial internacional (ISS), gira en una órbita situada a una distancia media de sobre la superficie de la Tierra. Con esta información determinar: a) Velocidad orbital. b) El periodo en horas. c) Número de vueltas que da la ISS a la Tierra por día. R: Se sabe que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: (10.1) (10.2) (10.3) (10.4) Donde equivale a la suma del radio de la Tierra más la altura donde se sitúa el satélite, es decir: (10.5) (10.6) (10.7) Evaluando en la expresión hallada para la velocidad: (10.8) * + (10.9) Por otra parte, se determina el periodo de la estación espacial internacional haciendo uso de la expresión para la velocidad (10.10) Primera Edición

15 * + (10.11) Realizando la transformación a horas, se tiene: * + (10.12) Por proporciones, se tiene (10.13) Finalmente, la estación espacial internacional da vueltas a la Tierra por día. Ejercicio 11 Dos planetas e viajan en órbitas circulares en dirección contraria alas de las manecillas del reloj en torno de una estrella, como muestra la figura adjunta. Los radios de sus órbitas están en la proporción. En cierto momento están alineados, como se muestra en, formando una línea recta con la estrella. Cinco años después, el planeta ha girado como en la figura. Dónde está el planeta en ese momento? a) b) R: A partir de la tercera ley de Kepler para los dos planetas, se tiene: (11.1) Primera Edición

16 (11.2) Con la información que entrega el ejercicio se sabe que la relación entre los radios de sus órbitas está en proporción, lo que se expresa de la siguiente forma: (11.3) Reemplazando en (11.1): (11.4) (11.5) (11.6) Igualando (11.5) y (11.6) se obtiene: (11.7) (11.8) Por otro lado, se sabe que un cuarto de periodo del planeta tarda 5 años, es decir radianes: Primera Edición

17 (11.9) Transformando el resultado obtenido a segundos se tiene: * + * + (11.10) Finalmente: Es decir, el planeta habrá completado revoluciones en ese momento. (11.11) Ejercicio 12 Un satélite síncrono, que se mantiene siempre en el mismo punto sobre un ecuador planetario, se pone en órbita alrededor de Júpiter para estudiar su famosa mancha roja. Júpiter gira una vez cada. Si se sabe que la masa de Júpiter es, y su radio es de, encuentra la altura del satélite. R: Se tiene que la fuerza gravitacional es igual a la fuerza centrípeta del satélite, es decir: (12.1) (12.2) (12.3) Además (12.4) Reemplazando (12.4) en (12.3) se tiene la relación (12.5) Primera Edición

18 (12.6) Enseguida, se convierte el periodo de Júpiter a segundos, debido a que es otorgado en horas por el problema: * + (12.7) Evaluando en la expresión hallada para : Y la altura del satélite sobre el planeta será (12.8) (12.8) Ejercicio 13 Si se sabe que ; ;. En qué punto a lo largo de la línea que conecta la Tierra y la Luna la fuerza gravitacional sobre un objeto es igual a cero? (ignore la presencia del Sol y de los otros planetas). R: A partir de la tercera ley de Kepler: (13.1) (13.2) Primera Edición

19 Evaluando: (13.3) Luego, como la fuerza gravitacional sobre un objeto debe ser igual a cero, se tiene: (13.4) (13.5) (13.6) Reordenando: (13.7) Luego se tiene dos soluciones: (13.8) (13.9) Se descarta, debido que no puede ser mayor a la distancia entre la Tierra y la Luna, es por esta razón que el objeto estará a, desde el centro de la Tierra, o desde el centro de la Luna. Primera Edición

20 Ejercicio 14 Saturno es el sexto planeta del sistema solar, es el segundo en tamaño después de Júpiter y es el único con un sistema de anillos visible desde la Tierra. Su masa es veces la masa terrestre, y su radio es veces el radio de la Tierra. Si Titán, uno de sus satélites, posee una masa de, se encuentra a una distancia de de Saturno y presenta una órbita circular. Determine: a) El tiempo (en días) que demora Titán en dar una vuelta completa en torno a Saturno. b) La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que Titán ejerce sobre una persona de situada en el polo norte de Saturno, si se sabe que el diámetro de la Tierra es de. c) A qué distancia, entre Saturno y Titán, medida desde la superficie de Titán, la atracción gravitacional sobre un cuerpo es nula, si se sabe que el diámetro del satélite Titán es. R: Por la tercera ley de Kepler se tiene: (14.1) (14.2) En días (14.3) * + (14.4) Enseguida, se realiza un diagrama para graficar la información disponible Primera Edición

21 Titán Saturno La distancia se determina a partir del Teorema de Pitágoras, como se ve a continuación: (14.5) (14.6) Aplicando la ley de Gravitación (14.7) (14.8) ( [ ]) (14.9) (14.10) Primera Edición

22 Titán Saturno Como se busca determinar el punto en que la fuerza gravitacional sobre un objeto es nula, se tiene: (14.11) (14.12) Reordenando: (14.13) (14.14) Primera Edición

23 Resolviendo (14.15) Se descarta, puesto que es una medida de distancia, y no puede ser negativa. De esta forma el objeto se encontrará a desde el centro del satélite Titán. Luego, como se solicita la distancia desde la superficie del satélite se tiene (14.16) Finalmente, la distancia entre Saturno y Titán, medida desde la superficie de Titán, donde la atracción gravitacional sobre un cuerpo es nula, corresponde a. Referencias y fuentes utilizadas: Serway Raymond A., (1997), Física (Cuarta edición: Vol. I), McGraw W Hill. Responsables académicos Corregida Editorial PAIEP. Si encuentra algún error favor comunicarse a ciencias.paiep@usach.cl Primera Edición

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